Equazioni di stato Proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase

Equazioni di stato
Proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
Michele Manno
[email protected]
Università degli Studi di Roma Tor Vergata
A.A. 2016/17
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
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Argomenti trattati
1
Potenziali termodinamici
2
Equazioni di stato
3
Correlazioni tra proprietà termofisiche
4
Liquidi perfetti
5
Proprietà di liquidi reali
6
Gas perfetti
7
Proprietà di gas reali
8
Fluidi omogenei bifase
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Potenziali termodinamici
Potenziali termodinamici
Energia interna u
Entalpia h = u + pv
Energia libera di Helmholtz f = u − Ts
Energia libera di Gibbs: g = h − Ts
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Potenziali termodinamici
Relazioni di Maxwell
Differenziali dei potenziali termodinamici:
u (s,v ) ⇒ du = T ds − p dv
h (s,p) ⇒ dh = T ds + v dp
f (T ,v ) ⇒ df = −s dT − p dv
g (T ,p) ⇒ dg = −s dT + v dp
La derivata seconda “mista” non dipende dall’ordine di derivazione:
∂T
∂2u
∂u
=T ⇒
=
∂s
∂s ∂v
∂v s
v
∂2u
∂u
∂p
= −p ⇒
=−
∂v s
∂v ∂s
∂s v
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Potenziali termodinamici
Relazioni di Maxwell
Dall’uguaglianza delle derivate seconde miste dei potenziali termodinamici
si possono ricavare quattro equazioni, che vanno sotto il nome di relazioni
di Maxwell:
∂p
∂T
=−
∂v s
∂s
v
∂T
∂v
=
∂p s
∂s p
∂p
∂s
=
∂v T
∂T v
∂s
∂v
−
=
∂p T
∂T p
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Equazioni di stato
Equazioni di stato
Scelta una coppia di variabili termodinamiche di riferimento (ad
esempio, p,T ), per le altre variabili (ρ,s) si può scrivere un’equazione
di stato in forma differenziale del tipo:
∂y
∂y
dp +
dT
dy =
∂p T
∂T p
Alle derivate parziali che compaiono nell’equazione si sostituiscono le
proprietà termofisiche del fluido, eventualmente sfruttando le relazioni
di Maxwell.
Le equazioni relative ai potenziali termodinamici si ottengono
direttamente dalle loro definizioni, una volta note le espressioni di dv
e ds se le variabili di riferimento sono p,T .
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Equazioni di stato
Densità in funzione di p e T
La variazione della densità rispetto a pressione e temperatura è definita
rispettivamente dal modulo di comprimibilità e dal coefficiente di
dilatazione termica:
ρ
∂ρ
∂ρ
=
= −ρβ
∂p T
KT
∂T p
L’equazione di stato per la densità è pertanto:
dρ
dp
=
− β dT
ρ
KT
Per il volume massico è sufficiente cambiare i segni:
dp
dv
=−
+ β dT
v
KT
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Equazioni di stato
Entropia in funzione di p e T
La variazione dell’entropia rispetto a pressione e temperatura è definita
rispettivamente dal coefficiente di dilatazione termica (tramite una delle
relazioni di Maxwell) e dal calore specifico a pressione costante:
cp
∂v
∂s
∂s
=−
= −v β
=
∂p T
∂T p
∂T p
T
L’equazione di stato per l’entropia è pertanto:
ds = −β
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dp
dT
+ cp
ρ
T
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Equazioni di stato
Energia interna in funzione di p e T
Dalla definizione del differenziale dell’energia interna:
du = T ds − p dv
si ottiene:
du = T
−β
dT
dp
+ cp
ρ
T
− pv
−
dp
+ β dT
KT
da cui si ricava:
du = (cp − pv β) dT +
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p
− βT
KT
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v dp
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Equazioni di stato
Entalpia in funzione di p e T
Dalla definizione del differenziale dell’entalpia:
dh = T ds + v dp
si ottiene:
dT
dp
dh = T −β
+ cp
+ v dp
ρ
T
da cui si ricava:
dh = cp dT + (1 − βT ) v dp
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Correlazioni tra proprietà termofisiche
E’ stato possibile scrivere le equazioni di stato facendo uso di soltanto
3 proprietà termofisiche (KT , β, cp ).
Lo stato termodinamico di un sistema (omogeneo monofase) è
pertanto completamente determinato se si conoscono le due variabili
di riferimento e i valori di 3 proprietà termofisiche.
Ciò comporta che i valori di tutte le altre proprietà termofisiche
dipendono dalle 3 impiegate nelle equazioni di stato: devono pertanto
esistere correlazioni tra proprietà termofisiche che possono essere
ricavate dalle equazioni di stato stesse.
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Relazione tra i calori specifici
Il calore specifico a volume costante è dato da:
p
∂p
∂u
= (cp − pv β) +
− βT v
cv =
∂T v
KT
∂T v
Variazione di pressione in funzione di temperatura e volume massico:
dp
dv
∂p
=−
+ β dT ⇒
= βKT
KT
v
∂T v
Si ottiene:
cv = (cp − pv β) +
p
− βT
KT
v βKT
ovvero:
cv = cp − KT v β 2 T
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Coefficiente di Joule-Thomson
Il coefficiente di Joule-Thomson è definito in un processo isoentalpico
(dh = 0):
dh = cp dT + (1 − βT ) v dp = 0
∂T
si ottiene:
Poiché µJ =
∂p h
µJ =
Michele Manno
βT − 1
cp ρ
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Esponenti dell’isoentropica
Per analogia con i gas ideali, anche per un fluido generico si individuano i
coefficienti k,ε che compaiono nelle equazioni delle trasformazioni
isoentropiche:
dv
dp
+k
=0
p
v
dT
dp
−ε
=0
T
p
che per un gas ideale, essendo k,ε costanti, equivalgono a:
pv k = cost.
Tp −ε = cost.
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Esponenti dell’isoentropica: k
Variazione della temperatura rispetto a pressione e volume:
dT =
1 dp
1 dv
+
β v
β KT
Differenziale dell’entropia in funzione di pressione e volume:
cp
cp
ds =
− βv dp +
dv
βTv
βTv
cp − β 2 TKT v
cp dv
=
dp +
βTKT
βT v
1
p dp
dv
=
cv
+ cp
βT
KT p
v
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Esponenti dell’isoentropica: k
Equazione della trasformazione isoentropica (ds = 0):
cp KT dv
dp
+
=0
p
cv p
v
Esponente dell’isoentropica:
k=
Michele Manno
cp KT
cv p
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Esponenti dell’isoentropica: ε
Equazione della trasformazione isoentropica (ds = 0):
ds = −β
dT
dT
βp dp
dp
+ cp
=0⇒
−
=0
ρ
T
T
cp ρ p
Esponente dell’isoentropica:
ε=
Michele Manno
βp
cp ρ
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Variazione di entalpia in una trasformazione isoentropica
Equazione della trasformazione isoentropica (ds = 0):
ds = −β
cp dT
dp
dT
dp
+ cp
=0⇒
=
ρ
T
ρ
β T
Sostituendo nell’espressione della variazione di entalpia:
dh = cp dT + (1 − βT )
(dh)s =
Michele Manno
dp
⇒
ρ
cp
(dT )s
βT
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Modulo di comprimibilità isoentropico
Equazione della trasformazione isoentropica (ds = 0):
cp KT dv
dp
+
=0
p
cv p
v
∂p
Poiché Ks = −v
si ottiene:
∂v s
Ks =
Michele Manno
cp
KT
cv
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Correlazioni tra proprietà termofisiche
Velocità del suono
Sfruttando le relazioni ottenute per il modulo di comprimibilità e
l’esponente k, per la velocità del suono si ottiene:
s
a=
s
a=
a=
Michele Manno
Ks
ρ
cp KT
cv ρ
r
p
k
ρ
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Liquidi perfetti
Proprietà termofisiche
Per definizione, la densità e il volume massico di un liquido perfetto sono
costanti:
ρ = ρ0 = cost.
Per quanto riguarda le proprietà termofisiche di un liquido perfetto, ne
deriva:
β=0
KT = Ks = ∞
a=∞
µJ = −1/(cl ρ)
e in particolare risulta che i calori specifici sono tutti coincidenti:
cl = cp = cv = cost.
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Liquidi perfetti
Equazioni di stato
Dalle equazioni di stato generali:
dρ = dp/KT − β dT
ds = −β dp/ρ + cp dT /T
du = (cp − pv β) dT + (p/KT − βT ) v dp
dh = cp dT + (1 − βT ) v dp
ponendo β = 0, KT = ∞, cp = cl si ottiene:
ρ = ρ0
T
T0
u = u0 + cl (T − T0 )
s = s0 + cl log
h = h0 + cl (T − T0 ) +
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p − p0
ρ
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Proprietà di liquidi reali
Acqua: densità e calore specifico
4.8
1
4.7
cp [kJ kg−1 K−1 ]
1.1
ρ [kg/l]
0.9
0.8
0.7
p = 1 bar
p = 10 bar
p = 100 bar
0.6
0.5
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
4.6
4.5
4.4
4.3
4.2
500
4.1
300
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350
400
T [K]
450
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500
23 / 71
Proprietà di liquidi reali
Acqua: vel. e coeff. di Joule-Thomson
−0.2
1.6
1.4
βT − 1
a · 10−3 [m/s]
−0.4
1.2
1
−0.6
0.8
−0.8
0.6
0.4
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
−1
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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500
24 / 71
Proprietà di liquidi reali
Acqua: viscosità e conduttività termica
0.7
1.5
1
λ [W/(m K)]
μ · 103 [Pa s]
0.68
0.5
0.66
0.64
0.62
0
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
0.6
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
A.A. 2016/17
500
25 / 71
Proprietà di liquidi reali
Ottano (C8 H18 ): densità e calore specifico
1.1
3.6
p = 1 bar
p = 10 bar
p = 100 bar
3.4
cp [kJ kg−1 K−1 ]
1
ρ [kg/l]
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
300
Michele Manno
3.2
3
2.8
2.6
2.4
350
400
T [K]
450
500
2.2
300
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350
400
T [K]
450
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500
26 / 71
Proprietà di liquidi reali
Ottano (C8 H18 ): vel. del suono e coeff. di Joule-Thomson
1.6
1
1.4
βT − 1
a · 10−3 [m/s]
0.5
1.2
1
0
0.8
−0.5
0.6
0.4
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
−1
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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500
27 / 71
Proprietà di liquidi reali
Ottano (C8 H18 ): viscosità e conduttività termica
1.5
0.13
1
λ [W/(m K)]
μ · 103 [Pa s]
0.12
0.5
0.11
0.1
0.09
0.08
0
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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500
28 / 71
Proprietà di liquidi reali
Dodecano (C12 H26 ): densità e calore specifico
1.1
3.2
p = 1 bar
p = 10 bar
p = 100 bar
3
cp [kJ kg−1 K−1 ]
1
ρ [kg/l]
0.9
0.8
0.7
Michele Manno
2.6
2.4
0.6
0.5
300
2.8
350
400
T [K]
450
500
2.2
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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500
29 / 71
Proprietà di liquidi reali
1.6
−0.1
1.4
−0.2
−0.3
1.2
βT − 1
a · 10−3 [m/s]
Dodecano: vel. del suono e coeff. di Joule-Thomson
1
−0.4
−0.5
0.8
−0.6
0.6
−0.7
0.4
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
−0.8
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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500
30 / 71
Proprietà di liquidi reali
Dodecano (C12 H26 ): viscosità e conduttività termica
1.5
0.15
1
λ [W/(m K)]
μ · 103 [Pa s]
0.14
0.5
0.13
0.12
0.11
0.1
0
300
Michele Manno
350
400
T [K]
450
500
0.09
300
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
350
400
T [K]
450
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31 / 71
Gas perfetti
Equazione di stato del gas perfetto
Per un gas perfetto è valida l’equazione di stato:
p v̂
= R̂ = 8,3145 kJ/(kmol K)
T
Introducendo la massa molare M del gas:
v = v̂ /M
si ottiene la costante del gas R:
R=
R̂
M
e l’equazione di stato diventa:
pv = RT
Michele Manno
p = ρRT
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32 / 71
Gas perfetti
Densità in funzione delle condizioni normali
Prendendo a riferimento le condizioni normali pn = 101,325 kPa e
Tn = 0 ◦ C, il volume molare normale (indipendente dal tipo di gas) vale:
v̂n =
R̂Tn
= 22,4141 m3 /kmol
pn
La densità normale dipende invece dal tipo di gas tramite la massa molare:
ρn =
M
v̂n
La densità del gas a qualsiasi pressione e temperatura si calcola:
ρ = ρn
Michele Manno
p Tn
pn T
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33 / 71
Gas perfetti
Proprietà termofisiche del gas perfetto
L’equazione di stato del gas perfetto in forma differenziale si scrive:
dp
dT
dρ
=
−
ρ
p
T
Ne deriva:
KT = p
β = 1/T
µJ = 0
cp = cv + R
Michele Manno
k = cp /cv
ε = R/cp
Ks = kp
p
√
a = kp/ρ = kRT
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34 / 71
Gas perfetti
Calori specifici del gas perfetto
Dalla teoria cinetica dei gas è noto che a ciascun grado di libertà
posseduto da una molecola corrisponde un’energia interna:
1
kB T
2
kB = 1,38 · 10−23 J/K
Considerando una mole di gas (contenente NA = 6,022 · 1023 molecole), le
cui molecole posseggano l gradi di libertà, l’energia interna complessiva è:
l
l
û = kB NA T = R̂T
2
2
l calori specifici valgono pertanto:
l
ĉv = R̂
2
Michele Manno
ĉp =
l +2
R̂
2
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Gas perfetti
Calori specifici del gas perfetto
Gas monoatomico:
l = 3 (3 moti traslazionali)
Gas biatomico:
l = 7 (3 moti traslazionali, 2 moti rotazionali,
2 moti vibrazionali)
1 moto rotazionale ignorato perché
l’associato momento d’inerzia è trascurabile
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36 / 71
Gas perfetti
Calore specifico di gas monoatomici
Nel caso di gas monoatomici (gas rari: He, Ne, Ar, etc.) i calori specifici
valgono:
5
3
ĉv = R̂
ĉp = R̂
2
2
Queste relazioni sono ottimamente confermate dai valori sperimentali.
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37 / 71
Gas perfetti
Calore specifico di gas biatomici
Sebbene i gradi di libertà siano l = 7, si rileva sperimentalmente che i
moti vibrazionali sono “congelati” per temperature prossime a quella
ambiente.
I gradi di libertà si riducono pertanto a 5, e i calori specifici di un gas
biatomico a temperature prossime a quella ambiente valgono:
5
ĉv = R̂
2
7
ĉp = R̂
2
Queste relazioni sono ottimamente confermate dai valori sperimentali.
Ci si deve però aspettare un incremento del calore specifico con la
temperatura, fino ad un massimo teorico per ĉp pari a 9/2R̂.
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38 / 71
Gas perfetti
Calore specifico di gas triatomici e poliatomici
I gas la cui molecola è costituita da tre o più atomi hanno 6 gradi di
libertà (traslazionali e rotazionali) sicuramente attivi, ma anche alcuni
di quelli vibrazionali possono essere attivi già a temperature modeste.
In linea generale si può assumere, a temperatura ambiente:
ĉv =
6÷7
R̂
2
ĉp =
8÷9
R̂
2
Ad esempio, per la CO2 si può assumere ĉp = 4,5R̂ a temperatura
ambiente.
Il calore specifico di gas poliatomici è comunque molto sensibile
rispetto a variazioni di temperatura.
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Gas perfetti
Calore specifico di alcuni gas (intesi come gas ideali)
He
Ar
H2
N2
O2
CO2
N2 O
Michele Manno
M
ĉp
cp
[kg/kmol]
[kJ/(kmol K)]
[kJ/(kg K)]
4,003
39,95
2,016
28,01
32,00
44,00
44,01
20,79
20,79
29,10
29,10
29,10
37,41
37,41
5,193
0,520
14,44
1,039
0,909
0,850
0,850
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
cp /cv
1,667
1,667
1,400
1,400
1,400
1,286
1,286
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40 / 71
Gas perfetti
8.5
8
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
300
He
Ar
H2
N2
O2
CO 2
N2 O
CH 4
1.5
1.4
1.3
1.2
cp [kJ/(kg K)]
ĉp /R̂
Andamento del calore specifico con la temperatura
1.1
1
He
Ar
H2
N2
O2
CO 2
N2 O
CH 4
0.9
0.8
0.7
0.6
400
Michele Manno
500
600 700
T [K]
800
900 1000
0.5
400
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
T [K]
800
A.A. 2016/17
1000
41 / 71
Gas perfetti
Rapporto dei calori specifici al variare della temperatura
1.9
1.7
cp /cv
1.6
1.5
1.4
He
Ar
H2
N2
O2
CO 2
N2 O
CH 4
1.02
(cp − cv )/R
He
Ar
H2
N2
O2
CO 2
N2 O
CH 4
1.8
1.01
1.3
1
1.2
1.1
300
400
Michele Manno
500
600 700
T [K]
800
900 1000
400
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
T [K]
800
A.A. 2016/17
1000
42 / 71
Gas perfetti
Entropia, energia interna, entalpia
Dalle equazioni di stato generali:
dρ = dp/KT − β dT
ds = −β dp/ρ + cp dT /T
du = (cp − pv β) dT + (p/KT − βT ) v dp
dh = cp dT + (1 − βT ) v dp
ponendo β = 1/T , KT = p, cp = cost. si ottiene:
p = ρRT
p
T
− R log
T0
p0
u = u0 + cv (T − T0 )
s = s0 + cp log
h = h0 + cp (T − T0 )
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
43 / 71
Gas perfetti
Energia interna, entalpia
Poiché in generale cp = cp (T ), occorre valutare un opportuno calore
specifico medio per la valutazione dell’energia interna e dell’entalpia:
Z
T
u(T ) − u0 =
T0
T
Z
hs (T ) = h(T ) − h0 =
T0
cv (T ) dT = [cv ]T
T0 (T − T0 )
cp (T ) dT = [cp ]T
T0 (T − T0 )
hs è l’entalpia sensibile del fluido se T0 è la temperatura ambiente.
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
44 / 71
Gas perfetti
Viscosità e conduttività termica
Viscosità e conduttività termica entrano in gioco nel trasporto di una
grandezza all’interno di un volume di controllo:
viscosità → quantità di moto
conduttività termica → calore
Entrambe aumentano con la temperatura:
√
λ, µ ∝ T
Si può dimostrare che il rapporto tra le due grandezze dipende dal
rapporto tra calore specifico e massa molare:
ĉv
λ
=
µ
M
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
45 / 71
Proprietà di gas reali
Pressione e temperatura critica per diversi fluidi
He
H2
CH4
H2 O
N2
O2
CO2
C 3 H8
C4 H10
Michele Manno
M
[g/mol]
pcr
[MPa]
Tcr
[K]
4,003
2,016
16,04
18,02
28,01
32,00
44,01
44,10
58,12
0,227
1,293
4,61
22,06
3,398
5,043
7,380
4,25
3,80
5,19
32,97
190,6
647,1
126,2
154,6
304,2
369,9
425,0
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
46 / 71
Proprietà di gas reali
He: calori specifici
3
2
p/p c = 0, 1
p/p c = 1
1.8
p/p c = 10
2.6
cp /cv
cp /R
2.8
2.4
2.2
2
400
1.6
1.4
1.2
600
800
1000
1
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
47 / 71
Proprietà di gas reali
He: comprimibilità, dilatazione termica
1.1
0
p/p c = 0, 1
p/p c = 1
−0.002
βT − 1
KT /p
p/p c = 10
1.0
−0.004
−0.006
−0.008
0.9
400
600
800
1000
−0.01
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
48 / 71
Proprietà di gas reali
50
0.4
45
0.35
40
λ [W/(m K)]
μ · 106 [Pa s]
He: viscosità e conduttività termica
35
30
p/p c = 0, 1
25
0.3
0.25
0.2
p/p c = 1
p/p c = 10
20
400
600
800
1000
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
49 / 71
Proprietà di gas reali
H2 : viscosità e conduttività termica
0.5
22
p/p c = 0, 1
20
0.45
p/p c = 1
18
λ [W/(m K)]
μ · 106 [Pa s]
p/p c = 10
16
14
12
10
400
0.4
0.35
0.3
0.25
600
800
1000
0.2
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
50 / 71
Proprietà di gas reali
4.2
2
4
1.8
3.8
1.6
cp /cv
cp /R
N2 : calori specifici
3.6
p/p c = 0, 1
3.4
1.4
1.2
p/p c = 1
p/p c = 10
3.2
400
600
800
1000
1
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
51 / 71
Proprietà di gas reali
N2 : comprimibilità, dilatazione termica
1.4
0.04
p/p c = 0, 1
0.02
p/p c = 1
p/p c = 10
0
βT − 1
KT /p
1.3
1.2
−0.02
−0.04
−0.06
1.1
−0.08
1
400
600
800
1000
−0.1
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
52 / 71
Proprietà di gas reali
45
0.08
40
0.07
λ [W/(m K)]
μ · 106 [Pa s]
N2 : viscosità e conduttività termica
35
30
p/p c = 0, 1
25
0.06
0.05
0.04
p/p c = 1
p/p c = 10
20
400
600
800
1000
0.03
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
53 / 71
Proprietà di gas reali
CO2 : calori specifici
8.5
2
p/p c = 0, 1
8
p/p c = 1
1.8
p/p c = 10
7
cp /cv
cp /R
7.5
6.5
1.6
1.4
6
1.2
5.5
5
400
600
800
1000
1
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
54 / 71
Proprietà di gas reali
CO2 : comprimibilità, dilatazione termica
3.5
0.8
p/p c = 0, 1
3
p/p c = 1
0.6
p/p c = 10
βT − 1
KT /p
2.5
2
1.5
0.2
0
1
0.5
400
0.4
600
800
1000
−0.2
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
55 / 71
Proprietà di gas reali
CO2 : viscosità e conduttività termica
100
0.12
p/p c = 0, 1
p/p c = 1
0.1
p/p c = 10
λ [W/(m K)]
μ · 106 [Pa s]
80
60
40
20
0
400
0.08
0.06
0.04
600
800
1000
0.02
400
T [K]
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
600
800
1000
T [K]
A.A. 2016/17
56 / 71
rator.qxd
5/24/05
4:34 PM
Proprietà di gas reali
Page 8
Generatori elettrici raffreddati ad idrogeno
Hydrogen-Cooled Generators
Highly Efficient and Reliable
Hydrogen’s three outstanding properties, low density, high specific heat, and thermal conductivity, make it
a superior coolant for rotating electrical machines. Hydrogen lends itself to a compact, highly efficient,
reliable design. Hydrogen gas is circulated in a closed loop within the generator to remove heat from its
active parts, then it is cooled by gas-to-water heat exchangers that are part of the stator frame. The frame
is tightly sealed to prevent gas leakage, and oil seals are installed on the shaft at each end of the stator to
prevent leakage as the shaft emerges from the stator frame.
The hydrogen-cooled generator’s interior is completely sealed
from the atmosphere, so dust, humidity, salt or chemicals have
PSP30385-06-02
no effect on the machine. The absence of oxygen in its cooling
gas means the generator’s high-voltage insulation system will
not be damaged by any corona activity in the generator’s stator
GE offers generator designs suitable for base
mount or pedestal mount applications.
PSP30385-06-02, PSP30439-04
windings. This is a significant factor in the machine’s reliability.
Fonte: GE Power Generation, Hydrogen-Cooled Generator
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
57 / 71
Fluidi omogenei bifase
Proprietà di fluidi omogenei bifase
Nel caso di fluidi bifase, soltanto 1 variabile indipendente è necessaria
per caratterizzare lo stato della fase liquida e della fase vapore
Lo stato termodinamico del sistema bifase è determinato una volta
nota una variabile intensiva (ad esempio T ) e il rapporto tra le masse
(o i volumi) delle due fasi
Generalmente si impiega il titolo x, che stabilisce il rapporto tra
massa di vapore e massa complessiva:
x=
Michele Manno
mv
m
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
58 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazioni di stato per un fluido bifase
v (T ,x) = vl (T ) + x [vv (T ) − vl (T )]
s (T ,x) = sl (T ) + x [sv (T ) − sl (T )]
u (T ,x) = ul (T ) + x [uv (T ) − ul (T )]
h (T ,x) = hl (T ) + x [hv (T ) − hl (T )] = hl (T ) + xr (T )
1
x
1−x
=
+
ρ (T ,x)
ρl (T ) ρv (T )
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
59 / 71
Fluidi omogenei bifase
Diagramma di Mollier: linee isobare
La pendenza delle linee isobare nel diagramma di Mollier coincide
sempre con la temperatura del fluido nel punto considerato.
Infatti per liquido sottoraffreddato o vapore surriscaldato:
∂h
=T
dh = T ds + v dp ⇒
∂s p
Nel campo del vapor saturo:
h = hl + x (hv − hl )
Il titolo può essere espresso in funzione dell’entropia:
x=
Michele Manno
s − sl
sv − sl
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
60 / 71
Fluidi omogenei bifase
Diagramma di Mollier: linee isobare
Nel campo del vapor saturo vale perciò:
h = h (p,s) = hl + (hv − hl )
s − sl
sv − sl
A pressione costante i valori corrispondenti ai punti sulle curve limite sono
anch’essi costanti, perciò:
∂h
hv − hl
=
=T
∂s p
sv − sl
Non c’è pertanto discontinuità nella pendenza delle linee isobare nel
passaggio attraverso le curve limite.
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
61 / 71
Fluidi omogenei bifase
Diagramma di Mollier: linee isoterme
Nel caso delle linee isoterme vi è invece un cambio di pendenza nel
passaggio attraverso le curve limite.
Infatti per liquido sottoraffreddato o vapore surriscaldato:
∂p
1
∂h
=T +v
=T−
dh = T ds + v dp ⇒
∂s T
∂s T
β
Nel campo del vapor saturo invece vale quanto già ricavato per le linee
isobare:
s − sl
h = h (T ,s) = hl + (hv − hl )
sv − sl
hv − hl
∂h
=
=T
∂s T
sv − sl
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
62 / 71
Fluidi omogenei bifase
Diagramma di Mollier per l’acqua (linee isobare)
100
bar
4000
10
1
3500
0.05
3000
h [kJ/kg]
2500
2000
1500
1000
500
0
Michele Manno
0
1
2
3
4
5
6
s [kJ/(kg K)]
7
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
8
9
10
A.A. 2016/17
63 / 71
Fluidi omogenei bifase
Diagramma di Mollier per l’acqua (linee isoterme)
3500
300 o C
3000
200 o C
100 o C
35 o C
h [kJ/kg]
2500
2000
1500
1000
500
0
Michele Manno
0
1
2
3
4
5
6
s [kJ/(kg K)]
7
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
8
9
10
A.A. 2016/17
64 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazione di Clausius-Clapeyron
Nel passaggio di fase l1 → v1
T e p sono costanti:
400
350
300
dT = 0, dp = 0
T [°C]
250
dG = −S dT + V dp = 0
200
l2
v2
dG = − dm gl + dm gv = 0 ⇒
150
l1
100
L’energia libera di Gibbs è
uguale per le due fasi:
v1
50
0
gl = gv
0
2
Michele Manno
4
6
s [kJ/(kg K]
8
10
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
65 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazione di Clausius-Clapeyron
Si consideri una massa di fluido
in condizioni di equilibrio
liquido/vapore alla pressione p1
(punti l1 e v1 )
400
350
300
T [°C]
250
200
l2
Se si porta il fluido alla
pressione p2 (rimanendo in
condizioni di equilibrio) la
variazione di energia libera di
Gibbs deve essere uguale per le
due fasi, in quanto gl = gv :
v2
150
l1
100
v1
50
0
0
2
4
6
s [kJ/(kg K]
8
10
dg = gl2 − gl1 = gv2 − gv1
dg = dgl = dgv
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
66 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazione di Clausius-Clapeyron
Dall’equazione dgl = dgv si ottiene:
−sl dT + vl dp = −sv dT + vv dp
La relazione tra temperatura e pressione di saturazione è pertanto:
dp
sv − sl
=
dT
vv − vl
Poiché il calore latente di vaporizzazione è r = T (sv − sl ), si ottiene
l’equazione di Clausius-Clapeyron:
dp
r
=
dT
T (vv − vl )
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
67 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazione di Clausius-Clapeyron
Con le seguenti approssimazioni:
vl vv
eq. di stato dei gas perfetti per il vapore: vv = RT /p
l’equazione di Clausius-Clapeyron diventa:
r p
d log p
r
dp
=
⇒
=−
2
dT
RT
d(1/T )
R
Assumendo inoltre r ≈ cost., integrando l’equazione di Clausius-Clapeyron
linearizzata si ottiene:
p
r0 1
1
log
=−
−
p0
R T
T0
Michele Manno
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
A.A. 2016/17
68 / 71
Fluidi omogenei bifase
Equazione di Clausius-Clapeyron
L’equazione di Clausius-Clapeyron si rivela sorprendentemente efficace
anche per intervalli di temperatura piuttosto estesi:
1000
psat
lin. intorno a p0 = 1 atm
psat [bar]
100
10
1
0.1
0.01
1.5
Michele Manno
2
2.5
3
1/T [K−1 ]
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
3.5
4
−3
x 10
A.A. 2016/17
69 / 71
0.1
Fluidi omogenei bifase
Equazione 0.01
di Clausius-Clapeyron
1.5
2
2.5
3
3.5
4
−1
−3
1/T [K
]
Restringendo l’intervallo di temperatura
i valori
approssimati
sono
x 10
pressoché coincidenti con quelli esatti:
0.1
psat [bar]
psat
lin. intorno a T0 = 25o C
0.01
3.1
Michele Manno
3.2
3.3
3.4
1/T [K−1 ]
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
3.5
3.6
−3
x 10
A.A. 2016/17
70 / 71
Fluidi omogenei bifase
Pressione e temperatura di saturazione per diversi fluidi
4
10
500
300
200
150
CO2
C12H26
100
80
T [K]
O2
N2
CH4
3
10
psat [kPa]
C3 H8
2
10
C4 H10
1
10
NH3
C2 H6
H2 O
0
10
Michele Manno
2
C8 H18
4
6
8
1/T [K−1 ]
10
Equazioni di stato e proprietà di gas, liquidi e fluidi bifase
12
14
−3
x 10
A.A. 2016/17
71 / 71