cristalli liquidi IV..

1
CAPITOLO IV- Ottica dei cristalli Liquidi. Applicazioni dei cristalli liquidi
I-
Richiami sulla propagazione di onde elettromagnetiche nei mezzi anisotropi
non ferromagnetici.
Come abbiamo visto, gli ordinari materiali liquido cristallini sono diamagnetici. Ciò significa
che la suscettività magnetica è molto piccola ( χ < 10-6 ) e il tensore di permeabilità
magnetica si riduce in pratica al tensore diagonale del vuoto ( µ = µ0 I ). Le proprietà
dielettriche sono, invece, rappresentate dal tensore dielettrico anisotropo ε , dunque:
e
(1)
B = µ0 H
D = εε0 E
Le equazioni di Maxwell per i campi a grande distanza dalle sorgenti sono:
∂D
(2)
rotB = µ0
∂t
∂B
(3)
rotE = −
∂t
divB = 0
(4)
divD = 0
(5)
Adesso possiamo cercare se esistono soluzioni del sistema di equazioni (2)-(5) che
corrispondano ad onde piane monocromatiche polarizzate linearmente, cioè individuate dai
campi:
(6)
E = E0e i( k •r−ωt +ϕ 0 )
i( k • r −ωt +ϕ 0 )
(7)
B = B0e
i( k • r −ωt +ϕ 0 )
(8)
D = D0e
dove k è il vettore d’onda ( k=2π/λ) che è perpendicolare al piano d’onda e ω è la pulsazione
(ω =2π ν). Sostituendo le espressioni (6)-(8) nelle (2)-(5) si trova:
(9)
k × B0 = −µ0ωD0
(10)
k × E0 = ωB0
(11)
k • B0 = 0
(12)
k • D0 = 0
Le ultime due equazioni ci dicono che i vettori D e B ( e, quindi, H) devono essere
perpendicolari al vettore d’onda k e, quindi giacciono nel piano d’onda. Inoltre, dalla (9) si
deduce che k, D e B sono fra loro perpendicolari e formano, rispettivamente, una terna
destrorsa esattamente come avviene nel caso della propagazione di un’onda piana in un mezzo
isotropo. Stavolta, però, al contrario di quanto avviene per un mezzo isotropo, il vettore campo
elettrico E non è, in generale, parallelo al vettore induzione elettrica D perchè i due vettori
sono legati dalla relazione anisotropa in eq.(1). D’altra parte, per la (10), il vettore B deve
essere perpendicolare ai vettori k ed E. Ne consegue che il vettore E deve giacere nel piano
individuato dai vettori D e k e fa un dato angolo θ con il campo D in tale piano. L’orientazione
dei vari vettori è mostrata schematicamente in figura 1.
D
B
Figura 1
θ
E
k
2
Questa situazione ha un’importante conseguenza per quanto riguarda la direzione di
propagazione dell’energia dell’onda che è individuata dal vettore di Poynting
S = E × H = E × B / µ0 . S è perpendicolare al piano individuato dai vettori E e B e, dunque, è
diretto lungo una direzione diversa da quella del vettore d’onda k al contrario di quanto avviene
per la propagazione nei mezzi isotropi. Ricordiamo qui che il vettore d’onda è un vettore
perpendicolare ai piani su cui la fase dell’onda ha un valore univivocamente definito ( vedi
eq.(6)-(8)).
Come abbiamo visto, i vettori D e B giacciono nei piani d’onda. Nel seguito, per
un’onda polarizzata linearmente, definiremo come direzione di polarizzazione quella
individuata dal vettore D. Per trovare le soluzioni generali del sistema ( 9)-(12) e la relazione di
dispersione che lega la pulsazione ω a k, si deve sostituire nella (9) la relazione che lega il
vettore D al campo elettrico E (eq.(1)). I calcoli sono noiosi e qui ci limitiamo a riassumere i
risultati principali. Nel caso di un mezzo isotropo (D =εε0E) , qualunque sia il vettore k e
qualunque sia la direzione di polarizzazione lineare dell’onda, esistono sempre soluzioni del
sistema (9)-(12) che soddisfano la relazione di dispersione ω =vk, dove v =1/(εε0µ0)1/2= c/n
rappresenta la velocità di fase della luce nel mezzo isotropo, c quella nel vuoto ed n =(ε)1/2 è
l’indice di rifrazione. Nel caso di un mezzo anisotropo, invece, per una generica orientazione
del vettore d’onda k e del vettore di polarizzazione, in generale, le equazioni (9)-(12) non
ammettono una soluzione. Ciò significa che le onde piane polarizzate linearmente delle
equazioni (6)-(8) non sono, in generale, soluzioni delle equazioni di Maxwell. Con calcoli
lunghi e tediosi si dimostra, però, che per ogni orientazione del vettore d’onda k, esistono
sempre due direzioni di polarizzazione fra loro ortogonali che risolvono il sistema di equazioni
(9)-(12). Le onde piane polarizzate linearmente lungo tali direzioni si propagano con velocità v1
e v2 diverse fra loro. Le espressioni matematiche che permettono di individuare tali
polarizzazioni e le relative velocità sono piuttosto complesse. Esiste, però, un semplice metodo
grafico che permette di individuare in modo semplice l’orientazione delle due polarizzazioni di
tali onde e le loro velocità di fase. Esso consiste nel disegnare l’ellissoide degli indici , cioè, la
superficie di equazione:
x 2 y 2 z2
+
+
=1
(13)
n12 n 22 n 32
dove n1,n2 e n 3 sono gli indici di rifrazione lungo la terna di assi cartesiani x (1), y (2) e z (3)
che diagonalizzano il tensore dielettrico εij. Essi sono legati alle componenti diagonali del
tensore dielettrico dalle semplici relazioni:
n1 = ε11
, n 2 = ε22
e
n 3 = ε33
(14)
Senza perdere in generalità, possiamo sempre fare la scelta di ordinare gli assi x,y e z in modo
tale che risultino valide le disuguaglianze:
(15)
n1 ≤ n 2 ≤ n 3
L’ellissoide è mostrato schematicamente in fig.2.
3
z
k
assi
straordinario
ed ordinario
x
intersezione fra
piano d'onda e
ellissoide
Figura 2: ellissoide degli indici e direzioni di polarizzazione straordinaria ed ordinaria. L’asse y è parallelo
all’asse ordinario ed entrante nel foglio. Le lunghezze dei semiassi sono pari agli indici di rifrazione n’ e n ’’
“visti” dalle due onde.
Per trovare le due direzioni di polarizzazione privilegiate che corrispondono ad una data
direzione di propagazione dell’onda e le due corrispondenti velocità v1 e v 2 , si opera nel
seguente modo. Per una data direzione del vettore d’onda k, risulta univocamente individuato il
piano d’onda perpendicolare a k e passante per l’origine degli assi. Questo piano interseca
l’ellissoide degli indici lungo un’ellissi caratterizzata da due ben definiti semiassi. Le
orientazioni dei semiassi rappresentano le direzioni di polarizzazione cercate. Le lunghezze dei
semiassi rappresentano, invece, gli indici di rifrazione “visti” dalle due onde polarizzate lungo i
rispettivi semiassi (vedi fig.2). Ciò significa che, se n’ ed n’’ indicano tali indici, le
corrispondenti velocità di fase delle onde associate sono v1=c/n ’ e v2=c/n’’. Poichè vale la
disuguaglianza (15), è facile rendersi conto che esistono due direzioni speciali del vettore k
giacenti nel piano xz e simmetriche rispetto all’asse z in corrispondenza delle quali
l’intersezione del piano d’onda si riduce ad un cerchio di raggio uguale ad n2. Infatti,
all’aumentare dell’angolo θ fra il vettore d’onda e l’asse z, la lunghezza del semiasse dell’ellissi
giacente nel piano xz cresce partendo da n1 (per θ =0) fino a n 3 (per θ =π/2) (vedi fig.2).
Dunque, deve esistere un angolo intermedio in cui la lunghezza del semiasse eguaglia il valore
n2. In questo caso, l’intersezione del piano d’onda si riduce ad un cerchio di raggio uguale ad
n2 e, perciò, non si possono più individuare due semiassi ben definiti e, quindi due direzioni di
polarizzazione privilegiate. Dunque, un’onda polarizzata lungo qualunque direzione nel piano
d’onda “vede” sempre lo stesso indice di rifrazione n2 e viaggia con la stessa velocità di fase
indipendentemente dalla sua polarizzazione come avverrebbe se si propagasse in un mezzo
isotropo. Queste due direzioni vengono detti gli assi ottici del materiale anisotropo. Per una
radiazione che si propaga lungo uno di tali assi, il sistema è del tutto equivalente ad un mezzo
isotropo.
II- Propagazione di onde e.m. in mezzi uniassici.
Un caso particolarmente importante è quello dei cristalli liquidi nematici e smettici per i
quali, nel riferimento dove è diagonale il tensore dielettrico vale l’uguaglianza ε11=ε22 e, quindi,
n1=n2. In tal caso l’ellissoide degli indici si riduce ad un ellissoide di rotazione attorno all’asse
z e i due assi ottici vengono a coincidere in un unico asse (l’asse z che è parallelo al direttore
n). Per tale motivo materiali di questo tipo vengono detti mezzi uniassici. Il comportamento di
tali materiali è individuato da due soli parametri ottici caratteristici: “ l’ indice di rifrazione
ordinario” no (n o =n1=n2) e “l’ indice di rifrazione straordinario” ne (ne=n3). L’espressione
dell’ellissoide degli indici si riduce a:
x 2 y 2 z2
+
+
=1
(16)
n o2 n o2 n e2
4
Nel seguito ci concentremo sulle proprietà ottiche di tali materiali. Supponiamo, ora, di avere
un mezzo uniassico omogeneo con asse ottico n lungo l’asse z e un’onda che si propaga con
un vettore d’onda k che fa un dato angolo θ con n. Data la simmetria di rotazione del sistema
rispetto all’asse z, si può sempre scegliere l’asse x nel piano contenente il vettore d’onda e
l’asse ottico. Si vede facilmente che il piano d’onda passante per l’origine degli assi interseca
l’ellissoide degli indici lungo una ellissi che ha un semiasse di lunghezza no lungo l’asse y
perpendicolare al piano individuato dal vettore d’onda k e dal direttore n (piano y =0). L’altro
semiasse giace nel piano y =0 ed ha una lunghezza n(θ) che dipende dal valore dell’angolo θ
(vedi figura 3 dove è mostrata la sezione dell’ellissoide nel piano y =0). L’onda polarizzata
lungo l’asse y viene detta “onda ordinaria” e “vede” sempre lo stesso indice ordinario n o,
mentre l’altra viene detta onda straordinaria e “vede” l’indice n(θ).
z
k
ne
θ
P
n(θ)
O
n
o
x
Figura 3: sezione dell’ellissoide nel piano contenente il vettore k e l’asse ottico z. n o e ne sono le lunghezze dei
semiassi dell’ellissi.
Il valore dell’indice n(θ) è pari alla lunghezza del segmento OP in fig.3, dove P =(x,y) è il
punto di intersezione fra l’ellissi di equazione:
x 2 z2
+
=1
(17)
n o2 n e2
e il piano d’onda ortogonale a k. Dalla figura si deduce facilmente che x =|0P |cos θ =n(θ) cos
θ e z =|0P |sin θ = n(θ) sin θ. sostituendo tali espressioni di x e z nella (17) si trova
n (θ ) =
1
(18)
cos2 θ sin 2 θ
+
n o2
n e2
Per θ = 0, n(θ)=no mentre, per θ = π /2, n(θ)=ne. l’andamento di n(θ ) è mostrato
schematicamente in figura 4.
5
Figura 4. Indice di rifrazione dell’onda straordinaria in funzione dell’angolo θ fra il vettore d’onda e il direttore.
In figura abbiamo assunto n o=1.50 e ne=1.70 che rappresentano valori caratteristici per molti cristalli liquidi
nematici.
In conclusione, per un dato vettore d’onda che fa un angolo θ con l’asse ottico, l’onda ordinaria
polarizzata perpendicolarmente all’asse ottico viaggia con la velocità di fase ordinaria vo= c/no,
mentre l’onda straordinaria polarizzata nel piano contenente k e l’asse ottico n viaggia con la
velocità ve=c/n(θ).
Consideriamo, ora una lamina di materiale uniassico di spessore d e con asse ottico n
dovunque orientato lungo una data direzione. Un’onda elettromagnetica monocromatica
polarizzata linearmente di lunghezza d’onda nel vuoto pari a λ0 e pulsazione ω incide sulla
lamina. Per quanto visto, il vettore D giace nel piano d’onda e individua la direzione di
polarizzazione. Nel piano d’onda perpendicolare al vettore d’onda sono univocamente
determinate due direzioni ortogonali corrispondenti alle polarizzazioni ordinaria e straordinaria.
Indichiamo con “x” l’asse straordinario nel piano d’onda e con “y” l’asse ordinario. Cosa
succede se si ha un’onda che è polarizzata linearmente lungo una direzione che fa un angolo α
con l’asse ordinario ?
y
Do
D
α
De
x
Figura 4’ : Scomposizione del vettore D in una componente D e polarizzata lungo l’asse straordinario ed una Do
polarizzata lungo l’asse ordinario. Il piano xy è il piano d’onda perpendicolare al vettore d’onda k.
In questo caso, il campo di induzione D può essere scomposto in due componenti: la
componente ordinaria Do e quella straordinaria De che sono date da:
e
(19)
De = D cosα
Do = D sin α
Ciò significa che l’onda incidente può essere sempre pensata come la sovrapposizione di due
onde, l’onda ordinaria e l’onda straordinaria che si propagano nel mezzo con due diverse
velocità di fase: la velocità ordinaria e con quella straordinaria. Una conseguenza diretta è che,
se l’onda incide sulla lamina con un angolo di incidenza θi diverso da zero, i vettori d’onda
delle due onde ordinaria e straordinaria vengono deviati lungo direzioni diverse (vedi figura 5)
individuate dagli angoli di rifrazione θo e θe che soddisfano la legge di Snell:
e
(20)
n sin θ i = n (θ )sin θ e
n sin θ i = n o sin θ o
dove n è l’indice di rifrazione del mezzo di incidenza. Questo fenomeno caratteristico dei
mezzi anisotropi è noto con il nome di birifrangenza ottica.
fascio
incidente
θi
mezzo isotropo
mezzo anisotropo
fasci
straordinario
e ordinario
6
Figura 5.
Ovviamente, se l’incidenza è normale (θ i=0) i due fasci proseguono indisturbati nel mezzo
(attenzione questo vale per i vettori d’onda che sono perpendicolari ai piani d’onda ma non per
la direzione di propagazione dell’energia individuata dai vettori di Poynting).
Un caso particolarmente importante si verifica quando l’onda si propaga lungo l’asse z
perpendicolare alla lamina anisotropa di spessore d (incidenza normale). La superficie di
incidenza è il piano z=0. In tal caso le onde straordinaria ed ordinaria sono descritte da:
(21)
Dx = D0 cosα exp[i( n (θ ) k0 z − ωt)]
Dy = D0 sin α exp[i( n o k0 z − ωt)]
(22)
dove D0 è l’ampiezza dell’onda incidente e k0 =2π/λ0 è il vettore d’onda nel vuoto e ω =ck0 è la
pulsazione. Per scrivere la (21) e la (22) abbiamo scelto l’origine dei tempi in modo che la fase
dell’onda sia nulla nel piano z =0 al tempo t =0. All’uscita dalla lamina [z = d in eq.(21) e
(22)] le due onde hanno una differenza di fase
2π
δ = [ n (θ ) − n o ]k0 d =
∆lott
(23)
λ0
dove si è definita la differenza di cammino ottico
(24)
∆lott = [ n (θ ) − n o ]d
Come è noto, due onde polarizzate linearmente che hanno una differenza di fase δ danno
origine ad un’onda risultante che è polarizzata ellitticamente cioè con il vettore D che ruota con
velocità angolare ω descrivendo una ellissi invece che oscillare. Dunque, l’effetto della lamina
birifrangente è quello di trasformare un’onda che era inizialmente polarizzata linearmente
lungo una direzione che fa l’angolo α con l’asse straordinario x, in un’onda polarizzata
ellitticamente quando esce dalla lamina. Naturalmente, se lo sfasamento è un multiplo di 2π,
l’onda risultante torna ad essere polarizzata linearmente.
Un caso particolarmente importante si realizza quando l’onda incidente è polarizzata
linearmente lungo un asse che fa un angolo α =π/4 con l’asse straordinario. In tal caso si
dimostra che:
1) gli assi lungo e corto dell’ellissi di polarizzazione sono, rispettivamente parallelo ed
ortogonale alla direzione di polarizzazione.
2) il rapporto fra i semiassi dell’ellissi , cioè l’eccentricità è pari a
e = tan (δ/2)
3) per δ =π/2 ( ∆lott= λ /4, lamina a quarto d’onda) l’ellitticità è pari ad 1 e l’onda
uscente è un’onda polarizzata circolarmente, mentre per δ =π ( ∆lott=λ/2, lamina a
semionda) l’onda uscente è polarizzata linearmente ma dungo la direzione
ortogonale alla direzione di polarizzazione dell’onda incidente.
Alcuni casi che si verificano al variare di δ sono mostrati schematicamente in figura 6.
7
Dy
Dy
Dy
Dx
δ=0
Dy
δ = π/4
δ = π/2
Dy
Dy
Dx
δ = 3π/4
Dx
Dx
Dx
Dx
δ=π
δ = 2π
Figura 6. Polarizzazioni al variare dello sfasamento δ.
3-Intensità della radiazione fra polarizzatori incrociati.
Un modo utile per studiare una lamina cristallina è quello di osservarla al microscopio
polarizzatore in luce monocromatica. La luce che incide sul campione viene polarizzata da un
polarizzatore P e, dopo aver attraversato il campione, viene fatta passare attraverso ad un
analizzatore A. La lamina è posta su una tavola che può ruotare attorno all’asse del
microscopio. Dunque, ruotando la piastra, si varia con continuità l’orientazione dell’asse ottico
e, quindi, gli angoli α e β che l’asse del polarizzatore e quello dell’analizzatore fanno con la
direzione di polarizzazione dell’onda straordinaria (asse x). Le componenti del vettore D
all’uscita del campione sono date dalle equazioni (21) e (22) con z =d. Conseguentemente, il
campo uscente dall’analizzatore che fa l’angolo β con l’asse straordinario x è dato da:
D ' = Dx cos β + Dy sin β = D0 {cosα cos β exp[i(γ + δ − ωt)] + sin α sin β exp[i(γ − ωt)]}
(25)
Ricordando che l’intensità dell’onda è data da I =γD’(D’)* con γ =costante di proporzionalità,
si trova dopo semplici passaggi algebrici:
(26)
I = I 0 cos2 (β − α ) − sin(2α )sin(2β )sin 2 δ 2
Dove abbiamo definito l’intensità I0 = γ D02. Per un campione trasparente, I 0 può essere
misurata direttamente rimuovendo la lamina cristallina e misurando l’intensità trasmessa fra
polarizzatori paralleli ( α =β e δ =0 in eq.(26)). Si danno due casi importanti:
a) Polarizzatori incrociati : β =α+π/2.
In tal caso, la (26) diventa:
I ⊥ = I 0 sin 2 (2α )sin 2 δ 2
(27)
[
( )]
( )
Se il campione viene ruotato attorno all’asse z del microscopio, l’angolo α con la direzione di
polarizzazione varia di conseguenza mentre i due polarizzatori restano incrociati. L’andamento
dell’intensità trasmessa in funzione di α per δ =π e in funzione di δ per α =π/4 è mostrato in
figura 7.
8
Figura 7.
Dalla (27) si deduce che l’intensità trasmessa si annulla ogni volta che il polarizzatore è
orientato lungo l’asse straordinario (α =0 o α =π) o ortogonale a tale asse (α =π/2 e α =3π/2).
I massimi di intensità si raggiungono , invece, quando il polarizzatore fa un angolo α =π/4 ( o
3/4π, 5/4π e 7/4π) con l’asse straordinario. La procedura che viene usata sperimentalmente
consiste nel ruotare il campione fino a trovare un’estinzione della luce trasmessa. Dopodichè si
compie un’ulteriore rotazione di π/4 in modo che sin2(2α)=1 in eq.(27). In queste condizioni
dalla misura dell’intensità trasmessa si può dedurre il valore di sin2(δ/2) e, quindi lo sfasamento
δ (a meno di multipli di 2π).
b) Polarizzatori paralleli : β =α.
In tal caso, la (26) diventa:
I // = I 0 − I 0 sin 2 (2α )sin 2 δ 2
(28)
( )
Si noti che I // + I ⊥ = I 0 , dunque I0 può essere determinato anche misurando la somma delle
intensità fra polarizzatori incrociati e paralleli.
4- Sistemi ottici con asse ottico che varia lungo l’asse z perpendicolare alla lamina.
Fino ad ora abbiamo considerato una lamina uniassica di spessore d con asse ottico
dovunque orientato lungo la stessa direzione. In realtà, nel caso dei cristalli liquidi si presenta
spesso la situazione in cui l’asse ottico varia spazialmente lungo l’asse z perpendicolare alla
lamina ( geometria di twist o di splay-bend). Consideriamo un’onda elettromagnetica che
incide perpendicolarmente su una lamina di cristallo liquido. In queste condizioni, il piano
d’onda xy coincide con il piano della lamina.
a) distorsione di splay-bend.
In questo caso, il direttore n (asse ottico) giace dovunque nel piano xz ( vedi figura 8) e forma
un angolo θ (z) con la normale allo strato ( asse z, direzione di propagazione del fascio
incidente).
z
z
x
θ
n
Figura 8: distorsione di splay-bend che si verifica quando un campo elettrico o magnetico superiore alla soglia di
Freederickz viene applicato perpendicolarmente alle superfici su un campione planare.
Per quanto visto in precedenza, l’asse ordinario è perpendicolare al piano individuato dal
vettore d’onda e dal direttore, mentre l’asse straordinario è diretto lungo la proiezione del
direttore nel piano d’onda (piano xy in figura). Ne consegue che l’asse ordinario è sempre
parallelo all’asse y, mentre quello straordinario è lungo x. Se isoliamo uno straterellino
infinitesimo di spessore dz esso si comporta come una lamina uniformemente orientata
all’angolo θ (z). Lo sfasamento fra raggio straordinario ed ordinario nell’attraversare lo
straterellino è
(29)
dδ = [ n (θ ( z)) − n o ]k0 dz
Lo sfasamento risultante nell’attraversamento dell’intera lamina di cristallo liquido è:
d
δ = k0 ∫ [ n (θ ( z)) − n o ]dz
0
(30)
dove n(θ) è dato dalla (18). Poichè l’angolo θ(z) dipende dall’intensità dei campi (elettrici o
magnetici) applicati, anche lo sfasamento δ dipende dall’intensità dei campi. Inoltre, i campi
9
necessari per avere sensibili variazioni di δ sono generalmente piccoli. Ciò rende
particolarmente attraenti i cristalli liquidi per costruire modulatori elettroottici.
b) distorsione di twist.
Nel caso di una distorsione di twist, il direttore ruota gradualmente nel piano xy al variare di z.
Di conseguenza l’asse straordinario e quello ordinario ruotano solidalmente con il direttore.
l’analisi del comportamento ottico di un tale sistema è piuttosto complesso ma si semplifica
notevolmente se la lunghezza caratteristica su cui avviene la distorsione di twist è molto minore
della lunghezza d’onda della luce. In questo caso si dimostra il seguente Teorema adiabatico:
un fascio di luce che incide sulla lamina con polarizzazione parallela al direttore (fascio
straordinario) si propaga con la velocità di fase straordinaria con il vettore di polarizzazione che
ruota solidalmente con il direttore, un fascio ordinario si propaga con la velocità di fase
ordinaria con la polarizzazione che si mantiene in ogni punto ortogonale al direttore. Dunque,
per una generica polarizzazione, il fascio incidente viene separato in due fasci ( ordinario e
straordinario) che si propagano con le relative velocità e con polarizzazioni che ruotano
solidalmente con il direttore.
5- Modulatori di luce e display elettroottici.
L’anisotropia ottica dei cristalli liquidi e la grande facilità con cui questa può essere variata
ricorrendo a campi elettrici esterni relativamente deboli ( sono sufficienti voltaggi di pochi
volts applicati ai capi di una cella elettroottica) rende questi materiali particolarmente attraenti
per applicazioni magnetoottiche, elettroottiche e opto-ottiche. Le prime applicazioni
elettroottiche di questi materiali risalgono ai primi anni ottanta ma è solo nell’ultimo decennio
che, grazie a notevoli progressi tecnologici, è stato possibile raggiungere un alto grado di
affidabilità. Finora le principali applicazioni riguardano i display ( orologi, calcolatori da tasca,
schermi del computer, schermi televisivi, proiettori) ma negli ultimi anni è stato anche mostrato
che l’orientazione del direttore può essere facilmente modificata utilizzando il campo elettrico
della radiazione ottica. Dunque, dal punto di vista ottico, questi sistemi sono fortemente
nonlineari. Infatti, l’indice di rifrazione “visto” dalla radiazione dipende dall’orientazione del
direttore che è, a sua volta, dipendente dall’intensità dell’onda. Ciò significa che l’indice di
rifrazione è una funzione dell’intensità, cioè il sistema si comporta come un materiale
otticamente non lineare con importanti possibili applicazioni nel campo delle tecnologie ottiche
per il trasporto di informazioni.
Nel seguito daremo una breve e non esaustiva descrizione delle applicazioni più importanti nel
campo dei displays elettroottici.
I principali vantaggi degli schermi a cristallo liquido sono: schermi piatti; basso
consumo di energia ; possibilità di ridurre al minimo i disturbi arrecati dallo stare a lungo
davanti allo schermo. Gli svantaggi sono: angolo di vista limitato, contrasto limitato, alti costi.
Tutti questi svantaggi si stanno riducendo notevolmente di anno in anno e diventeranno
probabilmente trascurabili nel prossimo futuro.
Generalmente il cristallo liquido si trova fra due piastre di vetro piane e parallele poste
ad una distanza d dell’ordine di pochi micron. Sulle superfici interne di ciascuna piastra (quelle
a contatto con il cristallo liquido) viene depositato un sottile strato di ossido conduttore
trasparente ( ITO) di spessore inferiore a 100 nm che permette l’applicazione di una d.d.p. e il
passaggio della luce. Sullo strato di ITO è depositato un polimero ( polyimide) strusciato in
modo da imporre un allineamento ben definito. Generalmente, uno o due polarizzatori
(polaroid) vengo posti su uno o su entrambi i vetrini. Nella maggior parte dei casi i
polarizzatori sono disposti in modo che, in assenza di campo, la luce non attraversi i
polarizzatori incrociati. Se si applica un campo superiore alla soglia, il direttore inizia a
distorcersi e, di conseguenza, la luce inizia a passare attraverso al display.
10
vetro
z
ito
polyimide
polarizzatori
x
E
ito
vetro
Figura 9.
I parametri più importanti per il display sono: il voltaggio di soglia Vs, e la rapidità della
risposta, che dipende inversamente dalla differenza di voltaggio necessaria per passare dal
10% al 90% della massima brillantezza (V90-V1 0 ). Altri parametri importanti sono i tempi
caratteristici di risposta Ton all’accensione del campo e quello Toff allo spegnimento.
Normalmente To f f > Ton . Infatti, il rilassamento verso la configurazione iniziale allo
spegnimento del campo è dovuto solamente alle coppie di richiamo elastiche che tendono a
ridurre la distorsione. Invece, la riorientazione dipende dalle coppie del campo che sono
normalmente più grosse. Infine, un altro importante parametro è il rapporto di contrasto
definito come il rapporto fra le intensità di luce misurate al massimo campo e a campo zero. Il
rapporto di contrasto dipende fortemente dall’angolo di vista (angolo con cui viene osservato il
display) e decresce all’aumentare di esso. Rispetto ai primi display, il massimo angolo di vista
è cresciuto notevolmente negli ultimi decenni rendendo i display a cristallo liquidi ormai
competitivi con quelli a tubo catodico.
Generalmente un display è costituito da un numero più o meno grande di pixel, cioè di
cellette adiacenti del tipo mostrato in fig.9 elettricamente separate. Per pilotare i pixel si
possono usare due distinte metodologie. a) pilotaggio diretto. In tal caso, ogni pixel è connesso
alla sorgente di voltaggio con due fili conduttori. Questo tipo di pilotaggio può essere utilizzato
solamente per sistemi costituiti da un numero ridotto di pixel ( ad es. i display degli orologi)
ma è assolutamente impraticabile nel caso dei display più grandi dove sarebbero necessarie
molte decine o centinaia di migliaia di fili.
b) pilotaggio multiplexing. In questo caso tutti i pixel di una colonna sono connessi insieme
elettricamente su una piastra e tutti quelli su una riga sono connessi insieme sull’altra piastra.
Le righe sono indirizzate serialmente ( cioè i voltaggi vengono assegnati in una sequenza
temporale a partire dalla prima riga fino alla colonna N per poi ripartire dalla prima), mentre i
vari voltaggi di ciascuna colonna sono applicati separatamente. Supponiamo , ad esempio, che
il cristallo liquido si riorienti completamente con una differenza di potenziale di 2 V. In tal
caso, un voltaggio positivo di 1 V verrà inviato alle righe e un voltaggio negativo di –1 V alle
colonne. La differenza di voltaggio applicato ad un singolo pixel è, perciò V= Vr-Vc=2V dove
Vr e Vc sono i voltaggi di riga e di colonna. Questo tipo di indirizzamento ha lo svantaggio che ,
normalmente, resta sempre un voltaggio diverso da zero su un singolo pixel anche quando si
vorrebbe che il pixel fosse nello stato off. Ad esempio, supponiamo di voler accendere il pixel
con numero di riga i e di colonna j. Per far ciò, bisogna mandare un voltaggio +1V sulla riga i
e –1V sulla colonna j. Ma allora, qualunque altro pixel della riga i e della colonna j sarà
soggetto ad una d.d.p. di 1 V. Dunque , questi pixel non sono completamente spenti e ciò può
ridurre notevolmente il contrasto del display.
I principali displays si suddividono in passivi ed attivi. I primi sono meno costosi e
richiedono più basse energie ma hanno più basso angolo di vista e peggiori caratteristiche
dell’immagine. I secondi hanno una qualità di immagine superiore ma sono più costosi e
consumano una maggior quantità di energia.
A) il Twisted Nematic.
In questa configurazione gli assi facili sono paralleli alle superfici ma fanno un angolo di 90°
fra di loro. I polarizzatori sulle due superfici sono incrociati fra loro e paralleli al direttore su
11
ciascuna superficie. Il cristallo liquido assume, perciò, una configurazione di twist. Spesso, un
materiale chirale è disciolto nel campione in modo da favorire dovunque lo stesso verso del
twist ( per un nematico puro, se le orientazioni sulle due superfici sono esattamente a 90°, la
configurazione con rotazione oraria e quella con rotazione antioraria hanno esattamente la
stessa energia libera e, quindi, sono egualmente probabili). Per il Teorema adiabatico (vedi
paragrafo 4 punto b)), se il polarizzatore è parallelo al direttore in entrata, la radiazione è
interamente straordinaria e si propaga con la velocità straordinaria ruotando il vettore di
polarizzazione solidalmente con il direttore. Ciò significa che la polarizzazione in uscita dalla
lamina è uguale all’orientazione del direttore in uscita che è a 90° con il polarizzatore in
ingresso. Dunque la radiazione in uscita ha una polarizzazione parallela all’analizzatore e la
cella appare luminosa. Quando il campo, superiore alla soglia, viene applicato sul campione, il
direttore tende ad orientarsi lungo l’asse z perpendicolare alle piastre e la configurazione di
twist viene distrutta. Conseguentemente, la polarizzazione della radiazione non viene più
ruotata di 90° e viene parziamente estinta dall’analizzatore. Allo spegnimento del campo, il
sistema torna gradualmente nella configurazione iniziale. Usando filtri rossi,blu e verdi su
gruppi adiacenti di 3 pixel si ottiene un display colorato. Spesso, invece di usare polarizzatori
incrociati, si utilizzano polarizzatori paralleli. In tal caso non si ha passaggio di luce in assenza
di campo e si ha passaggio di luce con il campo applicato.
Questa configurazione con pilotaggio multiplexing viene usata in numerosi LCDs a
matrice passiva. Essi hanno diversi inconvenienti. In primo luogo la brillantezza è ridotta
perchè i polarizzatori assorbono comunque più di metà della radiazione incidente. In secondo
luogo, il contrasto decresce rapidamente all’aumentare dell’angolo di vista perchè il teorema
adiabatico è ben verificato solo per incidenza normale. Inoltre, la curva brillantezza-voltaggio
non è molto ripida e, quindi, si ha un contrasto scarso. Queste caratteristiche rendono il
sistema non utilizzabile, ad esempio, per schermi televisivi.
B) il super-twisted nematic.
In questo caso la configurazione a campo spento è ancora di twist ma il twist è di 270° invece
che 90°. Una situazione con twist di 270° si ottiene ancora imponendo due assi facili a 90° sulle
due superfici. Infatti, se il direttore su una superficie è orientato lungo un asse x, una rotazione
uniforme di 270° lo porta ad essere antiparallelo all’asse facile sulla seconda superficie. Data
l’equivalenza fra n e –n, questa situazione è compatibile con la condizione al contorno imposta
dalla seconda superficie e rappresenta una soluzione stazionaria per il direttore ( risolve
l’equazione di Eulero-Lagrange del volume) . Tuttavia, tale configurazione ha, ovviamente,
una energia elastica maggiore di quella corrispondente ad un twist di 90° e , quindi,
rappresenta un minimo relativo dell’energia libera totale ma non un minimo assoluto. Ne
consegue che, per un cristallo liquido nematico puro, la situazione super-twisted non si può
realizzare perchè una rotazione di soli 90° è favorita energeticamente. Per realizzare tale
situazione si deve aggiungere al cristallo liquido un materiale chirale che induca una torsione
spontanea ( struttura colesterica) con twist di 270° sullo spessore d della cella. Questa scelta
permette di ottenere una risposta brillantezza-voltaggio molto più ripida di quella del twistednematic in modo da aumentare notevolmente il contrasto. Inoltre anche l’angolo di vista risulta
notevolmente aumentato.
Un notevole miglioramento di alcune caratteristiche come l’angolo di vista si ottiene
con i super-twisted display a celle doppie. In tal caso, due display con twist di 270° in versi
opposti sono sovrapposti uno sull’altro. Il teorema adiabatico su cui si basa il funzionamento
dei twisted-nematic è valido solo nel limite di lunghezze d’onda molto minori dello spessore
della cella. Le deviazioni dal teorema adiabatico dipendono, perciò, dalla lunghezza d’onda
della radiazione. Ne consegue che il contrasto dipende dalla lunghezza d’onda è ciò porta a
disturbi di colorazione del display. Usando celle successive con twist in verso opposto, questi
12
effetti spuri tendono a compensarsi portando a minori disturbi cromatici ed anche ad un
aumento dell’angolo di vista.
I sistemi precedentemente descritti sono a matrice passiva. Un notevole miglioramento
delle caratteristiche di questi displays (contrasto e velocità di commutazione) si ottiene
inserendo su ciascun pixel un transistor a film sottile. Questi displays sono ben compatibili con
un indirizzamento veloce che è richiesto, ad esempio, per gli schermi televisivi. Questo
transistor fa in modo che il voltaggio di colonna viene sentito solamente dalla riga che viene
indirizzata. Tali sistemi vengono detti a matrice attiva e sono, ovviamente, molto più costosi.
Infine è importante ricordare che il funzionamento dei display dipende notevolmente dal
tipo di multiplexing utilizzato per indirizzare le righe e le colonne del display. Recentemente è
stato introdatta una nuova metodologia di multiplexing ( indirizzamento attivo) che permette di
migliorare notevolmente le caratteristiche di funzionamento dei display passivi a spese di una
maggior complessità dell’elettronica.
Tutti i sistemi passivi descritti fino ad ora sono di tipo monostabile. Quando il campo viene
acceso, essi passano dalla configurazione iniziale ad una nuova configurazione. Allo
spegnimento del campo, il sistema rilassa nuovamente verso la configurazione iniziale. Questo
comportamento pone dei problemi per l’indirizzamento multiplexing che vengono risolti
utilizzando i sistemi attivi. In principio, questi problemi verrebbero risolti se si potesse
utilizzare sistemi bistabili, cioè sistemi che passano da uno stato “off” ad uno stato “on” quando
sottoposti ad un impulso “+” restando nello stato “on” finchè non arriva un successivo impulso
“-“ che li manda nello stato “off”. Molta della ricerca attuale è rivolta a cercare configurazioni
bistabili che soddisfino a questi requisiti. Un sistema di questo tipo è quello attualmente
commercializzato dalla Nemoptic che sfrutta la transizione di saturazione descritta nel capitolo
precedente.
Altri sistemi molto promettenti a causa delle alte velocità di commutazione sono i display che
utilizzano smettici C* che sono ferroelettrici. In particolare, è stato proposta una configurazione
detta Surface Stabilized Ferroelectric che, in via di principio, presenta notevoli vantaggi fra
cui quello di essere bistabile. Purtroppo, però, restano ancora numerosi problemi di tipo
tecnico che devono essere ancora risolti prima che questo tipo di display possa soppiantare
quelli descritti in precedenza.
C) i Polymer-dispersed liquid crystals.
Un’altra interessante categoria di displays sono i polymer-dispersed liquid crystals. In questo
caso un cristallo liquido viene mescolato in opportune concentrazioni con materiali chimici
che, reagendo insieme, polimerizzano. Una situazione di questo tipo si può ottenere, ad
esempio, utilizzando una comune colla epossidica a due componenti e miscelando le due
componenti con un cristallo liquido. Quando, al passare di tempo il materiale polimerizza e la
colla si solidifica, si ha una separazione di fase fra cristallo liquido e polimero e si formano
delle bolle sferiche contenenti il cristallo liquido immerse nel polimero. Le dimensioni di
queste bolle possono essere variate in un ampio intervallo con una opportuna scelta dei
materiali e dei parametri della polimerizzazione. Normalmente i raggi delle bolle sono
dell’ordine dei micron. Le orientazioni del direttore all’interno di ciascuna bolla sono disposte
in modo casuale da una bolla all’altra. Il materiale polimerico contenente la dispersione di
gocce di nematico viene sagomato in forma di sottili fogli di poche decine o centinaia di micron
e degli elettrodi trasparenti (ITO) vengono disposti sulle due facce dei fogli in modo da poter
applicare un campo elettrico.
13
radiazione diffusa
radiazione trasmessa
E
radiazione incidente
a)
campo spento
radiazione incidente
b)
campo acceso
Figura 10.
Consideriamo, ora, un fascio di luce non polarizzata che incide normalmente su una lamina di
polimero contenente al suo interno una dispersione di gocce di nematico. Il polimero è scelto in
modo che l’indice ordinario sia uguale all’indice di rifrazione del polimero. Quando un campo
sufficientemente elevato viene applicato al campione, il direttore si orienta lungo la direzione
del campo che coincide con la direzione di propagazione del fascio di luce. Qualunque sia la
polarizzazione della luce, dunque, l’indice di rifrazione “visto” dalla luce è l’indice ordinario
che coincide con quello del polimero. Dal punto di vista ottico, quindi, il sistema si comporta
come un film omogeneo trasparente, e la radiazione attraversa indisturbata la lamina. Al
contrario, in assenza di campo, il direttore è orientato in modo casuale in ciascuna bolla e,
quindi, l’indice di rifrazione “visto” dalla radiazione è diverso da bolla a bolla e diverso da
quello del polimero. Le goccioline si comportano, quindi, allo stesso modo delle goccioline di
acqua presenti nella nebbia che diffondono la radiazione. Dunque, in questa configurazione, il
foglio polimerico diventa completamente opaco. Data la facilità con cui si riescono ad ottenere
fogli di polimero di notevole estensione, questi sistemi hanno trovato importanti applicazioni
soprattutto per la realizzazione di finestre che diventano trasparenti all’accensione del campo.
Le applicazioni dei cristalli liquidi nell’industria dei displays elettroottici sono
sicuramente quelle che hanno trovato ad oggi la maggiore diffusione, ma essi vengono anche
utilizzate nei sistemi utilizzati per modulare la fase, la polarizzazione e l’intensità di fasci di
luce monocromatica come quelli dei laser. In particolare, utilizzando i cristalli liquidi si
possono costruire modulatori di fase delll’onda, modulatori di ampiezza ecc... E’ importante,
infine, ricordare che i cristalli liquidi sono sensibili anche al campo elettrico delle onde
elettromagnetiche. All’aumentare dell’intensità dell’onda, il direttore si riorienta e, quindi,
cambia l’indice di rifrazione “visto” dalla radiazione stessa. Ciò significa che l’indice di
rifrazione n è una funzione dell’intensità I. Il cristallo liquido si comporta, perciò, come un
mezzo ottico con una non-linearità estremamente più elevata della maggior parte degli altri
mezzi non lineari. Questo rende tali materiali estremamente interessanti per applicazioni nel
campo dell’ottica non lineare e della fotonica.