Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.1
SECONDO PARZIALE
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −3 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Si denoti con [a]n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in
[−4]5 ∩ [2]7 . (punti 4 )
2.
(i): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 1040. (punti
5)
(ii): Trovare due interi s, t ∈ Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2925 e 1040
come un multiplo di 2925 più un multiplo di 1040). (punti 5 )
(iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 )
3.
(i): Calcolare il quoziente e il resto tra −79 e 13, e poi tra −79 e −13. (punti 6 )
(ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 401 è un numero primo. (punti 6 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 20 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −15/18, 3/16, −8/13, 4/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 4/9 in base 3. (punti 6 )
1
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.1
Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Scrivere e verificare l’uguaglianza
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
1
n(n + 1)(n + 2)
3
quando n = 3 e n = 5. (punti 4.)
(ii): Dimostrare che per n ≥ 1 si ha
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
1
n(n + 1)(n + 2). (punti 8)
3
2. Sia A = N × N l’insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da
(a, b)R(c, d)
se e solo se a + 2d = b + 2c.
(i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.)
(ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (1, 3). (punti 4.)
(iii): Determinare l’insieme {(a, b) ∈ A | (a, b)R(0, 0)}. (punti 4.)
3.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −3 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 1040.
(punti 4 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 20 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −15/18, 3/16, −8/13, 4/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 4/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.2
SECONDO PARZIALE
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − 2n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −4 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Si denoti con [a]n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in
[−3]5 ∩ [2]7 . (punti 4 )
2.
(i): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2106 e b := 1274. (punti
5)
(ii): Trovare due interi s, t ∈ Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2106 e 1274
come un multiplo di 2106 più un multiplo di 1274). (punti 5 )
(iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 )
3.
(i): Calcolare il quoziente e il resto tra −79 e 12, e poi tra −79 e −12. (punti 6 )
(ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 419 è un numero primo. (punti 6 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 5 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 18 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −16/18, 13/16, −9/13, 8/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 7/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.2
Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Scrivere e verificare l’uguaglianza
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n =
1
(n − 1)n(n + 1)
3
quando n = 3 e n = 5. (punti 4.)
(ii): Dimostrare che per n ≥ 2 si ha
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1)n =
1
(n − 1)n(n + 1). (punti 8)
3
2. Sia A = N × N l’insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da
(a, b)R(c, d)
se e solo se a + 3d = b + 3c.
(i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.)
(ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (1, 4). (punti 4.)
(iii): Determinare l’insieme {(a, b) ∈ A | (a, b)R(0, 0)}. (punti 4.)
3.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − 2n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −4 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2106 e b := 1274.
(punti 4 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 5 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 18 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −16/18, 13/16, −9/13, 8/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 7/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.3
SECONDO PARZIALE
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − 3n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −6 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Si denoti con [a]n la classe resto di a nella divisione per n. Si determinino tre numeri negativi in
[−1]5 ∩ [2]7 . (punti 4 )
2.
(i): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 2080. (punti
5)
(ii): Trovare due interi s, t ∈ Z tali che d = as + bt (ossia scrivere il massimo comun divisore tra 2925 e 2080
come un multiplo di 2925 più un multiplo di 2080). (punti 5 )
(iii): Determinare il minimo comune multiplo tra a e b. (punti 2 )
3.
(i): Calcolare il quoziente e il resto tra −81 e 13, e poi tra −81 e −13. (punti 6 )
(ii): Utilizzando il crivello di Eratostene stabilire se 421 è un numero primo. (punti 6 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 8 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 24 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −5/18, −13/16, 8/13, 4/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 5/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.3
Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
Gli studenti della laurea quadriennale svolgono gli esercizi 1,2,3,5 e gli
studenti della laurea quinquennale gli esercizi 1,2,3,4
1.
(i): Scrivere e verificare l’uguaglianza
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
1
n(n + 1)(n + 2)
3
quando n = 4 e n = 5. (punti 4.)
(ii): Dimostrare che per n ≥ 1 si ha
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
1
n(n + 1)(n + 2). (punti 8)
3
2. Sia A = N × N l’insieme delle coppie ordinate di numeri naturali e sia R la relazione definita da
(a, b)R(c, d)
se e solo se a + 5d = b + 5c.
(i): Stabilire se la relazione R è o non è riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. (punti 4.)
(ii): Scrivere cinque elementi di A in relazione con (3, 1). (punti 4.)
(iii): Determinare l’insieme {(a, b) ∈ A | (a, b)R(0, 0)}. (punti 4.)
3.
(i): Determinare tutti i numeri naturali n ∈ N affinché n3 − 3n + 4 abbia resto 5 nella divisione per 7. (punti
4)
(ii): Sia a ∈ Z con a ≡ −6 mod 7. Determinare il resto di a3 + a nella divisione per 7. (punti 4 )
(iii): Utilizzando l’algoritmo di Euclide calcolare il massimo comune divisore d tra a := 2925 e b := 2080.
(punti 4 )
4.
(i): Vengono lanciati due dadi a 6 facce, qual è la probabilità che esca il numero 4 almeno una volta. (punti
6)
(ii): Vengono lanciati due dadi da 6 e da 24 facce rispettivamente, qual è la probabilità che in entrambi i dadi
esca un numero multiplo di 3. (punti 6 )
5.
(i): Ordinare dal più grande al più piccolo le frazioni −5/18, −13/16, 8/13, 4/15. (punti 6 )
(ii): Scrivere in forma decimale (ossia nella forma del tipo 1/4 = 0.25), la frazione 5/9 in base 3. (punti 6 )
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.1
Prova teorica–Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Enunciare il Teorema fondamentale dell’aritmetica. (punti 4.)
2. In figura tratteggiare l’insieme ((A \ B) ∪ (C ∩ A)) \ (B ∩ A ∩ C). (punti 4.)
A
B
C
3. Si consideri l’insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente “diagramma a frecce”. Dire se
la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l’insieme {a ∈ A | 2Ra}(punti 4 )
2
3
1
4
6
5
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.1
Prova teorica–Secondo parziale
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Siano a, b ∈ Z numeri interi. Dimostrare che se 3 divide a e 3 divide b, allora 3 divide a + b. (punti 4.)
2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti 4 )
(i): Se M CD(a, b) è dispari, è vero che a e b sono entrambi dispari?
(ii): Se mcm(a, b) è dispari, è vero che a e b sono entrambi dispari?
(iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui M CD(a, b) 6= 1, M CD(b, c) 6= 1 e M CD(a, c) = 1?
3. Usando l’algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n ≥ 2, si ha M CD(n, 6n + 2) = 2 per ogni n pari. (punti
4)
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.2
Prova teorica–Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Enunciare il Teorema fondamentale dell’aritmetica. (punti 4.)
2. In figura tratteggiare l’insieme ((C \ B) ∪ (A ∩ C)) \ (B ∩ C ∩ A). (punti 4.)
A
B
C
3. Si consideri l’insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente “diagramma a frecce”. Dire se
la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l’insieme {a ∈ A | 2Ra}(punti 4 )
2
3
1
4
6
5
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.2
Prova teorica–Secondo parziale
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Siano a, b ∈ Z numeri interi. Dimostrare che se 4 divide a e 4 divide b, allora 4 divide a + b. (punti 4.)
2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti 4 )
(i): Se M CD(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari?
(ii): Se mcm(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari?
(iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui M CD(a, b) 6= 1, M CD(b, c) 6= 1 e M CD(b, ac) = 1?
3. Usando l’algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n ≥ 2, si ha M CD(n, 5n + 2) = 2 per ogni n pari. (punti
4)
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.3
Prova teorica–Appello d’esame
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Enunciare il Teorema fondamentale dell’aritmetica. (punti 4.)
2. In figura tratteggiare l’insieme ((B \ A) ∪ (C ∩ B)) \ (A ∩ B ∩ C). (punti 4.)
A
B
C
3. Si consideri l’insieme A := {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e la relazione R definita dal seguente “diagramma a frecce”. Dire se
la relazione è riflessiva, transitiva, simmetrica, antisimmetrica. Determinare l’insieme {a ∈ A | 2Ra}(punti 4 )
2
3
1
4
6
5
Istituzioni di Matematiche – 12/01/2016 – Ver.3
Prova teorica–Secondo parziale
Nome e cognome
Matricola
X se Quadriennale
Risposte non motivate non verranno giudicate
1. Siano a, b ∈ Z numeri interi. Dimostrare che se 5 divide a e 5 divide b, allora 5 divide a + b. (punti 4.)
2. Dire se ciascuno dei seguenti enunciati è vero o falso. (Come sempre le risposte vanno motivate. punti 4 )
(i): Se M CD(a, b) è pari, è vero che a e b sono entrambi pari?
(ii): Se mcm(a, b) non è divisibile per due, è vero che a e b sono entrambi dispari?
(iii): Ci sono tre numeri a, b e c per cui M CD(a, b) 6= 1, M CD(b, c) 6= 1 e M CD(a + c, b) = 1?
3. Usando l’algoritimo di Euclide dimostrare che per ogni n ≥ 2, si ha M CD(n, 4n + 2) = 2 per ogni n pari. ( punti
4)
