Probabilità
Maura Mezzetti
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Terema della probabilità totale
Il teorema delle probabilità totali afferma che
Dato un evento B e una partizione
A1, A2,…,An
Possiamo scrivere la probabilità dell’evento B come:
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+….+P(B|An)P(An)
1
Esempio
30% degli uomini fuma, rispetto al 40% delle
donne. Se ci sono tanti uomini quante
donne, qual è la probabilità che preso un
individuo a caso sia un fumatore?
Esempio
30% degli uomini fuma, rispetto al 40% delle
donne. Se ci sono tanti uomini quante
donne, qual è la probabilità che preso un
individuo a caso sia un fumatore?
B ={fumatore}
M={maschio}
F={femmina}
P(B)=P(B|M)×P(M)+P(B|F)×P(F)
=0.30×0.50+0.40×0.50=0.35
2
Teorama della probabilità totale
Una partizione dell’evento Ω è una classe di eventi.
Sia A1, A2,…,An tale che
• Ai∩ Aj=Ø
• A1∪ A2∪…∪ An=Ω
• P(Ai)>0 per ogno i
Il teorema della probabilità totale afferma che
Dato un evento B e una partizione A1, A2,…,An
Possiamo scrivere la probabilità di B come:
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+….+P(B|An)P(An)
Teorema di Bayes
Dati due eventi complementari e mutuamente esclusivi B e B
P(A) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A) = P(B) ⋅ P(A | B) + P( B) ⋅ P(A | B)
P(B ∩ A) P(B) ⋅ P(A | B)
=
=
P(A)
P(A)
P(B) ⋅ P(A | B)
=
P(B) ⋅ P(A | B) + P( B) ⋅ P(A | B)
P(B | A) =
6
3
Bayes’ Theorem
• In molte situazioni abbiamo informazioni a
priori.
• Considerate queste informazioni, calcoliamo
le probabilità a posteriori aggiornando con
l’evidenza
• Il teorema di Bayes compie l’operazione
opposta, dall’evidenza calcola la probabilità di
un evento precednete.
Prior
Probabilities
New
Information
Application
of Bayes’
Theorem
Posterior
Probabilities
Esempio Teorema di Bayes
La percentuale di studenti iscritti al secondo anno d
ingegneria che frequenta il corso di statistica è il
70%. Si suppone che tra questi il 90% supererà
l’esame. Invece tra i non frequentati la probabilità di
passare l’esame è uguale a 0.20.
Quale sarà la percentuale di studenti che
passeranno l’esame?
Dato che uno studente ha passato l’esame, quel’è
la probabilità che ha seguito il corso?
4
Esempio Teorema di Bayes
A1=lo studente frequenta il corso
A2=lo studente NON frequenta il corso
B=lo studente supera l’esame
Esempio Teorema di Bayes
Probabilità a Priori
Da informazioni soggettive:
P(A1) = 0.7, P(A2) = 0.3
Nuove informazioni
LO STUDENTE HA SUPERATO L’ESAME
Dato che si è verificato l’evento B, qual è la
probabilità lo studente abbia frequentato il corso?
5
Esempio Teorema di Bayes
Probabilità condizionate
P(B|A1) = .9
P(B|A2) = .2
Tree Diagram
P(B|A1) = .9
P(A1 ∩ B) = .63
P(A1) = .7
_
_
P(B|A1) = .1
P(A1 ∩ B) = .07
P(B|A2) = .2
P(A2 ∩ B) = .06
P(A2) = .3
_
P(B|A2) = .8
_
P(A2 ∩ B) = .24
6
Teorema di Bayes
Il teorema di Bayes permette di trovare le
probabilità a posteriori dell’evento Ai, dato che si è
verificato l’evento B
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ) P ( B| Ai )
P ( A1 ) P ( B| A1 ) + P ( A2 ) P ( B| A2 ) +... + P ( An ) P ( B| An )
Il Teorema di Bayes quando gli eventi Ai sono
mutamente esclusivi e la loro unione forma tutto lo
spazio campionario: cioè formano una partizione
Esempio Teorema di Bayes
Probabilità a Posteriori
P ( A1| B ) =
P ( A1 ) P ( B| A1 )
P ( A1 ) P ( B| A1 ) + P ( A2 ) P ( B| A2 )
=
(.7)(.9)
(.7)(.9) + (.3)(.2)
= .913
7
Tabular Approach
Step 1 Prepara le seguenti tre colonne
Colonna 1 - Gli eventi mutuamente esclusivi Ai,
per cui si vuole calcolare la probabilità a
posteriori
Colonna 2 - Le probabilità a priori degli eventi
Ai
Colonna 3 - Le probabilità condizionate del
nuovo evento B dato ogni evento Ai,
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
A1
0.7
0.9
A2
0.3
0.2
sum
1
8
Tabular Approach
Step 2 Nella Colonna 4 otteniamo le probabilità
congiunte. Moltiplicando le probabilità a priori per
le probabilità condizionate
P(Ai IB) = P(Ai) P(B|Ai).
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
Joint
probabilities
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
A1
0.7
0.9
0.63
A2
0.3
0.2
0.06
sum
1
9
Tabular Approach
Step 3 Sommando le probabilità congiunte
otteniamo la probabilità di B
P(B)=P(B∩A1)+P(B ∩ A2)+….+P(B ∩ An)
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
Joint
probabilities
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
A1
0.7
0.9
0.63
A2
0.3
0.2
0.06
sum
1
P(B)=0.69
10
Tabular Approach
Step 4 Infine nell’ultima Colonna, la Colonna 5,
otteniamo le probabilità a posteriori
P ( Ai | B ) =
P ( Ai ∩ B )
P( B)
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
Joint
Posterior
probabilities
probabilities
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
P(Ai|B)
A1
0.7
0.9
0.63
0.913
A2
0.3
0.2
0.06
0.087
sum
1
P(B)=0.69
11
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
Joint
Posterior
probabilities
probabilities
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
P(Ai|B)
A1
A2
0.7
0.3
0.9
0.2
0.63
0.06
0.913
0.087
sum
1
P(B)=0.69
1
Esercizio
Una ditta acquista fiale da tre diversi fornitori:
•il 65% dal fornitore B1, con difettosità del 5%
•
•il 25% dal fornitore B2, con difettosità del 10%
•il 10% dal fornitore B3, con difettosità del 25%
Qual è la probabilità di ricevere una fiala difettosa?
12
events
Prior
Conditional
Joint
conditional
probabilities probabilities probabilities probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
A1
0.65
0.05
A2
0.25
0.10
A3
0.10
0.25
sum
1
events
P(Ai∩B)
P(Ai|B)
Prior
Conditional
Joint
conditional
probabilities
probabilities
probabilities probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
A1
0.65
0.05
0.0325
A2
0.25
0.10
0.025
A3
0.10
0.25
0.025
sum
1
P(Ai|B)
0.0875
13
events
Prior
Conditional
Joint
conditional
probabilities probabilities probabilities probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
P(Ai|B)
A1
0.65
0.05
0.0325
0.39
A2
0.25
0.10
0.025
0.305
A3
0.10
0.25
0.025
0.305
sum
1
Soluzione
P(B1)+P(B2)+ P(B3)=1
0.0875
Ω=B1∪B2∪B3
B1
p[A/B1]
B2
p[A/B2]
D= fiale difettosa
A
A
• Bn
p[A/Bn]
A
P(D)=P(D|B1)P(B1)+P(D|B2)P(B2)+P(D|B3)P(B3)=
=0.5×0.65+ 0.1×0.25 +0.25×0.10=
=0.325+0.025+0.025=0.375
28
14
Ricapitolando:
Il 23% di tutti i giocatori di rugby risulta positivo
al test, ma soltanto il 9.5% usa davvero steroidi
anabolizzanti. Quindi la probabilità che un
giocatore che è risultato positivo al test usi
davvero steroidi anabolizzanti è:
P(S|T) = P(steroidi | test positivo) =
= 0.095/(0.095 + 0.135) =
= 0.095/0.23 = 41.3%
29
Teorema di Bayes
Notate come abbiamo appena calcolato P(S|T) (=
probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che è
risultato positivo al test), a partire dalla conoscenza di
P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta
che usa gli steroidi), di P(T|S) (= probabilità che il test sia
positivo per un atleta che non usa gli steroidi), e di P(S).
Nel nostro esempio:
P(T|S) = 0.95, P(T|S) = 0.15, P(S) = 0.1, P(S) = 0.9
P(S|T) = (0.95∙0.1)/(0.95∙0.1+0.15∙0.9) = 0.4130
30
15
Teorema di Bayes
Notate come abbiamo appena calcolato P(S|T) (=
probabilità che un atleta usi gli steroidi dato che è
risultato positivo al test), a partire dalla conoscenza di
P(T|S) (= probabilità che il test sia positivo per un atleta
che usa gli steroidi), di P(T|S) (= probabilità che il test sia
positivo per un atleta che non usa gli steroidi), e di P(S).
Nel nostro esempio:
P(T|S) = 0.95, P(T|S) = 0.15, P(S) = 0.1, P(S) = 0.9
P(S|T) = (0.95∙0.1)/(0.95∙0.1+0.15∙0.9) = 0.4130
Esercizio
Un'azienda produttrice di componenti
elettronici per la telefonia mobile sottopone
a un controllo ogni pezzo prodotto. Se il
pezzo supera il controllo, viene messo in
commercio.
Sapendo che ha superato il controllo, qual è
la probabilità NON sia difettoso?
16
Esercizio
Supponiamo di conoscere le seguenti probabilità:
La probabilità che il pezzo sia difettoso è 0.1;
Sapendo che il pezzo è difettoso, la probabilità che
non superi il controllo, è 0.9.
Sapendo che il pezzo non è difettoso, la probabilità
che superi il controllo, è 0.8.
Si calcoli la probabilità che il pezzo superi il controllo.
Sapendo che ha superato il controllo, qual è la
probabilità NON sia difettoso?
Esercizio
P(T ) = P(T | D ) × P(D ) + P(T | D )× P(D ) = (1 − 0.9) × 0.1 + 0.8 × 0.9 =
= 0.01 + 0.72 = 0.73
P( D | T ) =
P (T | D ) × P (D ) 0.72
=
= 0.987
P (T )
0.73
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Esercizio
Uno studente ha appena seguito un corso di
statistica; si considerino i seguenti eventi:
Lo studente ha preso un buon voto
all'esame.
Lo studente ha gradito il corso.
Esercizio
Supponiamo che:
i. la probabilità che, nell’ipotesi che abbia gradito il
corso, lo studente prenda un buon voto all’esame,
è P(B|A) = 0,7;
ii. la probabilità che lo studente abbia gradito il
corso è P(A) =0,4;
iii. la probabilità che lo studente abbia preso un
buon voto, nell’ipotesi che non abbia gradito il
corso è P(B|Ac)= 0,4.
Si calcoli la probabilità che lo studente abbia
preso un buon voto all'esame.
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Esercizio
C
A= “gradito il corso” A =”NON gradito il corso”
B =”lo studente ha preso un buon voto”
Events
A
Prior prob Conditiona Joint prob Posterior
P(Ai)
l prob
P(Ai∩B)
prob
P(B|Ai)
P(Ai|B)
A=”gradito
il corso”
0.4
0.7
AC=”non
gradito il
corso”
0.6
0.4
Esercizio
C
A= “gradito il corso” A =”NON gradito il corso”
B =”lo studente ha preso un buon voto”
Events
A
Prior prob Conditiona Joint prob Posterior
P(Ai)
l prob
P(Ai∩B)
prob
P(B|Ai)
P(Ai|B)
A=”gradito
il corso”
0.4
0.7
0.28
AC=”non
gradito il
corso”
0.6
0.4
0.24
0.52
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Esercizio
C
A= “gradito il corso” A =”NON gradito il corso”
B =”lo studente ha preso un buon voto”
Events
A
A=”gradito
il corso”
Prior prob Conditiona Joint prob Posterior
P(Ai)
l prob
P(Ai∩B)
prob
P(B|Ai)
P(Ai|B)
0.4
0.7
0.28
0.5385
AC=”non
0.6
0.4
0.24
gradito il
corso”
0.4615
0.52
Esercizio
In un caso di omicidio ci sono due sospetti, A e B,
considerati dalla polizia “ugualmente sospettati”.
Sul luogo del delitto sono stati rinvenuti dei capelli
non appartenenti alla vittima, e quindi appartenenti
al colpevole. La prova del DNA sui capelli e sui
due sospetti ha portato alla conclusione che il DNA
ritrovato potrebbe appartenere all’80% ad A e al
50% a B. Qual è la probabilità che sia A il
colpevole alla luce dell’analisi del test sul DNA? E
che sia B?
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Esercizio
P(A) = P(B) = 0.5
P(test|A) = 0.80
P(test|B) = 0.50
Allora:
P(test|A)P(A) + P(test|B)P(B) =
0.8 x 0.5 + 0.5 x 0.5 = 0.65
P(A|test) = 0.8x0.5/0.65 = 0.6
P(B|test) = 0.5x0.5/0.65 = 0.4
Tabular Approach
events
Prior
Conditional
Joint
Posterior
probabilities
probabilities
probabilities
probabilities
Ai
P(Ai)
P(B| Ai)
P(Ai∩B)
P(Ai|B)
A1
0.5
0.8
0.4
0.6
A2
0.5
0.5
0.25
0.4
sum
1
P(B)=0.65
21
