A partire dalla seconda legge di Newton per il punto materiale, ricavare e commentare
brevemente la prima equazione cardinale del moto dei sistemi (legge del moto per il centro di
massa):
La prima equazione cardinale della dinamica dei sistemi corrisponde al
secondo principio della dinamica. Un risultato importante dal punto di vista intuitivo è che il
centro di massa si muove come un punto materiale di massa m pari alla massa totale del
sistema e soggetto a una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti. Essa prende
la forma:
Descrivere il moto parabolico di un proiettile lanciato dal suolo alla luce delle proprietà delle
componenti
normale
e
tangenziale
dell’accelerazione.
La prima componente, parallela alla velocità e quindi tangente alla traiettoria esprime la
variazione del modulo della velocità, il secondo termine dipende dalla variazione del modulo
della velocità ci dice quanto rapidamente cambia la direzione di ut e quindi di un. Le due
componenti dell’accelerazione sono dette accelerazione tangenziale e accelerazione normale o
centripeta (perché diretta sempre verso il centro della curvatura). In un moto parabolico sull’asse
x l’accelerazione è costante, sull’asse y è uniformemente accelerato.
Un corpo puntiforme soggetto solo alla forza peso cade, partendo da fermo, dalla quota h lungo
la verticale. Fare i grafici, e commentarli, degli andamenti dell'energia cinetica, potenziale e
totale, in funzione del tempo per tutta la durata del moto: Fissiamo la coordinata verticale, y,
crescente verso l'alto e con lo zero in corrispondenza del suolo. L'energia potenziale dovuta alla
forza peso è pari a U=mgy, mentre l'energia cinetica è Ec=(1=2)mv^2, dove v è la velocità del
corpo. L'energia meccanica (E) è data dalla somma di U e di Ec. Poiché la forza peso è
conservativa, l'energia meccanica si conserva durante il moto del punto e deve mantenersi
uguale al suo valore iniziale, che è pari a mgh. Essendo il corpo soggetto alla forza costante mg, esso seguirà un moto uniformemente accelerato con accelerazione -g partendo, al tempo
t=0, dalla coordinata iniziale h con velocità nulla. Pertanto, y(t)=h-(1/2)gt^2 e v(t)=gt. Gli
andamenti delle energie in funzione del tempo saranno quindi:
U(t)=mgy(t)=mgh-(1/2)mg^2t^2;
Ec(t)=1/2mv^2(t)=1/2mg^2t^2;
E(t)=mgh;
Gli andamenti di U, Ec e E sono mostrati in figura in funzione del tempo. Durante la caduta si
assiste ad un continuo passaggio di energia da potenziale a cinetica, tale che la somma di
queste
rimane
invariata,
fino
all'istante
di
impatto
al
suolo,
T.
A partire dal teorema delle forze vive (lavoro-energia cinetica) e dalle proprietà delle forze
conservative, ricavare il teorema della conservazione dell’energia meccanica e discuterne le
condizioni di applicabilità:
Il teorema delle forze vive afferma che il lavoro totale compiuto su un punto materiale, calcolato
dalla posizione A alla posizione B lungo una traiettoria, coincide con la variazione dell'energia
cinetica del punto da A a B. Per lavoro totale si intende la somma dei lavori compiuti da tutte le
forze che agiscono sul punto o, analogamente, il lavoro compiuto sul punto dalla risultante di
tutte le forze applicate. In formule: Wab^(tot)=Ec(B)-Ec(a) Esso si applica qualsiasi siano le
forze applicate al corpo, indipendentemente dalla loro natura. La forza F si dice conservativa
quando il lavoro (Wab^(F)) che essa compie nello spostamento dalla posizione A alla posizione
B non dipende dal percorso seguito, ma solo dalle coordinate di A e di B. Per ogni forze
conservativa è possibile definire una energia potenziale U^(F), funzione di punto, tale che si
abbia sempre: Wab^(tot)= U^(F)(A)-U^(F)(B) Se tutte le forze che compiono lavoro su un punto
materiale che si sposta dalla posizione A alla posizione B sono conservative, il lavoro totale
compiuto sul punto da A a B può essere calcolato come differenza dell'energia potenziale totale
U, tra il punto A e il punto B, cioè:
W^(tot)_AB= U(A)-U(B) Dal teorema delle forze vive risulta pertanto che: Ec(B)-Ec(A)=U(A)U(B)=> Ec(B)+U(B)=Ec(A)+U(A) Definendo l'energia meccanica (E) come la somma
dell'energia cinetica e l'energia potenziale (E=Ec+U), risulta quindi che, se tutte le forze che
compiono lavoro su un punto materiale sono conservative, il valore di E non varia nello
spostamento da A a B, e quindi l'energia meccanica si conserva.
Un corpo puntiforme di massa m, che può muoversi lungo l'asse x, è soggetto solo alla forza di
una molla ideale, avente costante elastica k. Esso viene lasciato con velocità nulla dalla
posizione in cui la molla è compressa della quantità A. Fare i grafici, e commentarli, degli
andamenti dell'energia cinetica, potenziale e totale del sistema, in funzione della coordinata x:
L'energia potenziale di una molla è pari a U(x)=(1/2)kx^2, dove si è assunto che la coordinata
x=0 corrisponda alla posizione di riposo della molla. L'energia meccanica del sistema (E) è data
dalla somma dell'energia potenziale U e dell'energia cinetica, Ec=(1/2)mv^2, essendo v la
velocità del punto. Quando la massa viene lasciata libera di muoversi, la molla è compressa
della quantità A e la massa è ferma. Pertanto, in tale posizione, l'energia meccanica del sistema
è solo potenziale e vale (1/2)kA^2. Quando la massa, soggetta alla forza di richiamo elastica,
si muove dalla posizione iniziale e raggiunge la coordinata generica x, essa acquista anche
energia cinetica. Poiché la forza elastica è conservativa, l'energia meccanica si conserva
durante il moto del punto e deve mantenersi uguale al suo valore iniziale:1/2kx^2+Ec=1/2kA^2
=> Ec=1/2k(A^2-x^2)
Gli andamenti di U, Ec e E sono mostrati in figura in funzione della coordinata x. Durante il moto
oscillatorio del punto intorno alla posizione di equilibrio (x=0) si assiste ad un continuo scambio
di energia, tra potenziale e cinetica, tale che la somma di queste rimane invariata. Si noti che
posizioni corrispondenti a coordinate con |x|>A non possono essere raggiunte dal punto perché
in tali posizioni risulterebbe un'energia cinetica negativa, che non è fisicamente possibile.
Il centro di massa di un sistema di punti è fermo in un dato sistema di riferimento. Avendo solo
questo dato a disposizione, si può dire che la quantità di moto totale e l'energia cinetica totale
del sistema sono nulle? Motivare la risposta: La coordinata del centro di massa di un sistema di
N punti materiali, aventi masse mi e posizioni individuate dai vettori ri (i = 1; 2; …N), è definita
come:
dove M è la somma di tutte le masse. La velocità del
centro di massa risulta quindi:
dove vi (i = 1; 2; :::;N) sono le velocità dei singoli
punti. Si noti che non è necessario che tutti i punti
del sistema siano fermi affinché il centro di massa
sia fermo (si pensi, per esempio, ad un disco che
ruota intorno al proprio asse di simmetria). D'altro
canto, la quantità di moto totale del sistema, definita come la somma delle quantità di moto dei
singoli punti, risulta proporzionale alla velocità del centro di massa, essendo:
E' quindi chiaro che se la velocità del centro di
massa di un sistema è nulla, sarà nulla anche la
sua quantità di moto totale. Lo stesso non vale
per l'energia cinetica totale di un sistema. Questa
è definita come la somma delle energie cinetiche
di tutti i punti, cioè:
Le quantità vi^2 che compaiono nella
sommatoria sono i moduli quadri delle velocità
dei singoli punti materiali e sono tutti positive o, al più, nulle. In particolare, l'unico caso in cui
l'energia cinetica di un sistema è nulla è quando tutti i suoi punti hanno velocità nulla. Pertanto
non è sufficiente che il centro di massa di un sistema si a fermo perché l'energia cinetica totale
del sistema sia nulla (si pensi ancora ad un disco che ruota intorno al proprio asse di simmetria).
Partendo dall'espressione più generale di lavoro di una forza, dare la definizione di forza
conservativa, a parole e in formule, specificando il significato di tutte le grandezze coinvolte.
Ricavare l'espressione dell'energia potenziale della forza peso, nel caso di un punto materiale
e di un sistema di punti: Il lavoro compiuto dalla forza F in un percorso l che unisce il punto A al
punto B si scrive, nel caso più generale:
L'integrale che compare qui è un integrale di linea,
che si riduce ad un integrale semplice quando si
consideri un percorso rettilineo. In questo caso,
indicando come asse x la retta lungo la quale si
svolge il moto, l'integrale infatti diventa:
dove Fx è la componente di F lungo l'asse x (che
è, in generale, una funzione di x) mentre xA e xB sono, rispettivamente, le coordinate di A e di
B.
Una forza si dice conservativa quando il lavoro da essa compiuto non dipende dal particolare
percorso che porta da A a B, ma solo dalle coordinate dei punti iniziale e finale. In formule:
per qualsiasi scelta dei percorsi l e l’. Quando questo accade, è
possibile definire la funzione energia potenziale U, dipendente
solo dalla posizione, tale che il lavoro W^(F)ab possa essere
calcolato come:
La funzione U(A) corrisponde al lavoro compiuto dalla
forza nello spostamento dal punto A ad un altro punto,
scelto a piacere come riferimento. Nel caso della forza peso esercitata su un punto materiale di
massa m, utilizzando un sistema di riferimento cartesiano con l'asse y verticale orientato verso
l'alto e prendendo come quota di riferimento il piano y=0, se il punto si trova alla quota yA, la
sua energia potenziale è:
Indicando
Per il calcolo dell'energia potenziale di un sistema di
N punti materiali, aventi masse mi (con i=1; ..N) e
soggetti alla forza peso, si dovranno sommare le
energie potenziali pertinenti a ciascuno dei punti.
con yi la coordinata y del punto i-esimo, si ha:
Ricordando l'espressione della coordinata y del centro di
massa del sistema, cioè:
l'energia potenziale risulta pari a:
avendo introdotto la massa totale del sistema:
L'energia potenziale coincide dunque con quella che avrebbe
un unico punto materiale, di massa M, posizionato alla quota del
centro di massa del sistema.
