Università degli Studi Roma Tre
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Dipartimento di Fisica Edoardo Amaldi
STUDIO E APPLICAZIONI
DI MODELLI STOCASTICI PER LA
DIFFUSIONE DELLE DICERIE
Laureando:
Relatore:
Valerio Serpente
Prof. Vittorio Lubicz
Anno Accademico 2010 - 2011
Quello che non ho è quel che non mi manca
(F. De André)
Indice
Introduzione
1
1 I modelli di diusione delle dicerie
3
1.1
Il modello Daley-Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Il modello Maki-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
La soluzione analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2 Simulazioni e soluzione numerica esatta
2.1
10
La simulazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
N
. . . . . . . . . . . . .
14
. . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Soluzione numerica esatta per
2.3
La dipendenza dalle condizioni iniziali
nito
3 Variazioni sul modello
24
3.1
Variazione della probabilità di diusione
3.2
Variazione sulla probabilità di diventare uno smorzatore
Conclusioni
. . . . . . . . . . . .
. . .
24
29
33
A codice di Mathematica
35
ii
Introduzione
Il processo di diusione dei rumours (termine anglosassone che indica le dicerie, i pettegolezzi) fu inzialmente studiato da D.J. Daley e D.G. Kendall
0
a metà degli anni 60 del XX secolo con il loro omonimo modello [1], successivemente ripreso da D.P
Maki e M.
Thompson [2] una decina di anni
dopo con alcune particolari modiche. Il modello si basa su considerazioni
in principio simili a quelli che caratterizzano i modelli di evoluzione delle
epidemie, per poi discostarsene ampiamente nella realizzazione (nel modello
di diusione delle dicerie è del tutto assente, ad esempio, l'eetto di soglia,
tipico dei modelli epidemiologici). Una delle principali quantità d'interesse
da studiare è, a partire da una popolazione chiusa, formata da tre categorie
di persone (ignoranti, diusori e smorzatori della diceria), la frazione nale
di popolazione che non verrà a conoscenza della diceria.
Alla base del processo di diusione delle dicerie vi sono le assunzioni che la
diceria sia inizialmente diusa da uno uno o più diusori e che un diusore
smetta di diondere la diceria non appena esso incontra qualcuno che già la
conosca, ovvero uno smorzatore od un altro diusore.
Nel primo capitolo di questa tesi verranno introdotti i modelli proposti da
Daley e Kendall e da Maki e Thompson e studiata una loro soluzione analitica approssimata. La soluzione esatta, ottenuta mediante una procedura
numerica iterativa, verrà arontata nel secondo capitolo, dove presenteremo
anche una simulazione numerica, eettuata con l'ausilio del programma di
manipolazione algebrica Mathematica
Verranno inoltre prese in considerazione alcune proprietà del modello, come
la variazione di ignoranti nali rispetto a quelli iniziali e le correzioni al modello per piccole popolazioni.
Nell'ultimo capitolo inne verrà generalizzato il modello:
verranno infatti
introdotti i casi in cui la diusione della diceria e la possibilità di diventare
smorzatori avvengano con una probabilità diversa da
1.
Lo studio del processo di diusione delle dicerie può risultare interessante
in quei settori, primi su tutti quello del marketing e quello dei mass media,
nei quali risulta utile prevedere quante persone vengano a conoscenza della
1
INTRODUZIONE
diceria.
2
In questo caso il concetto di diceria viene esteso al di fuori della
semplice denizione di pettegolezzo. Una diceria, infatti, può rappresentare
una qualsiasi informazione di particolare interesse, come la possibilità che
esca un nuovo prodotto di consumo, più performante rispetto ai concorrenti,
l'arrivo di una serie di grandi oerte, la scoperta di un nuovo vaccino oppure un semplice scoop giornalistico,) in modo da impostare una adeguata
campagna d'informazione.
Capitolo 1
I modelli di diusione delle dicerie
In questo capitolo verranno discussi i modelli di diusione delle dicerie proposti da Daley e Kendall (DK) [1] e da Maki e Thompson (MT) [2], ed una
loro soluzione analitica approssimata.
(senza migrazioni, morti o nascite) di
lata.
Si consideri una popolazione chiusa
N
individui, omogeneamente mesco-
Ogni membro della popolazione può essere ascritto ad una delle tre
seguenti categorie:
Gli ignoranti: persone che non hanno ancora ascoltato la diceria
I diusori o spreaders: persone che conoscono la diceria e la diondono attivamente
Gli smorzatori o stiers: coloro che conoscono la diceria ma hanno
perso interesse nel dionderla.
Essendo gli individui a stretto contatto tra di loro è ovvio pensare che
essi interagiranno, facendo diondere tra di loro, eventualmente, il rumour.
1.1 Il modello Daley-Kendall
Nel modello DK gli incontri tra due individui delle tre diverse sotto-popolazioni
(ignoranti, diusori, smorzatori) avvengono casualmente: un individuo di una
certa sotto-popolazione può incontrare un qualunque altro individuo, sia esso
appartenente al suo stesso gruppo oppure ad un altro dei due gruppi.
Ad
esempio un ignorante può incontrare un altro ignorante oppure un diusore
o uno smorzatore.
Di tutti gli incontri possibili solo tre hanno un eetto e variano dunque la
numerosità delle sotto-popolazioni:
3
CAPITOLO 1.
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
4
1. gli incontri Ignorante-Diusore,
2. gli incontri Diusore-Diusore,
3. gli incontri Smorzatore-Diusore.
Nel primo caso l'ignorante apprende la notizia dal diusore, diventando egli
stesso un diusore attivo della diceria.
Nel secondo e terzo caso invece il
diusore della diceria incontra un interlocutore che ne è già a conoscenza
(sia esso attivo, come un altro diusore, sia esso passivo, come uno smorzatore). L'eetto che ne scaturisce è che il diusore perde la voglia di diffondere la notizia e diventa uno smorzatore.
In particolare, nell'incontro
diusore-diusore, entrambi diventano smorzatori. Tali interazioni possono
essere riassunte ecacemente mediante transizioni di stato. Utilizzando la
notazione proposta da Pearce e Belen in [3] ad ogni istante sono indicati
rispettivamente con
I, S
ed
R
il numero di ignoranti, diusori e smorzatori,
cosicché si abbiano le seguenti transizioni:
Ignorante − Dif f usore :
Dif f usore − Dif f usore :
Smorzatore − Dif f usore :
(I, S, R) −→ (I − 1, S + 1, R),
(I, S, R) −→ (I, S − 2, R + 2),
(I, S, R) −→ (I, S − 1, R + 1).
(1.1)
1.2 Il modello Maki-Thompson
Il modello proposto da MT dierisce solo parzialmente dal modello DK. Il
modello MT si concentra su quel tipo di diusione delle dicerie che avviene,
ad esempio, per via telefonica. Prima dierenza con il modello DK è che il
primo interlocutore è sempre un diusore e quindi le uniche interazioni possibili sono quelle tra diusori e resto della popolazione (mentre nel modello
DK era possibile qualunque tipo di interazione tra le tre sotto-popolazioni,
sebbene alcune non modichino la numerosità delle tre sotto-popolazioni) .
Il modello MT inoltre individua, qualora si incontrino due diusori, un diusore iniziale ed uno recettore. Nell'incontro tra due diusori sarà solo quello
iniziale a diventare uno smorzatore, mentre l'altro rimarrà diusore. Utilizzando le transizioni di stato come fatto in precedenza si può riassumere tutto
come segue:
Ignorante − Dif f usore :
Dif f usore − Dif f usore :
Smorzatore − Dif f usore :
(I, S, R) −→ (I − 1, S + 1, R),
(I, S, R) −→ (I, S − 1, R + 1),
(I, S, R) −→ (I, S − 1, R + 1).
(1.2)
CAPITOLO 1.
5
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
1.3 La soluzione analitica
In questa sezione viene discussa una soluzione analitica approssimata dei
modelli DK e MT, valida nel limite in cui il numero di individui
N
della
popolazione tende ad innito e che descrive approssimativamente, in termini di equazioni dierenziali continue, l'evoluzione temporale delle sottopopolazioni.
Associate alle transizioni di stato vi sono delle probabilità di
transizione. Esse si dierenziano leggermente tra i due modelli. Infatti per
il modello DK si ha:
Ignorante − Dif f usore :
P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ IS,
1
Dif f usore − Dif f usore : P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝ S(S − 1),
2
Smorzatore − Dif f usore : P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ SR,
(1.3)
avendo omesso una costante di normalizzazione comune per le varie probabilità. Per il modello MT la dierenza fondamentale risiede nella probabilità
di transizione diusore-diusore, che diventa:
Dif f usore − Dif f usore :
P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝ S(S − 1)
(1.4)
La dierenza tra i due modelli risiede nel numero di modi possibili in cui
possono avvenire le transizioni: per il DK la transizione diusore-diusore
può avvenire nella metà dei modi rispetto alle altre transizioni. Questo non
avviene nel modello MT. Ovviamente questo signica che , considerando la
transizione
D−D
la probabilità di transizione per il modello MT è doppia
rispetto al modello DK.
A questo punto è possibile calcolare le variazioni delle tre sotto-popolazioni
durante il processo di diusione. Considerando la variazione di ignoranti
essa sarà legata solamente alla transizione
I − D,
∆I
come mostrato nell' eq.
(1.2). Tale transizione fa diminuire di una unità il numero di ignoranti all'interno della popolazione e pertanto nell'intervallo di tempo
∆t
che intercorre
tra un tempo e l'altro si avrà che:
∆I = −IS ∆t.
(1.5)
La variazione del numero di diusori è invece determinata da tutte e tre le
transizioni:
mentre la
unità.
I − D ne aumenta la numerosità di una unità,
S − D la diminuiscono rispettivamente di due ed una
sempre nell'intervallo di tempo ∆t, il numero di diusori
la transizione
D−D
Pertanto,
e la
varia con legge
1
S(S − 1) − SR ∆t.
∆S = IS − 2
2
(1.6)
CAPITOLO 1.
6
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
Similmente a quanto fatto per i due casi precedenti si ha che il valore
∆R
è
dato dalla relazione:
1
∆R = 2
S(S − 1) + SR ∆t
2
(1.7)
e risulta correttamente:
∆I + ∆S + ∆R = 0.
(1.8)
Si può ora passare dal modello discreto appena descritto ad un modello continuo utilizzando il limite
∆t → 0.
A partire dalle relazioni (1.5)-(1.7),
considerando tale limite, si ottengono le equazioni
dI
= −IS,
dt
dS
1
= IS − 2
S(S − 1) − SR,
dt
2
dR
1
= 2
S(S − 1) + SR,
dt
2
(1.9)
Sfruttando la relazione:
I + S + R = N.
(1.10)
Tale relazione permette inoltre di riscrivere le equazioni (1.9) come segue:
dI
= −IS,
dt
dS
= S (2I − (N − 1)) ,
dt
dR
= S ((N − 1) − I) .
dt
(1.11)
Un'analisi simile può essere eettuata per il modello MT. Le equazioni
cui si giunge in questo caso sono
dI
= −IS,
dt
dS
= IS − S (S − 1) − SR = S (2I − (N − 1)) ,
dt
dR
= S(S − 1) + SR = S ((N − 1) − I) ,
dt
e sono le stesse del modello DK. La ragione è che la transizione
(1.12)
D−D
per
il modello DK ha la probabilità di occorrenza che è la metà rispetto a quella
CAPITOLO 1.
7
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
del modello MT. Tuttavia la variazione delle sotto-popolazioni di diusori e
smorzatori risulta in questo caso doppia rispetto al modello MT.
Nell'ottica di considerare successivamente il limite in cui la numerosità della
popolazione tende ad innito risulta utile introdurre le frazioni per le tre
sotto-popolazioni:
i=
I
,
N
s=
S
,
N
r=
R
,
N
(1.13)
dove
i + s + r = 1.
(1.14)
Si possono allora riscrivere le equazioni dierenziali (1.11), moltiplicando
entrambi i membri per
1
:
N2
1 di
= −is,
N 2 dt
1 ds
1
= −s(1 −
− 2i),
2
N dt
N
1 dr
1
= s(1 −
− i).
2
N dt
N
A questo punto, rinominato il termine
per
N →∞
N 2 dt
come
dt
(1.15)
e considerando il limite
si ottiene:
di
= −is,
dt
ds
= −s(1 − 2i),
dt
dr
= s(1 − i).
dt
(1.16)
Queste equazioni possono essere risolte introducendo delle condizioni iniziali.
Sia il modello proposto da Daley e Kendall che quello proposto da Maki e
Thompson prevedono che inizialmente vi sia un solo diusore e che il resto
della popolazione sia formata da ignoranti, in modo che a
N −1
1
, s0 =
e r0 = 0.
N
N
N → ∞ tali frazioni assumono la
t=0
i0 =
Avendo posto il limite
i0 = 1,
s0 = 0 e r0 = 0.
si abbia
(1.17)
forma:
(1.18)
Combinando la prima e la seconda delle (1.16) (notiamo che, per la (1.10),
la terza delle (1.16) è ridondante) si ottiene
ds
1 − 2i
=
,
di
i
(1.19)
CAPITOLO 1.
8
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
dalla quale è stata eliminata la dipendenza dal tempo. Integrando quest'ultima otteniamo la relazione
s = s0 − 2 (i − i0 ) + ln
Indicando inne con
θ=
rispetto a quelli al tempo
i
.
i0
(1.20)
i
la frazione di ignoranti
i0
t = 0 dall'eq (1.20) si ha:
al tempo generico
s = s0 − 2i0 (θ − 1) + ln θ.
t
(1.21)
Risolvendo tale equazione è possibile, conoscendo le condizioni iniziali, trovare la frazione di diusori in funzione della frazione di ignoranti ad ogni
istante. In particolare è interessante conoscere il numero di ignoranti quando il processo di diusione della diceria si sia esaurito, ossia quando
s = 0.
Tale modello di diusione può essere ad esempio applicato anche nel mondo
del marketing o dei media ed in questi campi sarebbe molto utile prevedere
quante persone siano raggiunte dalla diceria che in questo caso può essere
la presentazione di un nuovo prodotto di consumo oppure una notizia di cronaca.
Nell'istante in cui il numero di diusori all'interno della popolazione diventa
nullo, l'equazione (1.21) diventa
0 = s0 − 2i0 (θ∞ − 1) + ln θ∞ ,
dove con
θ∞
(1.22)
è indicato il rapporto tra la frazione nale e la frazione iniziale
di ignoranti (cioè
θ(t = ∞)).
Sostituendo inne i valori le condizioni iniziali (1.18) si ottiene l'equazione
originariamente derivata da Daley e Kendall:
θ∞ e2(1−θ∞ ) = 1,
(1.23)
Tale equazione presenta due soluzioni reali. Di tali soluzioni una (θ∞
non ha interesse pratico:
θ∞ = 1
signica
i∞ = i0
= 1)
(i diusori quindi si sono
estinti prima di diondere la notizia). L'altra soluzione invece corrisponde a:
θ∞ = 0.203188
La risoluzione graca di tale equazione è mostrata Fig. 1.1.
(1.24)
CAPITOLO 1.
I MODELLI DI DIFFUSIONE DELLE DICERIE
9
y
1.0
0.5
1
2
3
-0.5
-1.0
xe2(1−x) è gracata
x = 0.203188 sono le
Figura 1.1: Risoluzione graca dell'eq.(1.23). La funzione
insieme ad y=1.
I punti di intersezione
soluzioni dell'equazione.
x = 1
ed
4
x
Capitolo 2
Simulazioni e soluzione numerica
esatta
In questo capitolo vengono arontate sia la simulazione Monte Carlo dei
modelli DK ed MT descritti nel Capitolo 1, sia la loro risoluzione esatta
basta su una procedura numerica iterativa [1]. Verranno quindi confrontati i
risultati dei due modelli con la soluzione analitica approssimata discussa nel
capitolo precedente.
2.1 La simulazione numerica
Per il presente lavoro di tesi abbiamo eettuato delle simulazioni numeriche
dei modelli di diusione delle dicerie,utilizzando il programma di manipolazione algebrica Mathematica.
Tramite l'utilizzo di Mathematica è stato
creato un algoritmo che pescasse all'interno della popolazione due individui
a caso (per il modello DK) oppure un diusore ed un individuo qualsiasi
(per il modello MT). A seconda della classe a cui appartengono i due individui vengono eseguite le transizioni precedentemente descritte. La principale
dierenza col modello analitico è che si passa da variabili continue, che dipendono dal tempo, a variabili discrete che dipendono dal numero di transizioni.
Inoltre il numero di individui della popolazione N è nito.
Il processo di
diusione della diceria continua no a che il numero dei diusori si annulla.
A questo punto si calcola il
θ
nale, ovvero la frazione di ignoranti rimasti
rispetto a quelli iniziali. Il codice di Mathematica prodotto per la simulazione
è riportato nell'appendice della tesi.
La simulazione appena descritta viene ripetuta più volte, in modo da ottenere
una distribuzione dei valori di
θ.
Un particolare eetto che si è osservato nel-
la simulazione, in particolare nel modello DK, è stata l'osservazione di alcuni
10
CAPITOLO 2.
valori di
θ
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
prossimi ad
1.
11
Quello che succede è che i due diusori presenti
dopo la prima interazione (nella prima interazione l'unico diusore presente deve necessariamente incontrare un ignorante, facendo sì che anch'esso
diventi un diusore) si incontrino immediatamente dopo, nella seconda interazione. In questa maniera i due diusori diventano smorzatori ed il processo
di diusione si arresta. Ovviamente la probabilità di questo secondo incontro
tende a zero per
N → ∞.
Tale fenomeno è riscontrabile anche nella simulazione del modello MT, tuttavia è estremamente più raro. In questo caso, infatti, è necessario che i primi
due diusori si incontrino almeno due volte di la prima di arrestare il processo di diusione. Nella simulazione tali eventi anomali sono stati esclusi
nella stima del valor medio e della deviazione standard di
deciso di escludere tutti quei valori di
θ
θ.
In pratica si è
che fossero maggiori di
simulazione numerica si è utilizzata una popolazione di
numero di simulazioni di ciascun modello pari a
Nella Fig. (2.1) è riportata la distribuzione di
θ
2000
0.8.
Per la
abitanti ed un
15000.
con questi parametri.
Occorrenze
500
400
300
200
100
0.16
0.18
0.20
Figura 2.1: Distribuzione del valore di
0.22
θ
0.24
Θ
ottenuta dalla simulazione numerica
del modello DK
Da queste distribuzioni si è ottenuto un valore medio di
θ = 0.20325 ± 0.00011,
θ
pari a:
(2.1)
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
12
nella simulazione del modello DK e
θ = 0.20308 ± 0.00010,
(2.2)
nella simulazione del modello MT, entrambi in accordo con la previsione analitica valida per
N →∞
di eq. (1.24).
Altrettanto interessante è stato studiare la variazione delle tre sotto-popolazioni
durante il processo di diusione della diceria.Tale andamento è descritto dalle eq. (1.16). Essendo
i
una funzione strettamente decrescente in virtù della
prima delle (1.16) ed essendo limitata tra
0
ed
1i
necessariamente tenderà ,
t → ∞, ad un valore i∞ < i0 . In particolare quindi
< 1/2,se invece i0 > 1/2 dall'eq. (1.19) si ha che
nel limite
avrà
i∞
se
i0 ≤ 1/2
ds di
1 − 2i di
ds
=
·
=
> 0,
dt
di dt
i dt
inizialmente. Poiché
s→0
per
t → ∞,
s
(2.3)
la frazione di diusori
crescerà verso un massimo globale in quell'istante
dall'eq. (2.3). Dopodiché
i = 1/2,
iè
decrescerà no a zero, e, poiché
decrescente, si avrà nuovamente
si
s
dapprima
come risulta
strettamente
i∞ < 1/2.
r mostra un andamento crescente e limitato
1. Esso quindi tenderà (nel limite t → ∞) verso un valore r∞ > 0.
Pertanto i∞ sarà limitato anche inferiormente in quanto
Per la terza delle (1.16) invece
solo da
i∞ = 1 − r∞ > 0.
(2.4)
In denitiva quindi:
i è decrescente durante la diusione e tende ad un valore
i∞
tale che
1
0 < i∞ < ;
2
s
(2.5)
cresce no ad un massimo per poi decrescere no a zero se
oppure decresce monotonamente no a zero se
r cresce, durante
r∞ > 1/2.
i0 > 1/2
i0 < 1/2;
tutto il processo di diusione, no ad un massimo
Come si può notare dalla Fig. 2.2, le curve rappresentative delle tre frazioni
i , s, r ,
ottenute da una delle simulazioni numeriche, riproducono con l'anda-
mento teorico previsto.
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
13
Frazione
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
500
1000
1500
2000
2500
Nr. interazioni
Ignoranti
Diffusori
Smorzatori
Figura 2.2:
Andamento delle frazioni delle sotto-popolazioni di ignoranti,
diusori e smorzatori durante il processo di diusione della diceria
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
14
2.2 Soluzione numerica esatta per N nito
Il modello analitico approssimato, discusso nella sezione 1.3 considera il limite in cui il numero
N
di individui della popolazione tende ad innito e
le frazioni rappresentative delle tre sotto-popolazioni variano nel tempo con
continuità.
di
N
Daley e Kendall, [1], mostrano tuttavia come per valori niti
il modello possa essere di nuovo risolto esattamente, seppure con una
procedura numerica. Daley e Kendall derivano inne una legge approssimata
per il parametro
θ
valida nel limite per
θDK (N ) = 0.203188 + 0.273843
Indichiamo sempre con
I, S
ed
R
N
1
1
+ 1.72675
.
N −1
(N − 1)2
(2.6)
gli individui nelle tre sotto-popolazioni di
ignoranti, diusori e smorzatori (per i quali vale dunque
I + S + R = N ).
Le successive interazioni tra gli individui possono essere descritte in termini
di un random walk che passa attraverso i vari stati
(I; S)
(omettendo
R
in
quanto ridondante). Nel passare attraverso i diversi stati si vericano le tre
transizioni precedentemente descritte, le cui probabilità risultano essere:
I −D :
P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) =
D−D :
P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) =
S−D :
P(I,S,R)→(I,S−1,R+1)
I
,
N − (S + 1)
1
2
1
2
(S − 1)
,
N − 12 (S + 1)
N −I −S
=
.
N − 12 (S + 1)
(2.7)
Tali probabilità sono le stesse dell'eq. (1.2) ma correttamente normalizzate
ad
1
giacché:
1
1
IS + S (S − 1) + SR = S I + (S − 1) + N − S − I =
2
2
1
= S N − (S + 1) .
2
Indichiamo allora con
lo stato
(I; S).
PIS
(2.8)
la probabilità che il random walk passi attraverso
La distribuzione dei valori
{PI0 } è la distribuzione del numero
di persone che non apprende la diceria, ossia la distribuzione di estinzione.
Per quel che riguarda i valori delle probabilità
PIS
bisogna anzitutto ricordare
N −1 ignoranti
N − 2 ignoranti
le condizioni iniziali che corrispondono ad un solo diusore ed
al tempo iniziale, e dunque necessariamente a
2
diusori ed
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
15
dopo il primo incontro. I due stati vengono dunque raggiunti con probabilità
1:
PN −1,1 = PN −2,2 = 1.
Lo stato generico
(I; S)
(2.9)
è raggiungibile dal random walk in tre possibili
maniere:
attraverso una transizione
I −D
attraverso una transizione
D−D
a partire dallo stato
(I, S + 2);
attraverso una transizione
S−D
a partire dallo stato
(I, S + 1).
a partire dallo stato
(I + 1, S − 1);
La probabilità che il random walk passi attraverso lo stato
(I; S)
risulta
quindi essere la somma delle probabilità di passare attraverso questi tre stati,
moltiplicate ognuna per la probabilità della rispettiva transizione:
PIS = P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) · PI+1,S−1 + P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) · PI,S+2 +
+P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) · PI,S+1 =
1
(S + 1)
(I + 1)
2
PI+1,S−1 +
PI,S+2 +
=
1
1
N + 2 (S − 1 + 1)
N − 2 (S + 2 + 1)
(N − I − S − 1)
+
PI,S+1 =
N − 21 (S + 1 + 1)
=
2 (I + 1)
S+1
2 (N − 1 − I − S)
PI+1,S−1 +
PI,S+2 +
PI,S+1 ,
2N − S
2N + S − 3
2N − S − 2
(2.10)
Allo stesso modo possono essere scritte le relazioni le probabilità degli stati
(I, 1)
ed
(I, 0).
Tali stati rappresentano un caso particolare della (2.10),
non presentando la transizione
I − D:
ad entrambi gli stati infatti non si
può arrivare attraverso la creazione di nuovi diusori. In maniera analoga
a quanto fatto per la transizione generica
PIS
si trova che le probabilità di
questi due stati sono:
PI,1 =
2 (N − I − 2)
1
PI,3 +
PI,2 ,
N −2
2N − 3
(2.11)
PI,0 =
1
N −I −1
PI,2 +
PI,1 .
2N − 3
N −1
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
PIS
Le eq. (2.10)-(2.11) sono valide utilizzando la convenzione che
a zero qualora
I + S > N.
16
sia uguale
L'insieme di queste equazioni risulta non essere
risolvibile in forma chiusa. Per
N
dato esse possono tuttavia essere risolte
numericamente seguendo una procedura iterativa.
Daley e Kendall, sempre in [1], mostrano come siano valide le relazioni:
PI,N −I−1 = 0
e
(2.12)
2 (I + 1)
PI+1,N −I−1 ,
(2.13)
N +I
(2.12) è valida perché lo stato (I; N − I − 1) presenta un solo smorzatoPI,N −I =
L'eq.
re, condizione impossibile da raggiungere con il modello DK (gli smorzatori
vengono sempre prodotti in coppia). La (2.13) invece è diretta conseguenza
(I, N − I) non presenta
stato (I + 1; N − I − 1).
del fatto che lo stato
giungibile solo dallo
smorzatori ed è pertanto rag-
Con tali relazioni è possibile ricostruire tutte le probabilità
quelle
PI0
PIS ,
che appartengono alla distribuzione di estinzione.
questi viene poi calcolato il valore medio di
θ
comprese
In termini di
per diversi valori di
N.
Nel
calcolo si impone la condizione:
PI,0 = 0 per I > N − 21
(2.14)
allo scopo di eliminare gli eetti spuri descritti in precedenza.
La procedura di risoluzione numerica del modello qui descritta è stata riprodotta con un programma di Mathematica. Per diverse popolazioni sono state
calcolate tutte le probabilità
PIS
utilizzando le eq.(2.10)-(2.13). Osservando
tali equazioni si può notare che, per conoscere la probabilità dello stato ge-
(I; S) è necessario conoscere le probabilità degli stati (I + 1; S − 1),
(I; S + 2) ed (I; S + 1), ovvero stati in cui S o è maggiore oppure, nel caso
sia minore, è I ad essere maggiore. Per questo motivo l'algoritmo di calcolo
delle probabilità calcola i valori PIS a partire dallo stato PN N , abbassando,
di volta in volta, il valore di S . Una volta raggiunto lo stato PN 0 si passa alle
probabilità PN −1,S ed il processo si ripete no a raggiungere lo stato P00 .
Con tale algoritmo vengono calcolate anche le probabilità PI,0 dalle quali si
è estratto (una volta fatta la correzione per I > 21) il valore medio. Le
nerico
popolazioni simulate sono le stesse considerate da Daley e Kendall.
Nella
tabella 2.2 sono riportati i dati ottenuti per il presente lavoro, in perfetto
accordo con quelli ottenuti da Daley e Kendall. Per quel che riguarda il t,
utilizzando i valori
N = 192, 384
e
768
θ(N ) = 0.203188 + 0.273849
si è ottenuto un valore di:
1
1
+ 1.72251
.
N −1
(N − 1)2
(2.15)
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
N
θDK
θ
96
0.206275
0.206275
192
0.204669
0.204669
384
0.203915
0.203915
767
0.203548
0.203548
Tabella 2.1: Confronto tra i valori
θ(N )
17
ottenuti da Daley e Kendall e i dati
per questo lavoro. Entrambi i set sono ottenuti a partire dalla distribuzione
d'estinzione.
In buon accordo con il risultato di Daley e Kendall. Il valore di
θ(N )
otte-
nuto con tale equazione dierisce da quello ottenuto con l'eq. (2.6) per un
−7
valore dell'ordine di 10 , considerando una popolazione di 200 individui.
Lo studio della dipendenza da
N
del modello è stata anche eettuato me-
diante la simulazione Monte Carlo. Per ogni valore di popolazione sono state
eettuate un elevato numero di simulazioni, in modo da rendere molto preciso
(con incertezza al di sotto del
2 permille) la stima di θ
ottenuta. Nella tabel-
la 2.2 sono riportati i risultati ottenuti eettuando, per tutte le popolazioni,
20000
simulazioni.
Tabella 2.2:
Valori di
N
θDK
θ
200
0.20460
0.20434(29)
300
0.20412
0.20414(23)
400
0.20388
0.20403(20)
600
0.20365
0.20364(17)
800
0.20353
0.20360(14)
1000
0.20346
0.20345(13)
1200
0.20342
0.20341(12)
1400
0.20338
0.20346(11)
θ
in funzione di
N
ottenuti utilizzando l'eq.
(2.6)
(seconda colonna) e dalla simulazione numerica (terza colonna). Le cifre in
parentesi rappresentano le relative incertezze.
Nella Fig. 2.3 è invece riportato un graco di confronto. Dal graco si
può notare il buon accordo tra il t proposto da Daley e Kendall, eq. (2.6)
ed i dati ottenuti dalle simulazioni.
Sempre in [1], Daley e Kendall forniscono una formula empirica per calcolare
la deviazione standard della distribuzione di
θ
in funzione di N, valida nel
CAPITOLO 2.
18
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
Θ
0.2055
0.2050
0.2045
0.2040
0.2035
0.2030
0.2025
1
0.000
0.001
0.002
Figura 2.3: Variazione di
θ
0.003
in funzione di
N.
0.004
0.005 N
Graco ottenuto con
20000
simulazioni su diverse popolazioni.
limite
N
grande:
2
σDK
(N ) =
0.310681 1.232700 19.57339
+
+
.
N −1
(N − 1)2 (N − 1)3
(2.16)
Tale equazione si ottiene a partire dalla stessa distribuzione di estinzione
utilizzata per calcolare
PI0
θDK (N ) ed anche tale equazione è stata vericata con
il programma di Matemathica, ottenendo i risultati riportati nella tabella 2.2.
Come si può notare, otteniamo una discrepanza nel caso del valore di
N
2
σDK
σ2
96
0.326715
0.316112
192
0.317672
0.317672
384
0.314033
0.314033
767
0.312322
0.312322
Tabella 2.3: Confronto tra la varianza
σ 2 (N )
σ
per
ottenuta da Daley e Kendall
(seconda colonna) e i dati simulati (terza colonna).
N = 96,
discrepanza attribuita presumibilmente ad un errore tipograco.
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
Un t dei dati simulati fornisce il valore della deviazione standard
σ 2 (N ) =
σ(N ):
0.31068
1.23325
19.5085
+
+
,
N −1
(N − 1)2 (N − 1)3
N
σDK
σ
200
0.03993
0.03983
300
0.03246
0.03204
400
0.02804
0.02787
600
0.02285
0.02287
800
0.01977
0.01975
1000
0.01767
0.01761
1200
0.01612
0.01618
1400
0.01492
0.01492
19
(2.17)
Tabella 2.4: Valori della deviazione standard della distribuzione di
θ
otte-
nuti risolvendo l'eq. (2.16) (seconda colonna) e dalle simulazioni MC (terza
colonna).
Utilizzando una popolazione di 200 individui tale equazione dierisce dal10−6 . Nella tabella 2.2 e nella Fig. 2.4 si confrontano le
l'eq. (2.16) di circa
deviazioni standard ottenute dalla simulazione Monte Carlo con quelle ottenute tramite la relazione (2.16). Osservando tali dati si può desumere come
i risultati ottenuti con il metodo di risoluzione numerica del modello e con
la simulazione Monte Carlo siano in ottimo accordo tra loro.
2.3 La dipendenza dalle condizioni iniziali
Pearce e Belen in un noto lavoro [3] studiano la dipendenza di
θ
dalle condi-
zioni iniziali nel modello della diusione delle dicerie, in particolare dal valore
iniziale della frazione di ignoranti,
i0 .
Il risultato cui si giunge, tramite dif-
ferenziazione dell'equazione (1.22), è che
θ(i0 )
è una funzione decrescente,
ossia tanto maggiore è la frazione di ignoranti, tanto minore è la percentuale
di questi che non viene a conoscenza della diceria.
Considerando l'assenza iniziale di smorzatori (r0
= 0) in modo che i0 +s0 = 1,
l'eq. (1.22), assume la forma:
1 − i0 − 2i0 (θ∞ − 1) + ln θ∞ = 0
e dierenziando ambo i membri rispetto a
i0
si ottiene
(2.18)
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
20
Σ
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
1
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
N
ΣSimulati
ΣDK
Figura 2.4: Confronto tra le deviazioni standard della distribuzione di
θ
ot-
tenute dalle simulazioni e quelle calcolate con il metodo proposto da Daley e
Kendall.
1 − 2θ∞ − 2i0
da cui
1 ∂θ∞
∂θ∞
+
= 0,
∂i0
θ∞ ∂i0
dθ∞
2θ∞ (1 − θ∞ )
=−
< 0,
di0
1 − 2i0 θ∞
Il secondo membro dell'eq.
(2.20) è minore di zero in quanto
(2.19)
(2.20)
i0 θ∞ = i∞
0 < i∞ < 1/2. D'altronde deve essere necessariamente
< i0 (i è una funzione decrescente). Dunque θ è
una funzione strettamente decrescente in i0 . Ne segue anche che la funzione
θ∞ (i0 ) ha un massimo in i0 = 0 ed un minimo per i0 = 1, ovvero ai limiti
dell'intervallo preso in esame. L' eq. (2.18) mostra che θ∞ (i0 ) ha un minimo
per i0 = 1 pari a θ∞ (1) = 0.203188, come previsto nel modello DK, ed un
massimo per i0 = 0 dove θ∞ (0) = 1/e ≈ 0.367879, infatti sostituendo i0 = 0
che sappiamo essere
anche
θ∞ < 1,
in quanto i∞
nell' eq. (2.18) si ottiene:
1 + ln θ∞ = 0,
(2.21)
CAPITOLO 2.
e quindi
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
θ∞ (0) =
21
1
.
e
Per vericare tali risultati si è deciso di simulare il processo di diusione
della diceria partendo da dierenti valori di
i0
nell'intervallo
(0, 1).
I para-
metri delle simulazioni sono riportati nella tabella 2.5. Si è quindi variato il
i0 a step di 0.1. La simulazione è stata ripetuta 700 volte per ogni
valore di i0 , in modo di avere una distribuzione sucientemente accurata dei
valori di θ con l'incertezza al di sotto del 4%. Per quei valori di i0 in cui le
valore di
uttuazioni (e quindi la deviazione standard) risultavano troppo elevate si è
deciso di aumentare il numero di individui all'interno della popolazione. Ad
esempio nel caso di
i0 = 0.1
si è deciso di aumentare la popolazione di 300
unità. Particolari accorgimenti sono stati presi inne per i valori di
estremi dell'intervallo (i0
≈0
e
i0 ≈ 1).
La condizione
i0 = 1
i0
agli
indica infatti
una popolazione composta interamente da ignoranti e la totale assenza di diffusori. Mancando i diusori non sarebbe possibile diondere la notizia. Allo
stesso modo la condizione
i0 = 0
prevede la totale assenza degli ignoranti,
caso in cui il modello perde di senso.
Non potendo eettuare, per ovvi motivi, la simulazione con questi valori si è
deciso di avvicinarsi comunque a tali casi limite scegliendo il valore i0
prossimo ad
1
ed il valore
i0 = 0.002
prossimo a
0.
= 0.998
Per quest'ultimo valore
si è preferito inoltre incrementare signicativamente il numero di abitanti.
Questo perché si è notato come, a parità di simulazioni e popolazione, la de-
≈ 0 fosse all'incirca un'ordine di grandezza inferiore
i0 ≈ 1 (utilizzando una popolazione di 500 individui per 700 simulazioni si è ottenuto un σ = 0.018, venti volte maggiore
rispetto al valore tipico, pari a circa 0.0009). Tali uttuazioni elevate sono
viazione standard per i0
rispetto a quella ottenuta per
dovute all'esiguo numero di ignoranti all'interno della popolazione, ed al basso numero di individui all'interno della popolazione. Una frazione di
ignoranti all'interno di una popolazione di
500
alla presenza di un solo ignorante. Il che signica che
i valori
0
oppure
1,
0.002
abitanti infatti corrisponde
θ
può assumere solo
con una notevole uttuazione rispetto a quelle mostrate
per altri valori di i0 . Aumentando quindi il numero di abitanti si aumenta di
conseguenza il numero di ignoranti e si abbassano le uttuazioni del valore
di
θ.
A rigore sarebbe inappropriato variare il numero di abitanti all'interno della
popolazione perché, come mostrato in precedenza, il valore di
che dal numero di abitanti,
N.
θ
dipende an-
Tuttavia tali eetti sono del tutto trascurabili
rispetto agli eetti delle uttuazioni appena descritti.
Un ulteriore accorgimento nella simulazione per
i0 ≈ 0
è consistito nell'au-
mento del numero di simulazioni allo scopo di rendere più precisi i dati ottenuti dalla simulazione.
CAPITOLO 2.
Tabella 2.5:
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
i0
N
Ns
0.998
500
700
0.2044(9)
0.9
500
700
0.2220(11)
0.8
500
700
0.2432(12)
0.7
500
700
0.2645(13)
0.6
500
700
0.2854(14)
0.5
500
700
0.3057(14)
0.4
500
700
0.3165(16)
0.3
500
700
0.3329(17)
0.2
500
700
0.3466(20)
0.1
800
700
0.3576(21)
0.002
6500
3000
0.3718(25)
popolazione simulata
θ
θ
Risultati delle simulazioni eettuate con diversi valore della
frazione iniziale di ignoranti
valore di
22
N,
i0 .
Vengono riportati riportati, oltre ad
il numero di simulazioni
Ns
i0
la
ed il corrispondente
ottenuto.
La simulazione è stata eettuata partendo da una popolazione composta da
500
unità. Tale valore di popolazione è stato scelto in quanto, utilizzando
questa popolazione, si aveva la garanzia che il programma fosse abbastanza
veloce nell'eettuare simulazioni. Allo stesso tempo, utilizzando popolazio-
N interviene sulla quarta cifra
dello 0.3%. I risultati ottenuti dalla
ne, l'incertezza data dalla dipendenza da
signicativa, con un errore dell'ordine
simulazione sono riportati nella tabella 2.5.
Nella Fig. 2.5 i dati ottenuti sono stati riportati insieme alla curva teorica,
ottenuta risolvendo numericamente con Mathematica l'eq. (2.18).
Come si evince dalla gura c'è un buon accordo tra i dati ottenuti dalla
simulazione e la determinazione di [3]: le simulazioni al computer risultano
compatibili con la curva teorica in tutta la lunghezza dell'intervallo.
CAPITOLO 2.
SIMULAZIONI E SOLUZIONE NUMERICA ESATTA
Θ
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.2
0.4
Figura 2.5: Variazione di
0.6
θ
0.8
in funzione di i0 .
i
1.0 0
23
Capitolo 3
Variazioni sul modello
In questo capitolo vengono descritte alcune variazioni al modello originale.
Verranno in particolare studiati due modelli: il primo varia la probabilità di
diusione della diceria, il secondo varia la probabilità di diventare smorzatore.
Il principale eetto che accomuna queste variazioni è il fatto che l'incontro tra
gli individui non indica necessariamente un tipo di transizione: ad esempio
un incontro tra due diusori non è detto che implichi la transizione
(I; S; R) → (I, S −2; R +2).
Le probabilità di transizione andranno calcolate
volta per volta, a seconda della variazione che si prende in considerazione.
Daley e Kendall [1] studiano un modello in cui variano simultaneamente la
probabilità di diondere la diceria e di diventare smorzatore. Tuttavia questo
modello non fornisce altre informazioni utili a quanto già detto studiando i
modelli separati.
3.1 Variazione della probabilità di diusione
Si può pensare di modicare il modello DK (o alternativamente il modello
MT) in modo che venga variata la probabilità di diusione della diceria.
Ossia, quando un diusore incontra un altro individuo può diondere la
diceria con una certa probabilità
p.
Entrambi i modelli originali invece hanno
come condizione che un diusore, incontrando un interlocutore, propaghi
sicuramente la diceria e pertanto si ha
p = 1.
Le probabilità delle transizioni
che si hanno per questo specico modello risultano essere:
P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ pIS,
1
P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝ 1 − (1 − p)2 S(S − 1),
2
P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ pSR,
24
(3.1)
(3.2)
(3.3)
CAPITOLO 3.
25
VARIAZIONI SUL MODELLO
le probabilità di queste transizioni sono dovute al fatto che
un incontro tra un ignorante ed un diusore produce la transizione
(I; S; R) → (I + 1, S − 1; R)
con probabilità
pIS ,
un incontro tra due diusori può produrre una transizione
(I; S; R) → (I, S−2; R+2). Poiché entrambi i diusori non trasmettono
la diceria con probabilità (1−p), la probabilità che la diceria non venga
2
trasmessa è (1 − p) . Dunque la probabilità complementare, ossia che
2
la diceria venga trasmessa, è 1 − (1 − p) ,
un incontro tra un ignorante ed un diusore produce la transizione
(I; S; R) → (I, S − 1; R + 1)
con probabilità
pSR.
Dalle probabilità di transizione, procedendo come discusso nel Capitolo 1 per
il modello originale, si ottengono le seguenti equazioni dierenziali:
dI
= −pIS,
dt
(3.4)
1
dS
= pIS − 2p (2 − p) S(S − 1) − pSR = −pS (N − (2 − p) − 2I + (p − 1)S) ,
dt
2
(3.5)
Moltiplicando ambo i membri delle due equazioni per
limite
N →∞
1/N 2
e passando al
si ottengono le equazioni:
di
= −pis,
dt
(3.6)
ds
= −ps (1 − 2i + (p − 1)s) .
dt
(3.7)
Si noti che sostituendo
p=1
si ottengono nuovamente le equazioni del mo-
dello originale.
Operando come già fatto in precedenza si ha:
i
s
ds
= − 2 + (p − 1) ,
di
1
i
(3.8)
risolvendo l'equazione dierenziale, con la condizione al contorno
si ha:
i(1−p) (p − 2) −2i (p − 1) + p
+
.
p (p − 1)
p (p − 1)
opportunamente per i0 quando s = 0 si ottiene
s=
Dividendo
θ(1−p) (p − 2) −2θ (p − 1) + p
+
= 0.
p (p − 1)
p (p − 1)
s(1) = 0,
(3.9)
quindi:
(3.10)
CAPITOLO 3.
26
VARIAZIONI SUL MODELLO
Tramite il programma Mathematica si è inoltre simulato il processo diusione in cui è stata variata la probabilità di diusione, utilizzando diversi valori
di
p
da
0.1
a
0.99.
Per i diversi valori sono stati eettuati
di una popolazione di
tabella 3.1.
1000
1000
simulazioni
abitanti ed i dati ottenuti sono riportati nella
La Fig. 3.1 invece confronta i dati simulati con la curva anali-
p
θp
0.1
0.27870(65)
0.2
0.27202(66)
0.3
0.26471(64)
0.4
0.25845(64)
0.5
0.25032(63)
0.6
0.24247(60)
0.7
0.23381(59)
0.8
0.22488(58)
0.9
0.21498(58)
0.99
0.20468(55)
Tabella 3.1: Dati ottenuti dalle simulazioni con
riportato il valore della probabilità
p,
p < 1.
nella prima colonna è
nella seconda il valore di
θ
e la relativa
incertezza
tica, ottenuta risolvendo l'eq.(3.10) con
p
che varia tra
0
e
1
e i dati simulati
con il metodo Monte Carlo. Dai dati ottenuti si nota come le simulazioni e
la curva analitica siano compatibili. In particolare quello che si osserva è la
diminuzione del valore di
θ
all'aumento di
p,
il che signica che, per far sì
che la diceria raggiunga più persone, bisogna fare in modo che il diusore
sia in grado di diondere sicuramente la diceria. Tale soluzione, nella vita
reale, può risultare utile nella scelta dei diusori, siano essi un media come
la televisione, internet o i quotidiani.
CAPITOLO 3.
27
VARIAZIONI SUL MODELLO
Θ
0.28
0.26
0.24
0.22
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p
Figura 3.1: Graco di confronto tra i dati simulati e l'equazione (3.10) risolta
per
p ∈ (0, 1)
È inne utile valutare la variazione delle tre sotto-popolazioni durante il
processo di diusione della diceria. Qualitativamente, variare la probabilità
di diondere la diceria allunga i tempi di diusione, perché non tutte le volte
che un diusore incontra un altro individuo dionderà la notizia.
La Fig. 3.2 mette a confronto il processo di diusione per
p = 1, per p = 0.5
p = 0.1. Dai graci si può vedere come eettivamente il processo per
p = 0.1 sia signicativamente più lungo rispetto a quello per p = 1 (per tale
valore, con N = 1000 si hanno all'incirca 2000 interazioni totali, mentre per
p = 0.1 si ha un numero di interazioni dell'ordine di 100 000). Interessante
è anche l'eetto che si osserva ai margini del graco. Per p = 0.1 infatti si
e per
osserva un eetto plateau sia all'inizio del processo sia alla ne. La variazione
di probabilità sembra quindi avere un eetto deterrente alla diusione della
diceria all'inizio mentre alla ne del processo la bassa probabilità impedisce
agli ultimi diusori di diventare smorzatori.
Il graco per
p = 0.5
inne
presenta comportamenti intermedi tra i due estremi: per quel che riguarda
il numero di interazioni esso è dell'ordine di
in meno rispetto a
p = 0.1.
10 000,
un ordine di grandezza
Rimane inoltre presente l'eetto plateau seppure
in maniera meno marcata rispetto a quello che si vede per
p = 0.1.
CAPITOLO 3.
28
VARIAZIONI SUL MODELLO
p=1
Frazione
1.0
0.8
0.6
Ignoranti
0.4
Diffusori
0.2
Smorzatori
500
1000
1500
Nr. interazioni
Figura 3.2: Confronto tra il processo di diusione per
p = 0.5
e
p = 0.1.
p = 1
e quello per
CAPITOLO 3.
29
VARIAZIONI SUL MODELLO
3.2 Variazione sulla probabilità di diventare uno
smorzatore
Un'altra possibilità consiste nel variare la probabilità di diventare uno smorzatore, indicata con
pari ad
1.
α.
Nel modello originario tale probabilità è stata posta
In questo modello le probabilità di transizione sono:
P(I,S,R)→(I−1,S+1,R) ∝ IS,
α2
P(I,S,R)→(I,S−2,R+2) ∝
S(S − 1),
2
1
P(I,S,R)→(I,S−1,R+1) ∝ αSR + 2α (1 − α) S(S − 1),
2
(3.11)
(3.12)
(3.13)
infatti nell'incontro tra due diusori si possono avere due casi:
Transizione
(I, S, R) → (I, S − 2, R + 2)
(I, S, R) → (I, S − 1, R + 1)
Probabilità
α2
S(S − 1)
2
2α (1 − α) 21 S(S −
1)
mentre nell'incontro tra uno smorzatore e un diusore la transizione
(I, S, R) → (I, S − 1, R + 1)
avviene con probabilità
αSR.
Sommando le
probabilità ottenute si ottengono le probabilità di transizione.
Le equazioni dierenziali che approssimano il modello sono:
dI
dt
= −IS,
(3.14)
dS
= IS − αSR − αS(S − 1) = −S (α (N − 1) − (α + 1) I) .
dt
Si noti che, ponendo
α=1
si riottengono le eq. (1.11) del modello originale.
A questo punto si può passare alle frazioni
N → ∞,
i, s, r
ed utilizzando il limite
come già fatto per il modello originale, si ottiene
di
= −is,
dt
(3.15)
ds
= −s (α − (α + 1) i)
dt
e dunque l'equazione che regola tale processo è:
ds
α
= − (α + 1).
di
i
(3.16)
CAPITOLO 3.
30
VARIAZIONI SUL MODELLO
Risolvendo l'equazione (3.16) si ha:
s − s0 = α ln
i
− (α + 1) (i − i0 ) ,
i0
(3.17)
e, nel momento in cui si estingue il processo di diusione, ossia per s=0:
s0 = ln θα + i0 (α + 1) (1 − θ) .
Inne, ricordando le condizioni iniziali (s0
(3.18)
→ 0, i0 → 1)
si ha:
ln θα + (α + 1) (1 − θ) = 0,
la cui risoluzione dipende dal valore di
(3.19)
α.
Allo scopo di eettuare la simulazione numerica del modello, abbiamo modicato il programma di simulazione mediante l'introduzione della probabilità
α
che il diusore diventi uno smorzatore a seguito dell'incontro con un altro
smorzatore o un diusore.
Partendo da una popolazione di
lore della probabilità
α, 1000
1000
individui ed eettuando, per ogni va-
simulazioni si sono ottenuti i risultati riportati
nella tabella 3.2.
La Fig. 3.3 confronta i dati ottenuti dalle simulazioni al computer con la
α
θα
0.1
0.0000140(37)
0.2
0.002582(53)
0.3
0.01424(14)
0.4
0.03449(22)
0.5
0.05962(29)
0.6
0.08843(35)
0.7
0.11762(45)
0.8
0.14629(49)
0.9
0.17543(51)
0.99
0.19939(58)
Tabella 3.2: Dati ottenuti dalle simulazioni. Nella prima colonna è riportato
il valore della probabilità
α, nella seconda il valore di θ
e la relativa incertezza
risoluzione dell'equazione (3.19) per tutti quei valori di
tervallo
(0, 1).
α
compresi nell'in-
La risoluzione è stata ottenuta numericamente, mediante il
programma Mathematica. Come si evince dal graco i dati simulati seguono
con buona fedeltà tale curva.
In particolare quello che si osserva è che al
CAPITOLO 3.
31
VARIAZIONI SUL MODELLO
Θ
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Α
1.0
Figura 3.3: Graco di confronto tra i dati simulati e l'equazione (3.19) risolta
per
α ∈ (0, 1)
diminuire di
α
la frazione di ignoranti che si osserva alla ne del processo di
diusione tende a zero. Applicare tale modello alla vita di tutti i giorni quindi signica che se si vuole fare in modo che la diceria venga diusa a tutte le
persone che compongono la popolazione, si deve fare in modo che i diusori
della notizia non perdano interesse nel diondere la diceria. Tale soluzione,
sebbene scontata nel quotidiano, viene confermata anche da questo modello.
È interessante anche confrontare le modalità di diusione nel caso in cui
α = 1,
come nel modello originale, con quelle in cui il valore di
basso, ad esempio
α = 0.1.
α
è molto
La Fig. 3.4 confronta, per l'appunto, i processi di
diusione di questi due valori di
α.
Quello che si può constatare è che, per
α
bassi, la frazione di ignoranti decresce molto più repentinamente. Non solo,
la frazione nale risulta più bassa rispetto al caso originale, per
confronto inne è stato inserito anche il graco per
α = 0.5,
comportamento intermedio rispetto ai due sopra elencati.
α = 1.
Come
che presenta un
CAPITOLO 3.
Figura 3.4:
α = 0.1.
VARIAZIONI SUL MODELLO
Confronto tra il processo di diusione per
Per tutti gli
α
è stata utilizzata un popolazione
32
α = 1, α = 0.5 e
N di 1000 abitanti.
Conclusioni
Il lavoro presentato in questa tesi ha riguardato lo studio di diversi modelli di diusione delle dicerie.
A partire dai modelli DK e MT, basati sulla
suddivisione di una certa popolazione nelle categorie di ignoranti, diusori
e smorzatori della diceria e sulle interazioni che intercorrono tra di essi, si è
considerato dapprima una soluzione analitica approssimata, valida nel limite
di popolazione tendente all'innito con transizioni che avvengono in maniera
continua. Si è osservato come il numero di ignoranti alla ne del processo di
diusione è pari a circa il
20%
del numero iniziale di ignoranti.
Si è poi studiata la soluzione numerica esatta del modello, con il quale è possibile osservare la dipendenza del numero nale di ignoranti dal numero di
individui della popolazione. In questo modello le interazioni tra gli individui
vengono descritte in termini di un random walk.
Il processo di diusione
della diceria passa attraverso gli stati del random walk con una certa probabilità, calcolate numericamente. Tali probabilità, in particolare, forniscono
le distribuzioni delle diverse popolazioni e la loro dipendenza dal numero di
individui della popolazione.
Sia alla risoluzione analitica approssimata che alla simulazione numerica esatta sono state aancate delle simulazioni Monte Carlo: tali simulazioni costituiscono un terzo metodo di studio del processo di diusione.
Successivamente si è studiata la dipendenza della frazione nale di ignoranti
dalla frazione iniziale degli stessi, utilizzando le equazioni proposte da Belen
e Pearce in [3]. Un particolare eetto che si è notato è che diminuendo la
frazione iniziale si osserva un aumento del rapporto tra la frazione nale e
quella iniziale di ignoranti.
Nell'ultimo capitolo sono state studiate due possibili variazioni del modello.
Nella prima veniva modicata la probabilità di diusione della diceria. Con
tale modello si è osservato che, per basse probabilità, si crea un particolare
eetto plateau all'inizio e alla ne del processo di diusione.
Nel secondo
modello invece è stata variata la probabilità di diventare smorzatori.
Con
questo si è osservato, per valori di probabilità bassi, un calo molto più repentino del numero di ignoranti rispetto al modello originale, oltre che ad
33
CAPITOLO 3.
VARIAZIONI SUL MODELLO
34
una frazione nale di ignoranti molto più basso. Tali eetti sono dovuti alla
maggior presenza di diusori attivi all'interno della popolazione rispetto al
modello originale.
Appendice A
codice di
Mathematica
35
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
36
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
37
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
38
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
39
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
40
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
41
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
42
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
43
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
44
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
45
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
46
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
47
APPENDICE A.
CODICE DI
MATHEMATICA
48
Ringraziamenti
Desidero ringraziare in primo luogo il prof.
V. Lubicz per il sostegno ed i
consigli utili che mi ha dato nello scrivere la tesi. Mi hanno aiutato davvero
tanto. Grazie tante poi ad Andrea, Matteo, Marco (grazie per le correzioni!),
Ivano, Ilaria e gli altri ragazzi della Sala Calcolo, compagni d'avventura su
cui ho potuto contare molto durante l'arco di questi mesi, confrontandomi
A
con loro, chiedendo delucidazioni su L TEX o semplicemente garantendomi
tante risate.
Se sorridere allunga la vita sto a posto per i prossimi cento
anni. Grazie a Claudia, non fosse per lei sarei stato travolto dalle mie ansie,
un giorno, prometto, mi sdebiterò.
Un ringraziamento particolare va poi al prof. S. Fiorelli ed alla prof.ssa M.
Nannurelli. Se ho scelto di studiare sica è soprattutto grazie a loro.
Ultimi, ma non certo in ordine di importanza, i miei genitori e mio fratello.
Potrei scrivere migliaia di motivi per ringraziarli, so già che non sarebbe
abbastanza.
49
Bibliograa
[1] D.J. Daley, D.G. Kendall, Stochastic rumours, J. Inst. Math. Appl.
1
(1965), 42-55
[2] D.P Maki,
M. Thompson,
Mathematical models and applications,
Prentice-Hall, Englewood Clis (1973)
[3] S. Belen, C.E.M. Pearce, Rumous with general initial conditions, The
ANZIAM Journal
45 (2004),
393-400
50
