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Politecnico di Torino
5. ANALISI DI SENSIBILITÀ
R. Tadei
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5. Analisi di sensibilita'
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Una piccola introduzione
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5. Analisi di sensibilita'
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ANALISI DI SENSIBILITÀ
Nei precedenti capitoli abbiamo visto come, partendo da un
problema reale, si possa giungere alla costruzione di un suo
modello matematico lineare. Successivamente, abbiamo visto
come risolvere il problema matematico che ne deriva
utilizzando dei metodi ad hoc, primo fra tutti il metodo del
simplesso.
Gli esercizi di risoluzione di tali problemi visti fino ad ora
constano di un limitato numero di variabili e di vincoli, in
quanto sono finalizzati alla didattica; nella realtà i problemi che
si devono risolvere possono essere, invece, costituiti da
centinaia di variabili e migliaia di vincoli. In tali casi, quindi, la
loro risoluzione è molto onerosa specialmente riguardo al
tempo di elaborazione; inoltre se dopo aver risolto un
problema, sopraggiungono delle cause che variano
leggermente i dati iniziali, non possiamo certo permetterci di
ricominciare tutto da capo.
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E’ qui che interviene l'analisi di sensibilità: essa crea un ideale
ponte congiungente la soluzione finale con il problema iniziale,
scavalcando l'enorme mole di calcoli che li separa, cosicché
risultino evidenti i loro legami diretti.
In particolare, come vedremo, l'analisi di sensibilità si può
orientare verso due campi di ricerca:
· calcolare con quale entità le perturbazioni dei dati iniziali si
ripercuotono sulla soluzione ottima finale;
· determinare il massimo intervallo di variazione dei dati iniziali
entro il quale la soluzione è stabile.
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Due possibili campi di indagine
• Analisi di sensibilità rispetto a variazioni dei termini noti.
• Analisi di sensibilità rispetto a variazioni dei coeff. di costo.
Analisi di sensibilità rispetto ai termini noti
Perturbando il vettore dei termini noti b del problema iniziale,
cambiano, nel tableau finale, solo i termini noti: abbiamo,
quindi, una soluzione perturbata ed un nuovo valore della
funzione obiettivo.
Perturbazione
dei termini noti
Ammissibilitá della
soluzione perturbata
La sol. perturbata continuerá ad essere ottima (sempre se
ammissibile): gli rj infatti non cambiano.
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1. Perturbazione fissa dei termini noti
Siano dati : xB (dove xB = B-1b , vedere slide 24 - CAP.4) soluzione
ottima ed ammissibile;
θ vettore di perturbazione del vettore dei termini noti b.
b* = b + θ è il nuovo vettore dei termini noti.
Si vuole verificare se con b* la soluzione perturbata x*B = B-1b* sia
ancora ammissibile oltre che ottima.
Si deve avere
x*B = B-1b* ≥ 0
ma B-1b* = B-1b + B-1θ = xB + B-1θ
quindi se xB + B-1θ ≥ 0 la soluzione perturbata sará ammissibile.
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2. Perturbazione parametrica dei termini
noti
Siano dati : il vettore θ di perturbazione fissa;
uno scalare k.
In questo caso : b* = b + kθ.
Si vuole studiare l’ammissibilitá della soluzione al variare del
parametro k.
Si vuole x*B = B-1b* = B-1(b + kθ) ≥ 0
ossia xB + kB-1θ ≥ 0
La disequazione vettoriale si traduce in m disequazioni
algebriche nell'incognita k. La soluzione sarà data dall'intervallo
di variazione di k entro il quale tutte le disequazioni siano
contemporaneamente soddisfatte.
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3. Intervallo di stabilità dei termini noti
Si vuole calcolare l'intervallo di variabilità del termine noto
dell’i-esimo vincolo entro cui non si modifica la base ottima.
Definiamo : il vettore ui per selezionare l’i-esimo termine noto;
∆ variazione incognita dell’i-esimo termine noto.
Il vettore dei termini noti perturbati sará b* = b + ui ∆ dove
0
...
0
u = 1
i
0
...
0
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i-esimo vincolo
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x*B = B-1(b + ui∆ ) = B-1b + B-1ui∆
x*B = soluzione perturbata
Imponendo l’ammissibilitá di x*B otteniamo
disequazione vettoriale nella variabile ∆ .
la
seguente
xB + B-1ui∆ ≥ 0
Risolvendo graficamente, l’intervallo di variazione dell’i-esimo
termine noto entro cui non cambia la base ottima è dato
dall’intersezione degli intervalli di esistenza di ognuna delle
disequazioni.
Es.
∆+ = 2
∆− = −3
7 5 −1 5 ∆ ≥ 0
∆ ≤ 7
6 5 − 3 5 ∆ ≥ 0 ≡ ∆ ≤ 2
3 5 +1 5 ∆ ≥ 0
∆ ≥ −3
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Osservazione.
Volendo risolvere il precedente sistema di disequazioni con
un algoritmo, si pone prima
β i = B-1 u i
cioè si considera l ’ i-esima colonna di B-1 ; quindi
x*B = xB + β i ∆ i
dove ∆ i è la variazione di bi .
Gli estremi dell’intervallo di variazione sono dati da
( xB )h
max ∆ = min −
β hi
( β hi < 0 )
( xB )h
−
max ∆ i = min
β hi
( β hi > 0 )
+
i
dove h indica la riga .
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4. Convenienza della perturbazione
Anche il valore della funzione obiettivo z0 = cTBxB si perturba.
Infatti: z*0 = cTBx*B
z*0 = cTB(xB + B-1∆ b) = cTBxB + cTBB-1∆ b = cTBxB + λT∆ b
dove λT =cBB-1 sono le soluzioni del duale e il vettore ∆ b è :
∆ b = b*i - bi
Da ciò si deduce che ∆ z = λT∆ b
La convenienza quindi di aumentare o diminuire un generico
termine noto bi dipende dal segno algebrico del corrispondente
moltiplicatore λi e dalla natura dell'obiettivo (min o max). In
particolare conviene :
Se λi > 0 e si ha un problema di min ⇒ diminuire bi cioè ∆ b< 0 ;
Se λi < 0 e si ha un problema di min ⇒ aumentare bi cioè ∆ b>0 ;
Se λi > 0 e si ha un problema di max ⇒ aumentare bi cioè ∆ b>0 ;
Se λi < 0 e si ha un problema di max ⇒ diminuire bi cioè ∆ b< 0 ;
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Analisi di sensibilità rispetto ai coeff. di costo
Perturbando i coefficienti di costo, nel tableau della soluzione
ottima cambiano solo i coefficienti di costo relativo rj .
Pertubazione dei
coefficienti di costo cj
Ottimalitá della
soluzione perturbata
Abbiamo 2 casi:
• variazione del cj di una variabile fuori base
si parla della
convenienza a far entrare in base una variabile fuori base ;
• variazione del cj di una variabile in base
si parla dell’intervallo di variazione dei coeff. di costo in modo che la base
ottimale non si destabilizzi ;
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1. Variazione del cj di una variabile fuori base
Faccio variare il cj della variabile xj che si trova fuori dalla base
della soluzione ottima
nel tableau finale cambia solo il coeff.
di costo relativo rj associato ad xj . Infatti, in forma vettoriale:
∆cD= vett. delle variazioni dei coeff. di costo delle var. fuori base
r*D = c*TD - cTBB-1D
ma
c*TD = cTD + ∆cTD
allora r*D = cTD + ∆cTD - cTBB-1D e quindi r*D = rD + ∆cTD
Se r*D= 0, le variabili fuori base possono entrare in base.
In questo caso ∆cTD = - rD e cioé c*TD - cTD = - rD da cui :
c*TD = cTD - rD
I c*TD sono i nuovi coeff. di costo per cui le corrispondenti
variabili entrerebbero in base.
Da -∆
∆cj = rj si vede che il costo marginale misura la riduzione
da portare al costo di xj perchè divenga conveniente farla
entrare in base.
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2. Variazione del cj di una variabile in base
Faccio variare il cj della variabile xj che si trova in base
nel tableau finale cambiano tutti i coeff. di costo relativo rD
associati alle variabili fuori base. Infatti, in forma vettoriale:
∆cB= 0 L
∆c j
L
0
vett. di variazione del coeff. cj della
var. in base xj
r*D = cTD - c*TBB-1D
ma
c*TB = cTB + ∆cTB
allora r*D = cTD - cTBB-1D - ∆cTB B-1D e quindi r*D = rD - ∆cTB B-1D
Per far sí che la soluzione perturbata continui ad essere ottima
r*D ≥ 0 e cioé rD - ∆cTB B-1D ≥ 0 .
Risolvendo la disequazione vettoriale nell’incognita ∆cj si trova
l’intervallo di variazione di cj tale per cui la soluzione rimane
ottima.
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Riassumendo
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ANALISI DI SENSIBILITÀ
In questo capitolo abbiamo evidenziato i legami tra i dati iniziali
di un problema lineare ed i risultati finali al fine di analizzare la
sensibilità di questi ultimi sulla base di post-perturbazioni dei
dati. Naturalmente non si deve pensare di aver analizzato
esaustivamente tutti i possibili legami: molte sono le relazioni
che si possono individuare e ciò dipende dall’arguzia e dalle
necessità contingenti. In questo capitolo si è voluto dimostrare
il principio fondamentale in base al quale si può approfondire
l’argomento.
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5. Analisi di sensibilita'
