I segnali gaussiani

I SEGNALI GAUSSIANI
1 - Variabili aleatorie normali o gaussiane.
Sia W una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente densità di probabilità:
1
pW ( w) =
(1.1)
2π
e
−
w2
2
rappresentata in Fig. 1.
pw(w)
Una tale variabile aleatoria presenta:
a) valor medio nullo.
Infatti è:
μW = E {W } =
(1.2)
∫
1
wpW ( w)dw =
2π
∞
∫−∞ we
−
w2
2
dw = 0
poiché l’integrando è una funzione dispari di w .
b) varianza unitaria.
w
Fig. 1 Densità di probabilità di una
variable aleatoria normale
Infatti, essendo il valor medio nullo, è:
2
σW
(1.3)
σW2 =
1
w pW ( w)dw =
2
2π
∞
∫−∞ w e
2
−
w2
2
dw
{ ( )} = −w exp ( ) dw , diviene, sviluppando l’integrale per parti:
1
1 ⎡
1
wd ⎡ − exp ( ) ⎤ =
− w ⋅ exp ( ) ⎤ +
∫
∫ e dw = 1
⎣
⎦
⎣
⎦
2π
2π
2π
che, notando che è d exp
(1.4)
{ }=∫
=E W
2
−
w2
2
−
∞
−
−∞
w2
2
w2
2
−
w2
2
∞
∞
−∞
−∞
−
w2
2
avendo tenuto conto che è, per la condizione di normalizzazione:
1
2π
(1.5)
∫
∞
−∞
e
−
w2
2
dw = 1
Una variabile aleatoria siffatta si definisce normale (o gaussiana) a valor medio nullo e
varianza unitaria e si scrive:
W ≈ N (0,1)
(1.6)
Di particolare interesse è la funzione Q , definita dalla
Q( x) =
(1.7)
1
∫
2π
∞
x
e− w
2
/2
dw
Essa non può essere espressa in forma chiusa; tuttavia se ne possono dare efficaci approssimazioni. A tale scopo si ha, integrando per parti:
∞
∞ 1
∞ 1
− w2 / 2
− w2 / 2
− w2 / 2
∫x e dw = ∫x w we dw = ∫x w d −e dw =
(1.8)
2
∞
∞ 1
∞ 1
1
e− x / 2
2
2
2
=
−e − w / 2 − ∫ 2 e− w / 2 dw =
− ∫ 2 e− w / 2 dw
x w
x w
w
x
x
(
(
)
(
)
)
Poiché, per x > 0 , è:
(1.9)
0<∫
∞
x
∞ w
2
1 − w2 / 2
1
e
dw = ∫ 3 e − w / 2 dw < 3
2
x
w
w
x
∫
∞
x
2
we
− w2 / 2
si ottiene:
(1.10)
1 ⎞
e− x / 2
⎛
⎜1 − 2 ⎟ < Q( x) <
2π x ⎝ x ⎠
2π x
e− x
2 /2
2
( x > 0)
e− x / 2
dw = 3
x
-2-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
1
Nella Fig.2 sono riportati i diagrammi dei
Q( x)
limiti inferiore e superiore, forniti dalla (1.10),
2
1
unitamente a quello della funzione Q( x) .
10−1
2π
Sia X una variabile aleatoria definita dalla
−x / 2
x
X = aW + b
(1.11)
con a
e
(a ≠ 0)
e b costanti reali. Per determinare
10−2
la densità di probabilità di X , basta osservare
che
la
probabilità
che
all’intervallo I x ≡ ⎡⎣ x −
probabilità che W
I w ≡ ⎡⎣ w −
Δw
2
,w +
Δw
2
Δx
2
,x +
appartenga
X
Δx
2
2
1
10−3
⎤ è eguale alla
⎦
e
−x / 2
2π
x
⎛1 − 1 ⎞
⎝ x2 ⎠
appartenga all’intervallo
⎤ (v. Fig. 3). In altre parole si
⎦
0,5
1
1,5
2
x
3
Fig. 2 – Funzione Q(x) e suoi limiti.
deve avere:
p X ( x) Δx = pW ( w) Δw
(1.12)
X
dove si è tenuto conto del fatto che le probabilità
interessate sono quantità positive. La (1.12), essendo
w = x −a b , può essere riscritta come segue:
x
Δx
Δw
w
pX ( x) =
(1.13)
X = aW + b
W
Fig. 3 – Determinazione della
d.d.p. della v.a. X .
( )
x −b
a
pW
dx
dw
e cioè:
pX ( x) =
(1.14)
−
1
2πa
2
e
( x − b )2
2 a2
Dalla (1.11) si ricava il valore medio:
(1.15)
μ X = E { X } = aE {W } + b = b
e la varianza;
(1.16)
σ X2 = E {( X − μ X ) 2 } = E {( X − b) 2 } = E {(aW ) 2 } = a 2
per cui la (1.14) assume la forma:
(1.17)
pX ( x) =
−
1
2πσ
2
x
e
( x −μ x )2
2 σ 2x
che costituisce la più generale espressione delle densità di probabilità di una variabile
aleatoria gaussiana caratterizzata da un valor medio μ x e da una varianza σ 2x . Si scrive:
(1.18)
X ≈ N (μ x , σ 2X )
2 – Vettori aleatori a valori reali, normali o gaussiani.
Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese ai vettori aleatori.
Sia:
(2.1)
W = [W1 W2
Wn ]
T
un vettore aleatorio a valori reali, ad n dimensioni caratterizzato da una densità di probabilità congiunta delle sue componenti data dalla:
I segnali gaussiani
pW (w ) =
(2.2)
n
⎛
⎞
exp ⎜ − 12 ∑ wi2 ⎟ =
n
i =1
⎝
⎠
(2 π )
1
È facile verificare che le quantità Wi
- 3-
1
(2 π )
n
(
exp − 12 w T w
)
sono variabili aleatorie gaussiane, stati-
(i = 1, 2… n)
sticamente indipendenti, con valor medio nullo e varianza unitaria. Infatti, integrando la
(2.2) rispetto a tutte le W j (con j ≠ i ) si deduce la densità di probabilità del primo ordine
della variabile aleatoria Wi :
pWi (wi ) =
(2.3)
1
2π
e
−
wi2
2
n
∏∫
∞
1
−∞
j =1
( j ≠i )
e quindi:
(2π)( n −1)
{ }
E {wi } = 0 ; E wi2 = 1
(2.4)
e
−
w2j
2
dw j =
1
2π
e
−
wi2
2
i = 1, 2, … , n
In modo analogo, dalla (2.2), si ottiene la densità di probabilità congiunta delle variabili
aleatorie Wr e Ws :
pWrWs ( wr , ws ) =
(2.5)
1
2π
e
−
wr2
2
1
2π
e
−
ws2
2
= pWr (wr ) ⋅ pWs (ws )
dalla quale si deduce che le variabili aleatorie Wr e Ws sono statisticamente indipendenti. Ciò comporta:
⎧1
E {wr ws } = ⎨
⎩0
(2.6)
r = s
r ≠ s
Le (2.4) e (2.6) sono riassunte nelle:
E {W } = 0
(2.7)
{
; ΣW = E WW T
}
⎡1
⎢0
=⎢
⎢
⎢
⎣0
0
1
0
0⎤
0 ⎥⎥
=I
⎥
⎥
1⎦
Un vettore aleatorio di questo tipo è pertanto caratterizzato da un vettore dei valori medi
nullo e da una matrice di correlazione ΣW unitaria. Esso si dice normale (o gaussiano) e
si denota con:
W ≈ N (0, I )
(2.8)
Sia ora
X = AW + b
(2.9)
un vettore aleatorio a valori reali ottenuto da W per trasformazione affine la cui matrice
A , di dimensioni n × n , si suppone non singolare. Per dedurre la densità di probabilità
congiunta p X ( x ) delle componenti del vettore X in funzione della analoga densità pW (w )
delle componenti del vettore W , basta osservare che, detto Δx un elemento infinitesimo
dello spazio
(2.10)
n
, si deve avere:
p X ( x ) Δx = pW (w ) Δw
dove Δw denota l’elemento dello spazio
n
che porta a Δx per effetto della trasformazio-
ne (2.9). È noto dalla Geometria che è
(2.11)
Δx = det( J ) Δw
essendo J la matrice jacobiana della trasformazione, il cui generico elemento è definito
dalla J ij =
∂xi
. Si ha J = A . Pertanto, ricordando la (2.2) è:
∂w j
-4-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
pX ( x ) =
(2.12)
=
pW ⎡⎣ A−1 ( x − b)⎤⎦
=
det( A)
1
(2π) det( A)
n
1
(2π) det( A)
n
exp ⎡⎣ − 12 ( x − b)T ( AT )−1 A−1 ( x − b)⎤⎦ =
exp ⎡⎣ − 12 ( x − b )T ( AAT )−1 ( x − b)⎤⎦
Dalla (2.9), tenendo conto delle (2.7), si deducono le espressioni del vettore dei valori
medi e della matrice di covarianza del vettore aleatorio X .
(2.13)
{
μ X = E{X } = AE{W} + b = b
}
{
}
Σ X = E ( x − μ X )( x − μ X )T = E Aww T AT = AAT
(2.14)
e di conseguenza la (2.12) può essere riscritta nella forma:
1
(2.15)
pX (x ) =
exp − 12 ( x − μ X ) T (Σ X ) −1 (x − μ X )
n
(2π) det(Σ X )
[
]
essendo det(Σ X ) = det( AAT ) = det( A )det( AT ) = [det( A )] .
2
Generalizzando un vettore aleatorio è definito gaussiano quando la sua densità di probabilità congiunta è della forma espressa dalla (2.15) purché il determinante della matrice di covarianza è non negativo o, che è lo stesso, quando la matrice di covarianza è definita positiva. La statistica di un vettore gaussiano è completamente determinata se si conosce il vettore dei valori medi μ X e la matrice di covarianza Σ X . Poiché è:
(2.16)
{
}
{
}
{ }
Σ X = E ( x − μ X )( x − μ X )T = E xx T − xμTX − μ X x T + μ X μTX = E xx T − μ X μTX
tale statistica è anche definita dal vettore dei valori medi μ X e dalla matrice di correlazio-
{
}
ne RX = E ( xx T .
Si scrive:
X ≈
(2.17)
N (μ X , Σ X
)
Un’utile grandezza associata ad un vettore aleatorio X è la cosiddetta funzione caratteristica. Essa è definita dalla:
(2.18)
{ }=∫
FX (u) = E e ju
T
T
x
n
e ju x p X ( x ) d x
T
cioè come la media della funzione e ju x , essendo u un vettore ad n dimensioni.
La (2.18) può essere invertita per dare luogo alla:
T
1
(2.19)
pX ( x ) =
FX (u)e − ju x dx
n
(2π) n ∫
per cui la statistica di un vettore aleatorio può essere individuata o assegnando la densità di probabilità congiunta delle sue componenti o la funzione caratteristica di ordine n .
È possibile dimostrare (v. Appendice A) che la funzione caratteristica di un vettore
gaussiano si può esprimere nella forma:
(2.20)
FX (u) = exp ⎡⎣ juT μ X − 12 uT Σ X u ⎤⎦
3. - Proprietà dei vettori aleatori gaussiani.
I vettori aleatori gaussiani godono delle seguenti proprietà:
a) Ogni trasformazione lineare di un vettore gaussiano
(3.1)
Y = HX + h
I segnali gaussiani
in cui
X ≈
e Y
X
N (μ X , Σ X
- 5-
denotano due vettori di dimensioni n e m rispettivamente con
) e dove H è una matrice di dimensioni (m × n) e h un vettore non aleatorio
anch’esso di dimensioni m , conduce ad un vettore anch’esso gaussiano.
DIM. La funzione caratteristica del vettore Y vale
(3.2)
{ } = E {e
FY (u) = E e ju
T
y
juT ( Hx + h )
}=e
juT l
{
T
E e ju
Hx
}=e
juT l
{
E e j(H
T
u )T x
}=e
juT h
FX ( H T u)
Poiché X obbedisce ad una statistica di tipo gaussiano, la sua funzione caratteristica è
espressa dalla (2.20) che sostituita nella (3.2) conduce alla:
FY (u) = e ju h e
T
(3.3)
juT H μ X − 12 uT H Σ X H T u
=e
juT ( H μ X + h ) − 12 uT H Σ X H T u
Notando infine che dalla (3.1) si deducono: il vettore dei valori medi
(3.4)
μY = E {Y } = H μ X + h
e la matrice di covarianza
{
}
{
}
{
}
(3.5) ΣY = E ( y − μY )( y − μY )T = E H ( x − μ X )( x − μ X )T H T = HE ( x − μ X )( x − μ X )T H T = H Σ X H T
la (3.3) può essere riscritta come segue
(3.6)
FY (u) = exp ⎡⎣ juT μY − 12 uT ΣY u ⎤⎦
che confrontata con la (2.20) permette di concludere che il vettore Y è un vettore gaussiano caratterizzato dal vettore dei valori medi e dalla matrice di covarianza date dalle
(3.4) e (3.5) rispettivamente.
In particolare se si pone H = [ k1
k2
kn ] , e h = 0 , la proprietà di cui sopra assicura
che la combinazione lineare di un insieme di n variabili aleatorie congiuntamente gaussiane produce una variabile aleatoria anch’essa gaussiana.
b) Un qualunque sottovettore X k di dimensioni k estratto da un vettore aleatorio X
gaussiano è anche gaussiano.
DIM. Basti osservare che il vettore X k può essere ottenuto a mezzo di una trasformazione lineare del tipo X k = H k X . Ad esempio se da un vettore X tridimensionale si vuole
estrarre un vettore che contiene solo le prime due componenti, si deve porre
⎡1 0 0 ⎤
H3 = ⎢
⎥ e h = 0.
⎣0 1 0⎦
c) Se le componenti di un vettore aleatorio X gaussiano sono a due a due incorrelate,
esse sono anche statisticamente indipendenti.
DIM. La matrice di covarianza del vettore X vale:
⎡σ12 0
0⎤
⎢
⎥
2
0
0
σ
2
⎥
(3.7)
ΣX = ⎢
⎢
⎥
⎢
⎥
2
σ n ⎥⎦
⎢⎣ 0 0
per cui la funzione caratteristica è:
⎡ n
⎤
FX (u) = exp ⎡⎣ juT μ X − 12 uT Σ X u ⎤⎦ = exp ⎢ ∑ jui μ Xi − 12 σi2 ui2 ⎥ =
⎣ i =1
⎦
(
(3.8)
n
)
n
= ∏ exp ⎡⎣ jui μ Xi − 12 σi2 ui2 ⎤⎦ = ∏ FXi (ui )
i =1
i =1
essendo FXi (ui ) = exp ⎡⎣ jui μ Xi − σ u ⎤⎦ . La funzione caratteristica si fattorizza nel prodotto
1
2
2 2
i i
delle funzioni caratteristiche delle componenti del vettore e ciò comporta che la densità di
-6-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
probabilità congiunta delle componenti del vettore X è fattorizzata nel prodotto delle
densità di probabilità delle singole componenti.
4 – Vettori aleatori a valori complessi, normali o gaussiani.
Un vettore aleatorio di n dimensioni a valori complessi X = X R + jX I si dice normale o
gaussiano quando il vettore
⎡X ⎤
⎢ R⎥
⎢⎣ X I ⎥⎦
composto dalla parte reale e dal coefficiente della parte
immaginaria del vettore X costituisce un vettore gaussiano e pertanto definito da una
densità di probabilità di ordine 2n come quella data dalla (2.15). Ciò comporta che, per
caratterizzare un vettore gaussiano a valori complessi è necessario conoscere il vettore
dei valori medi
⎡ E { X R }⎤
μ=⎢
⎥
⎣⎢ E { X I } ⎦⎥
(4.1)
e la matrice di correlazione:
(4.2)
{
{
⎡ E X R X RT
⎪⎫
X IT ⎤⎦ ⎬ = ⎢
T
⎭⎪ ⎢⎣ E X I X R
⎧⎪ ⎡ X ⎤ ⎡ X ⎤T ⎫⎪
⎪⎧ ⎡ X ⎤
R = E ⎨ ⎢ R ⎥ ⎢ R ⎥ ⎬ = E ⎨ ⎢ R ⎥ ⎡⎣ X RT
⎪⎩ ⎣ X I ⎦ ⎣ X I ⎦ ⎪⎭
⎩⎪ ⎣ X I ⎦
}
}
{
{
}
}
E X R X IT ⎤ ⎡ R
⎥=⎢ R
T ⎥
RIR
E XI XI
⎦ ⎣
RRI ⎤
RI ⎦⎥
dove si sono denotate con RR , RI le matrici di correlazione associate ai vettori X R e X I
rispettivamente e con RRI e RIR le matrici di correlazione mutua fra X R e X I . Si noti che
T
è RRI = RIR
.
È da osservare che mentre per caratterizzare un vettore aleatorio gaussiano a valori
reali occorre conoscere il vettore dei valori medi e la matrice di correlazione, per la determinazione della statistica di un vettore aleatorio gaussiano a valori complessi non basta
conoscere, oltre il vettore dei valori medi, la sua matrice di correlazione; infatti
quest’ultima è:
(4.3)
{ } {
= E { X X + X X } + jE { X
}
{
}
RX = E XX H = E ( X R + jX I )( X R + jX I ) H = E ( X R + jX I )( X RT − jX IT ) =
R
T
R
I
T
I
I
X − XR X
T
R
T
I
} = (R
R
+ RI ) + j ( RIR − RRI )
Per definire completamente la statistica del vettore X occorre aggiungere un’ulteriore
condizione. Di norma è introdotta la cosiddetta matrice di pseudo correlazione definita
dalla:
(4.4)
{ } {
= E { X X − X X } + jE { X
}
{
}
RX = E XX T = E ( X R + jX I )( X R + jX I )T = E ( X R + jX I )( X RT + jX IT ) =
R
T
R
I
T
I
I
X + XR X
T
R
T
I
} = (R
R
− RI ) + j ( RIR + RRI )
Dalle (4.3) e (4.4) si deduce:
RR = 12 Re ⎡⎣ RX + RX ⎤⎦ , RI = 12 Re ⎡⎣ RX − RX ⎤⎦
(4.5)
RRI = 12 Im ⎡⎣ − RX + RX ⎤⎦ , RIR = 12 Im ⎡⎣ RX + RX ⎤⎦
Una particolare classe di vettori aleatori gaussiani a valori complessi è costituita dai
cosiddetti vettori gaussiani propri. Essi sono definiti dalla condizione:
(4.6)
RX = 0
che comporta:
(4.7)
RR = RI
RIR = − RRI
I segnali gaussiani
- 7-
T
È da notare che, poiché è RRI = RIR
, dalla seconda delle (4.7) si ha:
T
RRI = − RRI
(4.8)
e cioè le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie X R e X I di un vettore gaussiano proprio hanno identiche matrici di correlazione e la matrice di correlazione incrociata
è antisimmetrica e, in particolare, la diagonale principale è costituita da valori tutti nulli.
Per determinare la statistica di un vettore gaussiano proprio occorre quindi conoscere
il vettore dei valori medi μ X e la sola matrice di correlazione RX .
Un’ulteriore particolare classe di vettori gaussiani è costituita dai vettori che godono
della cosiddetta proprietà di simmetria circolare. Un vettore gaussiano X è circolarmente simmetrico (o a simmetria circolare) se per ogni ϑ ∈ [ 0, 2π ) la statistica di X è la stessa di quella di e jϑ X . Devono perciò coincidere il vettore dei valori medi e le funzioni di
correlazione e di pseudo correlazione. Basta, in particolare, che risulti, per ogni ϑ :
{
}
E e jϑ X
)( e
E e jϑ X = e jϑ E { X } = E { X }
(4.9)
e
{(
(4.10)
Le (4.9) e (4.10) comportano:
(4.11)
jϑ
XT
)} = e
j 2ϑ
RX = RX
E {X} = 0
e
RX = 0
(4.12)
È opportuno osservare che un vettore gaussiano proprio a valor medio nullo è circolarmente simmetrico e ciò si esprime scrivendo:
(4.13)
X ≈ CN ( 0, Σ X )
5 – Segnali gaussiani.
Un segnale aleatorio s (t, ζ ) , a valore reale, si dice normale o gaussiano se l’insieme
dei suoi campioni presi in corrispondenza ad una generica n -upla d’istanti t1, t2 , …, tn ,
costituisce un vettore aleatorio gaussiano. In altri termini se, detto x = [ x1
x2
xn ]
T
risulta:
(5.1)
ps1 , s2 …, sn ( x ) =
1
( 2π )
n
dove μ s = [ ms (t1 ), ms (t2 ), …, ms (tn ) ]
T
Σs
exp ⎡⎣ − 12 ( x − μ s )T Σ −s 1 ( x − μ s ) ⎤⎦
∀n ∈
, ∀ (t1 , t 2 , … , t n ) ∈
n
è un vettore la cui i -esima componente è pari al valore
medio ms (t ) = E {s (t , ζ )} del segnale nell’istante ti , e il generico elemento della matrice Σ s
(5.2)
{
{
}}
σ s (ti , t j ) = E ⎡⎣ s (ti , ζ ) − E {s (ti , ζ )}⎤⎦ ⎡ s (t j , ζ ) − E s (t j , ζ ) ⎤
⎣
⎦
è la covarianza delle variabili aleatorie individuate dal segnale agli istanti ti e t j .
Ci si rende facilmente conto del fatto che un segnale gaussiano stazionario in senso
lato lo è anche in senso stretto. Infatti, se il segnale è stazionario in senso lato, almeno
fino al secondo ordine, gli elementi della sua matrice di covarianza dipendono soltanto
dalle differenze tra gli istanti di tempo ti e t j e il valore medio del segnale è indipendente
dal tempo, quindi tale è anche il vettore μ s che compare nella sua densità di probabilità.
-8-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
La statistica del segnale è allora invariante rispetto a qualsiasi traslazione dell’origine dei
tempi.
Poiché dalla (5.2) discende:
(5.3)
σ s (ti , t j ) = Rs (ti , t j ) − E {s (ti , ζ )} E s (t j , ζ ) = Rs (ti , t j ) − ms (ti )ms (t j )
{
}
la funzione di covarianza può essere espressa in termini della funzione di autocorrelazione e del valore medio; la statistica di un segnale gaussiano, quindi, risulta perfettamente
nota se si conosce il valore medio e la funzione di autocorrelazione.
Un segnale s( t, ζ) a valore complesso
s (t , ζ ) = sR (t , ζ ) + jsI (t , ζ )
(5.4)
si dirà gaussiano se un qualsiasi insieme di campioni presi sulla parte reale e sulla parte
immaginaria costituisce un vettore di variabili aleatorie congiuntamente gaussiane. Questo significa che per caratterizzare la statistica del segnale s (t , ζ ) occorre definire i valori
medi delle parti reali ed immaginarie
(5.5)
e le funzioni di correlazione:
μ R (t ) = E {sR (t , ζ )}
μ I (t ) = E {sI (t , ζ )}
{
}
R (t , t ) = E {s (t , ζ ) s (t , ζ )}
R (t , t ) = E {s (t , ζ ) s (t , ζ )}
R (t , t ) = E {s (t , ζ ) s (t , ζ )} = R
RR (ti , t j ) = E sR (ti , ζ ) sR (t j , ζ )
(5.6)
I
i
j
I
i
RI
i
j
R
IR
i
j
I
I
i
i
j
I
j
R
j
RI
(t j , ti )
Se i valori medi, definiti dalle (5.5) non dipendono dal tempo e le funzioni di autocorrelazione, date dalle (5.6) dipendono dalla differenza fra gli istanti ti e t j , il segnale s(t , ζ ) è
stazionario in senso stretto poiché la sua statistica è invariante rispetto a qualsiasi traslazione dell’origine dei tempi.
È interessante osservare che la conoscenza della funzione di correlazione data dalla:
R (ti , t j ) = E s* (ti , ζ ) s(t j , ζ ) =
{
(5.7)
{
}
}
= E [ sR (ti , ζ ) − jsI (ti , ζ ) ] ⎡⎣ sR (t j , ζ ) + jsI (t j , ζ ) ⎤⎦ =
= ⎡⎣ RR (ti , t j ) + RI (ti , t j ) ⎤⎦ + j ⎡⎣ RRI (ti , t j ) − RIR (ti , t j ) ⎤⎦
non consente di definire completamente le funzioni RR (ti , t j ) , RI (ti , t j ) e RRI (ti , t j ) che intervengono nella definizione della statistica del segnale. Per definire quindi la statistica di
un segnale gaussiano a valori complessi occorre, analogamente a quanto proposto a proposito del vettore aleatorio gaussiano a valori complessi, introdurre la cosiddetta funzione
di pseudo correlazione definita dalla:
R (ti , t j ) = E s(ti , ζ ) s (t j , ζ ) =
{
(5.8)
{
}
}
= E [ sR (ti , ζ ) + jsI (ti , ζ ) ] ⎡⎣ sR (t j , ζ ) + jsI (t j , ζ ) ⎤⎦ =
= ⎡⎣ RR (ti , t j ) − RI (ti , t j ) ⎤⎦ + j ⎡⎣ RRI (ti , t j ) + RIR (ti , t j ) ⎤⎦
Dalle (5.7) e (5.8) si deduce facilmente:
I segnali gaussiani
- 9-
RR (ti , t j ) = 2! Re ⎡⎣ R (ti , t j ) + R (ti , t j ) ⎤⎦
RI (ti , t j ) = 2! Re ⎡⎣ R (ti , t j ) − R (ti , t j ) ⎤⎦
(5.9)
RRI (ti , t j ) = 12 Im ⎡⎣ R (ti , t j ) + R (ti , t j ) ⎤⎦
RIR (ti , t j ) = 12 Im ⎡⎣ − R (ti , t j ) + R (ti , t j ) ⎤⎦
Una classe particolarmente interessante di segnali gaussiani a valori complessi è costituita dai cosiddetti segnali gaussiani propri. Essi sono caratterizzati dalla condizione
che, per ogni valore di ti e t j , si ha:
R (ti , t j ) = 0
(5.10)
per cui risulta:
RR (ti , t j ) = RI (ti , t j ) = 2! Re ⎡⎣ R(ti , t j ) ⎤⎦
(5.11)
RRI (ti , t j ) = 12 Im ⎡⎣ R(ti , t j ) ⎤⎦ = − RIR (ti , t j )
La statistica di un segnale gaussiano proprio pertanto è completamente determinata se si
conosce la sua funzione di autocorrelazione.
È da osservare che dalla seconda delle (5.11) si deduce che è RRI (t , t ) = RIR (t , t ) = 0 . Le
parti reali ed immaginarie di un segnale gaussiano proprio sono incorrelate in ti = t j = t .
Come nel caso di vettore aleatorio a valori complessi gaussiano a simmetria circolare,
un segnale gaussiano si dice circolarmente simmetrico (o a simmetria circolare) se
per ogni valore di ϑ ∈ [ 0, 2π ) la statistica del segnale s(t, ζ ) è uguale a quella di e jϑ s(t, ζ ) .
Ciò comporta che, per ogni ϑ , si deve avere:
{
}
E e jϑ s(t, ζ ) = e jϑ E {s(t, ζ )} = E {s(t, ζ )}
(5.12)
e questo comporta E {s(t, ζ )} = 0 . Inoltre, sempre per ogni ϑ , basta che si abbia:
(5.13)
{
}
{
}
{
}
E ⎡⎣ e jϑ s(ti , ζ )⎤⎦ ⎡⎣ e jϑ s(t j , ζ )⎤⎦ = e 2 jϑ E s(ti , ζ )s(t j , ζ ) = E s(ti , ζ )s(t j , ζ )
e questo comporta
(5.14)
R(ti , t j ) = 0
Un segnale gaussiano proprio a valor medio nullo è a simmetria circolare.
6 - Trasformazioni lineari di segnali gaussiani.
Sia y (t , ζ ) un segnale aleatorio dipendente dal segnale x(t , ζ ) mediante una trasformazione lineare del tipo:
(6.1)
∞
y (t , ζ ) = ∫ h(t , τ) x(τ, ζ )d τ
−∞
in cui h(t , τ) denota una funzione peso dipendente dalle variabili t e τ .
Dividendo il dominio d’integrazione nella (6.1) in intervalli disgiunti di ampiezza Δ ,
l’integrale può essere calcolato mediante la:
(6.2)
N
y (t , ζ ) = lim Δ ∑ h(t , iΔ ) x(iΔ, ζ )
N →∞
Δ→ 0
Valutando la precedente in t = jΔ , con j ∈
(6.3)
i =− N
, si ha:
N
y ( j Δ, ζ ) = lim Δ ∑ h( j Δ, iΔ ) x(iΔ, ζ )
N →∞
Δ→ 0
i =− N
j∈
-10-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
L’argomento del limite nella (6.3) può essere interpretato per fissati N e Δ come la
N
∑ h( j Δ, iΔ) x(iΔ, ζ )
componente j -esima y j =
di un vettore aleatorio Y ottenuto dal pro-
i =− N
dotto tra una matrice H il cui generico elemento è Δ ⋅ h( j Δ, iΔ ) e un 2N + 1 vettore aleatorio gaussiano la cui i -esima componente vale x (iΔ, ζ ) . Y è pertanto, indipendentemente
dai valori di N e Δ , un vettore aleatorio gaussiano e tale resta passando al limite per
N → ∞ e Δ → 0 . Quindi y( t, ζ) è un segnale gaussiano, la sua densità di probabilità, a
qualunque ordine, dipende soltanto dal valor medio e dalla funzione di autocorrelazione.
Dalla (6.1), prendendo il valore medio statistico di ambo i membri, si ha, con ovvio significato dei simboli:
∞
∞
−∞
−∞
my (t ) = E { y (t , ζ )} = ∫ h(t , τ) E { x(τ, ζ )} d τ = ∫ h(t , τ)mx (τ)d τ
(6.4)
La funzione di autocovarianza vale:
σ y (t1 , t2 ) = E
=E
(6.5)
=∫
{( y(t , ζ) − m (t ) )( y(t , ζ) − m (t ) )} =
{∫
∫
=∫ ∫
y
2
2
}
∞
−∞
∞
−∞ −∞
∞
1
h(t1 , τ1 ) ( x(τ1 , ζ ) − mx (τ1 ) ) d τ1 ∫ h(t2 , τ2 ) ( x(τ2 , ζ ) − mx (τ2 ) ) d τ 2 =
−∞
∞
y
1
∞
∞
−∞ −∞
E {[ x(τ1 , ζ ) − mx (τ1 )][ x(τ2 , ζ ) − mx (τ2 ) ]} h(t1 , τ1 )h(t2 , τ2 )d τ1d τ 2 =
σ x (τ1 , τ2 )h(t1 , τ1 )h(t2 , τ2 )d τ1d τ 2
avendo denotato con σ x (t1, t2 ) la funzione di autocovarianza di x(t,ζ ) .
Sia a(ζ ) una variabile aleatoria dedotta da un segnale x (t, ζ ) gaussiano mediante una
trasformazione lineare della forma:
∞
a(ζ ) = ∫ h(τ) x(τ, ζ )d τ
(6.6)
−∞
essendo h(τ) una funzione peso. Procedendo come prima e cioè dividendo il dominio
d’integrazione nella (6.6) in intervalli disgiunti di ampiezza Δ , l’integrale può essere calcolato mediante la:
N
a(ζ ) = lim Δ ∑ h(iΔ ) x(iΔ, ζ )
(6.7)
N →∞
Δ→ 0
i =− N
Per fissati N e Δ fissati è immediato riconoscere che la quantità a(ζ ) , in quanto combinazione lineare di quantità congiuntamente gaussiane, è una variabile aleatoria gaussiana la cui densità di probabilità del primo ordine dipende dal valor medio e dalla funzione
di autocorrelazione.
Dalla (6.6), prendendo il valore medio statistico di ambo i membri, si ha, con ovvio significato dei simboli:
e:
{
σ 2a = E ( a (ζ ) − μ a )
(6.9)
∞
∞
−∞
−∞
μ a = E {a (ζ )} = ∫ h(τ) E { x(t , ζ )} d τ = ∫ h(τ)mx (τ)d τ
(6.8)
=E
=∫
{∫
∞
∞
−∞
∫
=∫ ∫
∞
−∞ −∞
∞
∞
−∞ −∞
2
}=
∞
}
h(τ1 ) ( x(τ1 , ζ ) − mx (τ1 ) ) d τ1 ∫ h(τ2 ) ( x(τ2 , ζ ) − mx (τ2 ) ) d τ2 =
−∞
E {[ x(τ1 , ζ ) − mx (τ1 ) ][ x(τ2 , ζ ) − mx (τ2 ) ]} h(τ1 )h(τ2 )d τ1d τ2 =
σ x (τ1 , τ2 )h(τ1 )h(τ2 )d τ1d τ2
I segnali gaussiani
- 11-
APPENDICE
FUNZIONE CARATTERISTICA
DI UN VETTORE ALEATORIO GAUSSIANO
1 – Premessa.
La funzione caratteristica associata ad un vettore aleatorio gaussiano di n dimensioni
X si ottiene dal seguente integrale:
FX (u) = ∫ n e ju x p X ( x )dx
T
(1)
in cui
1
pX ( x) =
(2)
(2π) det(Σ )
n
exp ⎡⎣ − 12 x T Σ −1 x ⎤⎦
L’integrale (1) diventa:
FX (u) =
(3)
1
(2π) det(Σ )
n
∫
n
exp ⎡⎣ juT x − 12 ( x − μ )T Σ −1 ( x − μ ) ⎤⎦ dx
Introducendo la trasformazione x − μ → x si ottiene:
T
FX (u) =
(4)
e ju
μX
(2π) det(Σ )
n
∫
n
exp ⎡⎣ juT x − 12 x T Σ −1 x ⎤⎦ dx
Per risolvere l’integrale (4) è conveniente ricorrere all’ortogonalizzazione della matrice
di covarianza.
2 – Ortogonalizzazione della matrice di covarianza.
Sia
{λi }i =1
n
l’insieme degli autovalori (supposti distinti) della matrice di covarianza Σ .
Se u( i ) denota il corrispondente autovettore (supposto normalizzato) si ha:
Σu ( i ) = λ i u ( i )
(5)
Si definisca con T la matrice composta da tutti gli autovettori e cioè
⎡ ⎡u1(1) ⎤ ⎡u1(2) ⎤
⎡u1( n ) ⎤ ⎤
⎢ ⎢ (1) ⎥ ⎢ (2) ⎥
⎢ (n) ⎥ ⎥
u2 ⎥ ⎢u2 ⎥
(1)
(2)
(n)
⎢
⎢
⎢u2 ⎥ ⎥
T = ⎡⎣ u
u
u ⎤⎦ =
(6)
⎢⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥⎥
⎢ ⎢ (1) ⎥ ⎢ (2) ⎥
⎢ (n) ⎥ ⎥
⎢⎣un ⎥⎦ ⎦⎥
⎣⎢ ⎣⎢un ⎦⎥ ⎣⎢un ⎦⎥
Sia ha:
ΣT = ⎡⎣ Σu(1)
(7)
⎡ ⎡ λ1u1(1) ⎤
⎢ ⎢ (1) ⎥
λu
= ⎢⎢ 1 2 ⎥
⎢⎢
⎥
⎢ ⎢ (1) ⎥
⎢⎣ ⎢⎣ λ1un ⎥⎦
⎡ ⎡u1(1) ⎤
⎢ ⎢ (1) ⎥
u
= ⎢⎢ 2 ⎥
⎢⎢ ⎥
⎢ ⎢ (1) ⎥
⎣⎢ ⎢⎣un ⎦⎥
e cioè:
Σu(2)
⎡λ 2 u1(2) ⎤
⎢
(2) ⎥
⎢ λ 2 u2 ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(2)
⎢⎣λ 2 un ⎥⎦
⎡u1(2) ⎤
⎢ (2) ⎥
⎢u2 ⎥
⎢
⎥
⎢ (2) ⎥
⎢⎣un ⎥⎦
Σu( n ) ⎤⎦ = ⎡⎣ λ1u(1)
λ n u( n ) ⎤⎦ =
λ 2 u(2)
⎡λ n u1( n ) ⎤ ⎤
⎢
( n) ⎥ ⎥
⎢ λ n u2 ⎥ ⎥
⎢
⎥⎥
⎢
⎥⎥
( n)
⎢⎣λ n un ⎥⎦ ⎥⎦
⎡u1( n ) ⎤ ⎤ ⎡ λ1
⎢ (n) ⎥ ⎥ ⎢
⎢u2 ⎥ ⎥ ⎢ 0
⎢
⎥⎥ ⎢
⎢ (n) ⎥ ⎥ ⎢
⎢⎣un ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣ 0
0
λ2
0
0⎤
0 ⎥⎥
=
⎥
⎥
λn ⎦
-12-
G. Mamola: Lezioni di Complementi di Comunicazioni Elettriche
ΣT = T diag(λ1 , λ 2 ,
(8)
dove diag(λ1 , λ 2 ,
, λn
, λ n ) rappresenta la matrice diagonale
⎡ λ1
⎢0
, λn ) = ⎢
⎢
⎢
⎣0
diag(λ1 , λ 2 ,
(9)
0⎤
0 ⎥⎥
⎥
⎥
λn ⎦
0
λ2
0
Dalla (8) si deduce, premoltiplicando per T −1 :
T −1ΣT = diag(λ1 , λ 2 ,
(10)
, λn )
Prendendo la trasposta della precedente si ha:
(11)
T T ΣT (T −1 )T = [ diag(λ1 , λ 2 ,
, λ n ) ] = diag(λ1 , λ 2 ,
T
, λ n ) = T −1 Σ T
dove si è tenuto conto della (10). Osservando che la matrice di correlazione è simmetrica
( Σ = ΣT ), dalla precedente si deduce premoltiplicando per T e postmoltiplicando per T T :
TT T Σ (T −1 )T T T = TT −1ΣTT T
(12)
da cui:
(TT T )Σ = Σ(TT T )
(13)
e cioè la matrice di covarianza commuta con la matrice TT T . Questo comporta che la matrice TT T deve essere proporzionale alla matrice unitaria di ordine n . Ma poiché gli autovettori si sono supposti normalizzati e cioè tali che si abbia:
⎧1 i = j
(14)
u ( i ) u ( j )T = ⎨
⎩0 i ≠ j
la matrice TT T coincide con la matrice unitaria e quindi
T −1 = T T
(15)
La matrice T è pertanto una matrice ortogonale ed è caratterizzata dal fatto che il suo
determinante vale ±1 . La (10) in questo caso diventa:
T T ΣT = diag(λ1 , λ 2 ,
(16)
, λn )
Dalla predente, tenendo conto della (15), si ricava:
(17)
(T T ΣT ) −1 = T T Σ −1T = [ diag(λ1 , λ 2 ,
⎛1 1
−1
, λ n ) ] = diag ⎜ , ,
⎝ λ1 λ 2
,
1 ⎞
⎟
λn ⎠
3 - Trasformazione di variabili
Introducendo la seguente trasformazione di variabili:
x = Ty
(18)
l’argomento dell’esponenziale che interviene nell’espressione della funzione integranda
che compare nella (4), tenendo conto della (17), diventa:
(19)
⎛1 1
juT x − 12 x T Σ −1 x = juT Ty − 12 yT T T Σ −1Ty = jv T y − 12 yT diag ⎜ , ,
⎝ λ1 λ 2
1
λn
dove si è posto:
v T = uT T
(20)
4 - Funzione caratteristica
Con la posizione (18) la (4) si scrive:
T
(21)
FX (u) =
e ju
μX
(2π) det(Σ )
n
∫
n
⎡
⎛ 1 1
exp ⎢ jv T y − 12 yT diag ⎜ , ,
⎢⎣
⎝ λ1 λ 2
1 ⎞ ⎤
⎟ y ⎥ dy
λ n ⎠ ⎥⎦
⎞
⎟y
⎠
I segnali gaussiani
- 13-
poiché lo jacobiano della trasformazione (18) è unitario.
Si ottiene infine:
T
FX (u) =
(22)
e ju
∞
(2π) det(Σ )
n
T
=
μX
e ju
μX
−∞ −∞
⎡ n ⎛
y2
exp ⎢ ∑ ⎜ jvi yi − 12 i
−∞
λ1
⎢⎣ i =1 ⎝
∫
∞
⎞⎤
⎟ ⎥ dy1dy2
⎠ ⎥⎦
⎡
y2 ⎤
exp ⎢ jvi yi − 12 i ⎥ dyi
−∞
λ1 ⎦
⎣
n
(2π) n det(Σ )
∞
∫ ∫
∏∫
i =1
∞
È facile riconoscere che si ha:
(23)
∞
⎡
⎡ v2 ⎤
y2 ⎤
2π
exp ⎢ − 12 i ⎥
I i = ∫ exp ⎢ jvi yi − 12 i ⎥ dyi =
−∞
λ1 ⎦
λi
⎣
⎣ λ1 ⎦
Per cui risulta:
T
FX (u) =
(24)
e ju
(2π) n det(Σ )
n
∏
i =1
⎡ v2 ⎤
2π
exp ⎢ − 12 i ⎥ =
λi
⎣ λ1 ⎦
n
⎡
v2 ⎤
exp ⎢ − 12 ∑ i ⎥ =
i =1 λ i ⎦
⎣
T
μX
= e ju
T
μX
exp ⎡ − 12 v T [ diag(λ1 , λ 2 ,
⎣
= e ju
μX
exp ⎣⎡ uT Σ − !u ⎦⎤
= e ju
T
Si ha pertanto:
(25)
μX
λ n )] v ⎤ =
⎦
FX (u) = exp ⎡⎣ juT μ X + uT Σ − !u ⎤⎦
−1
dyn =