Circuiti Magnetici
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Circuiti Magnetici ELETTROMAGNETISMO • Quantità basilari: SORGENTI, CAMPI (La sorgente g di un campo p elettromagnetico g è invariabilmente una carica elettrica, a riposo o in moto) • Regole Operative Operative: Calcolo Vettoriale • Postulati Fondamentali: EQUAZIONI DI MAXWELL Equazioni di Maxwell Forma Differenziale Forma Integrale g ∙ ̅ ∙ L. Faraday L. Ampére ∙ ∙ ∙ Φ ∙ L Gauss L. ∙ 0 ∙ L. Gauss 0 Teorema di Stokes: A dS A dl S Teorema della divergenza: l A dV A dS V S IPOTESI O ES S SUI MEZZ MEZZI M MATERIALI E L CONTINUI - OMOGENEI - ISOTROPI - LINEARI Caratterizzati dalle seguenti grandezze scalari: conduttività [S/m] permettività [F/m] permeabilità [H/m] QUANTITA' DI BASE CORRENTE ELETTRICA i = dqq / dt [[A]] DENSITA' DI CORRENTE J • Misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità di superficie p normale alla direzione del flusso di corrente CAMPI ELETTRICO MAGNETICO Intensità Di Campo Elettrico E [V/m] Densità di Flusso Elettrico D [C/m2] Induzione Magnetica B [T=V·s/m2] Intensità di Campo Magnetico H [A/m] RELAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO Campo Equazione costitutiva Campo di corrente Campo elettrico Campo magnetico costanti universali J σE D εE B μH simbolo valore unità velocità della luce nel vuoto c 3 108 m/s permeabilità bilità del d l vuoto t 0 4 10-77 H/ H/m permettività del vuoto p 0 8,854 , × 10-12 F/m 1 m c 299 792 458 s μ0ε0 RELAZIONI MISTE FRA GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE H J H dl I l Legge di Ampére REGOLA DI MAXWELL • Il segno positivo della corrente è quello di avanzamento dei una vita destrogira g che si avvita nel verso associato alla linea chiusa FLUSSO DI INDUZIONE: B d S S Applicando ll'integrale integrale ad una superficie chiusa: BdS 0 s ((Legge gg di Gauss)) B ds B E' SOLENOIDALE E E Applicando il teorema della divergenza: B 0 • Di Diverse s superfici s fi i che h hanno h lo l stesso st ss contorno, t hanno h lo l stesso st ss flusso fl ss concatenato Si parla di flusso concatenato con una linea chiusa Campo Magnet Magnetico co F qv B i B I v q F forza indotta pollice (pesoforza) indice (i corrente) B I I B 2 r H 2 r B H mano destra medio (m campo magnetico) Legge di Biot-Savart Induttanza Tubo di flusso Solenoide infinitesimo d B d S BdS d C Nd NBdS Flusso concatenato con N spire Applicando l d lla legge l di d Ampére: é H dl N dI Forza Magneto motrice (FMM) l U m H dl l Tensione Magnetica Induttanza d C N L NBdS dI Hdl dS 2 B dS 2 d C 2 N N N H dl dU m dl Solenoide infinitesimo dΦc dS μ [ H ] Permeanza magnetica Pm dU m dl dU m 1 dl Rm [ H 1 ] Riluttanza Magnetica dΦc μ dS U m RmΦ Legge gg di Hopkinson p Corrispondenza tra grandezze elettriche l i h e magnetiche i h Circuiti Elettrici Grandezza Circuiti magnetici Simbolo Grandezza Simbolo FMM [Aspire] Forza elettromotrice E [V] Forza magnetomotrice T nsi n elettrica Tensione l tt i V [V] T nsi n m Tensione magnetica n ti Corrente I [A] Flusso [Wb] R i Resistenza R [] [ ] Ril Riluttanza Rm [H-11] Conduttanza G [S] Permeanza Pm [H] Campo Elettrico E [V/m] Campo magnetico Densità di corrente J [A/m2] Induzione magnetica Conducibilità elettrica [(m)-1] Permeabilità magnetica Um [Aspire] [Aspi ] H [A/m] B [T=Wb/m2] [H/m] E Esempi i di iinduttanze d tt MEZZI MATERIALI (Normali e Anormali) Mezzi Normali: •DIAMAGNETICI r 1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …) •PARAMAGNETICI ARAMAGNE I I r > 1 (Mg, Al, Mn, …) •AMAGNETICI = 0 = 4π·10-7 H/m Permeabilità Magnetica relativa di alcuni materiali diamagnetici, paramagnetici e ferromagnetici (all’induzione di 0,002 T) M Materiali i li Di Diamagnetici i i M Materiali i li P Paramagnetici i i Materiali M i li F Ferromagnetici i i (B=0,002 T) r Materiale r Materiale r Materiale Rame 1-1010-6 Alluminio 1+2210-6 Ferro 200 Argento 1-2510-6 Platino 1+30010-6 Lamiere al Si 1000 Bismuto 1-1710-6 Aria 1+0,610-6 Nichel 100-600 Acqua 1-910-6 Permalloy* 8000 Mumetal** Mumetal 20000 * Lega Ferro-Nichel ** Lega Ferro, Nichel, Molibdeno, Silicio, Rame MEZZI MATERIALI Mezzi Normali: •DIAMAGNETICI r 1 (Cu, Ag, Zn, Pb, …) •PARAMAGNETICI ARAMAGNE I I r > 1 (Mg, Al, Mn, …) •AMAGNETICI = 0 = 4π·10-7 H/m Caratteristiche di magnetizzazione per i materiali diamagnetici (μD) paramagnetici (μP) e per il vuoto (μ0)): MEZZI MATERIALI Mezzi Anormali: •FERROMAGNETICI r >> 1 (Fe, Ni, …) μr è funzione del campo magnetico e quindi dipende dal punto di lavoro Magnetizzazione di un provino N I Curva di prima magnetizzazione Ciclo di Isteresi B = f (H) NON LINEARE B tan-1μ0 Br -Hmax SATURAZIONE -HC HC Hmax H -Br HC: forza coercitiva Br: induzione residua UN MATERIALE FERROMAGNETICO, ASSOGGETTATO AD UN CICLO DI ISTERESI,, ASSORBE UN LAVORO PER UNITA' DI VOLUME PARI ALL'AREA DEL CICLO DI ISTERESI. Dimostrazione C C d C Un incremento del flusso concatenato, dà luogo a: dL I d C N I d H l dB A H dB V dL dLvol H dB incremento del lavoro speso per unità di volume V Lvol H dB incremento di lavoro volumico speso nel ciclo Poiché H e B sono variabili di stato stato, tale lavoro non si ritrova sotto forma di energia magnetica accumulata nel materiale, ma viene convertito in CALORE DI ISTERESI. S è tro Si trovato ato sp sperimentalmente r m nta m nt che ch il lavoro a oro massico mass co assorbito in un ciclo è: W L kist B 3 m n max Formula di Steinmetz kist : dipende p dal materiale n : 1,8 2,2 DOLCI (Cicli di isteresi stretti) MATERIALI FERROMAGNETICI DURI (Cicli di isteresi larghi) Cicli di Isteresi B B M H Materiale ferromagnetico dolce M H Materiale ferromagnetico duro MATERIALI DOLCI Eccetto che per le perdite per isteresi, il comportamento può essere descritto mediante la Curva normale di magnetizzazione: magnetizzazione l luogo d dei punti vertici d dei cicli l di d isteresi simmetrici CURVA NORMALE DI MAGNETIZZAZIONE B GINOCCHIO H Es: ACCIAIO FUSO B [Wb / m2] H [A / m ] r 0,10 , 70 1140 0,20 90 1780 , 0,30 100 2400 0,40 120 2660 0,50 140 2860 0,60 170 2820 3500 0,80 270 2370 3000 1,00 400 2000 2500 1,20 620 1550 1,40 1200 930 1000 1,60 3500 365 500 1,80 10 000 144 0 2,00 25 000 64 Curva di permeabilità magnetica relativa in funzione del campo H per l’acciaio fuso 2000 mr 1500 0 1 2 3 logH 4 5 CIRCUITI MAGNETICI • Un bipolo induttivo e' un componente con 2 morsetti che non dà luogo a dissipazione di energia ed è idoneo ad immagazzinare energia sotto forma di energia magnetica nel suo interno e nel mezzo circostante • Attraversato da corrente, genera linee magnetiche chiuse che costituiscono il flusso magnetico • Lo spazio entro cui si chiudono le linee magnetiche rappresenta il circuito magnetico B N spire I CIRCUITI MAGNETICI • • Il flusso magnetico è quindi prevalentemente, ma non totalmente, confinato all all’interno interno del nucleo. nucleo Un circuito magnetico in senso lato è tutto lo spazio entro il quale si svolgono le linee del campo magnetico prodotte dalle correnti che scorrono in un sistema di conduttori lg Giogo I1 I2 I2 N2 N1 d1 lc d2 S I1 Colonna S CIRCUITO MAGNETICO INERTE • E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DOLCI Giogo g I1 I2 Per ogni tubo di flusso: N2 N1 d1 d2 S Se r >> 1 si p può immaginare che i flussi siano canalizzati nel nucleo ferromagnetico. E' un E un'ipotesi ipotesi semplificativa. semplificativa Colonna Um = Rm = Pm Um 1 l Rm [ H 1 ] μ fe S La riluttanza del nucleo sarà la somma delle riluttanze dei singoli tronchi di tubo di flusso 1 2lg 2lc Rm 2 Rmg 2 Rmc [ H 1 ] μ fe S H dl U m Rm N1 I1 N 2 I 2 N1 I1 N 2 I 2 ( 2 Rmg 2 Rmc ) Rm CIRCUITO MAGNETICO INERTE Sg I1 1 N1 Sg 2 Per ogni superficie chiusa: 3 t I2 N2 Sc lg lg = 0 lc (Legge di Gauss) Per ogni percorso chiuso: Um = Rm = I • SI RICONOSCE UN'ANALOGIA TRA CIRCUITI ELETTRICI E CIRCUITI MAGNETICI • LE DIFFERENZE SOSTANZIALI SONO: In un circuito magnetico con f.m.m. concentrata il flusso varia da sezione a sezione N n esistono Non sist n bu buoni ni isolanti is l nti magnetici m n tici Analogia tra circuiti elettrici e circuiti magnetici Circuiti Elettrici Forza elettromotrice Tensione elettrica Corrente Resistenza Conduttanza Legge di Ohm Legge di Kirhhoff alle correnti Legge di Kirhhoff alle tensioni E [V] V [V] I [A] R [] G [S] Σ Σ 0 Σ Circuiti magnetici Forza magnetomotrice NI [Aspire] Tensione magnetica [Aspire] p Flusso Φ [Wb] Riluttanza [H-1] Permeanza [H] Legge di Hopkinson Φ Legge di Gauss ΣΦ 0 Legge di Ampere Σ Σ Φ I1 Sg 1 N1 ESEMPIO Sg 2 I2 3 t Rmc1 N2 lc Sc lg lc R mc1 ;R c1 Sc R mg1 1 N1I1 1 lg 1 lg g1 S g ;R Rmg3 Rmg1 2 R’mc2 Rmt R’mc2 Rmg1 3 Rmc3 N2I2 Rmg3 lc 1 1 lc t ;R' mc 2 ; mc 3 c 3 Sc 2 c 2 Sc 1 mg 3 1 lg g3 Sg ;R t 0 St 1 mt 1 2 3 0 R mc1 2R mg1 1 2R ' mc 2 R m t 2 N1I1 R mc3 2R mg 3 3 2R 'm c 2 R m t 2 N 2 I 2 E' un sistema non lineare PROBLEMI • PROBLEMA DIRETTO: Trovare le amperspire necessarie a generare un assegnato flusso ne nei d diversi vers tratt tratti (es (es: al traferro) • PROBLEMA INVERSO: Trovare il flusso nei diversi tratti (es: al t f traferro) ) note t le l amperspire i di eccitazione it i ELETTROMAGNETI: RELE', IMPIANTI DI SOLLEVAMENTO ROTTAMI, … ROTTAMI Sono dispositivi con funzioni sia di protezione che di manovra CIRCUITI PER MAGNETI PERMANENTI CIRCUITI MAGNETICI PER MACCHINE ELETTRICHE: Trasformatore, Macchine Asincrone, … IPOTESI SUI CIRCUITI MAGNETICI • Si trascurano gli effetti di bordo • La lunghezza di ciascun tratto si considera coincidente con la linea media • Il nucleo di materiale ferromagnetico g viene considerato un tubo di flusso • L'induzione viene considerata costante tratto per tratto PROBLEMA DIRETTO DIRETTO:: noto ill flusso fl ricavare le l amperspire Esempio: p L'ELETTROMAGNETE S fe Rmfe t I N t NI St t Noto t Bt St Rmt NI t R m fe R m t Bt Ht Hp: il flusso è lo stesso in tutte le sezione trasversali 0 t B fe S fe Si legge l PROBLEMA DIRETTO DIRETTO:: noto ill flusso fl ricavare le l amperspire Caratteristica normale di magnetizzazione delle lamiere al silicio: 2.5 2 1.5 Bfe [T] 1 0.5 0 0 20000 40000 Hfe [A/m] 60000 B fe fef H fe R m fef PROBLEMA INVERSO INVERSO:: note t lle amperspire i ricavare i il flusso fl Esempio: L'ELETTROMAGNETE L ELETTROMAGNETE S fe Rmfe t I N NI t Rmt St NI t R m ffe R m t PROBLEMA INVERSO INVERSO:: note t lle amperspire i ricavare i il flusso fl Esempio: L'ELETTROMAGNETE L ELETTROMAGNETE GRAFICAMENTE GRAFICAMENTE: 3 Caratteristica di magnetizzazione totale del circuito 2 V 1 NI NI 1 NI 2 NI V NI 3 ESEMPIO Calcolare il coefficiente di autoinduzione della bobina di N = 1000 spire I a a Hp: non ci sono flussi dispersi N t l l B 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 H 180 250 400 700 2300 7500 Wb/m2 As/m Tabella di magnetizzazione del ferro al silicio Rmfe t = 3 mm a = 20 mm l = 50 mm NI I=2A t Rmt lf = 4l = 200 mm = 0,2 m S = a·a = 400 mm2 = 4·10-44 m2 = 4·· 10-7 H/m NI = 2000 A As NI H fe l fe B fe 0 t 0,2 H f 2387,32 B fe Bfe Hfe ( )t (NI) 06 0,6 180 1468 39 1468,39 0,8 250 1959,86 1,0 400 2467,32 1,2 700 3004,78 14 1,4 2300 3802 25 3802,25 2000 1959,86 B 0,2 0,8 0,8158 2467,32 1959,86 1,6 7500 5319,71 B S 3,2633 10 4 Wb I Interpolando: l d N L 0,163 H 163 mH I ESEMPIO Calcolare il flusso magnetico nella barretta sul fondo della struttura nell’ipotesi che il g e flusso sia confinato nel nucleo magnetico che lo stesso lavori nel tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione e abbia r 10000 1A 0,01 m 0,1 m 0 05 m 0,05 0,01 m N=100 0,01 m 01m 0,1 0,01 m 0,0025 m 0,005 m • Lunghezza media della U: lU = (0,045x2)+0,09 = 0,18 m Lunghezza g dei traferri: f ltraf = 0,005 , m •L • Lunghezza della barretta: lbarr = 0,09 m • Sezioni trasversali: Ferro: Sf = (0,01)x(0,01) = 0,0001 m2 Traferro: Straf = 0,001x103 m2 (P i traferri, (Per f per tenere conto degli d l effetti ff d bordo, di b d avremmo potuto maggiorare la sezione di qualche percento). 0,18 5 A s U 1,43 10 7 r o S f 10 000 4 10 0,0001 Wb lU bar lbar 0,09 5 A s 1,43 10 7 r o S f 10 000 4 10 0,01 0,005 Wb ESEMPIO Calcolare il flusso magnetico nella barretta sul fondo della struttura nell’ipotesi che il g e flusso sia confinato nel nucleo magnetico che lo stesso lavori nel tratto lineare della caratteristica di magnetizzazione e abbia 1A 0,01 m 0,1 m 0 05 m 0,05 N=100 0,01 m r 10000 traf ltraf o Sttrafaf 01m 0,1 0,01 m 2 0,0025 7 A s 3,98 10 7 Wb 4 10 0,001 tot U bar traf traf 3,98 107 NI 100A s 2,51 106 Wb Φ A s tot t t 3,98 107 Wb Φ 2,51 106 2 Wb B 2,52 10 Straf 0,01 0,01 m2 0,01 m A s Wb 0,0025 m 0,005 m ESEMPIO d Il ferro sta lavorando in regione lineare della caratteristica di magnetizzazione. D Determinare i il coefficiente ffi i di autoinduzione dell’avvolgimento di N p sapendo p che: spire N=150 2d I d 50cm; S fe 200cm 2 ; r fe 1000 d d 0 r fe S fe d d d d d 0,5 1000 4 10 7 20 10 4 4d d Sf 198,94 10 3 H 1 d d 3 d NI d d d 3 d d 4 d 3 d NI ESEMPIO Il ferro sta lavorando in regione lineare della caratteristica di magnetizzazione. D Determinare i il coefficiente ffi i di autoinduzione dell’avvolgimento di N p sapendo p che: spire d 50cm; S fe 200cm 2 ; r fe 1000 d eq d d N=150 2d I Sf 6 2 d 2 2 d // 3 d // 3 d 4 d 2 // 3 d 4 d 5 d 36 2 d 5 36 16 4 d d 4 d d 12 27 3 d 3 d 5 c NI 3 NI 3 N 2I 3 N2 3 150 2 c L 21,21 mH 3 d eq 16 d 16 d I 16 d 16 198,94 10 1mm 1mm ESEMPIO Trascurando le riluttanze dei tratti in ferro, determinare il coefficiente ff d autoinduzione di d dell’avvolgimento. La sezione trasversale S del circuito magnetico è 16 cm2, N1=N3=30, N2=10. N2 N1 i N3 3mm S 1mm 1mm 2 N1i 1 3 N2i t 1 1103 5 1 4 . 97 10 H 7 4 0 S 4 10 16 10 1 2 2 N3i ESEMPIO Trascurando le riluttanze dei tratti in ferro, determinare il coefficiente ff d autoinduzione di d dell’avvolgimento. La sezione trasversale S del circuito magnetico è 16 cm2, N1=N3=30, N2=10. 1mm 1mm N2 N1 i 3mm S 1mm 5 3 1 N1 N 2 i 20i 3 5 N N i 20i 2 2 3 c N11 N 2 1 2 N3 2 c 100 100 L 0.2mH 5 i 4.97 10 N3 1mm 20i 3 20i 5 100 60 5i 1 i 2 16 2 (25 9) 30 5 5i 30 5 150 50 100 i 10 i i i 2 2 2 1 CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO • E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DURI Bfe Br t HC Hfe Hp: il flusso è lo stesso in tutte le sezione trasversali Hp B fef S fef Bt St lfe lunghezza del tratto in ferro t lunghezza l h del d l traferro f H fe l fe H t t 0 St B fef Bt S fe l fef H t H fe t CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO • E' COSTITUITO DA MATERIALI MAGNETICI DURI Bfe Br t HC Hfe Calcoliamo le relazioni tra campo magnetico e induzione nel ferro ferro: l fef St St St B fe Bt 0 H t 0 H fe S fe S fe t S fe CIRCUITO MAGNETICO ATTIVO Magnete permanente a traferro variabile Sezione di una macchina a corrente continua CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI Simbolo Si b l circuitale i it l d della ll Mutua Induttanza i1 ((tt ) M C Convenzione i dei d i pallini: lli i i1 i2 ((tt ) L1 L2 v1 L1 L2 v1 (t ) I1 1 t N1 3 i1 v2 M>0 v2 (t ) i1 S i2 M v1 2 t i1 i2 M L1 L2 v2 M<0 v1 M L1 L2 N2 M12 = M21 i2 L1 L2 I2 t C1 L1 i1 M 12 i2 C 2 M 21 i1 L2 i2 v1 M di1 di2 v1 L1 dt M dt di di v2 M 1 L2 2 dt dt v2 i2 v2 CIRCUITI MUTUAMENTE ACCOPPIATI t S I1 1 N1 3 2 1 2 t t I2 N2 t N1 I1 t t 3 1 t t 0 S 3 1 2 1 2 3 N I 2 N I t 1 t 3 1 1 t 1 t 2 11 N 2 I 2 t 2 t 3 N 2 I 2 t 1 2t 2 2 1 1 N1 I1 N2I2 3t 3t 1 2 2 N1 I1 N2I2 3t 3t N2I2 c1 N11 c 2 N 2 2 c1 Flusso Concatenato con l’avvolgimento Primario c2 Flusso Concatenato con l’avvolgimento Secondario 2 1 2 C1 N I1 N1 N 2 I 2 3t 3t 1 C 2 1 2 N1 N 2 I1 N 22 I 2 3t 3t 2N 2 L1 3t 2 2N2 L2 3t N1 N 2 M 12 M 21 3t 1 c1 L1 I1 M I 2 c 2 L2 I 2 M I1 ESEMPIO N1 = 75 spire N2 = 100 spire I2 C R C B N2 N1 A I1 e(t) R =4 105 H-1 R = 50 C = 150 F E = 10 V f = 50 Hz Calcolare la potenza attiva e reattiva erogate dal generatore sinusoidale e(t). Sia R la riluttanza di ogni tronco. Hp: trascurare i flussi dispersi. R N2 I 2 2 N 2 I 2 2R 2 R 1 N1 I1 2R 1 R 2 R R 1 N1I1 N2 I2 1 2 2 R N I N1 I1 2R 2 2 2 2 R 2 R N1 I1 2 N 2 I 2 4R 2 R 2 2 N 2 I 2 3R 2 N1 I 1 2 N 2 I 2 2 3R 3R 2 N 2 I 2 2 N 2 I 2 2 N1 I 1 N 2 I 2 2 N1 I 1 1 R 3R 3R 3R 3R N1 N 2 I1 2 N 22 I 2 c 2 N 2 2 3R 3R 2 N N I 2 N 1 I1 c1 N11 1 2 2 3R 3R 2 N12 0,0375 H L1 R 3 2 2N2 0,0667 H L2 3R M N1 N 2 0,025 H 3R L1 = 2 f L1 = 11,78 ; L2 = 20,94 ; M = 7,85 C = 21,22 21 22 I1 M I 2 E L1 R L2 C E jL1 I1 jM I 2 j 0 jL2 I 2 jM I1 R I 2 C I 2 10 10 j11,78 I1 j 7,85 I 2 0 j 20.94 I1 50 j 0.28 I 2 I1 0 j 7,85 50 j 0,28 0,83 84,68 S E I1* 100 0,8384,68 0,769 j8,264 P 0,769 W Q 8,264 VAR ESEMPIO Assumendo che tutti i traferri abbiano riluttanza pari a R 0 e che la riluttanza dei tratti in ferro sia trascurabile, determinare i coefficienti di auto e mutua induzione dei due avvolgimenti. i1 N 2N N i2 Il circuito elettrico equivalente è il seguente: 0 0 0 1 NI1 2 2 NI1 NI 2 2 NI NI 0 1 0 2 1 2 1 2 20 2 2 3NI 40 2 20 1 6 NI 2 0 1 2 0 2 Sommo m. m a m. m 30 2 NI1 5 NI 2 NI 2 2NI 2 2 1 NI1 5 NI 2 3 0 3 0 1 2 NI1 1 NI 2 3 0 3 0 2 N 2 I1 N 2 I 2 c1 N1 30 30 c2 2 N 2 I1 10 N 2 I 2 2 N 2 N 2 1 N 2 1 30 30 NI1 4 NI 2 2 1 30 30 c2 2 N 2 I1 10 N 2 I 2 N 2 I1 4 N 2 I 2 N 2 I1 14 N 2 I 2 30 30 30 30 30 30 2N 2 L1 2 2 30 2N N I1 I2 c1 14 N 2 30 30 L2 2 2 30 N I 14 N I c 2 30 1 30 2 N2 M 30 ESEMPIO I2 Determinare l’energia totale accumulata nel circuito, sapendo che il circuito elettrico è a regime e che: E 10 V ; A1 5 A; A2 4 A N2 t1 L 12 mH ; R1 2 ; R2 5 ; R3 7 ; R4 15 N1 100; N 2 200 S f 60cm ; t1 2mm; t 2 4mm; t3 6mm 2 N1 t2 A2 t3 I1 R1 A1 R2 Sf E fe Il circuito elettrico equivalente è il seguente: 1 1 1 t1 2,65105 H 1 0 S f 2 1 t2 5,305105 H 1 0 S f N2 I 2 1 N1I1 2 2 3 R3 1 t3 3 7,9576105 H 1 0 S f L R4 Applicando il metodo delle correnti cicliche: 2 1 N1I1 1 2 N I 2 2 3 2 2 2 1 2 2 3 22 77,361010 1 2 3 N1I1 2 N2 I 2 2 3 I 2 1 2 N2 I 2 2 N1I1 2 I2 1 N1N2 2 2 1 2 c2 N22 N1N2 I1 N2 I2 2 2 3 2 1 2 L1 N1 17,1mH L2 N2 41,13mH M N1N2 2 13,715mH c1 N11 N12 Circuito rcu to elettrico elettr co R3 M R1 A1 R2 E L1 A2 L2 L R4 Il circuito è in regime stazionario R1 A1 R3 R2 E I1 A2 I2 I2 I1 E 2A R2 I 2 A2 4 A R4 1 2 1 1 2 2 W L1I1 L2 I 2 MI1I 2 LI2 349,52mJ 2 2 2 TRASFORMATORE INDUTTIVO I1 N1 d1 I2 d2 N2 1 d 1 2 d 2 c1 N1 N1 d 1 c 2 N 2 N 2 d 2 Flusso Principale d1 Flusso Disperso Primario d2Flusso Disperso Secondario 1 Flusso Concatenato con una Spira Primaria 2 Flusso Concatenato con una Spira Secondaria Rm Rmd1 d Rmd2 d N2I2 N2I2 N1I1 N1I1 G m N1 I1 N 2 I 2 Gm permeanza del circuito magnetico Gd1 permeanza costante (percorso in aria) d 1 G d 1 N1 I1 G N I Gd2 permeanza costante (percorso in aria) d2 2 2 d2 cd 1 N1G d 1 N1 I1 cd 2 N 2G d 2 N 2 I 2 Ld 1 N12G d 1 2 Ld 2 N 2G d 2 L N 2G 1 m m poniamo: Induttanza di dispersione primaria Induttanza di dispersione secondaria Induttanza d d di magnetizzazione c1 N1G m N1 I1 N 2 I 2 N1G d 1 N1 I1 c 2 N 2G m N1 I1 N 2 I 2 N 2G d 2 N 2 I 2 c1 N1 N1 d 1 c 2 N 2 N 2 d 2 2 N c1 1 G m G d 1 I1 N1 N 2G m I 2 2 c 2 N1 N 2G m I1 N 2 G m G d 2 I 2 L1 N G d 1 G m 2 L N 2 2 G d 2 G m M N N G 1 2 m 2 1 poniamo: Induttanza propria dell dell’avvolgimento avvolgimento primario (o autoinduttanza a vuoto del primario) Induttanza propria dell’avvolgimento secondario ( autoinduttanza (o t i d tt a vuoto t d dell secondario) d i ) Induttanza mutua c1 L1 I1 M I 2 c 2 L2 I 2 M I1 di1 di2 v1 L1 dt M dt di2 di1 v2 L2 M dt dt Equazione della mutua Circuito equivalente del trasformatore induttivo c1 N12 G m G d 1 I1 N1 N 2G m I 2 Ld 1 I1 Lm I1 N1 N 2G m I 2 N1 N2 2 Ld 1 I1 Lm I1 N1 N 2G m I 2 Ld 1 I1 Lm I1 N1 G m I 2 N1 N1 N2 N2 Ld 1 I1 Lm I1 Lm I 2 I 2 Ld 1 I1 Lm I1 N1 N1 1 N1 con n rapporto t di trasformazione t f i Ld 1 I1 Lm I1 I 2 n N2 N1 2 c 2 N1 N 2G m I1 Ld 2 I 2 N 2G m I 2 (moltiplico per n ) N2 n c 2 N12G m I1 nLd 2 I 2 N1 N 2G m I 2 Lm I1 nLd 2 I 2 N1 N 2G m I 2 I2 1 n Ld 2 Lm I1 I 2 n n 2 Circuito equivalente del trasformatore induttivo 1 c1 Ld 1 I1 Lm I1 I 2 n I2 1 2 n c 2 n Ld 2 Lm I1 I 2 n n I1 c1 Ld1 n2 Ld 2 Lm I2 I1 n Modo alternativo di descrivere una mutua induttanza c1 n c 2 1 i1 n i2 I2 / n n :1 nc2 I 2 c 2 Equivalenza di doppi bipoli i1 ((tt ) v1 (t ) M I1 i2 ((tt ) L1 L2 v2 (t ) c1 Ld1 n2 Ld 2 Lm I1 I2 n I2 / n n :1 n c2 Applicando le regole per l’equivalenza di doppi bipoli si ottiene: c1 L1 I1 c1 M I2 c2 L2 I2 Ld 1 Lm I 2 0 I1 0 I1 0 1 Lm n 1 Ld 2 2 Lm n Ld 1 L1 nM M Lm nM n 2 Ld 2 n 2 L2 nM I 2 c2 Trasformatore perfetto • • • flussii di fl dispersii = 0 riluttanza del nucleo magnetico ≠ 0 accoppiamento perfetto (k = 1) I1 I2 / n n :1 c1 Lm I2 I1 n n c 2 c2 Trasformatore f m ideale • • flussi dispersi = 0 riluttanza del nucleo magnetico =0 (μr=∞) I 2 n:1 ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI Hp: non dissipativo M 12 M 21 M L1 L2 M 2 0 passivo Supponiamo per assurdo che: c1 M 12 I2 I1 0 c2 M 21 I1 I 2 0 M 12 M 21 M 21 M 12 g d 1 2 1 2 di1 pt v1i1 v2i2 L1i1 L2i2 M 12i1i2 g i2 d 2 dt 2 d dt Per la condizione di NON DISSIPATIVITA DISSIPATIVITA':: w1 w2 0 p t dt 0 w1 e w2 devono dipendere solo dagli estremi p(t) deve essere un differenziale esatto g = 0 M12 = M21 = M i2 A l1 B l2 i1 ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI d 1 2 1 2 p t L1i1 L2i2 Mi1i2 dt 2 2 Per la condizione di passività: 1 2 1 2 Wm p t dt 0 t L1i1 Mi1i2 L2i2 0 t 2 2 L1 M i1 1 i1 i2 0 2 M L2 i2 t FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVAMINORI 0 L1 0 L2 0 L1 L2 -M M2 0 ENERGIA ASSOCIATA A DUE CIRCUITI ACCOPPIATI Dalla: L1 L2 M 0 K 2 K = coefficiente ffi i nt di accoppiamento ppi m nt Se M L1 L2 0 K 1 Condizione passività M 0 K 0 accade se Gm=0 cioè se i due induttori sono a grande distanza e se gli assi sono disposti perpendicolarmente Se Ld 1 Ld 2 0 K 1 accade quando l’accoppiamento è perfetto: cioè tutto il flusso concatenato con uno dei due circuiti si concatena anche con ll’altro altro LEGGE DELL’INDUZIONE MAGNETICA Consideriamo una spira che delimita una superficie S che concatena un flusso t d e dt forza elettromotrice indotta (f.e.m) (f e m) B dS e S t F Forza Elettromotrice El tt t i V Variazionale i i l e v B dl Forza Elettromotrice Mozionale pollice (velocità) l i di (induzione) indice (i d i ) medio (f.e.m.) LEGGE DELL’INDUZIONE MAGNETICA •Spira si deforma/cambia posizione •Immersa in un campo di induzione variabile F Forza Elettromotrice El tt t i Variazionale V i i l +F Forza Elettromotrice El tt t i Mozionale M i l B e v B dl dS l S t B S BS cos BS 0 GENERATORE DI TENSIONE SINUSOIDALE Spira p S Contatti striscianti (spazzole) N Collettore ad anelli d B S BS cos t e N NBS sin t E sin t dt CORRENTI PARASSITE y l=1 Lastra soggetta ad un campo magnetico variabile sinusoidalmente dy d/2 y y d/2 a Induzione magnetica b(t ) BMAX sin t (t ) BMAX a 2 y sin i t d e(t ) BMAX a 2 y cos t dt x CORRENTI PARASSITE Valore efficace della f.e.m. nel lato della spira parallelo parallel all all’asse asse x Conduttanza Se E BMAX ay 2 1 dy l dG a 2 2 2 2 2 2 BMAX a 2 B a y dy 2 MAX l 1 dP E dG y dy 2 a 2 La potenza dissipata sulla lastra per unità di lunghezza e per una larghezza a è: 2 2 2 2 3 d /2 BMAX a 2 BMAX ad P2 y dy 2 24 0 2 2 2 BMAX d 2 2 f 2 BMAX d2 pV p t nz volumica potenza v lumic 24 6 CIFRA DI PERDITA •Perdite del ferro (isteresi + correnti parassite) •Perdite del rame ((effetto ff Joule)) •Perdite meccaniche (attrito e ventilazione nelle macchine elettriche) Potenza volumica persa per isteresi: n pist kist fBMAX P t Potenza volumica l i dissipata di i t per correnti ti parassite: it Potenza volumica dissipata nel ferro: 2 pcp kcp f 2 BMAX d2 n 2 p kist fBMAX kcp f 2 BMAX d2 Cifra di Perdita: potenza volumica totale (dissipata per isteresi e correnti parassite) per unità di volume di materiale considerato, quando l’induzione ha un valore massimo pari ad 1 Tesla e con frequenza pari a 50Hz. Nota la cifra di perdita è possibile risalire alla potenza dissipata nel ferro : 2 P Cifra di Perdita BMAX m 3 di materiale [W] F Forze neii circuiti i i i magnetici i i Trasformatore Reale accoppiamento perfetto Trasformatore I1 N1 d1 Pfe=0 I2 N2 d2 Trasformatore ideale Ferro ideale Rame ideale Pcu=0 Il circuito equivalente del trasformatore reale si ottiene rimuovendo le p di ferro ideale e di rame ideale. ipotesi Circuito equivalente del trasformatore induttivo nel dominio della frequenza: I1 X d1 I '2 X 'd 2 I n :1 E 1 jN1 E 2 jN 2 2 Im V1 E1 E '2 Bm V '2 V2 FERRO NON IDEALE Riluttanza l del d l circuito magnetico non nulla ll (permeanza ( finita) f ) Legame flusso-amperspire non lineare (isteresi) Perdite per isteresi e correnti parassite non nulle Corrente magnetizzante non nulla Corrente magnetizzante non sinusoidale (deformata) Potenza d dissipata nell nucleo l sotto f forma di d calore l Presenza di flussi dispersi che si chiudono prevalentemente in aria RAME NON IDEALE Resistività del rame diversa da zero Potenza attiva dissipata p negli g avvolgimenti g sotto forma di calore Pcu R1 I12 R2 I 22 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE REALE • • • • • • • • • R1: resistenza equivalente q dell’avvolgimento g primario p R’2=n2R2 con R2 resistenza dell’avvolgimento secondario Xd1=ωLd1 con Ld1 induttanza di dispersione p primaria p X’d2=n2 Xd2 ; Xd2= ωLd2 con Ld2 induttanza di dispersione secondaria G: conduttanza trasversale (mette in conto le perdite nel ferro) Bm=1/Xm; Xm=jωLm con Lm induttanza di magnetizzazione I0: corrente a vuoto Im: corrente magnetizzante E’2=nE2 DISTORSIONE DELLA CORRENTE MAGNETIZZANTE im im DISTORSIONE DELLA CORRENTE MAGNETIZZANTE im im(t) FUNZIONAMENTO A VUOTO X d1 I0 I2 0 R1 n :1 I0 I fe G V1n Im Bm V20 E1 E ' 2 Caduta di tensione nell nell’impedenza impedenza primaria Z1 R1 jX d 1 è molto piccola V 1 E 1 jN1 E1 4,44 N1 f MAX V20 E 2 jN 2 E2 4,44 N 2 f MAX V1 E1 N1 n V20 E2 N 2 rapporto pp t di trasformazione t sf m i n d dell trasformatore ideale DIAGRAMMA FASORIALE X d1 I0 I2 0 R1 n :1 I0 I fe G V1n Im Bm V20 E1 E ' 2 jX d 1 I 0 V1 R1 I 0 La caduta di tensione al primario e’ piccolissima e può, in certi casi, essere t s trascurata t E1 I0 Im E2 If Im e’ p prevalente rispetto p a Ife PROVA A VUOTO o T Trascurando s d le l perdite dit di eccitazione it i R1I02 rispetto is tt a quelle ll nell ferro f GE12 (rapporto di poche unità per mille) o Trascurando la potenza reattiva richiesta per l’eccitazione del flusso disperso rispetto a quelle necessarie a sostenere il flusso principale Il circuito equivalente del trasformatore nel funzionamento a vuoto e’ il s seguente: t : I2 0 I0 I fe V1 G Ammettenza a vuoto primaria n :1 I0 Im Bm E1 E '2 V20 Y G jBm PROVA A VUOTO W A V1 P0 f (V1 ) parabola 2 2 Pfe B V f M 1 T V2 wattmetro amperometro voltmetro P0 I0 V1n V1 f ( I 0 ) Curva normale di magnetizzazione V1 B I 0 f .m.m. I0 Y V 1 P0 G 2 V1 2 2 Bm Y G In corrispondenza alla tensione nominale, le letture degli strumenti forniscono i dati sufficienti a ricavare i parametri trasversali del circuito equivalente del trasformatore FUNZIONAMENTO IN CORTO CIRCUITO I1n X d1 R1 X 'd 2 R' 2 I '2 I0 V1cc E1 E '2 I fe Im G Bm V '2 0 Se applicassimo V1n I1cc e I 2cc da 7 a 30 volte I1n e I 2n Si deve applicare una tensione V1cc tale che I1 I1n e I 2 I 2n V1cc : Tensione di corto circuito V1cc 3 5%V1n decresce al crescere della potenza Se Se V1 V1n I 0 4 12% I1n V1 V1cc I 0cc 1.2 18 ‰ I1n I0 può essere trascurata rispetto ad I1 e nel ferro rispetto a quelle nel rame I1n X d1 R1 V1cc I2 cioè: si trascurano le perdite X 'd 2 R' 2 V '2 0 Impedenza di corto circuito primaria ' ' ' Z cc ( R1 R2' ) j ( X d1 X d' 2 ) Rcc jX cc PROVA IN CORTO CIRCUITO W V1 Pcc I1n A V T Pcc f ( I1 ) Pcc V1 parabola: Pcu Pcc I 2 V1 f ( I1 ) retta passante per l’origine ' ' Z cc X cc I1n V1cc I1n I1 ' R ( cc piccolo) ' X cc In corrispondenza della corrente nominale: ' V1cc ' Pcc ' '2 '2 Z cc ; Rcc X Z cc cc Rcc 2 I1n I1n FUNZIONAMENTO A CARICO X d1 I1 R1 1 I2 n I0 2 I fe V1 E1 E '2 V2 Z L I 2 eq. carico G Xd2 I2 I2 R2 n :1 Im Bm E '2 E2 V2 E2 V2 ( R2 jX d 2 )( I 2 ) maglia sec. E1 E '2 nE2 E1 jN1 trasformatore f.e.m. indotte I2 E2 jN 2 I '2 n I2 I1 I 0 I 0 I '2 nodo 1 I 0 I m I fe nodo 2 n I 0 (G jBm ) E1 eq. ramo trasv. V1 E1 ( R1 jX d 1 ) I1 maglia prim. Z L DIAGRAMMA FASORIALE FUNZIONAMENTO A CARICO V2 Z L I 2 eq. carico i E2 V2 ( R2 jX d 2 )( I 2 ) maglia sec. E1 E '2 nE2 trasformatore I2 I '2 n E1 jN1 f.e.m. indotte E2 jN 2 I2 I1 I 0 I 0 I '2 nodo 1 n I 0 I m I fe nodo d 2 I 0 (G jjBm ) E1 eq. q ramo trasv. V1 E1 ( R1 jX d 1 ) I1 maglia prim. V1 jX d1I1 R1I1 E1 nE 2 jX d 2 I 2 E2 R2 I 2 V2 L I 2 n I2 I0 I1 I0 Im I fe FUNZIONAMENTO A CARICO (cnt (cnt.) .) I0 Y E1 P0 G 2 E1 2 2 B Y G m I0 P0 P0 E1 I0 V1 (curve ricavate nella prova a vuoto) CIRCUITI EQUIVALENTI SEMPLIFICATI X 'cc X d1 X 'd 2 I1 R 'cc R1 R ' 2 n :1 I0 Im I fe G V1 Bm V '2 Z 'cc R 'cc jX 'cc I1 Y G jBm I2 I '2 n :1 I0 V1 I2 I '2 V '2 V2 V2 CIRCUITI EQUIVALENTI SEMPLIFICATI (cnt (cnt.) .) I0 V1 Z" cc I '2 I1 Y I2 n :1 V '2 R1 Z ' 'cc 2 R2 n V2 X d1 j 2 X d 2 n DATI DI TARGA I principali dati di targa sono: Frequenza nominale: f[Hz]; Tensione nominale primaria (valore efficace): V1n [V]; Tensione nominale secondaria a vuoto (valore efficace): V20 [V]; Rapporto di trasformazione a vuoto: n= V1n/V20; P Potenza apparente nominale: i l Sn=V V1nI1n=V V20I2n [VA]; [VA] g vengono g generalmente g forniti i dati delle prove p a vuoto ed Inoltre, nella targa, in cortocircuito in percento rispetto ai valori nominali. Ad esempio: Potenza a vuoto (pari alle perdite nel ferro ): ) P0% ; Corrente a vuoto: I0%; Potenza in corto circuito (pari alle perdite nel rame): Pcc% ; Tensione di corto circuito: Vcc%. % ' Z cc Vcc % V12n 100 S n I0 % Sn Y 100 V12n ; ; ' Rcc Pcc % V12n ' '2 '2 X cc Z cc Rcc 100 S n P0 % S n Bm Y 2 G 2 G 100 V12n ESEMPIO I dati di targa di un trasformatore monofase sono: n 12 kV ; S n 40 kVA ; f 50 Hz ; Vcc % 4 %; Pcc % 1 .8%; P0 % 0.4 %; cos 0 0.2 260V Determinare il circuito equivalente Pcc Pcc % 1,8 S 40000 Sn 40000 720W ; I 2 n n 153,85 A 100 100 V20 260 Vcc % V20 4 160 Pcc 720 Z "cc 0,0676; R"cc 2 0,0304 2 100 I 2 n 100 153,85 I 2 n 153,85 "2 "2 X "cc Z cc Rcc 0,0604 P0 0,4 P0 % P Sn 40000 160W ; G 02 1,11 106 S ; 100 100 V1n Bm G tan 0 5,44 106 S Y G 2 Bm2 5,55 106 S oppure P0 V1n I 0 cos0 I 0 Y P0 160 0,0667 A V1n cos0 12000 0,2 I0 5,55 106 S Bm Y 2 G 2 5,44 106 S V1n Bm tan 0 G Rendimento potenza attiva assorbita dal carico Pu potenza p nz attiva erogata g al p primario m Pe Pp perdite complessiv e nella macchina Pffe Pcu Pp Pfe Pcu Pu 1 1 Pu Pp Pu Pp Pu Pfe Pcu Rendimento convenzionale del trasformatore in funzi ne del caric funzione carico:: c V2 I 2 cos 2 '' 2 V2 I 2 cos 2 Rcc I 2 Pfe I2 Fattore di carico I 2n Particolarità costruttive Nucleo N l a colonne colonne gioghi Nucleo a mantello Particolarità costruttive (cnt (cnt.) .) Giunto Gi nt piallato Giunto Gi intercalato lamierini in acciaio speciale da pochi mm a 0.35-0.5 mm isolati tra loro mediante carta (0.03 mm) o vernici materiale drogato g con silicio (qualche (qu percento) p ) e cifra f di p perdita di pochi p W/kg W/ g m Trasformatori di piccola potenza p p (<1kVA): Lamierino ferromagnetico avvolto a spirale in più strati Particolarità costruttive (cnt (cnt.) .) Avvolgimenti sono realizzati in rame o in alluminio g Sezione dei conduttori circolare o rettangolare Avvolgimenti possono avere una configurazione concentrica (con l’avvolgimento a più bassa tensione all all’interno) interno) o alternata AT BT BT AT BT AT BT AT BT A l i Avvolgimento t concentrico t i A l i Avvolgimento t alternato lt t Raffreddamento Il trasformatore, come le altre macchine elettriche ad induzione, è sede di perdite di energia che si trasformano in calore sia nel rame che nel ferro. ferro Sistemi Si t i di raffreddamento: ff dd t 1. raffreddamento in aria o in olio 2. raffreddamento naturale o il raffreddamento forzato (o artificiale) Fluido intermediario Mezzo di attivazione Naturale Forzato Aria Olio Piccole potenze e tensioni Potenze da 5 a 6000 kVA; modeste: S<150-200 kVA; Tensioni fino a 70 kV V<10 kV Presenza di ventilatori. Potenze da 10 a 400 MVA e oltre; Tensioni maggiori di Medie potenze 70 kV Campo magnetico rotante Teorema T m di Galileo G lil F Ferraris i Un sistema polifase di correnti che scorre in un opportuno sistema di conduttori genera un campo magnetico ti di iintensità t sità costante st t lla cuii direzione di i ruota t iin un piano i con moto uniforme cioè un CAMPO MAGNETICO ROTANTE del tutto simile a quello ll ottenuto tt t con lla rotazione t i di un magnete t H 1 H max H i t I MAX sin t H max ma + H t1 D ruota in senso orario S ruota in senso antiorario (velocità angolare ω) H D sin t S sin t 2 D sin t t H max D S 2 Campo magnetico rotante Teorema T m di Galileo G lil F Ferraris i Un sistema polifase di correnti che scorre in un opportuno sistema di conduttori genera un campo magnetico ti di iintensità t sità costante st t lla cuii direzione di i ruota t iin un piano i con moto uniforme cioè un CAMPO MAGNETICO ROTANTE del tutto simile a quello ll ottenuto tt t con lla rotazione t i di un magnete t + + + + + + t=0 tt=tt1 t=T/4 / Campo magnetico rotante x3 i1 i2 i3 x1 i3 i2 x2 i I MAX cos t 1 2 i2 I MAX cos t 3 4 i3 I MAX cos t 3 i1 t=0 Componenti destrorsa e sinistrorsa dei campi prodotti dalle tre bobine Campo magnetico rotante L’ampiezza del campo rotante t t e 3/2 il valore massimo di ciascuno u dei 3 campi mp Il sistema produce un campo magnetico di ampiezza costante che ruota con velocità angolare pari alla pulsazione delle correnti (c.v.d.) (c v d ) Se f 50 Hz 2f [ rad / s ] 3000 giri/minut o Campo magnetico rotante M gn Magnete permanente p m n n posto in rotazione da un motore primario p Si possono realizzare avvolgimenti con diverse paia polari p e la velocità di rotazione del campo sarà p f 60 p giri/min Campo magnetico rotante Avvolgimento con due paia polari N S S passo polare N Esprimendo p la velocità angolare in giri/minuti, alla frequenza di 50 Hz si avrà: p 1 2 3 4 5 6 50 60 p 3000 1500 1000 750 600 500 Si possono realizzare differenti velocità del campo magnetico Applicazioni dei campi magnetici rotanti MACCHINA ASINCRONA n1 N n2 S n2 n1 n1 Facendo ruotare il magnete si generano nel cilindro delle correnti indotte che obbligano il cilindro a seguire la rotazione del magnete Le correnti indotte tendono ad opporsi pp alla causa che le ha generate, quindi l’indotto ruota seguendo il campo induttore Applicazioni dei campi magnetici rotanti MACCHINA ASINCRONA n1 N n2 s n1 n2 S scorrimento n1 L’indotto non può raggiungere la velocità del campo induttore perché cesserebbe bb il moto t relativo l ti e sii avrebbe bb l’l’estinzione ti i d delle ll correnti ti iindotte d tt e conseguentemente la forza motrice necessaria a mantenere la rotazione (n2<n1). Se al posto del magnete posto in rotazione, si utilizza un sistema opportuno di avvolgimenti fissi, si ha lo stesso comportamento La velocità dell’indotto (rotore) e’ tanto più piccola quanto maggiore e’ la coppia resistente applicata all’asse Applicazioni dei campi magnetici rotanti MACCHINA SINCRONA n2 n1 p velocità di sincronismo Per l’attrazione costante che si esercita fra i poli opposti dei due magneti, il secondo viene trascinato in rotazione alla medesima velocità Se il campo rotante e’ prodotto da una serie di avvolgimenti fissi e il magnete rotante e e’ sostituito da un elettromagnete eccitato in corrente continua, si realizza il motore sincrono
