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Crittografia a curve ellittiche
Riccardo Brigo
Scuola Superiore Sant’Anna
[email protected]
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 1/20
Richiami di teoria dei numeri
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 2/20
Gruppi abeliani
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
• Campi finiti
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 3/20
Gruppi abeliani
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
• Campi finiti
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Un insieme G si dice gruppo abeliano rispetto ad una
relazione binaria ∗ se valgono le seguenti proprietà:
◦ chiusura di ∗ in G: ∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G
◦ ∗ è commutativa: ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x
◦ ∗ è associativa: ∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
◦ esistenza ed unicità dell’elemento neutro:
∃!1 ∈ G|∀x ∈ Gx ∗ 1 = x
◦ esistenza ed unicità dell’elemento inverso:
∀x ∈ G ∃!y = x−1 ∈ G|x ∗ y = 1
Crittografia a curve ellittiche - 3/20
Gruppi abeliani
•
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Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
•
Un insieme G si dice gruppo abeliano rispetto ad una
relazione binaria ∗ se valgono le seguenti proprietà:
◦ chiusura di ∗ in G: ∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G
◦ ∗ è commutativa: ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x
◦ ∗ è associativa: ∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
◦ esistenza ed unicità dell’elemento neutro:
∃!1 ∈ G|∀x ∈ Gx ∗ 1 = x
◦ esistenza ed unicità dell’elemento inverso:
∀x ∈ G ∃!y = x−1 ∈ G|x ∗ y = 1
Dato un numero naturale n ed un elemento x ∈ G,
xn = x
| ∗ x ∗{z· · · ∗ x}
n volte
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 3/20
Gruppi abeliani
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Applicazioni delle curve
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Riferimenti bibliografici
•
Un insieme G si dice gruppo abeliano rispetto ad una
relazione binaria ∗ se valgono le seguenti proprietà:
◦ chiusura di ∗ in G: ∀x, y ∈ G, x ∗ y ∈ G
◦ ∗ è commutativa: ∀x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x
◦ ∗ è associativa: ∀x, y, z ∈ G, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
◦ esistenza ed unicità dell’elemento neutro:
∃!1 ∈ G|∀x ∈ Gx ∗ 1 = x
◦ esistenza ed unicità dell’elemento inverso:
∀x ∈ G ∃!y = x−1 ∈ G|x ∗ y = 1
Dato un numero naturale n ed un elemento x ∈ G,
xn = x
| ∗ x ∗{z· · · ∗ x}
n volte
•
Riccardo Brigo
Si dice ordine di un elemento x ∈ G il minimo numero
naturale n 6= 0 tale che xn = 1; se tale n non esiste, x è
detto di ordine 0
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Campi
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Curve ellittiche
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Crittografia a curve ellittiche - 4/20
Campi
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Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Un insieme F si dice campo rispetto a due operazioni
binarie + e ∗ se valgono le seguenti proprietà:
◦ chiusura di entrambe le operazioni in F
◦ commutatività ed associatività di entrambe le operazioni
◦ proprietà distributiva:
∀x, y, z ∈ F, (x + y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z
◦ esistenza e unicità degli elementi neutri:
∃!0, 1 ∈ F |∀x ∈ F, x + 0 = x, x ∗ 1 = x
◦ esistenza dell’elemento inverso su +:
∀x ∈ F, ∃!y = −x|x + y = 0
◦ esistenza dell’elemento inverso su ∗ per ogni elemento
diverso da 0: ∀x ∈ F/{0}, ∃!y = x−1 |x ∗ y = 1
Crittografia a curve ellittiche - 4/20
Campi
•
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• Campi finiti
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Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
•
Un insieme F si dice campo rispetto a due operazioni
binarie + e ∗ se valgono le seguenti proprietà:
◦ chiusura di entrambe le operazioni in F
◦ commutatività ed associatività di entrambe le operazioni
◦ proprietà distributiva:
∀x, y, z ∈ F, (x + y) ∗ z = x ∗ z + y ∗ z
◦ esistenza e unicità degli elementi neutri:
∃!0, 1 ∈ F |∀x ∈ F, x + 0 = x, x ∗ 1 = x
◦ esistenza dell’elemento inverso su +:
∀x ∈ F, ∃!y = −x|x + y = 0
◦ esistenza dell’elemento inverso su ∗ per ogni elemento
diverso da 0: ∀x ∈ F/{0}, ∃!y = x−1 |x ∗ y = 1
Si dice caratteristica di un campo F il minimo numero
naturale n 6= 0 tale che 1 + 1 + · · · + 1 = 0; se non esiste,
{z
}
|
n volte
F è detto di caratteristica 0
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 4/20
Campi finiti
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• Gruppi abeliani
• Campi
• Campi finiti
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
• Campi finiti
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
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Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
• Campi finiti
•
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
L’esempio più semplice di campo finito è l’insieme, indicato
con Z/pZ, degli interi modulo p, con p primo
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
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• Campi finiti
Curve ellittiche
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
L’esempio più semplice di campo finito è l’insieme, indicato
con Z/pZ, degli interi modulo p, con p primo
Si dimostra che i valori ammissibili per q sono unicamente
le potenze di numero primo (q = pd ), ovvero che un campo
Fq è isomorfo ad un campo vettoriale di dimensione d con
elementi in Z/pZ
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
•
• Campi finiti
Curve ellittiche
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
•
Riccardo Brigo
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
L’esempio più semplice di campo finito è l’insieme, indicato
con Z/pZ, degli interi modulo p, con p primo
Si dimostra che i valori ammissibili per q sono unicamente
le potenze di numero primo (q = pd ), ovvero che un campo
Fq è isomorfo ad un campo vettoriale di dimensione d con
elementi in Z/pZ
Per definizione stessa di campo, l’insieme Fq∗ = Fq /{0} è a
sua volta un gruppo abeliano rispetto all’operazione di
prodotto
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
•
• Campi finiti
Curve ellittiche
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
•
•
Riccardo Brigo
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
L’esempio più semplice di campo finito è l’insieme, indicato
con Z/pZ, degli interi modulo p, con p primo
Si dimostra che i valori ammissibili per q sono unicamente
le potenze di numero primo (q = pd ), ovvero che un campo
Fq è isomorfo ad un campo vettoriale di dimensione d con
elementi in Z/pZ
Per definizione stessa di campo, l’insieme Fq∗ = Fq /{0} è a
sua volta un gruppo abeliano rispetto all’operazione di
prodotto
L’ordine moltiplicativo di un elemento x ∈ Fq∗ è il più piccolo
naturale n non nullo tale che xn = 1; si dimostra che n è un
divisore di q − 1, ovvero della cardinalità di Fq∗
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
• Gruppi abeliani
• Campi
•
• Campi finiti
Curve ellittiche
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
•
•
•
Riccardo Brigo
Un campo costituito da un numero finito q di elementi si
dice campo finito e si indica con la notazione Fq
L’esempio più semplice di campo finito è l’insieme, indicato
con Z/pZ, degli interi modulo p, con p primo
Si dimostra che i valori ammissibili per q sono unicamente
le potenze di numero primo (q = pd ), ovvero che un campo
Fq è isomorfo ad un campo vettoriale di dimensione d con
elementi in Z/pZ
Per definizione stessa di campo, l’insieme Fq∗ = Fq /{0} è a
sua volta un gruppo abeliano rispetto all’operazione di
prodotto
L’ordine moltiplicativo di un elemento x ∈ Fq∗ è il più piccolo
naturale n non nullo tale che xn = 1; si dimostra che n è un
divisore di q − 1, ovvero della cardinalità di Fq∗
Si dice generatore di Fq∗ un suo elemento g avente ordine
moltiplicativo q − 1, ovvero le cui potenze (g, g 2 , . . . , g q−1 )
coprono tutti gli elementi di Fq∗
Crittografia a curve ellittiche - 5/20
Curve ellittiche
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 6/20
Definizione
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 7/20
Definizione
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
Dato un campo K ed un polinomio x3 + ax + b con a, b ∈ K
privo di radici multiple (ovvero tale che 4a3 + 27b2 6= 0), si
definisce curva ellittica su K (indicato con E(K))
l’insieme dei punti (x, y) ∈ K 2 tali che:
y 2 = x3 + ax + b
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 7/20
Definizione
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
Dato un campo K ed un polinomio x3 + ax + b con a, b ∈ K
privo di radici multiple (ovvero tale che 4a3 + 27b2 6= 0), si
definisce curva ellittica su K (indicato con E(K))
l’insieme dei punti (x, y) ∈ K 2 tali che:
y 2 = x3 + ax + b
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 7/20
Proprietà
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 8/20
Proprietà
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
Se una retta non verticale interseca la curva E in due punti
P e Q (eventualmente coincidenti, ovvero con retta
tangente in P ≡ Q), interseca E anche in terzo punto R
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 8/20
Proprietà
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
•
Se una retta non verticale interseca la curva E in due punti
P e Q (eventualmente coincidenti, ovvero con retta
tangente in P ≡ Q), interseca E anche in terzo punto R
nel caso in cui la retta sia verticale, si assume che essa
intersechi una terza volta E in un punto punto all’infinito,
indicato con 0
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 8/20
Proprietà
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
•
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
•
Applicazioni delle curve
Se una retta non verticale interseca la curva E in due punti
P e Q (eventualmente coincidenti, ovvero con retta
tangente in P ≡ Q), interseca E anche in terzo punto R
nel caso in cui la retta sia verticale, si assume che essa
intersechi una terza volta E in un punto punto all’infinito,
indicato con 0
Dato un punto P (x, y) ∈ E si definisce −P ≡ (x, −y)
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 8/20
Proprietà
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
•
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
•
Se una retta non verticale interseca la curva E in due punti
P e Q (eventualmente coincidenti, ovvero con retta
tangente in P ≡ Q), interseca E anche in terzo punto R
nel caso in cui la retta sia verticale, si assume che essa
intersechi una terza volta E in un punto punto all’infinito,
indicato con 0
Dato un punto P (x, y) ∈ E si definisce −P ≡ (x, −y)
Dati due punti P e Q si definisce P + Q = −R:
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 8/20
Le curve ellittiche come gruppi abeliani (I)
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 9/20
Le curve ellittiche come gruppi abeliani (I)
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
Con l’introduzione del punto 0, i punti di una generica curva
ellittica E costituiscono un gruppo abeliano rispetto
all’operazione di somma come precedentemente definita,
avente 0 stesso come elemento neutro
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 9/20
Le curve ellittiche come gruppi abeliani (II)
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 10/20
Le curve ellittiche come gruppi abeliani (II)
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
Analiticamente le coordinate (xR , yR ) si possono calcolare
a partire da (xP , yP ) e (xQ , yQ ) come:
2
yQ − yP
xR =
− (xP + xQ )
xQ − xP
yQ − yP
(xP − xR )
yR = −yP +
xQ − xP
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 10/20
Le curve ellittiche come gruppi abeliani (II)
•
Analiticamente le coordinate (xR , yR ) si possono calcolare
a partire da (xP , yP ) e (xQ , yQ ) come:
2
yQ − yP
xR =
− (xP + xQ )
xQ − xP
yQ − yP
(xP − xR )
yR = −yP +
xQ − xP
•
Nel caso di P ≡ Q le equazioni precedenti diventano:
2
2
3xP + a
xR =
− (xP + xQ )
2yP
2
3xP + a
yR = −yP +
(xP − xR )
2yP
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 10/20
Curve ellittiche su Fq
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 11/20
Curve ellittiche su Fq
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
Il numero di punti N di una curva ellittica E(Fq ) definita su
un campo finito è evidentemente finito e limitato
superiormente da 2q + 1 (il punto all’infinito 0 e due
potenziali radici per ciascun valore assunto dal polinomio
x3 + ax + b al variare di x in [0 . . . q − 1])
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 11/20
Curve ellittiche su Fq
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
•
Il numero di punti N di una curva ellittica E(Fq ) definita su
un campo finito è evidentemente finito e limitato
superiormente da 2q + 1 (il punto all’infinito 0 e due
potenziali radici per ciascun valore assunto dal polinomio
x3 + ax + b al variare di x in [0 . . . q − 1])
Una miglior stima di N è data dal teorema di Hasse, in
base al quale
√
|N − (q + 1)| ≤ 2 q
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 11/20
Curve ellittiche su Fq
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
• Definizione
• Proprietà
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (I)
• Le curve ellittiche come
gruppi abeliani (II)
• Curve ellittiche su Fq
•
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Il numero di punti N di una curva ellittica E(Fq ) definita su
un campo finito è evidentemente finito e limitato
superiormente da 2q + 1 (il punto all’infinito 0 e due
potenziali radici per ciascun valore assunto dal polinomio
x3 + ax + b al variare di x in [0 . . . q − 1])
Una miglior stima di N è data dal teorema di Hasse, in
base al quale
√
|N − (q + 1)| ≤ 2 q
Riferimenti bibliografici
•
Riccardo Brigo
Il valore di N per una curva E(Fq ) è teoricamente
calcolabile in tempo deterministicamente polinomiale in q
(algoritmo di Schoof); la complessità di implementazione di
tale algoritmo, d’altra parte, fa sì che si preferisca,
ogniqualvolta possibile, evitare di doverne conoscerne
l’esatto valore
Crittografia a curve ellittiche - 11/20
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 12/20
Analogie tra curve ellittiche e campi finiti
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
e campi finiti
• Algoritmo di Diffie-Helman
• Algoritmo di
Massey-Omura
• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
• Svantaggi
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 13/20
Analogie tra curve ellittiche e campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
L’operazione di somma tra punti di E(K) presenta notevoli
analogie con l’operazione di prodotto tra elementi di un
campo finito Fq∗ (anch’essi, come notato, costituenti un
gruppo abeliano) tradizionalmente utilizzata in ambito
crittografico
e campi finiti
• Algoritmo di Diffie-Helman
• Algoritmo di
Massey-Omura
• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
• Svantaggi
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 13/20
Analogie tra curve ellittiche e campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
e campi finiti
• Algoritmo di Diffie-Helman
• Algoritmo di
Massey-Omura
• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
• Svantaggi
•
L’operazione di somma tra punti di E(K) presenta notevoli
analogie con l’operazione di prodotto tra elementi di un
campo finito Fq∗ (anch’essi, come notato, costituenti un
gruppo abeliano) tradizionalmente utilizzata in ambito
crittografico
In particolare all’operazione di elevamento a potenza
corrisponde, per le curve ellittiche, l’operazione di
moltiplicazione di un punto per un intero k
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 13/20
Analogie tra curve ellittiche e campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
e campi finiti
• Algoritmo di Diffie-Helman
• Algoritmo di
•
Massey-Omura
• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
• Svantaggi
•
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
L’operazione di somma tra punti di E(K) presenta notevoli
analogie con l’operazione di prodotto tra elementi di un
campo finito Fq∗ (anch’essi, come notato, costituenti un
gruppo abeliano) tradizionalmente utilizzata in ambito
crittografico
In particolare all’operazione di elevamento a potenza
corrisponde, per le curve ellittiche, l’operazione di
moltiplicazione di un punto per un intero k
Entrambe le operazioni godono della proprietà di essere
decomponibili in una sequenza di operazioni elementari
(elevamento al quadrato e prodotto per l’esponenziazione,
raddoppio e somma di punti per le curve ellittiche) di
complessità logaritmica rispetto a k
Crittografia a curve ellittiche - 13/20
Analogie tra curve ellittiche e campi finiti
•
Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
e campi finiti
• Algoritmo di Diffie-Helman
• Algoritmo di
•
Massey-Omura
• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
• Svantaggi
•
Riferimenti bibliografici
•
Riccardo Brigo
L’operazione di somma tra punti di E(K) presenta notevoli
analogie con l’operazione di prodotto tra elementi di un
campo finito Fq∗ (anch’essi, come notato, costituenti un
gruppo abeliano) tradizionalmente utilizzata in ambito
crittografico
In particolare all’operazione di elevamento a potenza
corrisponde, per le curve ellittiche, l’operazione di
moltiplicazione di un punto per un intero k
Entrambe le operazioni godono della proprietà di essere
decomponibili in una sequenza di operazioni elementari
(elevamento al quadrato e prodotto per l’esponenziazione,
raddoppio e somma di punti per le curve ellittiche) di
complessità logaritmica rispetto a k
Così come l’operazione inversa dell’esponenziazione, nota
come logaritmo discreto, anche l’inverso del multiplo di un
punto di E(K) (ovvero, dati due punti P e Q trovare, se
esiste, un intero k tale che P = kQ) appare essere di
complessità intrattabile
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Richiami di teoria dei numeri
Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
• Analogie tra curve ellittiche
e campi finiti
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• Algoritmo di
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• Algoritmo di ElGamal
• Vantaggi
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Riferimenti bibliografici
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•
A e B desiderano concordare una chiave di sessione K
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•
A e B desiderano concordare una chiave di sessione K
Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita ed un punto P ∈ E (che si assumono
pubblicamente noti)
e campi finiti
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•
A e B desiderano concordare una chiave di sessione K
Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita ed un punto P ∈ E (che si assumono
pubblicamente noti)
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
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Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita ed un punto P ∈ E (che si assumono
pubblicamente noti)
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
A, noti bP e a, calcola K = a(bP ); B, analogamente,
calcola K = b(aP )
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A e B desiderano concordare una chiave di sessione K
Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita ed un punto P ∈ E (che si assumono
pubblicamente noti)
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
A, noti bP e a, calcola K = a(bP ); B, analogamente,
calcola K = b(aP )
Un eventuale attaccante ha a disposizione i punti P , aP e
bP , e non è in grado di calcolare abP a meno di non
riuscire a risolvere il problema del logaritmo inverso su
curve ellittiche
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Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
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Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
• Algoritmo di Diffie-Helman
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Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
A calcola e trasmette il punto eA Pm
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•
Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
A calcola e trasmette il punto eA Pm
B calcola e ritrasmette il punto eB (eA Pm )
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definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
A calcola e trasmette il punto eA Pm
B calcola e ritrasmette il punto eB (eA Pm )
A calcola e trasmette il punto dA (eB eA Pm ) ≡ eB Pm
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definita di cui si conosca l’esatta cardinalità N ed un
“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
A calcola e trasmette il punto eA Pm
B calcola e ritrasmette il punto eB (eA Pm )
A calcola e trasmette il punto dA (eB eA Pm ) ≡ eB Pm
B calcola dB (eB Pm ) ≡ Pm ottenendo il messaggio originale
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“messaggio” Pm ∈ E
A e B generano due coppie di valori, rispettivamente
(eA , dA ) e (eB , dB ), tali che m.c.d.(e, N ) = 1 e d ≡ e−1 mod N
A calcola e trasmette il punto eA Pm
B calcola e ritrasmette il punto eB (eA Pm )
A calcola e trasmette il punto dA (eB eA Pm ) ≡ eB Pm
B calcola dB (eB Pm ) ≡ Pm ottenendo il messaggio originale
L’algoritmo sfrutta il fatto che, qualsiasi sia l’ordine di un
punto P ∈ E, N P ≡ 0; la condizione sulla scelta di e e d
può essere riscritta come ed = kN + 1 per un opportuno k
intero, da cui edP = (kN + 1)P = k(N P ) + P = k0 + P = P
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definita, un punto P ∈ E ed un messaggio Pm ∈ E
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
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definita, un punto P ∈ E ed un messaggio Pm ∈ E
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
A sceglie un ulteriore intero k e trasmette la coppia di valori
(kP, Pm + k(bP ))
• Algoritmo di ElGamal
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•
Siano dati un campo Fq , una curva ellittica E su di esso
definita, un punto P ∈ E ed un messaggio Pm ∈ E
A e B generano due interi, rispettivamente a e b, che
mantengono segreti, e comunicano pubblicamente i due
punti aP e bP
A sceglie un ulteriore intero k e trasmette la coppia di valori
(kP, Pm + k(bP ))
B calcola Pm + k(bP ) − b(kP ) = Pm ottenendo il
messaggio originale
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Vantaggi
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Curve ellittiche
Applicazioni delle curve
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• Analogie tra curve ellittiche
A parità di ordine di grandezza di q il problema del
logaritmo discreto su curva ellittica E(Fq ) appare di più
complessa trattazione rispetto al corrispondente problema
in Fq∗
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Vantaggi
•
A parità di ordine di grandezza di q il problema del
logaritmo discreto su curva ellittica E(Fq ) appare di più
complessa trattazione rispetto al corrispondente problema
in Fq∗
•
Per ogni q esistono molteplici curve ellittiche costruibili su
Fq , da cui ricavare altrettanti gruppi distinti, a fronte
dell’unica possibilità offerta da Fq∗
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Curve ellittiche
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•
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Curve ellittiche
Gli algoritmi crittografici visti richiedono la scelta (in linea di
principio arbitraria) di una curva ellittica e, talvolta, di un
suo punto: esistono algoritmi probabilistici che consentono
di individuare in pochi tentativi una coppia curva/punto
Applicazioni delle curve
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Gli algoritmi crittografici visti richiedono la scelta (in linea di
principio arbitraria) di una curva ellittica e, talvolta, di un
suo punto: esistono algoritmi probabilistici che consentono
di individuare in pochi tentativi una coppia curva/punto
Permane il problema della conoscenza dell’esatto numero
N di elementi della curva
Massey-Omura
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•
Gli algoritmi crittografici visti richiedono la scelta (in linea di
principio arbitraria) di una curva ellittica e, talvolta, di un
suo punto: esistono algoritmi probabilistici che consentono
di individuare in pochi tentativi una coppia curva/punto
Permane il problema della conoscenza dell’esatto numero
N di elementi della curva
Anche quando l’algoritmo crittografico non richiede
esplicitamente la conoscenza di N , una valutazione della
robustezza crittografica della curva scelta dipende
fortemente dalla fattorizzazione di N (e quindi dalla
conoscenza di N stesso): se N è prodotto di fattori primi
piccoli, il metodo di Pohlig-Silver-Hellman per la risoluzione
del problema del logaritmo discreto può essere utilmente
utilizzato, essendo applicabile a qualsiasi gruppo abeliano
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•
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Gli algoritmi crittografici visti richiedono la scelta (in linea di
principio arbitraria) di una curva ellittica e, talvolta, di un
suo punto: esistono algoritmi probabilistici che consentono
di individuare in pochi tentativi una coppia curva/punto
Permane il problema della conoscenza dell’esatto numero
N di elementi della curva
Anche quando l’algoritmo crittografico non richiede
esplicitamente la conoscenza di N , una valutazione della
robustezza crittografica della curva scelta dipende
fortemente dalla fattorizzazione di N (e quindi dalla
conoscenza di N stesso): se N è prodotto di fattori primi
piccoli, il metodo di Pohlig-Silver-Hellman per la risoluzione
del problema del logaritmo discreto può essere utilmente
utilizzato, essendo applicabile a qualsiasi gruppo abeliano
Il punto dovrebbe essere quanto più vicino possibile ad un
generatore per E: la certezza si ha solo per N primo
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Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 19/20
Riferimenti bibliografici
Richiami di teoria dei numeri
[1] Neal Koblitz, “A Course in Number Theory and
Cryptography”, capitolo VI
Curve ellittiche
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
Applicazioni delle curve
ellittiche in crittografia
[3] http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html
Riferimenti bibliografici
Riccardo Brigo
Crittografia a curve ellittiche - 20/20
