ESERCITAZIONE 12
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Metodi di analisi statistica e teorie probabilistiche relative alla scarica degli isolanti
Richiami di analisi statistica
Prove sperimentali: di prima e di seconda specie
Effetto dimensionale
Calcolo dei parametri della distribuzione di Weibull
Isolanti e prove di scarica totale
METODI DI ANALISI STATISTICA E TEORIE PROBABILISTICHE RELATIVE ALLA
SCARICA DEGLI ISOLANTI
La tensione di scarica degli isolanti reali deve essere considerata una variabile aleatoria in cui la
probabilità che si verifichi una scarica è legata a molti fattori interni al materiale isolante (es. impurità
e umidità) ed esterni od ambientali (es. fenomeno dell'irraggiamento nei gas). Non ha quindi senso
definire un valore univoco di tensione di scarica (e quindi di rigidità dielettrica) mentre è possibile
definire un intervallo di valori di tensione compresi tra un limite inferiore ed uno superiore: Vinf e
Vsup all'interno del quale avviene la scarica (Vinf rappresenta il valore di tensione al di sotto del
quale non avviene mai la scarica, mentre Vsup indica il valore di tensione al di sopra del quale
avviene sempre la scarica). E' intuitivo osservare che si desidera un isolante caratterizzato, oltre che
da valori elevati di tensione di scarica, anche da una bassa dispersione di tali valori, ossia da una
piccola differenza tra Vinf e Vsup. Queste informazioni qualitative e quantitative vengono tradotte in
modo analitico mediante l'analisi statistica di cui verrà dato nel seguito un breve richiamo.
RICHIAMI DI ANALISI STATISTICA
Funzione di probabilità
La funzione di probabilità è una funzione matematica che fornisce la probabilità (numero compreso
tra 0 e 1) che un evento (variabile aleatoria) si verifichi. La funzione di probabilità vale 0 quando la
probabilità che l'evento si verifichi è nulla, mentre vale 1 quando la probabilità che l'evento si verifichi
è certa. Ad esempio, facendo riferimento al problema della scarica degli isolanti, si assume come
variabile aleatoria la tensione di scarica, mentre l'evento è rappresentato dalla scarica. In questo caso,
osservando la fig. 12.1, dato il valore V1, tra i possibili valori che può assumere la tensione di scarica
relativa ad un certo materiale, la quantità F(V1), che sarà un numero compreso tra 0 ed 1,
rappresenta la probabilità che la tensione di scarica sia inferiore od uguale al valore
1. V
120
F(V)
1
F( V1)
0
V1
V
Figura 12.1 Funzione di probabilità
Densità di probabilità
Derivando la funzione di probabilità si ottiene la densità di probabilità:
f ( x) =
dF (x)
dx
nel nostro caso la variabile aleatoriax coincide con la tensione di scaricaV.
Oppure, disponendo della funzione densità di probabilità è possibile calcolare la probabilità
attraverso la sua integrazione. Ad esempio, l'integrale compreso tra i limiti V1 e V2 rappresenta la
probabilità che la scarica avvenga per valori di tensione compresi tra
V1 e V2:
∫V12 f (V )dV = F (V2 )− F (V1 )
V
La probabilità che la scarica avvenga per tensioni inferiori ad una data tensione V1 è quindi data
dall'integrale:
F (V1 ) = ∫− 1∞ f (V )dV
V
Le funzioni di probabilità sono caratterizzate da alcune grandezze caratteristiche tra cui le più
importanti sono:
• valor medio M definito come:
M (x ) = ∫− ∞ x f ( x)dx
+∞
•
mediana M' definita come:
F ( M ') = 0,5
ossia il valore a cui corrisponde la probabilità del 50 %.
•
varianza (o momento del secondo ordine) definita come:
2
( x) = ∫−+∞∞ (x − M )2 f (x )dx
121
la cui radice quadrata rappresenta loscarto quadratico medio.
La varianza fornisce indicazioni utili sulla dispersione della variabile aleatoria.
Vediamo ora alcune tra le più comuni ed impiegate densità di probabilità.
Distribuzione di Gauss o normale
E' rappresentata dalla funzione:
f (x ) =
1
e
2
−
( x − M )2
2
2
dove M è il valor medio, mentre 2 è la varianza. Occorre ricordare che la distribuzione di Gauss è
simmetrica ed unimodale, ossia:M=M'=M".
Dalla distribuzione normale si può ottenere la
distribuzione normale ridotta:
f (u) =
1
2
e
−
u2
2
attraverso un cambio di variabili mediante la trasformazione:
u=
x − M (x )
( x)
si ottiene quindi una distribuzione caratterizzata da un valor medio nullo e da una varianza unitaria.
Distribuzione di Weibull
E' rappresentata dalla funzione di probabilità:
F (x) = 1 − e [
− h (x − x0 )
b
]
si osservi che per x x0 la funzione probabilità risulta nulla, per questo motivo la funzione di Weibull
è più idonea rispetto alla funzione normale a rappresentare i fenomeni di scarica nei dielettrici, nei
quali la probabilità di scarica è nulla per tensioni inferiori ad un certo valore. Infatti, mentre la
funzione normale ammette una probabilità di scarica anche a tensioni nulle, la funzione di Weibull si
annulla perx x0 dove x0 è in generale maggiore di zero.
Inoltre, il coefficiente b contiene le informazioni riguardanti il comportamento del materiale isolante
al variare delle dimensioni dell'isolamento e come si vedrà in seguito la pendenza della curva di
Weibull dipende dab ed al crescere dib aumenta la pendenza e diminuisce la dispersione.
PROVE SPERIMENTALI
Dopo aver descritto in maniera sommaria le due distribuzioni normale e di Weibull e le loro
proprietà, vediamo come vengono impiegate nella caratterizzazione delle proprietà dei materiali
isolanti.
In particolare, cominciamo con l'analisi delle prove di prima e di seconda specie.
122
Prove di prima specie
Nelle prove di prima specie si sottopone ciascun provino di un lotto di N provini ad una tensione
(continua o alternata) di valore gradualmente crescente fino alla scarica. Con N prove si avranno così
N campioni di tensione di scarica. Indichiamo con Vmin e con Vmax il valore minimo e massimo della
tensione di scarica che si sono ottenute dalle N prove. Dividiamo l'intervallo Vmax-Vmin in K
intervalli uguali. All'interno di ciascun intervallo avremo n campioni di tensione di scarica (ad
esempio ni per l'i-esimo intervallo) e quindi a ciascun intervallo assoceremo una frequenza di scarica:
n/N. Riportando la frequenza di scarica in funzione della tensione di scarica si ottiene l'istogramma
rappresentato in figura 12.2 in cui i parametri della distribuzione sono rappresentati dal valor medio
M e dalla varianza che, su di un numero finito di campioni N, sono approssimati con la media
aritmetica:
1 N
∑Vi
N 1
e con la stima della varianza:
V =
s 2 (V ) =
1 N
2
∑ (Vi − V )
N 1
n
N
s
Vmin
V
Vmax
V
Figura 12.2 - Istogramma delle tensioni di scarica
Prove di seconda specie
Nelle prove di seconda specie il provino viene sottoposto ad un valore fissato di tensione (ad
esempio una tensione ad impulso di cui non è possibile variare con continuità il valore di cresta) e si
osserva che avviene o non avviene la scarica. Questa tipologia di prove fornisce perciò una
informazione sul fatto che un certo evento si sia verificato oppure no.
Per effettuare la prova si divide l'insieme di provini in K lotti, ciascuno formato da N provini e
caratterizzato da una tensione di scarica V. Per ogni lotto avremo che un suo sottoinsieme n di
provini presenterà il fenomeno della scarica, mentre la parte restante N-n resisterà alla tensione di
scarica ed il rapporto n/N rappresenta la probabilità di scarica a quella tensione. Sottoponendo tutti i
lotti alla prova di scarica con tensione di scarica crescente da lotto a lotto è possibile pervenire ad
una tabella riassuntiva come quella riportata.
123
Tabella 12.1 - Risultati della prova di scarica alla tensione ad impulso.
Numero lotto
1
2
..
K
Tensione di cresta N° provini per cui si è Probabilità di
dell'impulso
verificata la scarica
scarica
V1
n1
F(V1) n1/N
V2
n2
F(V2) n2/N
..
..
..
VK
nk
F(Vk) nk/N
E' importante sottolineare come le prove di seconda specie forniscano direttamente una stima la
funzione di probabilità mentre dalle prove di prima specie si ricava la densità di probabilità. Anche
dalle prove di prima specie è possibile stimare la funzione di probabilità F(V*) come rapporto fra il
numero di provini n* che hanno scaricato ad una tensione minore o uguale a V* ed il numero totale
di proviniN.
Occorre ora caratterizzare la distribuzione ottenuta con il valore medio e la varianza. Supponiamo
che alla funzione di probabilità stimata corrisponda una distribuzione di tipo gaussiano. Sulla base
dell'ipotesi fatta, considerando la distribuzione gaussiana normalizzata, esiste una relazione tra
variabile aleatoria, varianza e valor medio del tipo:
V = (V ) ⋅ u + M (V )
che rappresenta l'equazione di una retta di cui occorre calcolare i coefficienti. I valori di tali
coefficienti può essere ricavato mediante il metodo della regressione lineare. Per applicare questo
metodo occorre disporre di una serie di coppie di valori V,u. Vediamo quindi come è possibile
disporre di questa serie di valori. Dalle prove effettuate si dispone della serie di valori di tensione a
cui sono sottoposti i lotti di tutti i provini. A questo vettore di tensioni è associato un vettore di
valori della stima della funzione di probabilità. Quindi dall'ipotesi di distribuzione gaussiana
normalizzata è possibile ricavare il valore della variabile aleatoria normalizzata u corrispondente a
ciascun valore della funzione di probabilità F; esistono già tabelle che forniscono direttamente il
valore di u in funzione diF.
A questo punto si dispone di un vettore di valori della variabile aleatoria (tensione di scarica)
V1 , V2 , ... , VK a cui corrisponde un vettore di valori della variabile aleatoria normalizzata
{
}
{u , u , ... , u }.
1
2
K
I coefficienti della retta sono quindi dati dalle espressioni:
∑ (ui − u )(Vi − V )
K
=
i =1
∑ (ui − u )
K
i =1
M = V − σ ⋅u
in cui u e V rappresentano i valori medi dati dalle espressioni:
u=
1 K
∑ ui
K i =1
124
V =
1 K
∑Vi
K i =1
Definizione probabilistica della rigidità dielettrica dei solidi
Riassumendo, dalle prove di prima e seconda specie è possibile caratterizzare il materiale isolante
mediante una rigidità dielettrica media ed una dispersione dei valori rispetto ad essa. In particolare
dalle prove di prima specie si assume come rigidità dielettrica del campione il valore fornito dalla
media aritmetica mentre la dispersione è calcolata dalla stima della varianza, seguendo il
procedimento illustrato. Nelle prove di seconda specie, invece, si assume per la rigidità dielettrica e
la dispersione dei valori le quantità M (corrispondente alla probabilità di scarica del 50 %) e ,
ricavate dalla retta di regressione seguendo il procedimento dato.
EFFETTO DIMENSIONALE
La dipendenza della rigidità dielettrica dalle dimensioni del campione deve essere tenuta in conto in
quanto influenza fortemente il valore della tenuta alla scarica. A causa della non omogeneità del
materiale isolante, l'aumento delle dimensioni del provino si traduce in una maggior probabilità di
scarica ovvero in una riduzione della tenuta dell'isolante.
L'aumento delle dimensioni corrisponde perciò ad una riduzione del valor medio della rigidità
dielettrica e ad una maggior dispersione rispetto al valor medio (varianza).
La dipendenza dalle dimensioni del campione sono quindi tenute in conto in maniera implicita nella
distribuzione di Gauss mentre vengono tenute in conto direttamente, attraverso il coefficiente b, nella
distribuzione di Weibull.
Senza entrare nella teoria, attraverso la distribuzione di Weibull, si può ottenere una relazione che
lega la rigidità dielettrica di due provini di cui uno ha le dimensioni S volte maggiori dell'altro. Se
indichiamo con Kr1 la rigidità dielettrica del primo provino e con Kr2 la rigidità dielettrica del
secondo provino, avente le dimensioni S volte maggiori del primo, la relazione che lega i due valori
di rigidità dielettrica è data dalla formula:
1
Kr1
=N b
Kr2
dove b è il coefficiente della distribuzione di Weibull. Si osserva perciò che al crescere di b la rigidità
dielettrica Kr2 tende al valore Kr1 e quindi l'effetto dimensionale tende ad annullarsi, in altre parole il
materiale in esame risulta molto omogeneo.
Calcolo del parametro dimensionale b
Come abbiamo visto il coefficiente b permette di tenere conto in modo esplicito dell'influenza delle
dimensioni del provino sulla rigidità dielettrica. Al crescere di b l'effetto dimensionale diminuisce ed
un elevato valore dib corrisponde ad una alta uniformità del materiale.
Passiamo quindi alla determinazione del coefficiente b attraverso il tracciamento, sulla carta di
Weibull, della distribuzione dei gradienti di scarica.
La probabilità di scarica, secondo la distribuzione si Weibull, è data dalla formula:
F (V ) = 1 − e [
− h (V −V0 )
b
]
125
in cui V0 rappresenta il valore di tensione al di sotto del quale non avviene la scarica. Fissate le
dimensioni del provino è possibile scrivere direttamente la funzione di probabilità con il gradiente di
potenziale come variabile aleatoria.
F (G ) = 1 − e [
− A (G − G0 )
b
]
in cui A contiene le informazioni sulle dimensioni geometriche del provino. Quindi trascurando G0,
che in genere è piccolo, si può riscrivere la precedente formula nella forma:
F (G ) = 1 − e − AG
Da cui attraverso alcuni semplici passaggi:
b
1
b
ln
= AG
1− F (G)
Ponendo:
G
g=
G0
in cui G0 è un opportuno valore di riferimento, ed applicando ancora il logaritmo alla formula, si
ottiene:
1
ln ln
= ln(AG0 b )+ b ln g
(
)
1 − F G
che nel piano(x,y) in cui:
1
y = ln ln
1 − F (G)
m = ln(AG0b )
x = ln g
rappresenta un retta di equazione:
y = m + bx
nella quale la costanteb rappresenta l'inclinazione della retta.
Disponendo di una serie di coppie di valori sperimentali (x,y) è possibile, con il metodo della
regressione lineare, interpolare tali valori sulla carta di Weibull con una retta la cui pendenza fornisce
direttamente il coefficienteb.
ISOLANTI, PROVE DI SCARICA TOTALE
In questa esercizio vengono analizzati dati relativi a prove di scarica totale su materiale isolante
(EPR) in connfigurazione elettrodica punta piano; si valuteranno tali dati con metodi statistici.
126
E' data la seguente configurazione elettrodica: elettrodo a punta con raggio di curvatura noto posto
ad una distanza d da un elettrodo piano. Vengono eseguite 20 prove di scarica totale in tensione
alternata su campioni in gomma etilen propilenica, realizzati da due diversi laboratori e si vogliono
confrontare i risultati.
Si calcolino con i valori di scarica le medie e le dispersioni dei due insiemi di dati e si utilizzino per
fittarli la distribuzione normale e di Weibull.
Dati:
distanza tra gli elettrodid=4 mm
raggio di curvaturarago=5 mm
velocità di salita della tensionev = 500 V/s
Risoluzione:
In tali condizioni il campo elettrico dipende dalla distanza dal piano ed è massimo in prossimità della
punta; con tensione che cresce in valore efficace a rampa si arriverà a superare localmente la rigidità
del materiale, dando luogo a scariche parziali e ad una arborescenza elettrica, in funzione della
tensione applicata e delle caratteristiche del materiale si giunge alla scarica totale (prove di breve
durata). Il valore di scarica, rilevato su un campione sufficientemente grande di provini realizzati e
testati nelle medesime condizioni, puo’ essere utilizzato per caratterizzare il materiale (in quelle
condizioni).
Valutiamo quindi i valori rilevati trattandoli come due insiemi differenti, decideremo se sono
sovrapponibili.
Dati di scarica:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
29
35.5
29
30.5
35
30
29
28.5
30.5
30
B
31.5
31.5
31.5
32
32
32.5
33.5
32.5
33.5
32
Iniziamo con il disporre i dati in ordine crescente
n
1
2
3
4
5
6
7
8
A
28.5
29
29
29
30
30
30.5
30.5
B
31.5
31.5
31.5
32
32
32
32.5
32.5
127
9
10
35
35.5
33.5
33.5
ed a visualizzarli su un diagramma a barre:
10
9
provini
8
7
B
6
A
5
4
3
2
1
0
10
20
30
tensione di scarica [kV]
40
Figura 12.3 - Diagramma a barre relativo ai due lotti
da una prima analisi dei dati, supportata dalla visualizzazione, si possono evidenziare alcune
differenze tra i due lotti:
i valori del lottoB sono meno dispersi di quelli del lottoA
in media il valore dei provini del lotto
B è maggiore di quello del lottoA
Per valutare in modo quantitativo e non solo qualitativo queste differenze utilizziamo le formule del
valor medio e della deviazione standart per fittare i dati dei due insiemi con una distribuzione
normale:
e per un insieme discreto di valori risulta:
n
n
i =1
i =1
M ( x) = ∑ xi ⋅pi = ∑ xi ⋅
valor medio
Ni
Nt
( x i − M )2
= ∑
Nt − 1
i =1
n
scarto quadratico medio o deviazione standard
Dati insieme A:
Ni = frequenza di un dato
Nt = numero totale dei dati
M = (28.5 * 1 + 29 * 3 + 30 * 2 + 30.5 * 2 + 35 * 1 + 35.5 * 1)/10 = 30.7 kV
( x i − M )2
= ∑
=
Nt − 1
i=1
n
( 28.5 − 30.7)2 ⋅ 1 + ( 29 − 30.7)2 ⋅ 3 + ⋅ ⋅⋅ + (35.5 − 30.7)2 ⋅ 1
=
9
= 2.496 kV
128
Dati insieme B:
Ni = frequenza di un dato
Nt = numero totale dei dati
M = (31.5 * 3 + 32 * 3 + 32.5 * 2 + 33.5 * 2)/10 = 32.25 kV
( x i − M )2
= ∑
=
Nt − 1
i=1
(315
. − 32.25)2 ⋅ 3 + (32 − 32.25)2 ⋅ 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (335
. − 32.25)2 ⋅ 2
=
9
n
= 0.754 kV
Plottiamo i dati in un istogramma frequenza di ripetizione verso tensione di scarica (fig. 12.4)
insieme ai valori medi calcolati, che permette di visualizzare come i due insiemi siano sovrapposti a
causa della elevata dispersione del lottoA.
3.5
A
3
frequenza di ripetizione
B
Ma
2.5
Mb
2
1.5
1
0.5
0
27
29
31
33
35
37
tensione di scarica [kV]
Figura 12.4 - Istogramma di frequenza per i due insiemi di dati
da questo istogramma è possibile ricavare un istogramma densità di probabilità verso tensione di
scarica dividendo la frequenza di ripetizione per
Ni il numero totale di proviniNt
Xi = Ni / Nt probabilità di occorrenza della scarica per un insieme discreto
In figura 12.5 vengono confrontate le curve di densità di probabilità per i due lotti; il lotto A presenta
due massimi e ha una distribuzione molto diversa da quella del lotto B che sembra maggiormente una
normale
129
Figura 12.5 - densità di probabilità per i due insiemi di dati
A
B
-----------------------------------------------------------Count
10
10
Average
30.7
32.25
Standard deviation 2.49666
0.754615
Minimum
28.5
31.5
Maximum
35.5
33.5
-----------------------------------------------------------possiamo visualizzare la distribuzione normale che fitta i dati rappresentata in carta normale, per il
lotto A (fig. 12.6) e per il lotto B (fig. 12.7).
Figura 12.6
Figura 12.7
dalla figura 12.6 viene evidenziato come gli ultimi due valori di scarica siano evidentemente ben fuori
dalla linea e quindi valori estranei al lotto; se li eliminiamo e confrontiamo i due lotti (fig. 12.8), B e
A ridotto, si nota una diminuzione della dispersione, che diviene comparabile, anche se i due insiemi
risultano ora distinti.
130
Figura 12.8
Curve di densità di probabilità diA ridotto e B.
A ridotto
B
-----------------------------------------------------------Count
8
10
Average
29.5625
32.25
Standard deviation 0.776324
0.754615
Minimum
28.5
31.5
Maximum
30.5
33.5
-----------------------------------------------------------Una informazione grafica equivalente è ricavabile dalla figura, che visualizza (fig. 12.9) la
sovrapposizione degli insiemi e l’elevata dispersione dei dati e (fig. 12.10) la riduzione della
dispersione, che diviene comparabile a quella del lotto B, eliminando i due valori errati.
Figura 12.9 - A e B
Figura 12.10 - A ridotto e B
I due insiemi di dati analizzati (A ridotto e B) sono quindi caratterizzati da una dispersione
comparabile e dovuta alla preparazione dei campioni e alla procedura di prova, ma risultano ora ben
distinti e quindi non attribuibili al medesimo materiale.
131
Se si vogliono confrontare lotti di provini caratterizzati da valori medi molto differenti puo’ essere
utile utilizzare invece della dispersione un coefficiente adimensionale
k, tale che:
k=s/M
kA = sA / MA = 2.496 kV / 30.7 kV = 0.081
kB = sB / MA = 0.754 kV / 32.25 kV = 0.023
Vediamo ora la rappresentazione dei medesimi dati in carta di Weibull per ricavare la tensione
caratteristica di scarica dei due lotti. La distribuzione di Weibull risulta in genere descrivere meglio i
dati relativi a prove di rigidità dielettrica.
B
n
Y = n/(Nt+1)
Y'=ln(1/(1-Y))
Y''=Y'*k
33.5
33.5
32.5
32.5
32
32
32
31.5
31.5
31.5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0.909091
0.818182
0.727273
0.636364
0.545455
0.454545
0.363636
0.272727
0.181818
0.090909
2.397895
1.704748
1.299283
1.011601
0.788457
0.606136
0.451985
0.318454
0.200671
0.09531
90.90909
64.63047
49.25846
38.35185
29.89202
22.97984
17.13568
12.07323
7.607835
3.613403
passi di calcolo:
1) si determinaY, probabilità di scarica del campione
2) si tracciano X (dati, colonna B) eY in carta di Weibull
la carta di Weibull viene realizzata trasformando l’asse delle ascisse come ln(X) e quello delle
ordinate come lnln(1/(1-Y)); è inoltre necessario plottare Y’’ per leggere i valori di probabilità scalati
tra 0 e 100
132
Weibull B
y = 35.386x - 1107.6
Percentuale
100
10
1
10
100
Tensione
Figura 12.11 Carta di Weibull per il lotto B
il valore della tensione caratteristica di scarica è l’intercetta tra la retta di Weibull che fitta i dati e il
valore percentuale 63.2 % (per questo valore di probabilità il valore del paramentro di scala è
indipendente da quello del parametro di forma)
Il parametro di scala è un parametro di posizione ed ha un significato analogo a quello del valor
medio per la distribuzione normale.
Y = 63.2 %
Y = 35.386 X - 1107.6
=>
VcarB = X = (63.2 + 1107.6)/35.386 = 33 kV
(parametro di scala della distribuzione B)
Nuovamente la rappresentazione dei dati del lotto A evidenzia come due punti siano errati, ovvero si
discostano dalla linea di best-fitting, o come in questo caso la modificano causando un erronea
tensione caratteristica di scarica.
Y = 63.2 %
Y = 10.5 X -288.8
=>
VcarA = X = (63.2 + 288.8)/10.5 = 33.5 kV
(parametro di scala della distribuzione A)
133
Weibull A
y = 10.503x - 288.79
Percentuale
100
10
1
10
100
Tensione
Figura 12.12 Carta di Weibull per il lotto A
La riduzione del numero di dati, escludendo i due errati, permette di individuare il valore
caratteristico per il lotto A ridotto.
Y = 63.2 %
Y = 31.27 X - 981.5 =>
Vcar = X = (63.2 +981.5)/31.27 = 30.5 kV (parametro di scala della distribuzione B)
Weibull A ridotto
y = 31.275x - 891.52
Percentuale
100
10
1
10
100
Tensione
Figura 12.13 Carta di Weibull per il lotto A ridotto
134
Il confronto tra i parametri di scala VcarB e VcarAr evidenzia come le due distribuzioni, che
risultavano inizialmente sovrapposte (A e B), sono invece distinte.
135
