Questionario

QUESTIONARIO
2. Posto a = 40cm , b = 60cm , c = 80cm . Applicando il teorema di Carnot si ricava:
b2 + c2 − a2 7
=
⇒ α ≈ 28°57' .
2bc
8
11
⇒ β ≈ 46°34' .
Analogamente si ha cos β =
816
Per differenza si ricava γ ≈ 104°29' .
cos α =
3. Le soluzioni dell’equazione sono interpretabili come le ascisse dei punti di intersezione tra la
cubica y = x 3 − x 2 + 1 e la retta di equazione y = k .
I punti di massimo e minimo si ottengono dallo
studio della derivata prima della cubica.
y ' = 3x 2 − 2 x = x(3x − 2) . Dallo studio del segno si
individuano un massimo relativo in (0 ;1) ed un
minimo relativo in (2 / 3; 23 / 27 ) .
Dal grafico è possibile stabilire il numero delle
soluzioni al variare di k:
- per k < 23 / 27 ∨ k > 1 ⇒ 1 soluzione
- per k = 23 / 27 ∨ k = 1 ⇒ 3 soluzioni (due coincidenti)
⇒ 3 soluzioni distinte.
- per 23 / 27 < k < 1
4. Il volume di un cono di apotema 1 e altezza x, con riferimento alla
figura, è V =
π
3
(
)
x 1− x2 =
π
3
(− x
3
Dallo studio del segno di V ' ( x) =
risulta massimo quando x =
)
+ x , con 0 ≤ x ≤ 1 .
π
(− 3x
3
2
)
+ 1 si ricava che il volume
3
m . Tale volume massimo risulta
3
5. Si tratta di un polinomio, funzione continua e derivabile in tutto l’asse reale. Le condizioni sono
pertanto sicuramente verificate nell’intervallo assegnato. I valori medi si ottengono risolvendo
2
f (2) − f (−2) 16 − 0
= 4 , ovvero 3x 2 = 4 ⇒ x = ±
=
3 , entrambi
2 − (−2)
4
3
accettabili in quanto interni all’intervallo.
Nei punti della curva individuati da tali ascisse, la tangente alla curva risulta parallela alla corda
passante per gli estremi dell’arco di curva considerato.
l’equazione f ' ( x) =
6. Maggiorare o diminuire del 6% un prezzo p equivale a moltiplicare p rispettivamente per 1,06 e
per 0,94. Il risultato, per la proprietà commutativa del prodotto, è indipendente dall’ordine delle
due operazioni. In ogni caso il prezzo finale è 1,06 ⋅ 0,94 ⋅ p = 0,9964 p . Si può concludere che il
prezzo è diminuito del 0,36%.
7. La primitiva di una qualsiasi funzione dispari è una funzione pari. Pertanto se F (x) è una
primitiva della f (x) assegnata, l’area richiesta è data da F (2) − F (−2) . Tale differenza è nulla
perché, essendo F(x) pari, si ha F (2) = F (−2) . L’area richiesta è pertanto nulla.
Alle stesse conclusioni si perviene con considerazioni geometriche sulla simmetria del grafico
di f (x) rispetto all’origine.
Per la seconda parte si ha:
2
2
2
−2
−2
−2
∫ (3 + f ( x))dx = ∫ 3dx + ∫ f ( x)dx = 12 + 0 = 12
8. Per la definizione di coefficiente binomiale l’equazione data è equivalente a:
(n − 2)(n − 3)(n − 4) con la condizione n ≥ 5 . Svolgendo i calcoli si
n(n − 1)(n − 2)(n − 3)
4⋅
= 15 ⋅
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
3 ⋅ 2 ⋅1
ha: (n − 2)(n − 3) n 2 − 16n + 60 = 0 che ha per soluzioni i numeri 2, 3, 6, 10. Per le condizioni
poste solo le radici 6 e 10 sono accettabili.
(
)
9. Integrando per parti si ha:
∫
1 − x dx = ∫ 1⋅ 1 − x dx = x 1 − x − ∫
2
= x 1− x2 − ∫
2
1− x2
1− x
2
dx + ∫
2
1
1− x
2
− x2
1− x2
dx = x 1 − x − ∫
2
1− x2 −1
1− x2
dx =
dx = = x 1 − x 2 − ∫ 1 − x 2 dx + arcsenx . Da cui si ricava
2∫ 1 − x 2 dx = x 1 − x 2 + arcsenx ⇒
∫
1 − x 2 dx =
1
1
x 1 − x 2 + arcsenx .
2
2
1
π
⎡1
⎤
2
2
∫0 1 − x dx = ⎢⎣ 2 x 1 − x + 2 arcsenx⎥⎦ 0 = 4 .
rappresenta l’area della quarta parte di un cerchio di raggio 1.
1
1
In particolare si ha
Questo valore
10. I meridiani, costituiti da semicirconferenze tutte di ugual misura (supposta sferica la terra) sono
le intersezioni della superficie della terra con i semipiani aventi per origine l’asse terrestre,
mentre i paralleli sono le intersezioni dei piani perpendicolari all’asse terrestre con la superficie
della terra e sono costituiti da circonferenze che vanno dall’equatore, massima circonferenza, ai
poli, circonferenze che degenerano in un punto.
Fissato per convenzione un meridiano (Greenwich) ed un parallelo (equatore), queste due linee
hanno un ruolo simile a quello degli assi x e y del piano cartesiano. Ogni punto della terra si
trova all’incrocio di un meridiano e di un parallelo. Est e ovest , come nord e sud corrispondono
a + e −. Si ha una situazione simile a quella dl piano cartesiano, avendo scelto come analoghi
degli assi cartesiani il meridiano fondamentale e l’equatore.