Compito di Fisica 14/06/2012

Compito di Fisica 14/06/2012
Ogni domanda esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
~ = (1, 0, 1), B
~ = (0, 1, 1), C
~ = (1, 2, 1)
Dati i vettori A
~ + B)
~ ·C
~ e mostrare che A
~+B
~ non è perpendicolare a C.
~
1) Calcolare (A
~ + k B)
~ sia perpendicolare a C.
~
2) Trovare un numero reale k t.c. (A
~ e B.
~
3) Quanto vale l’angolo θ tra A
Esercizio 2
Un corpo di massa m scivola su un piano inclinato senza attrito partendo con velocità nulla da un’altezza
h. Dopo aver lasciato il piano inclinato il corpo si muove su un tratto orizzontale dove il coefficiente di
attrito dinamico tra la superficie e il corpo è µ. Indicate con g l’accelerazione di gravità.
1) Con che velocità v inizia a muoversi sul piano orizzontale?
2) Che distanza x percorre sul piano orizzontale prima di fermarsi?
3) Come cambia la risposta 2) se la massa dell’oggetto raddoppia?
4) Come cambia la risposta 2) se h raddoppia?
Esercizio 3
Nel piano xy una carica di valore +2q è nel punto P + di coordinate (−d/2, 0) mentre una carica di
valore −q è nel punto P − di coordinate (d/2, 0).
√
~ nel punto Q di coordinate (0, d 3/2). Notate che P + , P − e Q sono
1) Calcolate il campo elettrico E
i vertici di un triangolo equilatero.
2) Calcolate il potenziale V (Q).
3) Trovate il punto R compreso sul segmento [P + , P − ] tale che V (R) = 0.
1
Soluzioni Compito di Fisica 14/06/2012
Esercizio 1
~ + B)
~ ·C
~ =A
~ ·C
~ +B
~ ·C
~ = 2 + 3 = 5. Dato che il risultato non è diverso da 0 i due vettori non
1) (A
sono perpendicolari.
~ + k B)
~ ·C
~ =A
~·C
~ + kB
~ ·C
~ = 2 + 3k = 0 ⇒ k = −2/3. Notate che (A
~ − 2/3B)
~ 6= 0 quindi
2) (A
~
~
~
A − 2/3B ⊥ C.
√
~ B
~ = |A||
~ B|
~ cos θ = 1 quindi cos θ = 1/2 quindi θ = π/3 oppure θ = 5/3π.
~ = |B|
~ = 2 inoltre A·
3) |A|
~eB
~ sono entrambi nello stesso ottante: x > 0, y > 0, z > 0.
La seconda soluzione è esclusa perché A
Esercizio 2
1) Dalla conservazione dell’energia mgh = 1/2mv 2 ⇒ v =
√
2gh.
2) Utilizzando il teor. dell’energia cinetica, dato che la forza d’attrito è costante, si ha che 1/2mv 2 =
mgµx ⇒ x = h/µ.
3) x non dipende la dalla massa.
4) x è proporzionale a h.
Esercizio 3
~ + e negativa E
~ − valgono
1) Il campi elettrici generati dalla carica positiva E
√ !
√ !
1
1
−q
3
3
2q
−
+
~ =
~ =
− ,
,
E
E
2
2
4πǫ0 d
2 2
4πǫ0 d
2 2
La somma vale
q
~ =
E
4πǫ0 d2
2) Il potenziale è dato da
V (Q) =
√ !
3
3
,
2 2
q
q
2q
−
=
4πǫ0 d 4πǫ0 d
4πǫ0 d
3) Se x è la distanza di R da P +
q
V (R) =
4πǫ0
1
2
−
x d−x
R ha quindi coordinate (1/6, 0).
1
=0⇒x=
2
d
3
Compito di Fisica 09/07/2012
Ogni domanda esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
2
Un’auto parte da ferma con una accelerazione costante a1 = 4m/s . Dopo avere raggiunto una velocità
2
v2 = 24m/s prosegue per 10s poi inizia a frenare con una accelerazione a3 = −3m/s sino a fermarsi.
2
Dove serve usate per g il valore 9.8m/s .
1) Calcolare la distanza complessiva percorsa.
2) Se nel tratto a velocità costante in modulo percorre una curva di raggio di curvatura R = 100m
determinare se un coefficiente di attrito µ = 0.5 tra gomme e asfalto è sufficiente per non uscire
di strada.
3) In alternativa supponiamo la curva al punto 2) inclinata verso l’interno di un angolo θ. Quale
valore di θ è richiesto per percorrere la curva supponendo ora µ = 0.
Esercizio 2
Una massa m libera di muoversi senza attrito lungo l’asse x viene messa in moto utilizzando una molla.
La molla ha massa trascurabile, costante elastica k e all’inizio è compressa per una lunghezza x0 , fissata a
un estremo e in contatto con la massa all’altro estremo. Poi viene lasciata libera di espandersi spingendo
via m.
1) Calcolare il modulo della velocità vi che raggiunge la massa quando si stacca dalla molla.
2) La massa m successivamente urta una seconda massa M . Se M = 6m e dopo l’urto m rimbalza
indietro con velocità vf pari, in modulo, a vf = vi /2. Calcolare il modulo della velocità finale Vf
di M .
3) Dire se l’urto descritto in 2) è elastico, giustificando la risposta.
Esercizio 3
Tre corpi di carica +2q, +q, +q sono nel piano xy e hanno coordinate (0, 0), (d, 0) e (0, d) rispettivamente.
~ nel punto P di coordinate (d/2, d/2).
1) Calcolare il campo elettrico E
2) Calcolare il potenziale elettrico V nel punto P .
3) Scrivere un’espressione approssimata per il potenziale V (r) indipendente da d valida a distanza
r ≫ d.
4) Con quale potenza di r decresce V (r) all’aumentare di r se il segno della prima carica cambia i.e.
passa da +2q a −2q. Giustificate la risposta.
1
Soluzioni Compito di Fisica 09/07/2012
Esercizio 1
1) La fase di accelerazione dura t1 = v/a1 = 6s. In questa fase la distanza percorsa è d1 = 1/2a1 t21 =
72m. La distanza percorsa nel tratto a velocità costante è d2 = vt2 = 24 × 10 = 240m. La
fase di decelerazione dura t3 = −v/a3 = 8s. La distanza percorsa durante la decelerazione è
d3 = 1/2a3 t23 + vt3 = 96m. La distanza totale è d = d1 + d2 + d3 = 408m.
2) Confrontando la forza centripeta con la forza d’attrito si deve ottenere mv 2 /R < mgµ da cui
µ > v 2 /(Rg) ≃ 0.588 quindi µ = 0.5 non basta per rimanere in strada.
3) Scomponendo la forza di gravità si ottiene mv 2 /R = mg tan θ da cui θ = arctan[v 2 /(Rg)] ≃ 30◦ .
Esercizio 2
2
2
1) Applicando
pla conservazione dell’energia si ha 1/2kx0 = 1/2mv quindi v = x0
pone ω = k/m.
p
k/m = x0 ω se si
2) Nell’urto si conserva la quantità di moto quindi mvi = mvf + M Vf = −mvi /2 + 6mVf da cui
Vf = vi /4.
3) L’energia iniziale è Ei = 1/2mvi2 . L’energia finale è
Ef =
mvi2
6mvi2
5
+
=
mv 2
8
32
16 i
Dato che Ei > Ef poiché 1/2 > 5/16, l’urto è anelastico.
Esercizio 3
1) Si vede subito che, per simmetria, i campi in P della seconda e della terza carica sono uguali e
opposti. Rimane il campo generato dalla prima carica che si scrive subito come:
~ =√ q
(i + j)
E
2πǫ0 d2
2)
√
√
q 2
q 2
V (p) =
(2 + 1 + 1) =
4πǫ0 d
πǫ0 d
3) Se r ≫ d è come se ci fosse, in prima approssimazione, un’unica carica di valore 4q quindi
V (r) =
1
q
πǫ0 r
4) In questo caso il ragionamento precedente non si può applicare perché la carica totale è nulla. Però
si può notare che il sistema è equivalente a 2 dipoli eletrici di modulo dq, uno orientato lungo
√ x,
l’altro lungo y. Al primo ordine questo deve essere equivalente a un singolo dipolo di modulo 2dq
orientato lungo la retta y = x. Il potenziale deve quindi avere un andamento del tipo V (r) ∝ 1/r2
a grandi distanze.
2
Compito di Fisica 12/09/2012
Ogni domanda esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un corpo di massa m si muove nel piano secondo la legge oraria, espressa in coordinate polari, da
(
R(t) = At
θ(t) = Bt
Nelle risposte 2) e 3) esprimere il risultato solamente in funzione di A, B e t.
1) Scrivere le dimensioni di A e B.
2) Scrivere posizione e velocità in coordinate cartesiane in funzione del tempo.
3) Calcolare l’energia cinetica E(t) in funzione del tempo.
4) Calcolare il lavoro L svolto dalla forza che fa muovere il corpo nell’intervallo di tempo da t = 0 a
t = T.
Esercizio 2
Un corpo è formato da tre masse che supponiamo puntiformi tali che m1 = 16kg, m2 = m3 = 1kg. Le
masse sono tenute assieme da aste rigide di lunghezza L = 1m e massa trascurabile. L’angolo che ha
come vertice m1 vale 120◦ (un po’ meno in realtà ma si approssima per semplificare i calcoli). Si consiglia
di utilizzare un sistema di riferimento nel piano xy dove m1 ha coordinate (0, 0), m2 ha coordinate (1, 0)
e m3 sta nel semipiano y > 0.
1) Determinare le coordinate del centro di massa del corpo.
2) Determinare il momento d’inerzia del corpo per una rotazione attorno all’asse z.
3) Determinare l’energia cinetica di rotazione per una rotazione attorno all’asse z con velocità
angolare ω = 10s−1 .
Esercizio 3
Due cariche elettriche positive Q1 e Q2 tali che Q2 = 2Q1 sono fissate a distanza d tra loro. Si vuole
porre una terza carica positiva Q3 = Q1 sul segmento che congiunge Q1 e Q2 .
1) A che distanza da Q1 va posta Q3 perché la forza elettrica totale su di essa sia nulla?
2) Se Q1 e Q2 sono già in posizione, quanta energia serve per portare Q3 al punto calcolato in 1)?
3) Dire se un piccolo spostamento di Q3 verso Q1 o Q2 produce una forza che tende a riportare Q3
al suo posto oppure a spingerla lontano dalle altre cariche. E per uno spostamento in direzione
perpendicolare alla retta che congiunge Q1 e Q2 ?
1
Soluzioni Compito di Fisica 12/09/2012
Esercizio 1
1) [A]=m/s, [B]=1/s. Cioè A è una velocità, B è una velocità angolare.
2)


x(t) = R cos θ = At cos(Bt)


y(t) = R sin θ = At sin(Bt)


vx (t) =


vy (t) =
dx
dt
= A cos(Bt) − ABt sin(Bt)
dy
dt
= A sin(Bt) + ABt cos(Bt)
3) Dopo un po’ di algebra si trova E(t) = mA2 (1 + B 2 t2 )/2. Il modo più semplice sarebbe comunque
stato usare la velocità radiale e quella tangenziale.
4) Per il teorema dell’energia cinetica L = E(T ) − E(0) = m(ABT )2 /2.
Esercizio 2
1) Le coordinate di m3 nel sistema di riferimento proposto sono (cos 120, sin 120) = (−1/2,
quindi le coordinate del centro di massa (xcm , yc ) sono
(
1
xcm = 16×0+1×1+1×−1/2
= 36
m
18
√
ycm =
16×0+1×0+1×+ 3/2
18
=
√
3/2)
√
3
36 m
Notare che, per simmetria, si poteva dire subito che il c.d.m.√deve essere sulla bisettrice dell’angolo
che ha per vertice m1 quindi deve essere ycm = tan 60x = 3x.
2) Il momento d’inerzia I vale
I = 16 × 02 + 1 × 12 + 1 × 12 = 2kg m2
3) L’energia cinetica di rotazione vale Iω 2 /2 = 100J.
Esercizio 3
1) Sia Q1 che Q2 respingono Q3 . Se x è la distanza di Q3 da Q1 deve essere
√
1
2
=
⇒ x2 + 2dx − d2 = 0 ⇒ x = d(−1 ± 2)
2
2
x
(d − x)
√
La soluzione cercata deve essere tra 0 e d quindi x = d( 2 − 1).
2) L’energia U richiesta è
Q1
Q21
Q2
U = Q3
=
+
4πǫ0 x 4πǫ0 (d − x)
4πǫ0 d
!
√
2
Q21
√
√
=
4πǫ0 d
( 2 − 1)(2 − 2)
√ !
√ √
2( 2 + 1)(2 + 2)
2
3) È facile vedere che nel primo caso la Q3 viene respinta al suo posto mentre nel secondo la caso
viene spinta all’infinito.
1
Compito di Fisica 17/06/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Una persona vuole lanciare un oggetto dalla strada dentro una finestra aperta a un piano alto. Schematizziamo questo problema con un moto parabolico nel campo gravitazionale terrestre. L’altezza del
davanzale dal punto di lancio è h. La distanza orizzontale tra il punto di lancio e la finestra è l.
1) Qual’è la velocità verticale minima vy , che deve avere l’oggetto?
2) Quanto vale il modulo della velocità di lancio?
3) Con che angolo col piano orizzontale bisogna lanciare l’oggetto?
Esercizio 2
Si hanno a disposizione tre molle con costante elastica k e una massa m.
1) Calcolare il rapporto tra frequenze di oscillazione ωp /ωs di m quando le molle sono collegate in
parallelo e in serie.
2) A parità di ampiezza di oscillazione quanto vale il rapporto tra le accelerazioni ap /as ?
Esercizio 3
Sul piano xy ci sono 6 cariche positive di valore q poste ai vertici di un esagono di lato L. Il centro
dell’esagono è nell’origine del sistema di riferimento.
~ specificando modulo, direzione e verso, per un punto sull’asse z
1) Calcolare il campo elettrico E,
positivo a distanza D dal centro dell’esagono.
~ nel limite D ≫ L.
2) Valutare E
3) Calcolare l’energia necessaria per portare una settima carica identica alle precedenti da distanza
infinita al centro dell’esagono.
Esercizio 4
Due barre omogenee di lunghezza L e massa M sono saldate assieme ad un estremo e formano un
angolo di 90 gradi.
1) Calcolare la posizione del centro di massa.
2) Calcolare il momento d’inerzia quando il sistema ruota attorno all’asse che contiene una delle 2
barre.
Soluzioni Compito di Fisica 17/06/2013
Esercizio 1
1) Come minimo la velocità deve essere sufficiente per raggiungere l’altezza h quindi vy =
√
2gh.
2) Il tempo
p T necessario per raggiungere h nel caso precedente deve essere tale che gT = vy quindi
T = 2h/g. Nel
qtempo T l’oggetto deve percorrere la distanza d a vx costante quindi vx = d/T =
p
d g/2h. |v| = vx2 + vy2 quindi
r
d2 g
+ 2hg
|v| =
2h
3) L’angolo θ vale
θ = arctan
vy
vx
= arctan
2h
d
Esercizio 2
È facile vedere che kp = 3k mentre ks = k/3.
p
p
1) Dato che ω = k/m si ha che ωp /ωs = kp /ks = 3.
2) Dato che a(t) = −ω 2 x(t) vale ap /as = 9.
Esercizio 3
Per simmetria il campo è diretto lungo l’asse z in direzione positiva. Il campo totale è 6 volte quello
della componente z di una sola carica.
1)
D
~ = 6q
E
k
4πǫ0 (D2 + L2 )3/2
2) Per D ≫ L l’eq. precedente diventa
3q
k
2πǫ0 D2
In accordo con quello che ci si aspetta dalla legge di Coulomb per una carica puntiforme 6q
nell’origine.
~ ≃
E
3) Il potenziale nell’origine vale
V =
6q
4πǫ0 L
mentre il potenziale a infinito è nullo. L’energia U richiesta è quindi q(V − 0) cioè
V =
1
3q 2
2πǫ0 L
Esercizio 4
Scegliamo un sistema di riferimento in cui le barre sono lungo l’asse x e y rispettivamente e il punto
comune è nell’origine.
1) I centri di massa delle 2 barre sono in A = (L/2, 0) e B = (0, L/2). Posso sempre pensare di
avere quindi 2 masse puntiformi in A e B rispettivamente e calcolare il loro centro di massa, che
è chiaramente nel punto medio. Il centro di massa è quindi in C = (L/4, L/4).
2) Una delle 2 barre ruota lungo l’asse quindi ha momento d’inerzia nullo. L’altra ruota a un estremo
quindi ha I = M L2 /3.
2
Compito di Fisica 09/07/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un nastro trasportatore di lunghezza L porta una cassa di massa M . Il coefficiente di attrito statico
tra la cassa e il nastro è µ.
1) Calcolare la massima accelerazione am che può avere il nastro senza che la cassa slitti.
2) Il nastro è inizialmente fermo e la cassa è ad un capo del nastro. Per trasportarla all’altro capo
si decide di far viaggiare il nastro con accelerazione a = am per il primo terzo del tempo T
necessario poi a = 0 e a = −am per il secondo e terzo intervallo rispettivamente. Disegnate il
grafico della velocità in funzione del tempo.
3) Calcolate T in funzione di L e am .
Esercizio 2
Un corpo solido è formato da 4 masse puntiformi di valore m, 2m, 3m e 4m. Le masse sono disposte ai
vertici di un quadrato di lato l in modo che le coordinate delle 4 masse siano (0, 0), (0, l), (l, l) e (l, 0)
rispettivamente.
1) Calcolare le coordinate del centro di massa del corpo.
2) Calcolare il momento di inerzia IO rispetto ad un asse perpendicolare al quadrato e passante per
l’origine.
3) Calcolare il momento d’inerzia IC per un asse perpendicolare al quadrato e passante per il centro
di massa. Suggerimento: utilizzare il teorema dell’asse parallello.
Esercizio 3
Un sistema di tre cariche è composto da 2 cariche −q poste in (−d, 0) e (d, 0) e una carica 2q nell’origine.
1) Calcolare il potenziale in un generico un punto P sull’asse x con x > d.
2) Mostrare che per x ≫ d il potenziale decresce come 1/x3
Esercizio 4
Due corpi puntiformi di massa m1 = 12m e m2 = 13m hanno entrambi la stessa carica q. I corpi,
inizialmente in quiete vengono accelerati dalla medesima differenza di potenziale V quindi entrano
in una regione dove è presente un campo magnetico di modulo B perpendicolare alla velocità delle
particelle.
1) Calcolare il rapporto tra i moduli delle velocità dopo la fase di accelerazione
2) Calcolare il rapporto tra i raggi delle orbite circolari nel campo magnetico.
Soluzioni Compito di Fisica 09/07/2013
Esercizio 1
1) La forza normale che il nastro esercita sulla cassa è, in modulo, Fn = M g quindi la massima forza
di attrito è µM g da cui si ha che am = µg.
2) la velocità inizialmente aumenta secondo la legge v(t) = am t successivamente rimane costante al
valore vm = am T /3 infine torna a 0 partendo da vm con pendenza −am .
3) Si vede subito che deve valere
T2
T
T2
1
+ vm = 2am
L = 2 × am
2
9
3
9
quindi
r
T =3
L
2am
Esercizio 2
1) Applicando la definizione:

7
3ml + 4ml


=
l
x =

 c
10m
10



yc = 2ml + 3ml = 1 l
10m
2
2) Di nuovo, dalla definizione:
I0 = 2ml2 + 6ml2 + 4ml2 = 12ml2
3) La distanza al quadrato dal centro di massa all’origine vale
d2 =
49 + 25 2
37 2
l =
l
100
50
e dal teorema dell’asse parallelo si ricava Ic + d2 10m = I0 quindi
Ic = 12ml2 − 10m
23 2
37 2
l =
ml
50
5
Esercizio 3
1)
V =
q
4πǫ0
−
1
2
1
+ −
x+d x x−d
=−
q
2d2
4πǫ0 (x2 − d2 )x
2) Dato che, per x ≫ d (x2 − d2 ) ≃ x2 , dall’eq. precedente si ottiene subito il risultato richiesto.
1
Esercizio 4
1) L’energia potenziale elettrostatica qV viene convertita in energia cinetica quindi
r
r
1
m2 13
1
v1
2
2
qV = 12mv1 = 13mv2 ⇒
==
≃ 1.041
2
2
v2
m1 12
2) Eguagliando il modulo della forza di Lorentz alla forza centripeta si ottiene
qvB =
mv 2
r
da cui
m1 v 1
m2 v 2
r1
m1 v 1
=
⇒
=
=
r1
r2
r2
m2 v 2
2
r
m1
=
m2
r
12
≃ 0.96
13
Compito di Fisica 16/09/2013
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un corpo compie un moto descritto dal raggio vettore ~r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k con


x(t) = R cos ωt






y(t) = R sin ωt






z(t) = v t
z
dove R, ω e vz sono costanti.
1) Calcolare i vettori velocità, ~v (t) e accelerazione ~a(t).
2) Calcolare i moduli di ~v (t) e ~a(t) e mostrare che sono costanti del tempo.
2) Dimostrare che ~v (t) ⊥ ~a(t) per ogni valore di t.
Esercizio 2
Una barra omogenea di massa m e lunghezza l è inizialmente in posizione verticale con l’estremo a
contatto col pavimento fissato in modo che la barra sia libero di ruotare ma non di scivolare. Al tempo
t = 0 la barra inizia a cadere.
1) Calcolare la velocità angolare ω con cui la barra arriva al suolo.
2) Dire come varia ω al variare di m ed l.
3) Calcolare il valore di l per cui l’estremo libero della barra arriva al suolo con una velocità lineare
v di 10m/s (Approssimate g ≃ 10m/s2 ).
Esercizio 3
Tre cariche elettriche di valore +3Q, +4Q e +5Q hanno nel piano xy coordinate (4d, 0), (0, 3d) e (0, 0)
rispettivamente. Considerate il punto P di coordinate (4d, 3d).
1) Calcolate il potenziale V (P ) dovuto alle tre cariche.
2) Calcolate le componenti Ex (P ) ed Ey (P ) del campo elettrico.
~ con l’asse x.
3) Calcolate l’angolo θ formato da E
1
Esercizio 4
Una spira conduttrice quadrata di lato l e resistenza R è inizialmente perpendicolare a un campo
magnetico uniforme di modulo B. Al tempo t = 0 la spira inizia a ruotare attorno al suo asse con
velocità angolare ω costante.
1) Scrivere il valore assoluto della corrente |I(t)| circolante nella spira in funzione del tempo.
2) Calcolare il valore assoluto della carica totale Q passata nella spira dopo che questa ha ruotato
per mezzo giro.
2
Soluzioni Compito di Fisica 16/09/2013
Esercizio 1
~ si ottiene ~v (t) = vx (t)i + vy (t)j + vz (t)k con
1) Derivando rispetto al tempo r(t)


vx (t) = −Rω sin ωt





vy (t) = Rω cos ωt






v (t) = v
z
z
Derivando di nuovo ~a(t) = ax (t)i + ay (t)j + az (t)k con


ax (t) = −Rω 2 cos ωt






ay (t) = −Rω 2 sin ωt






a (t) = 0
z
2)
q

p

v(t)
=
vx (t)2 + vy (t)2 + vx (t)2 = ω 2 R2 + vz2


q


a(t) = a (t)2 + a (t)2 + a (t)2 = ω 2 R
x
y
x
3) Si vede facilmente che ~v (t) · ~a(t) = 0 mentre sia |~v (t)| che |~a(t)| sono diversi da 0 quindi i due
vettori sono perpendicolari.
Esercizio 2
1) Durante la caduta l’energia poteziale del centro di massa della barra diventa energia cinetica di
rotazione della barra che ruota attorno a un suo estremo. Il momento di inerzia I della barra vale
quindi I = ml2 /3. Il centro di massa scende di l/2. La conservazione dell’energia quindi permette
di scrivere
r
3g
1
mgl
1
mgl
= Iω 2 =
= ml2 ω 2 ⇒ ω =
2
2
2
6
l
√
2) ω non dipende da m mentre varia come 1/ l al variare di l.
√
3) Dato che v = ωl vale v = 3gl quindi si ha v = 10m/s per l ≃ 3.3m.
1
Esercizio 3
1)
V (P ) =
Q
4πǫo d
3 4
5
+ +√
2
3 4
3 + 42
=
3Q
4πǫo d
2)

Q
4
41
5 4
Q


=
+
Ex (P ) =


4πǫ0 d2 16 25 5
4πǫ0 d2 100





Ey (P ) =
3)
θ = arctan
Ey
Ex
Q
4πǫ0 d2
3
5 3
+
9 25 5
= arctan
34 × 4
41 × 3
=
Q 34
4πǫ0 d2 75
= arctan
136
123
≃ 48◦
Esercizio 4
1) Il flusso Φ(t) del campo magnetico attraverso la spira vale Φ(t) = l2 B cos ωt quindi
1 dΦ l2 Bω
=
|I(t)| = −
| sin ωt|
R dt R
2) Se t1 è il tempo dopo cui la spira ha fatto mezzo giro, notare che per t in [0, t1 ] la derivata di Φ(t)
ha sempre lo stesso segno. Supponiamo p.e. che la derivata sia negativa in accordo con quanto
scritto in 1). In questo modo possiamo essere disinvolti coi valori assoluti dato che I(t) non cambia
mai di segno e scrivere
Z t1
Z
1 t1 dΦ 2l2 B
1
dt = |Φ(t1 ) − Φ(0)| =
|Q| = I(t) dt = −
R 0 dt
R
R
0
Notate che Q non dipende da ω. Integrando l’espressione esplicita per I(t) ottenuta al punto 1)
si ottiene naturalmente lo stesso risultato.
2
Compito di Fisica 21/01/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un corpo di massa 2m si muove sul piano orizzontale con velocità v senza attrito. Quando urta un
corpo di massa m inizialmente in quiete i due corpi rimangono attaccati e proseguono con velocità v ′ .
1) Calcolare la velocità v ′ in funzione di v
2) Calcolare la velocità del centro di massa del sistema in funzione di v prima dell’urto.
3) Calcolare la frazione di energia inziale persa durante l’urto.
Esercizio 2
Una sfera omogenea di raggio r e massa m rotola senza strisciare sul piano orizzontale con velocità v.
1) Scrivere l’energia della sfera in funzione di m, r e v.
2) Considerando il moto come composto da una traslazione del centro di massa (cdm) e una rotazione uniforme attorno al cdm, calcolare il rapporto tra le energie cinetiche di rotazione Er e
di traslazione Et .
3) È possibile variare m, r o v in modo da avere Er = Et ?
Esercizio 3
Date due cariche +2q e +q poste in un piano ai punti di coordinate (0, 0) e (d, 0) rispettivamente
1) Calcolare le coordinate del punto P in cui il campo elettrico si annulla.
2) Calcolare il potenziale in P .
3) Dire se esiste un punto del piano in cui il potenziale si annulla e, se esiste, determinarne le
coordinate, giustificando la risposta.
Esercizio 4
Un condensatore a facce piane parallele è formato da due piastre quadrate di lato l separate da una
distanza d con l ≫ d. Detta V0 la massima differenza di potenziale applicabile tra le piastre,
1) calcolare la carica Q massima immagazzinabile sul condensatore.
2) Per immagazzinare più carica possibile, a parità di l e V0 conviene aumentare o diminuire d?
Soluzioni Compito di Fisica 21/01/2014
Esercizio 1
1) Dalla conservazione della quantità di moto si ha subito
2mv = 3mv ′ ⇒ v ′ =
2
v
3
2) Il centro di massa non varia la sua velocità vc a causa dell’urto e il valore di vc dopo l’urto è
evidentemente uguale a v ′ .
3) L’energia iniziale Ei vale Ei = mv 2 , l’energia finale Ef vale Ef = 2mv 2 /3. Chiaramente è andato
perduto 1/3 di Ei .
Esercizio 2
Il moto si può considerare o come una rotazione attorno al punto di contatto P tra sfera e piano
orizzontale o come una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno al centro di massa. Il
secondo approccio è più conveniente vista la domanda 2).
1) Per una rotazione attorno a P si ha E = 12 IP ω 2 e IP si può calcolare col teorema dell’asse
parallelo IP = 2mr2 /5 + mr2 mentre ω = v/r come si può vedere osservando il modo del centro di
massa quindi E = 7mv 2 /10. Nel sistema del centro di massa si ha Er = Iω 2 /2 = mv 2 /5 mentre
Et = mv 2 /2. Naturalmente Et + Er = 7mv 2 /10 = E.
2) Er /Et = 2/5, indipendentemente da m, r e v.
3) Evidentemente tutte le sfere omogenee hanno lo stesso rapporto Er /Et , che dipende solo dal
momento di inerzia. Per avere Er = Et serve in effetti un oggetto con I = mr2 cioè un anello.
Esercizio 3
1) Dato che le cariche sono entrambe positive è facile capire che il campo si annulla solo se i due
campi delle cariche hanno stessa direzione e verso opposto. Il punto P deve quindi essere compreso
nel segmento che unisce le due cariche, cioè P = (x, 0) con 0 < x < d e deve valere
2
1
kq
= 0 ⇒ x2 − 4dx + 2d2 = 0
−
x2
(d − x)2
Le soluzioni dell’eq. per x sono
dove la soluzione valida è x = d(2 −
√
2).
x = d(2 ±
2)
kq
V (P ) =
d
1
2
√ +√
2− 2
2−1
√
2)
√
2
kq 2 + 1
kq √
√
=
2+1
=
d 2−1
d
3) Il potenziale, in ogni punto, è somma di due numeri positivi. Diventa arbitrariamente piccolo più
ci si allontana dalle cariche ma non potrà mai annullarsi.
1
Esercizio 4
1) La capacità C di un condensatore a facce piane parallele è data da C = l2 ǫ0 /d. D’altra parte in
un condensatore Q e V sono legati da CV = Q quindi Q = ǫ0 V0 l2 /d.
2) Dal punto 1) si vede che Q varia come 1/d quindi conviene avvicinare le piastre per aumentare Q.
2
Compito di Fisica 23/04/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Nel sistema in figura m1 = m mentre m2 = αm. Sia µ il coefficiente d’attrito tra m1 e il tavolo.
m1
m2
1) Calcolate il valore minimo α0 di α per cui la forza d’attrito non è sufficiente a tenere ferme le
masse.
2) Se α = 2α0 calcolare con quale accelerazione si muove il sistema.
3) Calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito da t = 0 a t = T dove t = 0 è il momento in cui le
masse iniziano a muoversi.
Esercizio 2
Dati i vettori ~a = (1, 1, 0), ~b = (2, 1, 0) e ~c = (1, 2, 0),
1) Dimostrare che ~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b).
2) Trovare un numero k tale che ~c sia perpendicolare a ~a + k~b.
Esercizio 3
Un metodo classico per misurare il rapporto tra la carica e e la massa m degli elettroni è produrre un
~ ed un campo magnetico
fascio di elettroni in un tubo catodico e defletterli con un campo elettrico E
~
B.
1) Gli elettroni, inizialmente in quiete sono accelerati in direzione x da una differenza di potenziale
V . Calcolare la velocità finale v degli elettroni.
2) Gli elettroni a velocità v attraversano una regione di lunghezza d in cui è presente un campo
~ diretto lungo y. Calcolare l’angolo di deflessione θy degli elettroni dovuto a E in
elettrico E
funzione di V, E e d.
~ un campo magnetico B
~ diretto lungo z di
3) Si applica nella stessa regione in cui è presente E
modulo e verso tali da annullare la deflessione dovuta al campo elettrico. Calcolare e/m in
funzione di E, B, d e θy .
Esercizio 4
Tre cariche positive q sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato l.
1) Calcolare modulo, direzione e verso della forza a cui è sottoposta una delle tre cariche a causa
del campo elettrico generato dalle altre due.
2) Calcolare il potenziale al centro del triangolo.
3) Calcolare l’energia potenziale U del sistema i.e. quanta energia serve per costruire il triangolo
portando una carica alla volta da distanza infinita.
Soluzioni Compito di Fisica 23/04/2014
Esercizio 1
1) Il modulo massimo della forza di attrito vale mgµ quindi deve essere mgµ = α0 mg cioè µ = α0 .
2)
a=
2α0 mg − mgµ
µ
=
g
(2α0 + 1)m
2µ + 1
3) La distanza d percorsa nel tempo T vale aT 2 /2. La forza d’attrito è costante e in direzione opposta
al moto quindi il lavoro fatto dalla forza d’attrito vale semplicemente
W = −dmgµ = −
µ2
mg 2 T 2
4µ + 2
Esercizio 2
1) L’identità è vera in genere. In questo caso tuttavia è facile vedere che i tre vettori sono non paralleli
e appartengono tutti al piano xy quindi ~b × ~c e ~a × ~b sono diretti lungo z. È quindi evidente che
~a · (~b × ~c) = ~c · (~a × ~b) = 0.
2) Da ~c · (~a + k~b) = 0 si ottiene
k=−
3
~c · ~a
=−
~
4
~c · b
Esercizio 3
1) Da eV = mv 2 /2 si ottiene v =
p
2eV /m.
2) Il tempo in cui gli elettroni attraversano la regione in cui è presente il campo elettrico è t = d/v.
La velocità finale lungo y è quindi vy = eEt/m ed infine tan θy = vy /v da cui
Ed
eEd
= arctan
θy = arctan
mv 2
2V
~ compensa quella dovuta a B
~ quindi eE = evB cioè
3) Il modulo della forza lungo y dovuta ad E
v = E/B quindi l’eq. per θy del punto precedente diventa
eEd
e
edB 2
E
θy = arctan
=
arctan
⇒
= tan θy
mv 2
mE
m
dB 2
1
Esercizio 4
Consideriamo un√sistema di riferimento in cui le 3 cariche A, B e C hanno coordinate A = (−l/2, 0), B =
(l/2, 0), C = (0, 3/2).
1) Calcoliamo il campo che A e B generano in C. Il modulo del campo elettrico generato da A in C
~ =E
~A + E
~ C è per simmetria diretto
vale EA = q/(4πǫ0 l2 ). Evidentemente EA = EB . Il campo E
lungo y in direzione positiva e il modulo vale E = 2EA cos(π/6) quindi
√
√ 2
3q
3q
~
~
~
E=
ĵ ⇒ F = q E =
ĵ
4πǫ0 l2
4πǫ0 l2
√
2) La distanza di un vertice dal centro del triangolo è d = l/ 3 il potenziale è quindi
√
3q
3 3q
V =
=
4πǫ0 d
4πǫ0 l
3) Non serve energia per portare la prima carica A. Per la seconda carica B l’energia necessaria è
U = q 2 /(4πǫ0 l) Per la terza C l’energia necessaria è 2U il totale vale quindi
Ut = 3U =
2
3q 2
4πǫ0 l
Compito di Fisica 16/06/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Considerate una particella di massa m che si muove nel piano xy secondo seguente legge oraria, espressa
in coordinate polari:
(
R(t) = V t
θ(t) = ωt
1) Calcolare i vettori posizione e velocità in coordinate cartesiane.
2) Mostrare che per t > 0 posizione e velocità non sono mai ortogonali.
~ della particella in funzione del tempo rispetto al punto O =
3) Calcolare il momento angolare L
(0, 0, 0).
Esercizio 2
Un corpo di massa m si può muovere nel piano orizzontale. Il coefficiente d’attrito tra massa e piano
vale µ < 1. Al corpo viene applicata una forza di modulo costante pari a F = 2mg ma il cui angolo θ
con il piano orizzontale può essere variato.
1) Calcolare l’angolo limite θl per cui il corpo si stacca dal piano.
2) Per 0 < θ < θl calcolare l’accelerazione a(θ) con cui si muove il corpo.
3) Calcolare per quali valori di µ l’accelerazione ha un massimo in funzione di θ per 0 ≤ θ ≤ θl
Esercizio 3
L’aria si comporta come un isolante sino a che il campo elettrico non eccede un valore massimo E0 .
Considerate una sfera metallica cava di raggio R.
1) Quanto vale la massima carica Q0 che si può depositare sulla sfera senza oltrepassare E0 alla
superficie della sfera?
2) Nelle stesse condizioni del punto 1) quanto vale il potenziale V sulla superficie (più precisamente
la differenza di potenziale tra un punto sulla superficie della sfera e uno a distanza infinita dalla
sfera).
1
3) Supponiamo 1/(4π0 ) = 9 × 109 Nm2 /C2 e E0 = 3 × 106 V/m. Calcolare il valore minimo di R
per potere ottenere un potenziale di 3 × 106 V su una sfera conduttrice in aria e la carica Q che
è necessaria.
Esercizio 4
1)
2)
3)
2
Soluzioni Compito di Fisica 16/06/2014
Esercizio 1
1) preso un sistema di riferimento in cui x = R cos θ e y = R sin θ si ha
(
~x(t) = V t cos ωt i + V t sin ωt j
~v (t) = V (cos ωt − ωt sin ωt) i + V (sin ωt + ωt cos ωt) j
2) Calcolando ~x(t) · ~v (t) si ottiene V 2 t 6= 0 se t > 0.
~ = ~r × m~v si ottiene subito L
~ = mV 2 t2 ω k.
3) Da L
Esercizio 2
1) Deve essere mg = F sin θl ⇒ sin θl = 1/2 ⇒ θl = π/6. Per θ ≤ π/6 il corpo rimane in contatto col
piano.
2) Il modulo massimo della forza di attrito Fa vale N µ = µ(mg − F sin θ) = mgµ(1 − 2 sin θ). La
forza totale agente sul corpo vale F cos θ − Fa = ma quindi
a(θ) = g[2 cos θ − µ(1 − 2 sin θ)]
3) Calcolando
da
= 0 ⇒ − sin θ + µ cos θ = 0 ⇒ µ = tan θ
dθ
inoltre
d2 a
= 2g(− cos θ − µ sin θ)
dθ2
che è negativa per 0 ≤ θ ≤ π/6, quindi se la derivata prima si annulla il punto stazionario è un
massimo. La condizione che deve soddisfare µ è arctan(0) ≤ µ ≤ arctan(π/6)
√ dato che arctan(x)
è monotona crescente nell’intervallo considerato. Deve quindi essere µ < 1/ 3.
Esercizio 3
1) Il calcolo si può fare in 2 modi. Nel primo si può ricordare che alla superficie di un conduttore
il modulo del campo elettrico vale E = σ/ǫ0 , risultato che si ottiene facilmente dal teorema di
Gauss. La simmetria del sistema impone che σ sia costante su tutta la superficie quindi
E=
Q 1
R 2 E0
σ
=
⇒
Q
=
0
ǫ0
4πR2 ǫ0
k
Il secondo consiste nel fare i calcoli fuori dalla sfera come se al posto della sfera ci fosse una carica
puntiforme Q al centro. Questo di nuovo è facile da provare utilizzando il teorema di Gauss. Il
risultato è ovviamente lo stesso.
1
2) Il potenziale V è lo stesso di quello generato da una carica puntiforme nel centro quindi
kQ0
= RE0
R
V0 =
3) Dati V0 e E0 dal punto 2) si ricava subito R = V0 /E0 = 1 m. Sempre da 2) si ricava
Q0 =
RV0
≃ 3.3 × 10−4 C
k
Esercizio 4
1) Eguagliando i moduli della forza di Coulomb e della forza centripeta si ottiene:
r
mv 2
kq 2
kq 2
= 2 ⇒v=
r
r
mr
2) L’energia potenziale elettrostatica U vale
kq 2
⇒v=
U =−
r
r
|U |
m
3) In Joule |U | ≃ 26 × q quindi
r≃
9 × 109 · 1.6 × 10−19
≃ 5 × 10−11 m
26
Infine
1
v
=
c
c
r
|U |
≃ 1 × 10−2
m
2
Compito di Fisica 02/07/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Un modello semplificato per descrivere un treno è costituito da una serie di N blocchi di massa m
uniti da N − 1 molle. I blocchi possono muoversi con attrito trascurabile lungo la direzione x. Le
molle hanno costante elastica k. Al primo blocco viene applicata una forza di modulo F , costante, in
direzione x.
1) Calcolare l’allungamento ∆xn della molla n-esima in funzione di n, k, N, m ed F . Contate le
molle in modo che la molla n = 1 sia quella che collega ultimo e penultimo blocco.
2) Supponiamo che oltre un certo ∆xm massimo la molla si spezzi; questo corrisponde a una forza
massima Fm = ∆xm k. Calcolare il valore minimo rm del rapporto r = Fm /F per avere la
certezza che nessuna molla si spezzi indipendentemente da N .
3) Se r = 9rm /10 calcolare il numero massimo N di blocchi per cui nessuna molla si spezza.
Esercizio 2
Un blocco di massa M viene lanciato da una molla di costante elastica k lungo un piano inclinato che
forma un angolo θ con il piano orizzontale. All’inizio la molla è compressa di una quantità xi . Il moto
è senza attrito.
d
k
h
m
xi
h/2
0
x
1) Calcolare la distanza d percorsa dal blocco lungo il piano inclinato
2) Calcolare Il rapporto tra la velocità iniziale v0 del blocco appena prima di iniziare a salire sul
piano inclinato e la velocità v1 nel punto in cui è a metà dell’altezza massima.
3) Calcolare quanto tempo passa da quando il blocco inizia a salire sul piano inclinato a quando si
ferma.
Esercizio 3
Nell’esperimento di Millikan delle particelle di massa m e carica q vengono fatte levitare all’interno di
un condensatore a facce piane parallele in cui le armature hanno separazione d.
1) Calcolare la differenza di potenziale V tra le armature necessaria per far levitare particelle
inizialmente in quiete.
2) Millikan osservò che le cariche elettriche sono tutte multiple di una carica fondamentale e ∼
1.6 × 10−19 C. Supponiamo di ripetere il suo esperimento con cubi di polistirolo di lato l = 0.1
mm e densità ρ = 10kg/m3 in un condensatore con d = 1 cm. Se la carica q sui cubi è circa 106 e
calcolare quanto vale V e di quanto si deve variare V se la carica sui cubi varia di una sola carica
elementare. Usare per g ≃ 10m/s2 . Si consiglia di trattare la seconda parte della domanda come
un problema di propagazione degli errori.
Esercizio 4
Un filo rettilineo infinito di raggio R è percorso da una corrente I. La densità di corrente J all’interno
del filo si suppone uniforme.
1) Calcolare il modulo del campo magnetico B a distanza r ≥ R generato dal filo.
~ in funzione
2) Stessa domanda ma per r < R, vale a dire all’interno del filo. Fare un grafico di |B|
di r per riassumere i risultati al punto 1) e 2)
3) Supponete che la corrente I sia generata da particelle con carica q che si muovono a velocità v.
Calcolare la forza di Lorentz che agisce sulle particelle in funzione di r
Soluzioni Compito di Fisica 02/07/2014
Esercizio 1
1) L’accelerazione totale del sistema vale a = F/(N m). La molla n traina n blocchi quindi applica
una forza Fn = anm quindi
Fn
Fn
=
∆xn =
k
kN
quindi la molla che subisce l’allungamento massimo è quella tra il primo e il secondo blocco, per
cui n = N − 1.
2) All’aumentare di N , per evitare che la molla N − 1 si spezzi deve essere Fm ≥ F quindi rm = 1.
3) deve essere FN −1 /F < 9rm /10 quindi (N − 1)/N < 9/10 quindi il numero massimo è 10.
Esercizio 2
1) La conservazione dell’energia permette di scrivere
1 2
kx2i
kxi = mgd sin θ ⇒ d =
2
2mg sin θ
2) Questa volta la conservazione dell’energia si scrive come
1
d
1 2
kxi = mv12 + mg sin θ
2
2
2
e si può usare l’equazione al punto 1). In alternativa si può notare che metà dell’energia iniziale
è stata convertita in energia potenziale gravitazionale e metà in energia cinetica. D’altra parte
prima di iniziare a salire sul piano inclinato l’energia cinetica è data da tutta l’energia potenziale
della molla
1
1
1
v2
v0
mv02 = kx2i ⇒ 12 = ⇒ v1 = √
2
2
v0
2
2
p
3) Abbiamo visto che la velocità iniziale è v0 = kx2i /m. Il moto lungo il piano inclinato è con
accelerazione costante a = g sin θ. Il tempo T richiesto è quindi
r
v0
k
xi
T =
=
a
g sin θ m
Esercizio 3
1) La forza elettrica deve essere di modulo pari a quella gravitazionale quindi qE = mg, d’altra parte
in un condensatore a facce piane parallele E = V /d quindi
V =
1
mgd
q
2) Dalla formula precedente si ottiene
V =
ρl3 g
≃ 630 V
q
Applicando la propagazione degli errori si può scrivere
dV ∆q ⇒ ∆V = V
∆V = dq Esercizio 4
e
≃ 0.63 mV
q
1) Utilizzando il Teorema di Ampere e la simmetria cilindrica del problema, si può scrivere subito,
per una circonferenza C di raggio r > R perpendicolare al filo e concentrica ad esso che
I
~ · d~l = 2πrB = µ0 Ic = µ0 I ⇒ B = µ0 I
B
2πr
C
2) Per r < R il ragionamento è lo stesso che in 1) ma ora la corrente concatenata Ic dipende da r in
funzione del rapporto tra l’area di C e quella della sezione dei filo quindi IC = r2 I/R2 da cui
2πrB = µ0 Ic = µ0
µ0 rI
r2
I⇒B=
R2
2πR2
Le soluzioni 1) e 2) si raccordano per r = R il campo vale in entrambi i casi B0 = µ0 I/(2πR).
1
0.8
B/B0
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
r/R
3) La velocità delle particelle è lungo la verticale. Il campo magnetico è in direzione tangenziale
quindi la forza di Lorentz è in direzione radiale. Le cariche positive sono spinte verso il centro. Il
~ sono perpendicolari quindi
modulo della forza vale F = qvB dato che ~v e B
F (r) =
µ0 qvIr
qvrB0
=
2πR2
R
2
Compito di Fisica 15/09/2014
Ogni risposta esatta vale 3 punti.
Esercizio 1
Il carrello di un ottovolante scende da una discesa per una quota h e poi affronta un giro della morte
di raggio r. Indicate la massa del carrello con m e l’accelerazione di gravità con g. Supponete che
all’inizio della discesa il carrello abbia velocità iniziale nulla.
1) Calcolare il valore minimo di h in funzione dei dati del problema per cui il carrello non si stacca
mai dalle rotaie durante il giro della morte. Approssimate il carrello come un corpo che scivola
lungo le rotaie senza attrito.
2) Stessa domanda se invece di un carrello si considera un cilindro omogeneo di raggio R e massa
M che rotola lungo i binari senza strisciare e senza attrito.
Esercizio 2
Un proiettile di massa m e velocità iniziale v urta un bersaglio inzialmente fermo di massa M e
rimbalza indietro con velocità v/2. Entrambi gli oggetti si muovono in una sola direzione senza attrito
e senza forza di gravità.
1) Calcolare la velocità V di M dopo l’urto
2) Calcolare per quale valore r0 del rapporto r = m/M l’urto è elastico.
3) Calcolare quale frazione dell’energia iniziale f viene persa nell’urto se M = 9m cioè r = 1/9.
Esercizio 3
Una sfera conduttrice S di raggio R viene caricata con una carica +Q. Un oggetto puntiforme O di
carica −q di massa m si trova a distanza r > R dalla sfera. Si trascuri ogni effetto di O su S e ogni
forza che non sia di natura elettrostatica.
1) Calcolare l’energia potenziale del sistema formato da S e O.
2) Calcolare il valore del modulo della velocità v che è necessario fornire ad O perché questo compia
un’orbita circolare di raggio r attorno ad S.
3) Dire se per questo sistema vale la III legge di Keplero: se O viene posto su una differente orbita
circolare di raggio r′ il rapporto r3 /T 2 è uguale al rapporto r′3 /T ′2 dove T e T ′ sono i periodi
delle orbite di raggio r e r′ rispettivamente.
Esercizio 4
Una particella di massa m e carica q entra con velocità v in una regione in cui esiste un campo magnetico uniforme di modulo B come illustrato in figura. Il campo magnetico esce dal foglio. La regione di
campo magnetico ha profondità d in direzione orizzontale mentre si può pensare infinitamente estesa
in direzione verticale. Oltre alla forza magnetica nessuna altra forza agisce sulla particella.
d
1) Calcolare la massima velocità vm che può avere la particella per potere essere “riflessa” dal
campo magnetico, come in figura, in funzione di m, q, B e d.
2) Calcolare, per v < vm , il tempo speso dalla particella nel campo magnetico.
3) Se v > vm la particella esce dalla regione col campo magnetico. Calcolare l’angolo θ tra la
direzione di ingresso e quella di uscita.
Soluzioni Compito di Fisica 15/09/2014
Esercizio 1
Se l’oggetto non si stacca dalle rotaie nel punto più alto del giro della morte non si stacca in nessun altro
punto. La condizione perché non avvenga in distacco è che la forza centripeta richiesta per muoversi
lungo una circonferenza nel punto più alto sia maggiore della forza di gravità.
1) Dalla conservazione dell’energia, considerando l’inizio della discesa e il punto più alto del giro della
morte si ha
mv 2
⇒ v 2 = 2g(h − 2r)
mgh = mg2r +
2
d’altra parte deve essere
mv 2
> mg ⇒ v 2 > gr
r
sostituendo la prima equazione nella seconda si ottiene
2g(h − 2r) > gr ⇒ h >
5
r
2
2) In questo caso si deve tenere conto, nello scrivere l’energia cinetica anche dell’energia di rotazione.
La prima equazione del caso precedente diventa
M gh = M g2r +
M v2
Iω 2
v2
v2
4
+
⇒ gh = g2r +
+
⇒ v 2 = g(h − 2r)
2
2
2
4
3
dove si è si usato il fatto che per un cilindro omogeneo I = M R2 /2 e che la condizione per cui il
cilindro rotola senza strisciare implica v = ωR. La condizione per non staccarsi dal binario è la
stessa quindi
11
4
g(h − 2r) > gr ⇒ h >
r
3
4
Esercizio 2
Nell’urto si conserva la quantità di moto quindi
1)
v
3m
3
mv = −m + M V ⇒ V =
v = rv
2
2M
2
2) Se si deve conservare l’energia per r = r0 deve valere
mv 2
mv 2
MV 2
3
9
1
=
+
⇒ mv 2 = M r02 v 2 ⇒ r0 =
2
8
2
8
8
3
1
3) La frazione f di energia perduta si può scrivere come (Ei − Ef )/Ei = 1 − Ef /Ei dove Ei ed Ef
sono energia iniziale e finale rispettivamente quindi
(
2
Ei = mv
2
2
9M r 2 v 2
Ef = mv
8 +
8
quindi
f = 1 − Ef /Ei = 1 −
1
1 9r
−
=
4
4
2
Esercizio 3
Per quanto riguarda il campo e il potenziale generati da S per r > R il teorema di Gauss ci assicura
che sono gli stessi di una carica puntiforme +Q nell’origine.
1) L’energia potenziale si può scrivere come
U =−
kQq
r
2) Il modulo della forza elettrica su O deve essere pari al modulo della forza centripeta quindi
r
kQq
mv 2
kQq
= 2 ⇒v=
r
r
mr
3) Il periodo T si può scrivere come T = 2πr/v quindi
T2 =
4π 2 r2
4π 2 mr3
r3
kQq
=
⇒
=
v2
kQq
T2
4π 2 m
Si vede quindi che il rapporto r3 /T 2 dipende solo da costanti fondamentali, dalle cariche di S e
O e dalla massa di O quindi tutte le orbite circolari di O devono avere lo stesso rapporto r3 /T 2 .
Per due oggetti O e O′ con rapporto q/m diverso tuttavia, la legge non vale quindi questa è una
versione un po’ più debole della III legge di Keplero nel caso delle forze gravitazionali.
Esercizio 4
Nel campo magnetico il modulo della forza vale F = qvB ed è sempre perpendicolare alla velocità. La
particella compie quindi un tratto di moto circolare uniforme di raggio R = mv/qB.
1) La condizione perché la particella sia riflessa è R < d quindi vm = dqB/m
2) Il tempo impiegato per attraversare la regione di campo magnetico è
t=
πm
πR
=
v
qB
che è indipendente da v per v < vm
3) Per v > vm si ha R > d ed è facile vedere che d = R sin α dove α è l’angolo dell’arco di circonferenza
che descrive la particella nel campo magnetico. È facile vedere che θ = α quindi
vm
dqB
dqB
=
⇒ θ = arcsin
sin θ =
mv
v
mv
2