Esercizio 1 (Cicchitelli – Probabilità e statistica II edizione – es. 2.18 pag. 101)
La durata di un tornio si distribuisce secondo la legge esponenziale il cui valore atteso è
2 anni.
Si determini:
a) la probabilità che il tornio duri più di un anno
b) la varianza della durata dell'utensile
c) l'intervallo di ampiezza 3 al quale corrisponde la massima probabilità di
contenere la durata effettiva del tornio
Soluzione
Sia X la v.a. che misura in anni la durata del tornio. Allora EX =
−
1
1
= 2 da cui λ = .
λ
2
1
a) Dobbiamo calcolare P( X > 1) = 1 − P (X ≤ 1) = e 2 ; 0.6065
1
b) Basta ricordare che VarX = 2 = 4
λ
c) Dobbiamo trovare il valore t ≥ 0 che massimizza la probabilità
α = P( t < X ≤ t + 3) = FX (t + 3) − FX (t ) . Sostituendo l’espressione esplicita della
FDR otteniamo: α = e
t
−
2
−
t
2
−e
−
t +3
2
−
t
2
−
3
2
= e (1 − e ) la cui derivata rispetto a t è
3
−
2
1
α ' = − e (1 − e ) che è evidentemente negativa per ogni t ≥ 0 da cui si ricava
2
subito che il massimo per α si ha in t = 0 e quindi l’intervallo cercato è [ 0,3] .
Esercizio 2 (Cicchitelli – Probabilità e statistica II edizione – es. 2.19 pag. 101)
Sia X la durata in mesi di una valvola per radio. Si supponga X : Esp( λ) con
λ = 0.04 . Per quanti mesi il rivenditore deve garantire la valvola se egli vuole che la
probabilità che soddisfi la garanzia sia α = 0.7 ?
Soluzione
Maggiore sarà la durata della garanzia e minore sarà la probabilità che la valvola non si
rompa ovvero che soddisfi la garanzia. Dobbiamo quindi trovare il valore di t tale per
cui P( X > t) = 0.7 . Una volta individuato questo valore, il massimo numero n di mesi
che soddisfa pienamente i requisiti richiesti sarà quindi la parte intera di t .
Ricaviamo t ; 8.917 invertendo la relazione e −0.04t = 0.7 da cui n = 8
Poichè t ; 9 anche la soluzione n = 9 (fornita da Cicchitelli) può essere considerata
accettabile.
