Slides micro 2 - dipartimento di economia e diritto

Produzione congiunta: La tecnologia
LA RAPPRESENTAZIONE DELLA TECNOLOGIA
Un approccio più completo e rigoroso:
l’insieme delle possibilità produttive
Definiamo un piano di produzione, o processo o attività per l’impresa, indicato con ya ; esso è:
una lista di quantità producibili seguite dai requisiti di input
necessari per ottenerle
Quindi, in termini formali è un vettore in ℜn , lo spazio euclideo in n dimensioni (se la lista contiene n
termini)
Indichiamo con q i prodotti e con x gli input
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Esempio:
il piano di produzione ya include 2 output diversi prodotti con 2 input diversi:
Quindi:
y a = (q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) ∈ ℜ 4
NOTA: gli input compaiono con segno negativo – convenzione.
Se ya è concretamente realizzabile, si dice che appartiene alla tecnologia dell’impresa.
Consideriamo ora tutti i processi o piani produttivi possibili per una data impresa f; questo sarà:
un insieme di vettori come ya, e quindi un sottoinsieme di ℜ4
lo indichiamo con
Yf
Da quanto detto sopra risulta che:
se ya è realizzabile allora deve essere:
ya ∈Yf
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Proprietà generali dell’insieme delle possibilità produttive Y f :
- L’inattività è un piano produttivo possibile:
y 0 = (0, 0, 0, 0 ) ∈ Y f ;
- Processi con output positivo che usano quantità nulle di fattori sono impossibili:
y + = (q1, q2 , 0, 0 ) ∉ Y f (“no free lunch”…);
- I piani produttivi sono irreversibili: se y a = (q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) ∈ Y f , allora
− y a = ( − q1a , − q2 a , x1a , x2 a )∉ Y f ;
- Libera disponibilità: se (q1a , q2 a , − x1a , − x2 a )∈ Y f allora sia (q1a ' , q2 a ' , − x1a , − x2 a ) con q1a’ < q1a che
(q1a ,
q2 a , − x1a ' , − x2 a ') con x1a < x1a’ appartengono a Y f .
- L’insieme delle possibilità produttive è convesso: ∀y a , y b ∈ Y f anche qualunque combinazione
lineare y c = αy a + (1 − α ) y b , con 0 ≤ α ≤ 1 , appartiene a Y f .
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L’assunzione di convessità è tipica dell’analisi neoclassica standard; esempio di un insieme di
produzione convesso (caso di 1 output e 1 input) – l’insieme Yf (area colorata):
yc = aya + (1 – a) yb
yb
y1
ya
Yf
– x1
I punti di una combinazione lineare convessa y c = αy a + (1 − α ) y b di due punti appartenenti all’insieme,
appartengono anch’essi a Yf .
Cioè:
se prendiamo due piani produttivi possibili ya e yb , allora anche tutti i piani produttivi
“intermedi” (quella della combinazione lineare) sono possibili.
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La convessità è molto importante per i risultati dell’analisi micro, però:
non vi sono forti giustificazioni intuitive…
Comunque, si può mostrare che essa deriva dall’unione di due altre assunzioni:
(
)
- Additività: se y a , y b ∈ Y f allora anche la somma: y c = y a + y b ∈ Y f ; possiamo sempre “unire”
(mediante somma) due processi produttivi possibili e ottenerne uno possibile;
- Divisibilità: se y a ∈ Y f allora anche y c = αy a ∈ Y f , con 0 < α < 1 ; cioè possiamo sempre scegliere di
“frazionare” un processo possibile, e il risultato sarà un processo possibile.
Questi due assunti – separatamente – sono più intuitivi e immediati della convessità.
Nota comunque che le non-convessità nella produzione hanno importanti conseguenze.
Terminologia - si definisce una tecnica di produzione in tal modo:
qualunque combinazione di input ( − x1, − x2 ) che consente di ottenere le quantità prefissate (q1, q2 ) .
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NOTA:
in genere si assume che l’insieme delle possibilità produttive contenga infiniti (un continuo) di piani
possibili, come nella figura:
y1
yb
Nota i punti al disotto della frontiera di
produzione sono tecnicamente inefficienti.
yc
ya
Quelli esattamente sulla frontiera sono
tecnicamente efficienti
Yf
– x1
In tal caso, la frontiera di Yf definisce la funzione di produzione:
Nel caso si 1 output e 2 input:
y1 = f ( x1 )
(nota: cambio segno)
y1 = f ( x1, x2 )
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Tecnologia con produzione congiunta:
è proprio il caso contemplato prima, in cui l’impresa produce più di un output – almeno due;
quindi i piani di produzione sono del tipo: y a = (q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) ∈ Y f
Se assumiamo inoltre un’infinità di tecniche di produzione, allora potremmo definire la funzione Q
(un analogo della funzione di produzione)
Ovvero: tutti i piani possibili sono quelli che soddisfano questa disequazione:
Q(q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) ≤ 0
L’insieme delle possibilità produttive è allora dato da:
Y f = {(q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) Q(q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) ≤ 0}
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Il fatto che sia Q(q1a , q2a , − x1a , − x2a ) ≤ 0 implica che i piani produttivi per cui la funzione Q è negativa,
sono quelli tecnicamente inefficienti, ovvero quelli che si trovano sotto la frontiera.
(i piani inefficienti sono presenti per via dell’assunzione di libera disponibilità)
Pertanto, i piani per cui vale:
Q(q1a , q2 a , − x1a , − x2 a ) = 0
sono tecnicamente efficienti
Funzione di trasformazione
… è l’equivalente della funzione di produzione con produzione congiunta:
- Se fissiamo le x e una q, la Q dice quanto dell’altra q è al massimo possibile ottenere;
- Se fissiamo due q e una x , la Q dice quanto dell’altro x è richiesto (al minimo).
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Proprietà della funzione di trasformazione:
∂Q(K)
>0
∂qi
∂Q (K)
<0
∂x j
e
Non c’è un particolare significato economico…
(Es. questa Q:
∀i, j
q − x1α x12−α = 0 )
Derivano dal fatto che le q entrano col segno + e le x con il segno –
La Q gode di proprietà analoghe a quelle della funzione di produzione:
- Continuità (se le tecniche sono un continuum)
- Sostituibilità tra i fattori produttivi
- Possibilità di definire saggi marginali per tali sostituibilità
Solo che ora è possibile anche la
sostituibilità tra gli output
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I vari saggi marginali tecnici, sono ottenibili tramite le usuali regole di derivazioni di funzioni implicite,
come appunto la Q:
- sostituzione tra due x:
∂x2
∂x1
= −
∂Q(L) ∂Q(L)
<0
∂x1
∂x2
dato che le q sono costanti, ci si muove lungo un isoquanto: è la sua pendenza: SMST1,2
- sostituzione tra un q e un x:
∂qi
∂x j
= −
∂Q(L) ∂Q(L)
>0
∂x j
∂qi
∀i, j
dato che una q e una x sono costanti, questa è la produttività marginale (di xj rispetto a qi ): PMi,j
Ma c’è anche:
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la sostituzione tra soli output!
Date infatti le ( − x1, − x2 ) esiste un’infinità di (q1, q2 ) possibili secondo la Q
Saggio marginale di trasformazione:
Si definisce dunque il
SMT
Misura il rapporto di sostituzione tra due (o più) output: come varia il rapporto tra i prodotti se si
spostano risorse fisse (le x) da una linea produttiva all’altra.
SMT:
∂q2
∂q1
= −
∂Q(L) ∂Q(L)
∂q1
∂q2
Nota: sappiamo che è sempre ∂Q(K) / ∂qi > 0 per ogni output,
quindi è necessariamente:
SMT < 0
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Il segno negativo è intuitivo:
le risorse (fattori x) sono fissi; quindi se si vuole aumentare la produzione di q1 occorre levare input dalla
produzione di q2 che per forza diminuirà.
Un po’ più analiticamente, il SMT deriva dalla funzione
Se esplicitiamo tale funzione Q, invertendola rispetto a q2 :
Q(q1, q2 , − x1, − x2 ) = 0
con x1, 2 dati
q2 = F (q1, − x1, − x2 )
la F è solo funzione di q1
quindi sarà:
SMT
=
dF
dq1
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Andamento della funzione F :
Nota La F è concava.
q2
Uguali incrementi successivi di q1
richiedono decrementi via via maggiori di q2
F
q1
Questo poiché per aumentare un prodotto si sottraggono risorse che sono sempre più specializzate (e
quindi produttive) per la realizzazione dell’altro output
… in effetti ciò è legato al fatto che le produttività marginali sono decrescenti
concavità di Yf .
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