Serve ancora la logica

Serve ancora la logica?
Gabriele Lolli
Scuola Normale Superiore di Pisa
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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“Che pensi? Ma pensi?”
Se viceversa, http://www2.polito.it/didattica/polymath/
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Serve ancora la logica?
2 / 23
Matematica 2004: La matematica per il cittadino
(su iniziativa del MIUR, UMI, Soc. It. Stat.), Pubblicazioni del MIUR,
Tipografia Franzoso, Lugo di Romagna, 2006,
tema “Argomentare, congetturare, dimostrare”.
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Serve ancora la logica?
2 / 23
Matematica 2004: La matematica per il cittadino
(su iniziativa del MIUR, UMI, Soc. It. Stat.), Pubblicazioni del MIUR,
Tipografia Franzoso, Lugo di Romagna, 2006,
tema “Argomentare, congetturare, dimostrare”.
In occasione di situazioni didattiche di revisione e approfondimento,
si potrà mettere l’accento sul significato logico-matematico di dizioni
quali “esiste”, “è vero”.
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Serve ancora la logica?
2 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
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Serve ancora la logica?
3 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(2 + n = 3)
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Serve ancora la logica?
3 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(2 + n = 3)
Risposta: sı̀
n=1
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3 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
3>2
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
3>2
∃n(m + n = q) definizione di m ≤ q
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
3>2
∃n(m + n = q) definizione di m ≤ q
3 > 2, m + n ≥ m, proprietà transitiva
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
3>2
∃n(m + n = q) definizione di m ≤ q
3 > 2, m + n ≥ m, proprietà transitiva
Risposta: sı̀
x = −1
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃n(3 + n = 2)
Risposta: no
Perché?
3>2
∃n(m + n = q) definizione di m ≤ q
3 > 2, m + n ≥ m, proprietà transitiva
Risposta: sı̀
x = −1
in un altro dominio
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4 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
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√
2)
5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
√
2)
Risposta: no, perché ne seguirebbe una contraddizione.
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5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
√
2)
Risposta: no, perché ne seguirebbe una contraddizione.
Ma esiste o non esiste?
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5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
√
2)
Risposta: no, perché ne seguirebbe una contraddizione.
Ma esiste o non esiste?
Esiste se non ci sono contraddizioni tra i numeri interi.
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5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
√
2)
Risposta: no, perché ne seguirebbe una contraddizione.
Ma esiste o non esiste?
Esiste se non ci sono contraddizioni tra i numeri interi.
Che strano concetto di esistenza.
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5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x razionale ∧ x =
√
2)
Risposta: no, perché ne seguirebbe una contraddizione.
Ma esiste o non esiste?
Esiste se non ci sono contraddizioni tra i numeri interi.
Che strano concetto di esistenza.
Vuol solo dire che non lo sappiamo?
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5 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo equilatero?
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6 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo equilatero?
Risposta sı̀: Euclide I,1
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6 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo equilatero?
Risposta sı̀: Euclide I,1
A
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B
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6 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo equilatero?
Risposta sı̀: Euclide I,1
A
Gabriele Lolli (SNS)
B
Serve ancora la logica?
6 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo equilatero?
Risposta sı̀: Euclide I,1
A
Gabriele Lolli (SNS)
B
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6 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x − 1 = 0)
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7 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x − 1 = 0)
Risposta: sı̀
esiste con la formula
x=
Gabriele Lolli (SNS)
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
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7 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x − 1 = 0)
Risposta: sı̀
esiste con la formula
x=
quindi
Gabriele Lolli (SNS)
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
√
1± 5
x=
2
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7 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Gabriele Lolli (SNS)
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8 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Risposta: sı̀
esiste con la formula
x=
Gabriele Lolli (SNS)
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
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8 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Risposta: sı̀
esiste con la formula
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
quindi
x=
Gabriele Lolli (SNS)
1±
√
2
−3
,
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8 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Risposta: sı̀
esiste con la formula
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
,
2a
quindi
x=
1±
√
2
−3
,
oops, no, non esiste.
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8 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
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9 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Risposta: sı̀
in un altro dominio
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9 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x2 − x + 1 = 0)
Risposta: sı̀
in un altro dominio
R. Musil, I Turbamenti del giovane Törless, 1906
Ma . . . questa unità [immaginaria] non esiste . . . non può esistere . . . con
certezza matematica, è impossibile.
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9 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
x=
Gabriele Lolli (SNS)
1±
√
−3
2
Serve ancora la logica?
10 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
x=
1±
√
−3
2
R. Musil, I Turbamenti del giovane Törless, 1906
[. . . ] la cosa strana è appunto che con quei valori immaginari o in
qualche modo impossibili si possano tuttavia compiere le ordinarie
operazioni e alla fine ottenere un risultato tangibile! [. . . ] Non ti fa
pensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all’altro, e
che uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?
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10 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
x=
1±
√
−3
2
R. Musil, I Turbamenti del giovane Törless, 1906
[. . . ] la cosa strana è appunto che con quei valori immaginari o in
qualche modo impossibili si possano tuttavia compiere le ordinarie
operazioni e alla fine ottenere un risultato tangibile! [. . . ] Non ti fa
pensare a un ponte di cui ci sono solo i pilastri a un capo e all’altro, e
che uno attraversa tranquillo come se ci fosse tutto intero?
[ . . . ] il nostro pensiero non ha basi solide, regolari, sicure, ma procede
sopra un terreno pieno di buche. Chiude gli occhi, cessa di esistere per
un momento, eppure arriva sano e salvo dall’altra parte.
Gabriele Lolli (SNS)
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10 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)
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11 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)
Risposta: sı̀
Ma non c’è nessuna formula.
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11 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)
Risposta: sı̀
Ma non c’è nessuna formula.
Lo dice un teorema.
Gabriele Lolli (SNS)
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11 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x7 + 3x2 + 1 = 0)
Risposta: sı̀
Ma non c’è nessuna formula.
Lo dice un teorema.
Il teorema dà un metodo per “costruirlo”, cioè generarlo.
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11 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x è primo ∧ x > n)
Gabriele Lolli (SNS)
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12 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x è primo ∧ x > n)
Risposta: sı̀
Lo dice un teorema.
Gabriele Lolli (SNS)
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12 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x è primo ∧ x > n)
Risposta: sı̀
Lo dice un teorema.
Il teorema non dà un metodo per trovarlo.
Gabriele Lolli (SNS)
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12 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x è primo ∧ x > n)
Risposta: sı̀
Lo dice un teorema.
Il teorema non dà un metodo per trovarlo.
Ma determina un intervallo entro cui cade il prossimo primo.
Gabriele Lolli (SNS)
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12 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x(x è primo ∧ x > n)
Risposta: sı̀
Lo dice un teorema.
Il teorema non dà un metodo per trovarlo.
Ma determina un intervallo entro cui cade il prossimo primo.
Assicura che la ricerca è finita.
Gabriele Lolli (SNS)
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12 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Gabriele Lolli (SNS)
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13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Risposta: sı̀, lo dice un teorema.
√
√
2
2
è o razionale o irrazionale
nel primo caso si prenda
x=
√
nel secondo
x=
Gabriele Lolli (SNS)
2, y =
√
√
2
2
√
2, z =
,y =
√
√
√
2
2
2, z = 2.
Serve ancora la logica?
13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Risposta: sı̀, lo dice un teorema.
√
√
2
2
è o razionale o irrazionale
nel primo caso si prenda
x=
√
nel secondo
x=
Gabriele Lolli (SNS)
2, y =
√
√
2
2
√
2, z =
,y =
√
√
√
2
2
2, z = 2.
Serve ancora la logica?
13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Risposta: sı̀, lo dice un teorema.
√
√
2
2
è o razionale o irrazionale
nel primo caso si prenda
x=
√
nel secondo
x=
Gabriele Lolli (SNS)
2, y =
√
√
2
2
√
2, z =
,y =
√
√
√
2
2
2, z = 2.
Serve ancora la logica?
13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Risposta: sı̀, lo dice un teorema.
√
√
2
2
è o razionale o irrazionale
nel primo caso si prenda
x=
√
nel secondo
x=
Gabriele Lolli (SNS)
2, y =
√
√
2
2
√
2, z =
,y =
√
√
√
2
2
2, z = 2.
Serve ancora la logica?
13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
∃x, y, z(x, y irrazionali ∧ xy = z)
Risposta: sı̀, lo dice un teorema.
√
√
2
2
è o razionale o irrazionale
nel primo caso si prenda
x=
√
nel secondo
x=
2, y =
√
√
2
2
√
2, z =
,y =
√
√
√
2
2
2, z = 2.
Voi direste che esiste una soluzione?
Gabriele Lolli (SNS)
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13 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1
R. Carnap
“5 è un numero, non una cosa”
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1
R. Carnap
“5 è un numero, non una cosa” modo materiale di parlare
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1
R. Carnap
“5 è un numero, non una cosa” modo materiale di parlare
“5 è il nome di un numero, non il nome di una cosa”
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Risposta: sı̀
E cosa è? 1 + 1 + 1 + 1 + 1
e cosa è 1?
Esiste il termine 1 + 1 + 1 + 1 + 1
R. Carnap
“5 è un numero, non una cosa” modo materiale di parlare
“5 è il nome di un numero, non il nome di una cosa”
5 è un termine dei linguaggi aritmetici
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
14 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
5=5
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
5=5
∃x(x = 5)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
5=5
∃x(x = 5)
∃x(x = Pegaso)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
5=5
∃x(x = 5)
∃x(x = Pegaso)
∃x(x = 5) è come ∃x(x2 − x − 1 = 0)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
5=5
∃x(x = 5)
∃x(x = Pegaso)
∃x(x = 5) è come ∃x(x2 − x − 1 = 0)
x=
Gabriele Lolli (SNS)
√
1± 5
2
Serve ancora la logica?
15 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
16 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
W. Quine: essere è essere il valore di una variabile vincolata
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
16 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
W. Quine: essere è essere il valore di una variabile vincolata
Noi guardiamo alle variabili vincolate in connessione con l’ontologia
non allo scopo di sapere che cosa c’è, ma allo scopo di capire cosa una
data osservazione o dottrina, nostra o di altri, dice che c’è: e questo è
in modo preciso un problema che riguarda il linguaggio. Ma cosa c’è è
un’altra questione.
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
16 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
W. Quine: essere è essere il valore di una variabile vincolata
Noi guardiamo alle variabili vincolate in connessione con l’ontologia
non allo scopo di sapere che cosa c’è, ma allo scopo di capire cosa una
data osservazione o dottrina, nostra o di altri, dice che c’è: e questo è
in modo preciso un problema che riguarda il linguaggio. Ma cosa c’è è
un’altra questione.
Una teoria dice che ci sono i termini che possono fungere da soggetto
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste il numero 5?
W. Quine: essere è essere il valore di una variabile vincolata
Noi guardiamo alle variabili vincolate in connessione con l’ontologia
non allo scopo di sapere che cosa c’è, ma allo scopo di capire cosa una
data osservazione o dottrina, nostra o di altri, dice che c’è: e questo è
in modo preciso un problema che riguarda il linguaggio. Ma cosa c’è è
un’altra questione.
Una teoria dice che ci sono i termini che possono fungere da soggetto
x=
Gabriele Lolli (SNS)
√
1± −3
2
no
Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i numeri?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
17 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i numeri?
∃x(x è primo ∧ x > n)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
17 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i numeri?
∃x(x è primo ∧ x > n)
∃x(x > n)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
17 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i numeri?
∃x(x è primo ∧ x > n)
∃x(x > n)
infinito potenziale e infinito attuale
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
17 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i numeri?
∃x(x è primo ∧ x > n)
∃x(x > n)
infinito potenziale e infinito attuale
Esiste l’infinito attuale?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
17 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste l’infinito?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
18 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste l’infinito?
Richard Dedekind
Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenziale
del sistema semplicemente infinito [. . . ], il cui tipo astratto è la
successione numerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema nel
dominio delle nostre idee? Senza una dimostrazione logica di esistenza
resterebbe sempre il dubbio che l’idea di un tale sistema non possa per
caso contenere contraddizioni interne.
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
18 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste l’infinito?
Richard Dedekind
Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenziale
del sistema semplicemente infinito [. . . ], il cui tipo astratto è la
successione numerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema nel
dominio delle nostre idee? Senza una dimostrazione logica di esistenza
resterebbe sempre il dubbio che l’idea di un tale sistema non possa per
caso contenere contraddizioni interne.
Dedekind, come Bolzano, lo “dimostra” nel dominio dei pensieri
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
18 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste l’infinito?
Richard Dedekind
Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenziale
del sistema semplicemente infinito [. . . ], il cui tipo astratto è la
successione numerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema nel
dominio delle nostre idee? Senza una dimostrazione logica di esistenza
resterebbe sempre il dubbio che l’idea di un tale sistema non possa per
caso contenere contraddizioni interne.
Dedekind, come Bolzano, lo “dimostra” nel dominio dei pensieri
Russell si incaponisce a dimostrarlo fino al 1904, poi si rassegna
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
18 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste l’infinito?
Richard Dedekind
Dopo che nella mia analisi era stata riconosciuta la natura essenziale
del sistema semplicemente infinito [. . . ], il cui tipo astratto è la
successione numerica N , si pose la questione: esiste un tale sistema nel
dominio delle nostre idee? Senza una dimostrazione logica di esistenza
resterebbe sempre il dubbio che l’idea di un tale sistema non possa per
caso contenere contraddizioni interne.
Dedekind, come Bolzano, lo “dimostra” nel dominio dei pensieri
Russell si incaponisce a dimostrarlo fino al 1904, poi si rassegna
L’esistenza di un insieme infinito è un assioma
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Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
Gabriele Lolli (SNS)
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
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19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
Non sono d’accordo su cosa è matematica e cosa no!
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
Non sono d’accordo su cosa è matematica e cosa no!
Solo l’infinito numerabile?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
Non sono d’accordo su cosa è matematica e cosa no!
Solo l’infinito numerabile?
Tutti?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
Non sono d’accordo su cosa è matematica e cosa no!
Solo l’infinito numerabile?
Tutti?
(P(X) ha cardinalità maggiore di quella di X)
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste una scala di infiniti?
I matematici non sono d’accordo
Non sono d’accordo su cosa è matematica e cosa no!
Solo l’infinito numerabile?
Tutti?
(P(X) ha cardinalità maggiore di quella di X)
Esiste P(X) per X infinito?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
19 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
20 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Risposta più facile
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
20 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Risposta più facile
Le figure geometriche sono astrazioni da configurazioni reali fisiche?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
20 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Risposta più facile
Le figure geometriche sono astrazioni da configurazioni reali fisiche?
Questo
C
A
B
è un triangolo?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
20 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Risposta più facile
Le figure geometriche sono astrazioni da configurazioni reali fisiche?
Questo
C
A
B
è un triangolo?
Come si distinguono dai disegni?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
20 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Domande
Perché i disegni con riga e compasso devono essere accompagnati
da dimostrazioni?
Come mai le dimostrazioni fatte per un triangolo valgono in
generale?
Cosa è il triangolo generico, e come lo si conosce?
Locke, Berkeley, Husserl . . .
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Domande
Perché i disegni con riga e compasso devono essere accompagnati
da dimostrazioni?
Come mai le dimostrazioni fatte per un triangolo valgono in
generale?
Cosa è il triangolo generico, e come lo si conosce?
Locke, Berkeley, Husserl . . .
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
21 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Domande
Perché i disegni con riga e compasso devono essere accompagnati
da dimostrazioni?
Come mai le dimostrazioni fatte per un triangolo valgono in
generale?
Cosa è il triangolo generico, e come lo si conosce?
Locke, Berkeley, Husserl . . .
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
21 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Domande
Perché i disegni con riga e compasso devono essere accompagnati
da dimostrazioni?
Come mai le dimostrazioni fatte per un triangolo valgono in
generale?
Cosa è il triangolo generico, e come lo si conosce?
Locke, Berkeley, Husserl . . .
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
21 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esistono i triangoli?
Domande
Perché i disegni con riga e compasso devono essere accompagnati
da dimostrazioni?
Come mai le dimostrazioni fatte per un triangolo valgono in
generale?
Cosa è il triangolo generico, e come lo si conosce?
Locke, Berkeley, Husserl . . .
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Risposta: no
Contraddirebbe un teorema di Euclide.
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
22 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Risposta: no
Contraddirebbe un teorema di Euclide.
Ma (qualcuno potrebbe sapere che) la geometria non euclidea è non
contraddittoria, se quella euclidea lo è.
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
22 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Risposta: no
Contraddirebbe un teorema di Euclide.
Ma (qualcuno potrebbe sapere che) la geometria non euclidea è non
contraddittoria, se quella euclidea lo è.
Ciò che è non contraddittorio esiste?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
22 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Risposta: no
Contraddirebbe un teorema di Euclide.
Ma (qualcuno potrebbe sapere che) la geometria non euclidea è non
contraddittoria, se quella euclidea lo è.
Ciò che è non contraddittorio esiste?
ma dove? non si può estendere il dominio, come per −1
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
22 / 23
In quanti modi si può dire “esiste”
Esiste un triangolo con somma degli angoli interni > 180◦ ?
Risposta: no
Contraddirebbe un teorema di Euclide.
Ma (qualcuno potrebbe sapere che) la geometria non euclidea è non
contraddittoria, se quella euclidea lo è.
Ciò che è non contraddittorio esiste?
ma dove? non si può estendere il dominio, come per −1
nella nostra testa?
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
22 / 23
In quanti modi si può dire “è vero”
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
23 / 23
In quanti modi si può dire “è vero”
Un’altra volta
Gabriele Lolli (SNS)
Serve ancora la logica?
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