MATEMATICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE
V APPELLO A. A. 2010/11 PROVA SCRITTA DEL 15-02-2012
1-(Vale 4 punti) Una popolazione animale è costituita da due specie, la specie A e la
specie B.
a) Nel 2010 la popolazione consisteva di 3525 individui e la percentuale
della specie B era del 20%. Calcola il numero di individui di ciascuna
specie.
b) Nel 2011 la popolazione è costituita da 4100 individui e la percentuale
di individui della specie B è diminuita del 15% rispetto al 2010. Quanti
individui della specie A erano presenti nella popolazione nel 2011?
SOLUZIONE: a) 3525(20/100)= 705 numero di individui della specie B, dunque
3525-705=2820 numero individui della specie A; b) essendo la percentuale di
individui della specie B diminuita del 15% rispetto all’anno precedente, avremo per B
la seguente percentuale 20%-15%20%=17%, dunque la specie A ha nel 2011 è
presente all’83%, per cui il numero di individui della specie A è 83%(4100)= 3403.
2-(Vale 4 punti) Determina l’espressione analitica di una funzione f(x) continua e
definita solo per x>-2, decrescente e avente per immagine la semiretta (0, +∞).
SOLUZIONE: la funzione più semplice a cui si può pensare è, ad esempio,
f(x)=1/sqr(x+2), essa infatti è definita per x+2>0, è positiva, decrescente in quanto
reciproco di una funzione positiva crescente, è continua e al tendere di x a –2 da
destra tende a +∞, mentre per x che tende a +∞, f(x) tende a 0, dunque ha per
immagine la semiretta (0, +∞).
3- (Vale 4 punti) Hai dimenticato la tua password di accesso ad un sito internet. Sai
che la password è formata da 6 lettere (di un alfabeto di 21 lettere) e sai che le lettere
della tua password sono tutte diverse tra loro, tranne una che è ripetuta due volte (per
cui compare tre volte nella password, ma non ricordi in quali posizioni).
a) Quante sono le password che soddisfano a questi requisiti?
b) Qual è la probabilità che la tua password inizi per aaa?
SOLUZIONE: a) Ci sono 21 modi per scegliere la lettera che si ripete tre volte e, per
ciascuno di questi, ci sono 20(19)(18) modi per associare altre tre lettere diverse da
quella ripetuta, infine le posizioni della lettera che si ripete tre volte all’interno della
password sono corrispondenti al coefficiente binomiale 6(5)(4)/3!=20, dunque in
totale le password che soddisfano le condizioni richieste sono
(20)(21)(20)(19)(18)=2.872.800; b) si osserva che la probabilità di scegliere a caso la
lettera a è 1/21 e, una volta scelta a, si ha probabilità 1/20 di scegliere a caso tra le 20
configurazioni quella che ha la lettera a ripetuta nei primi tre posti, dunque la
probabilità è (1/21)(1/20)= 1/420.
Si poteva anche calcolare il numero di password “favorevoli” che sono 20(19)(18) e
fare il classico rapporto tra numero casi favorevoli e numero casi possibili, ottenendo
ovviamente lo stesso risultato.
4- (Vale 8 punti) ) Sia f(x)= (4arctanx+π) / (arctanx+ 4)
Determina:
a) insieme di definizione
b) segno di f(x)
c) limiti ai bordi dell’insieme di definizione
d) monotonia della funzione
e) immagine
Disegna infine il grafico di f(x).
SOLUZIONI: a) la funzione f(x) è definita su tutto R, essendo la funzione arctanx
definita su tutto R e assumendo valori limitati tra -π/2 e π/2, per cui arctanx+4 è
ovviamente sempre diversa da 0 e sempre positiva; b) il segno di f(x) è dunque
determinato dal segno del numeratore, per f(x)>0 per x>-1; c) per x che tende a -∞
f(x) tende a (4(-π/2)+ π)/(-π/2+4)= -2π/(8-π), analogamente per x che tende a +∞, f(x)
tende a (4(π/2)+ π)/(π/2+4)=6π/(8+π); d) f’(x)= (16-π)/[(1+x2)(arctanx +4)2] >0, per
cui f(x) è crescente; poiché la funzione è continua e crescente, inoltre per i limiti
calcolati, l’immagine di f(x) è data dall’intervallo aperto (-2π/(8-π), 6π/(8+π))
5-(Vale 6 punti) In una data popolazione un allele dominante è responsabile di una
certa caratteristica C. Sia 0.2 la frequenza di tale allele nella popolazione e
supponiamo che la popolazione sia in equilibrio di Hardy-Weinberg.
a) Qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione non
abbia la caratteristica C?
b) Qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione abbia la
caratteristica C sapendo che la madre non ce l’ha?
c) Qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione non
abbia la caratteristica C, sapendo che il figlio ce l’ha?
SOLUZIONE: a)poiché l’allele recessivo a ha frequenza 0.8, il genotipo aa , che
corrisponde al fenotipo privo della caratteristica C, ha probabilità (0.8)2 = 0.64;
b) Si deve calcolare P(FC|MNC), dove si è indicato con FC l’evento “figlio con
caratteristica C”, e con MNC l’evento “madre non C”, affinchè il figlio abbia C il
padre dovrà avere C e quindi essere omozigote per l’allele dominante A, oppure
essere eterozigote, e in quest’ultimo caso il figlio risulterà C con probabilità 1/2,
avremo dunque
P(FC|MNC)= q2 (p2 + 2pq(1/2))/q2 = p= 0.2
c) Indicando con PNC l’evento “Padre non C” , si deve calcolare
P(PNC|FC) = q2 (p2 + 2pq(1/2))/( p2 + 2pq)= q2 /(1+q) = 0.64/ 1.8 = 16/45
6- (Vale 6 punti) Assegnata la funzione f(x)=c/x2 per 1≤x≤3, f(x)=0 altrimenti
a) determinare il valore da attribuire alla costante c affinchè f(x) possa
rappresentare una funzione di densità di probabilità
b) Sia X una v.a. che ha f(x) come funzione di densità di probabilità determina la
corrispondente funzione di ripartizione F(x)
c) Calcola la probabilità P(X≥2)
SOLUZIONE:a) integrando f(x) tra 1 e 3 e ponendo l’integrale uguale a 1, si ottiene
una primitiva –c/x , si calcola in 3 ottenendo –c/3 a cui si sottrae il valore di –c/x
calcolata in 1, vale a dire –c, da cui -c/3 + c=1 e quindi c=3/2;
b) la funzione di ripartizione F(x)=0 per x<1, F(x)= 3/2(1-1/x) per 1≤x≤3, F(x)=1 per
x>3; P(X≥2)=F(3)-F(2) = 1- 3/4 = 1/4
