Effetto Kerr

Effetti non lineari
Introduzione
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto i principali effetti
propagativi lineari
Abbiamo visto che questi effetti dipendono dalla forma temporale
o spettrale del segnale, ma non dal suo “livello”
Infatti gli effetti della dispersione cromatica e della PMD non
cambiano se aumenta la potenza del segnale
Generalità
Generalità
Gli effetti non-lineari sono una classe di effetti propagativi che
dipendono dal “livello” del segnale, ed in particolare dalla potenza
Instantanea
Gli effetti non-lineari sono particolarmente importanti nei sistemi
WDM a lunga distanza, dove la potenza di lancio deve essere
elevata per contrastare l’accumulo di rumore ASE
Nei sistemi singolo -canale gli effetti non-lineari entrano in gioco
solo in configurazioni particolari, come i sistemi sottomarini senza
amplificazione in linea, dove la potenza di lancio è spesso molto
elevata
Effetti non lineari
Gli effetti non-lineari limitano la massima potenza di lancio per
canale che può essere trasportata su di una fibra in un sistema
WDM
Quanto stringente sia questa limitazione dipende, tra l’altro, da:
•lunghezza del collegamento
•caratteristiche della fibra
•spaziatura fra i canali
•numero totale di canali
•lunghezza dello span
•mappa di dispersione
Limitazioni indotte
Uno o più degli aspetti citati possono dovere subire limitazioni per
evitare di eccitare eccessivamente la non-linearità
Ad esempio è possibile che si debba limitare la lunghezza del
collegamento il numero di canali etc.
Da notare che per gli effetti lineari, come la dispersione, non vi è
interazione fra i canali: il progetto del sistema si può fare “canale
per canale”
Per gli effetti non lineari è necessario invece tenere conto
dell’interazione fra i canali.
Effetto Kerr
Effetto Kerr
Il principale effetto non lineare nella fibra ottica è
l’effetto Kerr.
Da esso derivano numerosi altri effetti che prendono nomi
specifici ed hanno caratteristiche peculiari.
Di essi ci occuperemo nel dettaglio in seguito.
Effetto Kerr
L’effetto Kerr consiste nella variazione dell’indice di rifrazione della
fibra in funzione della potenza ottica:
P( z, t )
n( z , t ) = n0 + n2
Aeff
dove n0 è l’indice di rifrazione in linearità, n2 è il coefficiente di
indice di rifrazione non lineare e Aeff è l’area efficace del
modo guidato
Variazione non lineare di n
Aeff ha una definizione piuttosto complessa ma corrisponde in pratica all’area
trasversale in cui è confinato il modo guidato nella fibra, ovvero l’area del core:
Aeff = π r
2
Definiamo la variazione di indice di rifrazione dovuta all’effetto Kerr:
Δn = n2
P( z, t )
Aeff
In questo modo l’indice di rifrazione può essere scritto come:
n = n0 + Δn
La costante di propagazione
L’indice di rifrazione ha uno stretto legame con la
costante di propagazione del campo in fibra:
β=
2π
λ
n
e sostituendo ad n l’espressione che tiene conto
dell’effetto Kerr:
β=
2π
λ
(n0 + Δn)
La costante di propagazione
Definendo:
Δβ =
2π
λ
Δn
β0 =
2π
λ
n0
troviamo per β:
β = β 0 + Δβ
Anche per β dunque vi è un valore costante
in linearità ed una variazione Δβ dovuta
all’effetto Kerr
Il coefficiente di non-linearità γ
Concentrandoci su Δβ , e ripercorrendo
all’indietro i passaggi fatti finora, abbiamo:
Il coefficiente di non-linearità γ
Si definisce per praticità il coefficiente di non
linearità della fibra γ , misurato in 1/(W·km):
I valori tipici di γ sono nel range 1 ÷ 2.5 [W-1 km-1] a seconda del
tipo di fibra. La variabilità dipende in massima parte da Aeff che
può valere da 55 a 120 μm2, valori corrispondenti a “core” della
fibra di 4-6 μm.
Formula compatta per Δβ
Utilizzando γ si ottiene una semplice formula per la variazione di β
in funzione della potenza ottica:
Δβ = γ P( z , t )
Nella sua essenza l’effetto Kerr consiste dunque nella variazione
locale (ad un certo z) della costante di propagazione del campo,
causata dalla potenza ottica transitante in quel punto ed in quel
momento
Nel seguito vedremo nel dettaglio quali conseguenze derivino da
ciò
La fase del campo
Definendo:
è possibile riscrivere il campo come:
E ( L) = E (0)e− jϕE ( L ) e −α L
La fase del campo
Nel caso ideale di assenza di non-linearità (cioè Δβ = 0), la
costante di propagazione β coincide con β0 ed è effettivamente
costante
Avremo che la fase risulta:
è possibile riscrivere il campo come:
E ( L) = E (0)e − j β0 L e−α L
La fase del campo
Se invece vi è non-linearità e nella fibra si propaga una potenza
ottica P, abbiamo:
Possiamo dunque definire:
Fase non lineare
Con queste definizioni troviamo che anche la fase ha un valore in
linearità ed una variazione dovuta all’effetto Kerr:
ϕ E ( L) = ϕ0 E + Δϕ E
con
L
L
0
0
Δϕ E = ∫ Δβ dz = ∫ γ P( z , t )dz
Effetti derivati
Dunque, l’effetto Kerr consiste essenzialmente in una variazione
della fase del campo elettrico dovuta alla potenza ottica
trasmessa.
Da esso derivano vari effetti particolari:
Self-Phase Modulation (SPM) - È una modulazione di fase che
la variazione di potenza del singolo canale causa su se stesso
Cross-Phase Modulation (XPM) - È una modulazione di fase
che la variazione di potenza di un canale esercita si di un altro
canale
Four-Wave Mixing (FWM) - È un particolare sottoprodotto
della modulazione di fase incrociata fra canali, che ha come
conseguenza la creazione di nuove righe spettrali
Effetti derivati
Supponiamo di stare trasmettendo un singolo canale
La potenza trasmessa avrà un certo andamento P (z,t)
L’andamento in t dipenderà dalla modulazione, mentre
l’andamento in z è regolato essenzialmente dall’attenuazione della
fibra:
P( z , t ) = P(0, t )e −2α z
Variazione di fase indotta
A questo punto possiamo calcolare la variazione
di fase indotta dall’effetto Kerr nel caso di un
singolo canale modulato. Sappiamo che:
La lunghezza efficace
Il fattore in frazione che compare nella formula ha le dimensioni
di una lunghezza e viene chiamato lunghezza efficace Leff
e −2α L
Leff = 1 −
2α
Si ha allora
ϕ E = γ P(0, t ) Leff
La lunghezza efficace
La modulazione di ampiezza sul canale crea una automodulazione spuria di fase dovuta alla non-linearità della
fibra
Nel seguito si scriverà P (t) per P (0,t) ove non vi sia ambiguità
ϕ E = γ P(t ) Leff
Valore asintotico della lunghezza efficace
Prima di proseguire nell’esaminare l’SPM, ci fermiamo a
considerare il significato di Leff
Innanzitutto, la variazione non-lineare di fase è
direttamente proporzionale a Leff
Pertanto, l’impatto della non linearità sarà tanto maggiore quanto
maggiore è Leff
Valore asintotico della lunghezza efficace
Prima di proseguire nell’esaminare l’SPM, ci fermiamo a considerare il
significato di Leff
Innanzitutto, la variazione non-lineare di fase è direttamente proporzionale a
Leff
Pertanto, l’impatto della non linearità sarà tanto maggiore quanto maggiore è
Leff
Leff cresce al crescere di L ma ha un valore
asintotico
1
Leff ≈
2α
Valore asintotico della lunghezza efficace
Commenti sulla lunghezza efficace
L’intepretazione del grafico è che nei primi chilometri di fibra
la non linearità, proporzionale a Leff , cresce in modo
sensibile, circa come L
In seguito, non solo cresce di meno, ma per L
sufficientemente grande tende a non crescere più
La ragione è che Leff tiene conto del fatto che la potenza di
segnale si attenua
progressivamente a causa delle perdite della fibra, fino a
non produrre più alcun effetto non lineare
Attenuazione ed effetti non lineari
Dal momento che l’effetto Kerr dipende dal livello di potenza ottica nella fibra,
l’accumulo di effetti non lineari è maggiore dove la potenza è più elevata, come
all’inizio della fibra:
Leff ˜ L minore o nullo quando la potenza si è sufficientemente attenuata, per cui la
lunghezza efficace “satura” al valore: Leff ˜ 1/(2α)
la frequenza istantanea
La fase complessiva del campo, ad L chilometri, vale:
ϕ E ( L) = ϕ0 E + Δϕ E = ϕ0 E + γ P(t ) Leff
La modulazione di fase legata alla modulazione di ampiezza è
anche interpretabile come una modulazione di frequenza o
chirp
La frequenza istantanea di emissione del segnale sarà in
generale:
f (t ) = f 0 + Δf (t )
dove f0 è la frequenza della sorgente ottica e Δf è la
deviazione indotta dall’effetto Kerr
Il chirp
Per trovare la deviazione di frequenza dovuta all’effetto Kerr,
basta derivare la fase rispetto al tempo:
γ Leff ∂P(t )
1 ∂ϕ E (t )
Δf (t ) = −
=−
2π ∂t
2π ∂t
Da questa formula si vede che la modulazione di ampiezza
causa direttamente un chirp che, in generale:
allargherà lo spettro del segnale potrà causare, tramite
l’interazione con la dispersione, una distorsione
dell’impulso
esempio
La variazione di fase ΔϕΕ segue esattamente la forma
dell’impulso in potenza:
Impatto SPM
Il chirp in prima approssimazione non ha impatto sistemistico, in quanto il
fotodiodo di ricezione è insensibile alla fase
Il chirp provoca tuttavia un allargamento spettrale e:
Una frazione della potenza del canale può interferire con canali adiacenti
Parte della potenza può uscire dai limiti del filtro
passabanda ottico di ricezione
In presenza di dispersione, tuttavia, chirp e dispersione interagiscono
producendo distorsione dell’impulso
L’effetto finale è simile a quanto visto nel contesto dell’uso di chirp
volutamente indotto al trasmettitore come contromisura alla dispersione.
esempio
La variazione di fase ΔϕΕ segue esattamente la forma
dell’impulso in potenza: