Appunti Convezione

3.2 Convezione
Può essere forzata o naturale secondo che ci sia un mezzo meccanico esterno che produce il
movimento del fluido responsabile della trasmissione del calore alla parete, oppure che il
movimento sia dovuto a variazioni di densità legate alle stesse differenze di temperatura che
provocano la trasmissione del calore, e alla conseguente spinta di Archimede. Casi particolari sono
costituiti dalla convezione in presenza di cambiamenti di fase: condensazione o ebollizione.
Dovendo esserci movimento, almeno uno dei due corpi tra cui avviene la trasmissione del calore
deve essere un fluido (che può cambiare di forma). Nella maggior parte dei casi si considera la
trasmissione del calore per convezione tra una parete solida, alla temperatura T p , e un fluido alla
temperatura T f .
Il problema fondamentale della convezione è la determinazione del coefficiente di scambio
convettivo h e conseguentemente del flusso trasmesso Q
Q = hA(T f − T p ) .
essendo A la superficie attraverso cui avviene lo scambio. Nella tabella qui di seguito sono riportati
alcuni valori indicativi di h.
Concetti fondamentali
La temperatura del fluido nel caso di fluidi non limitati (corrente su lastra piana o esterna ad un
tubo) è la temperatura del fluido indisturbato, nel caso di fluidi limitati (entro i condotti) si possono
definire diverse temperature:
- temperatura dell’asse: è in genere la massima o la minima, si usa spesso nelle soluzioni
analitiche ma è di difficile determinazione sperimentale.
1
- temperatura media: Tm =
T dA necessita la conoscenza di T(A) e non tiene conto della
A
∫
A
velocità
-
temperatura media pesata sulla portata volumica:
-
temperatura di mescolamento adiabatico:
è la temperatura che
si otterrebbe se si mescolasse in modo isobaro ed adiabatico verso l’esterno la massa che
transita per una sezione in un intervallo di tempo.
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Le temperature T b e T V sono uguali se c p e ρ sono costanti sulla sezione (indipendenti da
temperatura e pressione), sono uguali a T m se la velocità è uniforme.
Il flusso termico scambiato dalla parete del condotto tra due sezioni in assenza di lavoro esterno e
variazioni di energia cinetica e potenziale è dato da:
Q = c (Tb 2 − Tb1 )
Considerando che nella definizione di temperatura di mescolamento adiabatico il flusso di entalpia
rimane invariato, perché il mescolamento è supposto adiabatico verso l’esterno senza scambio di
lavoro e senza variazione di velocità e portata nel fluido, dalla definizione di temperatura di
mescolamento adiabatico si ha:


u2 
u2 

h(Tb , p ) + dm − h(T , p ) + dm = 0 ⇒
2 
2 


∫
∫
m
⇒ h(Tb , p ) m =
m
∫[
h(T , p ) + ] dm
m
Pertanto il flusso termico scambiato tra due sezioni 1 e 2, se non c’è lavoro e senza variazione
apprezzabile di energia cinetica e potenziale, vale:
Q = [h(Tb , p ) 2 − h(Tb , p )1 ] m
se il processo è isobaro ( o se h non dipende dalla pressione come per i gas ideali) si ha:
Q = m c p [Tb 2 − Tb1 ]
3.2.1 Condensazione
La condensazione e l’ebollizione (cioè i cambiamenti di fase tra liquido e vapore) costituiscono i
fenomeni termici che realizzano uno scambio termico particolarmente efficiente e quindi un
coefficiente di scambio convettivo h molto elevato. In particolare durante la condensazione si
riescono a raggiungere valori di h anche di parecchie centinaia di migliaia di W/m2K.
Si considera in genere la condensazione che avviene su superfici solide, a temperatura T p inferiore a
quella di saturazione del vapore T s . Il vapore si considera saturo, e quindi alla sua temperatura di
saturazione T s .
La condensazione può avvenire con due modalità differenti: a film o a gocce . Nella condensazione
a film sulla superficie solida si forma uno stato di condensato (film), che se la superficie è verticale
scorre uniformemente verso il basso. Nella condensazione a gocce si formano sulla superficie
verticale gocce, dislocate casualmente, che si accrescono sino a scorrere verso il basso in modo
uniforme. Generalmente alla condensazione a gocce sono collegati flussi termici maggiori rispetto a
quella a film, perché è maggiore la portata di condensato che si forma e viene portato via dallo
scorrimento dei rivoli di gocce. Tuttavia la condensazione a gocce si verifica casualmente, e non è
prevedibile con legge sicura. Per cui in genere si considera unicamente la condensazione a film, che
invece e trattabile analiticamente. Considerato che in genere la determinazione del coefficiente di
scambio convettivo h è utilizzata per dimensionare dispositivi in cui si deve garantire uno scambio
di calore minimo (ad esempio condensatori), il fatto di valutare h per la pura condensazione a film
costituisce un fattore di sicurezza, perché se si verifica la condensazione a gocce, lo scambio
effettivo rispetto a quello calcolato risulta maggiore.
Nella condensazione a film il flusso termico scambiato dipende dalle caratteristiche del film
(regime di moto, cioè se laminare o turbolento, e spessore) che a loro volta dipendono dalla portata
di vapore condensante, dalla velocità di drenaggio del liquido, dalla velocità della fase vapore e
dalle caratteristiche fisiche del liquido e del vapore (in particolare la conduttività termica del liquido
e dal calore latente di condensazione). Si noti che il film costituisce una barriera termica al
passaggio di calore, pertanto la condensazione a gocce raggiunge valori decisamente più elevati di
h, pari a 170÷290 kW/m2K.
67
Per la trattazione della condensazione a film si utilizza la trattazione analitica di Nusselt, che porta
alla determinazione dello spessore dello strato di condensato δ e in funzione della distanza x
dall’imbocco della parete (cfr figura).
(
) 1/ 4
 4 µ l λl x Ts −T p 
δ =

 gρ l (ρ l − ρ v )r ' 
dove:
µ l è la viscosità dinamica del liquido
λ l è la conduttività termica del liquido
ρ l è la densità del liquido
ρ v è la densità del vapore
g è l’accelerazione di gravità
r’ è il calore scambiato per unità di massa, somma di due termini, il calore latente di condensazione
r e quello scambiato per conduzione r’’, e vale:
3
r ' = r + c p Ts − T p
8
Il coefficiente di scambio convettivo h locale alla distanza x per la condensazione vale:
(
)
λl  gρ l (ρ l − ρ v )r ' λl 3 
hx =
=

δ  4µ l x(Ts −T p ) 
1/ 4
Il coefficiente di scambio medio si ottiene per integrazione su x che varia tra 0 (imbocco) e L
(altezza della lastra)
1/ 4
L
 gρ ( ρ − ρ ) r 'λ 3 
1
4
v
l

hL
hx dx =
h( L) 0,943  l l
=
=
∫
L0
3
 µl L Ts − T p



La teoria di Nusselt (che porta al risultato sopra citato) fornisce risultati di circa il 20% inferiori a
quelli sperimentali, per cui se si vuole un’approssimazione più veritiera del valore di h occorre
sostituire al numero 0,943 dell’equazione precedente il numero 1,131.
(
)
3.2.2 Ebollizione
Per ebollizione si intende il cambiamento di fase liquido vapore, quando interessa tutta la massa del
liquido, e non solo quella sulla superficie (in tal caso si parla di evaporazione). Avviene quando la
temperatura di una parete supera la temperatura di saturazione del liquido. Quando questo succede,
il liquido a contatto della parete assume la sua temperatura, mentre il restante liquido può essere o
saturo, o sottoraffreddato.
Nel procedere dell’ebollizione, cioè quando aumenta la differenza di temperatura tra la parete e il
liquido, avvengono differenti meccanismi:
- Convezione naturale (zona 1 della figura sottostante): il liquido a contatto con la parete si
surriscalda e per convezione naturale si porta sul pelo libero del liquido dove evapora.
68
-
-
-
-
Ebollizione nucleata: sulla superficie calda si originano e crescono di dimensione delle bolle
di vapore, che per piccole differenze di temperatura condensano e collassano nel liquido, poi
a differenze maggiori raggiungono la superficie del pelo libero. Lo scambio termico è
dovuto in massima parte all’intenso rimescolamento dovuto al movimento delle bolle, più
che al flusso termico trasportato dalle bolle stesse (zona 2 di figura).
Aumentando di numero, le bolle tendono a costituire delle colonne continue di vapore; in
tali condizioni il flusso termico è dovuto prevalentemente al calore latente del vapore
trasportato dalle bolle (zona 3 di figura)
Crisi idrodinamica: la quantità elevata di vapore produce uno strato continuo sulla superficie
riscaldante; tale strato costituisce un isolante termico che diminuisce il flusso. A tal punto si
possono generare due situazioni differenti: se si lavora a temperatura imposta, cioè la
superficie riscaldante viene mantenuta ad una determinata temperatura, il flusso diminuisce
effettivamente (zona 4); se invece, come nella maggior parte dei casi, si lavora a flusso
termico imposto, cioè dalla superficie arriva un determinato flusso termico, aumentando
l’isolamento il flusso non può più essere ceduto al liquido, e occorre che la temperatura della
superficie raggiunga un valore tale da consentire la cessione di tale flusso (bisogna
compensare il ridotto h con un ∆T decisamente superiore). Cioè si passa direttamente dal
punto A al punto B della figura. Tale situazione è particolarmente pericolosa e da evitare:
come si nota dal grafico vengono raggiunte temperature molto elevate a cui i materiali
normalmente utilizzati non resistono.
Quando lo stato di vapore diventa stabile, si ha l’ebollizione a film(zone 5 e6).
Si può descrivere l’evoluzione della bolla tenendo conto delle forze che agiscono su di essa
(confronta figura). Quando due fasi diverse sono a contatto fra loro in condizioni di equilibrio
termodinamico, le pressioni dai due lati della superficie di separazione devono essere uguali. Questa
circostanza, che scaturisce, evidentemente, da una condizione di equilibrio meccanico, presupposto
dell’equilibrio termodinamico, vale anche se si considerano effetti legati alla tensione superficiale
purché, però, la superficie di separazione tra le fasi sia piana. Se, invece, è curva la condizione
viene a cadere e si manifesta una differenza di pressione attraverso la superficie di separazione tra le
fasi, legata alla tensione superficiale.
Sia r il raggio della goccia. Supponiamo che la bolla aumenti di un volume dV. Poiché la goccia si
espande, essa compie un lavoro sull’ambiente esterno e questo significa che la pressione interna
della goccia, p v , deve essere maggiore di quella esterna, p l . Il lavoro compiuto dal sistema è
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Ora, essendo
differenziando si ha:
quindi:
(1)
Se il raggio della goccia, a causa dell’incremento di volume, aumenta di dr, l’area della superficie
della sfera,
, aumenta di
, e l’energia superficiale aumenta di
(2)
In definitiva, l’aumento del raggio della goccia da r a r+dr, da un lato diminuisce l’energia del
sistema di una quantità data dalla (1), lavoro di espansione, e dall’altra la aumenta di una quantità
data dalla (2), aumento di energia superficiale. La condizione di equilibrio si ha uguagliando (1) e
(2) e corrisponde alla stabilità della goccia (o bolla) di raggio r.
Si ha:
da cui semplificando:
Se p v > p l la bolla tende a crescere, se no tende a diminuire e a collassate.
Le correlazioni sperimentali reperibili in letteratura esprimono il flusso termico per unità di area
Q / A in funzione delle seguenti quantità:
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- c p,l calore specifico del liquido;
- ∆T= T p -T vap,sat ;
- r = calore latente di evaporazione;
- Pr l , numero di Prandtl del liquido;
- µ l viscosità dinamica del liquido
- σ tensione superficiale
- ρ l densità del liquido
- ρ v densità del vapore
- g accelerazione di gravità
- C fs costante dipendente dal liquido e dal solido della superficie riscaldante.
Per l’ebollizione nucleata in acqua si possono utilizzare le seguenti relazioni empiriche:

Q


< 16 kW
per
h = 1042∆T 1 / 3 

2
A
m 


 per superfici orizzontali

Q
kW

3 
per 16 < < 240 
h = 5,56∆T


A
m2 


Q


< 3 kW

A
m2 

Q


per 3 < < 63 kW

2
A
m 

per

h = 537 ∆T 1 / 7 

 per superfici verticali
3 
h = 7,96∆T


Quando la pressione è diversa da quella ambiente (1 atm), si corregge il valore nel seguente modo
0, 4
 p
h p = he  
 p1 
dove h e e h p sono rispettivamente il coefficiente di scambio convettivo per ebollizione a pressione
normale e alla pressione voluta, p la pressione considerata e p 1 = 1 atm.
Nel caso di tubi percorsi da un liquido in ebollizione, si può parlare di ebollizione forzata. Anche in
questo caso si ripresentano i fenomeni descritti per la lastra, e in particolare si verificano i seguenti
regimi di moto:
- Flusso a bolle (bubble flow)
- Flusso a tappo (slug flow),
- Flusso anulare, il liquido occupa una sezione ad anello (anular flow)
- Flusso a nebbia (mist flow), rimangono unicamente piccole goccioline di liquido
- Flusso di puro vapore surriscaldato
quindi:
Q
Q
Q
+
=
A tot A eboll .
A conv.
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forzata
Sempre per i tubi nel regime di anular flow, per pressioni elevate, si può utilizzare:
−
p
1,551
h = 2,54 ∆T e
con p pressione espressa in MN/m , valida tra 5 e 170 atm.
3
2
72