7 Meccanismi di interazione

7 Meccanismi di interazione
Introduzione
Negli ultimi anni le società industrializzate hanno assistito ad un aumento senza precedenti, per numero e varietà, di sorgenti di campi elettrici, magnetici ed elettromagnetici
usati per scopi individuali, industriali e commerciali. Queste sorgenti comprendono televisione, radio, computer, elettrodotti, telefoni cellulari, forni a microonde, radar, ed
apparati per uso industriale, domestico, medico e commerciale. Tutte queste tecnologie
hanno reso la nostra vita più ricca e più facile ma, nello stesso tempo, hanno creato
un aumento dell’esposizione delle persone ai campi elettromagnetici nell’intervallo di
frequenze che va da 0 Hz a 300 GHz (radiazione non ionizzante). Di conseguenza, le
problematiche associate all’esposizione delle persone ai campi elettromagnetici costituiscono un tema ampiamente dibattuto dall’opinione pubblica e dal mondo scientiﬁco a
causa dell’impatto sulla salute individuale e collettiva.
Lo studio e l’interpretazione dei meccanismi d’interazione del campo elettrico e magnetico con un sistema biologico risulta essere estremamente complesso in quanto i sistemi
viventi sono caratterizzati i) da elevata complessità, ii) diﬀerenti livelli di organizzazione
iii) complesse proprietà dielettriche. Infatti, l’interazione può essere studiata a livello
molecolare, cellulare, di organo e intero corpo, ed inoltre l’eﬀetto biologico è sia una
conseguenza diretta dell’azione del campo sia inﬂuenzato dalla capacità posseduta dal
sistema vivente nel compensare gli eﬀetti indotti da inﬂuenze esterne.
In generale, quando si considera l’interazione del campo elettrico, magnetico e elettromagnetico con i sistemi biologici è necessario tener conto degli inevitabili fenomeni
di riﬂessione, rifrazione e diﬀrazione causati dalle diﬀerenze esistenti tra la costante dielettrica e la conducibilità dei diversi tessuti biologici e, in particolare, tra le proprietà
dielettriche dell’aria e del tessuto biologico. Più precisamente, è necessario considerare
che il campo elettrico e magnetico incidenti inducono dei campi elettrici e magnetici
interni al tessuto biologico che a loro volta determinano l’interazione dell’energia elettromagnetica con il sistema biologico stesso. Infatti, a causa del valore non nullo della
conducibilità elettrica, l’instaurarsi di un campo elettrico all’interno dell’organismo biologico produce, a livello macroscopico, la circolazione di correnti elettriche. Tali correnti,
rappresentano la causa primaria degli eﬀetti biologici in quanto la produzione di calore ad esse associata (in virtù del fatto che un corpo biologico può essere assimilato a
un dielettrico con perdite) induce generalmente eﬀetti a breve termine che cessano di
esistere non appena la sorgente di campo viene meno, salvo danni permanenti dovuti a
esposizioni molto prolungate e ad elevata intensità. Di conseguenza, al ﬁne di eﬀettuare
uno studio quantitativo delle risposte biologiche e di valutare gli eﬀetti sulla salute è
necessario determinare i campi elettrico, magnetico ed elettromagnetico e la densità di
202
203
corrente indotta in questo particolare mezzo. La modalità di interazione dipende dal tipo
di sorgente, la sua distanza dal corpo esposto, la frequenza, l’intensità e la modulazione
del campo da esse emesso, anche se per la caratterizzazione dell’esposizione è necessario
prendere in considerazione quantità ﬁsicamente misurabili e quindi comprendere la relazione tra il campo elettrico e magnetico incidenti e i corrispondenti campi all’interno
del sistema biologico. Inoltre, è importante considerare che in sistemi biologici di dimensione, specie, o struttura diﬀerente a uno stesso campo incidente non corrisponde
necessariamente lo stesso campo interno. Infatti, l’esposizione dell’intero corpo umano
a un campo avente una determinata intensità può dar luogo ad eﬀetti molto diversi da
quelli di una esposizione ad un campo di uguale intensità che però è localizzato su una
particolare zona del corpo. Inﬁne, l’interazione dell’energia elettromagnetica con i sistemi biologici allungati, quelli in cui è grande il rapporto tra altezza e lunghezza, dipende
dalla polarizzazione del campo elettrico.
La circolazione di corrente associata al campo magnetico è invece associata all’induzione di forze elettromotrici generate dalla variazione temporale del ﬂusso concatenato
con un possibile percorso chiuso all’interno del corpo biologico.
Per frequenze ﬁno a circa 10 kHz la direzione del campo esterno è praticamente normale alla superﬁcie che separa il tessuto biologico dall’aria, ed il tessuto stesso è in grado
di schermare molto bene il campo elettrico esterno in quanto i valori di conducibilità
elettrica e permettività sono superiori a quelli dell’aria. Nei confronti del campo magnetico il tessuto biologico non introduce nessuna discontinuità. Infatti, visto che la sua
permeabilità magnetica è uguale a quella dell’aria, il campo magnetico esterno non subisce alcuna rifrazione e riﬂessione e pertanto non è attenuato. Di conseguenza, alle basse
frequenze la densità di corrente indotta è dovuta principalmente al campo magnetico.
All’aumentare della frequenza aumenta anche la potenza dissipata all’interno dei tessuti
biologici con conseguente innalzamento della temperatura corporea. Infatti, la riduzione della costante dielettrica dei tessuti biologici all’aumentare della frequenza consente
una maggiore penetrazione del campo elettrico all’interno dei tessuti stessi e quindi un
aumento della potenza assorbita. Inoltre, all’aumentare della frequenza aumenta anche
la conducibilità e quindi le perdite dielettriche. Inﬁne, per frequenze superiori a qualche decina di megahertz si può veriﬁcare un assorbimento risonante da parte del corpo
umano.
E’ chiaro che lo studio dell’interazione tra campo elettromagnetico e tessuti biologici
richiede la conoscenza dei meccanismi alla base della propagazione dei campi elettromagnetici alle varie frequenze ed è basato sulla disponibilità delle proprietà elettriche e
magnetiche dei vari tessuti che costituiscono gli esseri viventi.
Un approccio di tipo microscopico risulta essere alquanto complesso visto che è indispensabile tener conto dell’enorme varietà della forma delle cellule e della loro distribuzione all’interno del tessuto, cosı̀ come delle diﬀerenti proprietà del mezzo extracellulare.
Allo scopo di superare tali complicazioni, molto spesso la caratterizzazione della distribuzione del campo elettromagnetico all’interno del tessuto biologico è eﬀettuata seguendo
un approccio di tipo macroscopico. In questo contesto, il problema può essere ricondotto
alla soluzione numerica delle equazioni di Maxwell nello spazio fuori e dentro il corpo
biologico, tenendo conto delle condizioni di continuità per i campi alla superﬁcie dello
Ing. Luciano Mescia
7.1. Campi e correnti indotte
204
stesso e che sia noto il valore della costante dielettrica complessa alla frequenza di lavoro.
Nonostante tutto, anche la trattazione macroscopica può presentare notevoli diﬃcoltà
in quanto le caratteristiche elettriche del tessuto biologico possono essere assimilate a
funzioni complesse dello spazio e del tempo che tra l’altro dipendono dall’orientazione
del corpo biologico rispetto al campo elettromagnetico applicato, e dalla frequenza del
campo. Comunque, per la valutazione delle possibili problemetatiche sulla salute legate
all’esposizione ai campi elettromagnetici non è suﬃciente determinare solo i campi interni ma è importante considerare anche i diversi meccanismi responsabili delle interazioni
con le cellule, i tessuti e il corpo umano. Infatti, la loro conoscenza è di particolare
interesse scientiﬁco perchè i) facilita la comprensione del fenomeno, ii) è un valido ausilio per analizare le relazioni esistenti tra diﬀerenti eﬀetti biologici osservati in diﬀerenti
modeli sperimentali, iii) consente il confronto e l’estrapolazione dei risultati sperimentali
da tessuto a tessuto, da tessuto ad animale, da animale ad animale, da animale a uomo
e da uomo a uomo. Comunque, bisogna sempre considerare che a causa della loro complessità e delle limitazioni della conoscenza scientiﬁca, alcuni meccanismi d’interazione
potrebbero essere non ancora noti o identiﬁcati.
7.1 Campi e correnti indotte
I campi elettrici e magnetici di cui si vuole valutare l’eﬀetto sugli organismi viventi rientrano nella gamma delle radiazioni non ionizzanti, cioé aventi una energia insuﬃciente
a rompere legami chimici anche molto deboli. Tale caratteristica ha fatto pensare per
lungo tempo che questo tipo di radiazioni non potessero interagire con i sistemi biologici
e pertanto anche i relativi studi erano molto meno numerosi rispetto a quelli riguardanti
le radiazioni ionizzanti (raggi X, raggi gamma ecc.). Solo recentemente la proliferazione
e l’utilizzo di sorgenti di campi elettrici, magnetici e elettromagnetici a diverse frequenze
e intensità ha avviato in tutto il mondo una vasta attività di ricerca avente lo scopo di
studiare i meccanismi biologici dell’interazione fra tali campi e la salute umana. Infatti,
anche se l’energia del fotone ad essi associata non è in grado di rompere nessun legame chimico, esistono numerosi risultati ed evidenze sperimentali che hanno avvalorato
l’esistenza di meccanismi per mezzo dei quali il campo elettrico e magnetico possono produrre eﬀetti biologici. I campi elettrici possono infatti indurre delle forze sulle molecole e
le strutture cellulari che compongono i sistemi viventi. Generalmente, tali forze possono
alterare l’originale distribuzione di carica e causare il movimento di particelle cariche,
l’orientazione o distorsione di strutture cellulari, l’orientazione di molecole polari. Il
campo elettrico induce anche una diﬀerenza di potenziale ai capi della membrana cellulare, il potenziale di ionizzazione e il rilassamento dei dipoli. Inoltre, il campo elettrico
può dar luogo ad un incremento dell’attrazione tra le cellule come conseguenza dell’effetto pearl-chain. Anche il campo magnetico potrebbe inﬂuenzare la struttura cellulare
tramite fenomeni di trasferimento energetico e di risonanza, l’applicazione di forze e la
generazione di momenti magnetici.
Ing. Luciano Mescia
7.1. Campi e correnti indotte
205
En2
ε2, σ2
ε1, σ1
E2
θ1
Et2
an
Et1
En1
E1
θ2
Figura 7.1: Vettore del vampo elettricoalla superﬁcie piana di separazione tra i due mezzi
dielettrici.
7.1.1 Interazione del campo magnetico statico con il materiale biologico
L’interazione del tessuto biologico con il campo magnetico statico può avvenire mediante
tre meccanismi ﬁsici accertati: i) induzione magnetica, ii) azione magneto-meccanica,
iii) interazioni elettrolitiche.
Induzione magnetica Gli eﬀetti dell’induzione magnetica sono causati dall’interazione
del campo magnetico statico B0 con le correnti ioniche. Essi sono, in generale, causati
dalle interazioni elettrodinamiche con elettroliti in movimento e dalla generazione di
campi elettrici e correnti indotte di Faraday.
Come è noto l’interazione di un campo elettrico statico, B0 con una carica eletrica q
in movimento con velovità v, genera una forza di Lorentz, FL , data da
FL = qv × B0
Tale forza modiﬁcando la traiettoria originale della carica in movimento può dar luogo
a campi elettrici indotti e cariche indotte.
7.1.2 Interazione del campo elettrico a bassa frequenza con il materiale
biologico
Alle basse frequenze il comportamento del campo elettromagnetico ha carattere quasi
statico e perciò il campo elettrico e magnetico si disaccoppiano e agiscono in modo
separato e additivo all’interno del corpo biologico. Di conseguenza, i campi indotti si
possono ottenere combinando le due soluzioni indipendenti derivanti dall’elettrostatica
e dalla magnetostatica. Inolte, alle basse frequenze i corpi di esseri umani e animali
perturbano signiﬁcativamente la distribuzione spaziale del campo elettrico.
Per descrivere la penetrazione del campo elettrico a bassa frequenza all’interno di un
organismo biologico è possibile prendere in considerazione un modello sempliﬁcato che
schematizza quest’ultimo mediante un mezzo semi inﬁnito avente le tipiche caratteristiche dielettriche dei tessuti biologici (vedi Figura7.1). In questo tipo di rappresentazione
il componente tangenziale del campo elettrico e quello normale dell’induzione elettrica
Ing. Luciano Mescia
7.1. Campi e correnti indotte
206
devono soddisfare all’interfaccie tra i due dielettrici le condizioni di continuità
Et1 = Et2
(7.1)
Dn2 − Dn1 = σl
(7.2)
dove σl è la densità superﬁciale di carica elettrica. Dall’equazione di continuità della
densità di corrente in regime sinusoidale si ha:
(J2 − J1 ) · an = σ2 En2 − σ1 En1 = −jωσl
(7.3)
che combinata con (7.2) fornisce
ϵ2 En2 − ϵ1 En1 = −
da cui si ricava in defonitiva
En2 =
σ2 En2 − σ1 En1
jω
σ1 + jωϵ1
En1
σ2 + jωϵ2
(7.4)
La direzione del campo elettrico nei due mezzi dielettrici è invece fornita dalle relazioni
En1
Et1
En2
tan θ2 =
Et2
tan θ1 =
da cui si ricava immediatamente
tan θ1
En1
σ2 + jωϵ2
=
=
tan θ2
En2
σ1 + jωϵ1
(7.5)
In condizione di campo elettrico statico (ω = 0) e nell’ipotesi che il mezzo 1 e il mezzo 2
siano costituiti rispettivamente da aria (σ1 = 10−13 S·m−1 ) e pelle (σ2 = 2 × 10−4 S·m−1 ),
si ha
σ2
tan θ1
En1
=
=
= 2 × 109
En2
σ1
tan θ2
Quindi la direzione del campo esterno è praticamente ortogonale alla superﬁcie di separazione e il campo all’interno della pelle subisce una attenuazione di 5 × 1010 rispetto
al campo incidente. Di conseguenza, in condizioni statiche il tessuto biologico scherma
eﬃcacemente il campo elettrico esterno.
Alle frequenza industriale (f=50 Hz), essendo il corpo umano un buon conduttore, è
plausibile considerare i seguenti valori delle proprietà dielettriche ϵ1 = 10−11 F·m−1 ed
essendo ϵ2 = 10−8 F·m−1 e σ2 = 2 × 10−4 S·m−1 , ed ottenere
En2 ≈
jωϵ1
En1 ≈ j1.6 × 10−5 En1
σ2
e perciò anche alla frequenza industriale il campo elettrico esterno è perpendicolare alla
superﬁcie di separazione e la pelle è ancora in grado di schermare abbastanza bene il
Ing. Luciano Mescia
7.1. Campi e correnti indotte
207
campo elettrico. Si fa osservare inoltre che la buona capacità di schermare il campo
elettrico nel regime delle basse frequenze è una proprietà comune a tutti quei tessuti
biologici elencati in Tab. 5.1 caratterizzati da valori conducibilità molto più elevati
di quelli di permittività. Inﬁne, si fa osservare che quanto appena ricavato può essere
utilizzato, con buona approssimazione, anche quando l’interfaccie tra i due materiali è
una superﬁcie curva. In quest’ultimo caso si può dimostrare che l’interpretazione dei
fenomeni può essere eﬀettuata andando a modiﬁcare leggermente quanto ottenuto a
proposito di interfaccia di separazione piana.
Il campo elettrico interno interagisce direttamente con il sistema biologico e la sua
interazione può essere studiata da un punto di vista macroscopico e microscopico. Nel
primo caso i meccanismi d’interazione sono analizzati sulla base della conoscenza di
grandezze macroscopiche come la conducibilità elettrica e la permittività. In tale contesto, considerando quanto detto in precedenza, il campo elettrico all’interno del tessuto
biologico genera una densità di corrente
Jel = σ2 En2 ≈ ωϵ1 En1
(7.6)
Se invece si introduce un fattore Kf che tiene conto della forma del tessuto biologico,
delle sue caratteristiche elettriche e dell’orientazione del campo, si ha che la densità di
corrente può essere espressa dalla relazione
Jel = f Kf En1
(7.7)
dove f è la frequenza del campo.
I meccanismi di interazione a livello microscopico, dovendo considerare la presenza
di cellule, membrane e molecole, sono invece più complessi da analizzare. Il livello più
semplice di analisi, che tra l’altro è sorprendentemente complicato, considera l’interazione
del campo elettrico con i ﬂuidi biologici i quali contengono un gran numero di componenti
come ioni, molecole d’acqua, proteine, lipidi, ormoni e particelle colloidali. Pertanto, il
ﬂusso di corrente in questi ﬂuidi è dato dalla sovrapposizione tra la corrente di deriva e
di diﬀusione di ogni singolo componente.
Il livello di maggiore complessità considera invece l’interazione del campo elettrico
con la membrana cellulare. Essa può essere assimilata ad un solido poroso, quando il
campo elettrico è applicato perpendicolarmente alla sua superﬁcie, e ad un liquido viscoso
quando il campo elettrico è applicato sul piano della membrana. Le membrane cellulari,
in virtù della loro non omogeneità, presentano delle regioni di spazio interessate in misura
diﬀerente dai campi elettrici. Inﬁne, essendo coinvolte in reazioni chimiche attive che
cambiano la loro porosità il funzione dello ione, la conducibilità della membrana può
variare anche di alcuni ordini di grandezza in funzione del potenziale elettrico e dei
segnali chimici.
Un ulteriore livello di complessità considera l’interazione tra ﬂuidi biologoci e membrane in presenza di campi elettrici applicati. Tali campi modiﬁcano in modo selettivo il
trasporto di ioni e molecole attraverso la membrana, inﬂuenzano l’accumulano di strati
ionici carichi sulla sua superﬁce e perturbano le modalità con nuove molecole sono incorporate all’interno della membrana o sono legate alla sua superﬁcie. L’eﬀetto di tali
Ing. Luciano Mescia
7.1. Campi e correnti indotte
208
cambiamenti si ripercuote sulle funzionalità delle cellule e di conseguenza sugli organi
di cui esse fanno parte. Ad esempio, una corrente elettrica che agisce sulle cellule che
regolano il ritmo cardiaco può cambiare la frequenza di pompaggio del cuore.
E’ noto che una particella carica in movimento posta all’interno di un campo elettromagnetico risente di una forza
F = q (E + v × B)
(7.8)
dove q è la carica della particela, v è la velocità della particella, E il campo elettrico e
B il campo magnetico. E’ evidente, quindi, che l’azione del campo elettrico si manifesta
tramite una forza che agisce direttamente sulle particelle cariche, mentre quella del
campo magnetico tramite una forza che agisce sulle cariche in movimento.
Le forze indotte dal campo elettrico su un sistema biologico possono essere classiﬁcate
in funzione della tipologia delle particelle cariche coinvolte nell’interazione: interazione
con le cariche libere o con bipoli.
Un primo tipo d’interazione del campo elettrico con un dipolo permanente consiste
nella generazione di una coppia di forze τ sulla molecola
τ = p0 E cos θ
(7.9)
dove p0 è il momento di bipolo e θ è l’angolo che il vettore del momento di dipolo forma
con il vettore del campo elettrico. Come detto in precedenza, tale coppia di forza tende
a orientare il momento di dipolo permanente in direzione equiversa e parallela a quella
del campo elettrico con una polarizzazione media data, nell’ipotesi di approssimazione
al primo ordine, dalla
p2
(7.10)
⟨p0 ⟩ = 0 E
3kT
La polarizzazione imposta dall’applicazione del campo elettrico tende comunque a scomparire nel momento in cui il campo viene meno con un tempo di risposta τc dato, con
buona approssimazione, dalla legge di Stockes
τc =
3V η
kT
(7.11)
dove V è il volume della particella e η è la viscosità del mezzo. Dalla (7.9) è evidente che
per ottenere una orientazione signiﬁcativa delle molecale bipolari è necessario un campo
elettrico molto forte. Ad esempio, in alcuni studi sul DNA e alcuni biopolimeri si utilizzano campi elettrici dell’ordine di alcuni kV/m. E’ da considerare comunque che tale
entità di campo è normalmente presente all’interno della membrana cellulare e potrebbe
essere indotto al suo interno da campi elettrici imposti dall’esterno con ampiezza ben al
di sopra di 1 mV/m.
Un campo elettrico non uniforme, oltre alla forza di torsione, può indurre una forza
lineare Fd , sulle molecole neutre caratterizzate o da un momento di dipolo permanente
o da un momento di dipolo indotto. Infatti, essendo il campo non uniforme, i centri
delle cariche positive e negative risentono di diﬀerenti forze elettriche e come risultato il
Ing. Luciano Mescia
7.2. Riscaldamento a induzione magnetica
209
bipolo è sottoposto ad una forza netta Fd che, nell’approssimazione al primo ordine, è
data da
Fd = (p0 · ∇) E
α
Fd = α (E · ∇) E = ∇ |E|2
2
per bipolo permanente
(7.12)
per bipolo indotto
(7.13)
dove p0 rappresenta il momento di bipolo permanente, α la polarizzabilità. Inoltre, la
(7.13) è stata ottenuta utilizzando la proprietà
∇ (E · E) = 2 (E · ∇) E + 2E × (∇ × E) = 2 (E · ∇) E
in quanto ∇ × E = 0.
Dalle (7.12)–(7.13) si osserva che le forze considerate dipendono dal gradiente del campo elettrico e di conseguenza, all’interno dei tessuti biologici, la sua entità può risultare
signiﬁcativa in quanto la loro elevata non omogeneità può causare forti variazioni del
campo elettrico locale. In generale, la forza fornita dalla (7.12) è molto piccola per i
dipoli molecolari sottoposti ai valori di campo elettrico riscontrati normalmente. In ogni
caso essa può essere riscontrata sperimentalmente in particelle colloidali e cellule aventi
un grosso momento di bipolo permenete o indotto.
Nel caso particolare in cui la cellula possa essere approssimata con una sfera dielettrica
di permittività ϵ1 immersa in un dielettrico con permittività ϵ2 , la forza fornita dalla
(7.13) è data dalla relazione:
Fd = 3ϵ2 V
3
ϵ1 − ϵ2
ϵ1 − ϵ2
(E · ∇) E = ϵ2 V
∇ |E|2
ϵ1 + 2ϵ2
2
ϵ1 + 2ϵ2
(7.14)
dove la (7.14) è stata ottenutà considerando la (3.100). Dalla (7.14) si osserva che, in
funzione dei valori assunti da ϵ1 e ϵ2 , la forza può essere diretta sia nello stesso verso con
cui il gradiente aumenta sia nella direzione opposta. Gli eﬀetti di tale forza sono stati
osservati sperimentalmente sotto forma di distorsione di cellule, orientazione di cellule
non sferiche e aggregazione di cellule lungo le linee del campo elettrico (eﬀetto pearl
chain).
7.2 Riscaldamento a induzione magnetica
Come detto in precedenza, le equazioni di Maxwell (5.1)–(5.4) sono generalmente utilizzate per interpretare ogni fenomeno dell’elettromagnetismo classico. In particolare, se
la densità di correnti imposta dall’esterno J0 (r, t) può essere espressa come
J0 (r, t) = J∗ (r) cos (ωt + ϕ)
con J∗ funzione vettoriale reale, si può ricavare la rappresentazione equivalente
J0 (r, t) = ℜ [J∗ (r) exp (jωt + ϕ)] = ℜ[J0 (r) exp (jωt)]
Ing. Luciano Mescia
7.2. Riscaldamento a induzione magnetica
210
con J0 (r) = J∗ (r) exp (jϕ). In queste ipotesi è facile ricavare le equazioni di Maxwell
armoniche
∇ × E(r) = −jωµH(r)
(7.15)
∇ × H(r) = J0 (r) + (jωϵ + σ) E(r)
ρ
∇ · E(r) = (r)
ϵ
∇ · B(r) = 0
(7.16)
(7.17)
(7.18)
Come osservato da Faraday, una variazione nel tempo del campo magnetico genera un
campo elettrico il quale genera, in un mezzo conduttore, una densità di corrente parassita
Jeddy = σE. Tale fenomeno e il relativo riscaldamento fu osservato dal ﬁsico francese L.
Foucault. Il calore generato da questa densità di corrente è fornito dalla legge di Joule
Q=
J·J
σ
dove J = σE + J0 . Inoltre, tali correnti generano una forza di Lorentz Fl = J × B.
Si consideri il caso in cui ∂D/∂t può essere trascurato rispetto a ∇ × H e J, e che
∂B/∂t non sia trascurabile. Tali ipotesi sono veriﬁcate se il tempo di propagazione
dell’onda elettromagnetica è molto piccolo rispetto all’inverso della frequenza angolare o
equivalentemente che la dimensione L del dominio ﬁsico è molto minore della lunghezza
d’onda. In tali ipotesi si ha
|ω| |D| ≪ |H| L−1
, |ω| |D| ≪ |σE|
o utilizzando l’equazione di Faraday
|E| L−1 ≈ |ω| |µH|
Ricordando che D = σE, si ottiene in deﬁnitiva
−1
µmax ϵmax ω 2 L2 ≪ 1 , σmin
ϵmax |ω| ≪ 1
dove ϵmax e µmax rappresentano il limite superiore nel dominio ﬁsico degli autovalori di
µ(r) e ϵ(r), mentre σmin è il limite inferiore degli autovalori di σ(x).
Nell’ipotesi in cui ∂D/∂t è trascurabile (approssimazione di correnti parassite o approssimazione magneto-quasi statica), le equazioni di Maxwell nel dominio armonico
sono
∇ × E + jωµH = 0
∇ × H − σE = J0
Ing. Luciano Mescia
(7.19)
(7.20)
∇ · J0 = 0
(7.21)
∇ · (µH) = 0
(7.22)
∇ · (ϵE) = 0
(7.23)
7.2. Riscaldamento a induzione magnetica
211
Dalla (7.20) si ricava
∇ × ∇ × H = ∇(∇ · H) − ∇2 H = σ∇ × E + ∇ × J0
da cui, utilizzando la (7.22), si ottiene
∇2 H + σ∇ × E + ∇ × J0 = 0
Sostituendo inoltre nell’ultima relazione ottenuta la eqrefeq6.19 e considerando che ∇ ×
J0 = 0 si ricava
∇2 H + γ 2 H = 0
(7.24)
dove
γ=j
√ √
√
j ωµσ = exp (j3π/4) ωµσ = exp (j3π/4)γ0
(7.25)
√
ωµσ
(7.26)
con
γ0 =
Si consideri un cilindro inﬁnitamente lungo di raggio R sulla cui superﬁcie è avvolto
un solenoide in cui circola una corrente variabile nel tempo. Considerando che lungo
la direzione assiale il cilindro è inﬁnitamente lungo, risulta che nella regione esterna al
cilindro non può esserci nessun campo e pertanto il campo magnetico è localizzato solo
all’interno del cilindro ed ha solo la componente assiale
H = Hz (r) exp (jωt)az
(7.27)
dove r è la direzione radiale. Considerata inoltre la geometria cilindrica del problema e
che il campo magnetico è costante sulla circonferenza di raggio r, la (7.24) può essere
riscritta in coordinate cilindriche come
dHz2 1 dHz
+ γ 2 Hz = 0
+
dr2
r dr
(7.28)
che è una equazione di Bessel di ordine zero le cui soluzioni sono
Hz = C1 J0 (γr) + C2 Y0 (γr)
(7.29)
In r = 0 la funzione Y0 va ad inﬁnito e di conseguenza per ottenere soluzioni che abbiano
un signiﬁcato ﬁsico è necessario che C2 = 0 e quindi
Hz = C1 J0 (γr)
(7.30)
La J0 (γr), avendo argomento complesso, è una funzione complessa che può essere epressa
in termini di due funzioni reali con argomento γ0 r dette funzioni di Kelvin e cioè
J0 (γr) = ber(γ0 r) + jbei(γ0 r)
La costante arbitraria C1 può invece essere calcolata utilizzando la condizione al contorno
Hz (r = R) = HR . Di conseguenza, C1 = HR /J0 (γR) e pertanto si ottiene in deﬁnitiva
Hz = HR
Ing. Luciano Mescia
ber(γ0 r) + jbei(γ0 r)
ber(γ0 R) + jbei(γ0 R)
(7.31)
7.2. Riscaldamento a induzione magnetica
212
Dall’equazione di Maxwell (7.20) (con J0 = 0) si ottiene l’espressione del campo elettrico
E=−
1 ∂Hz
γ0 HR ber′ (γ0 r) + jbei′ (γ0 r)
aϕ = −
aϕ
σ ∂r
σ ber(γ0 R) + jbei(γ0 R)
(7.32)
di conseguenza la corrente parassita a una generica distanza r dal centro del cilindro
conduttore è data dalla relazione
J = σE = −γ0 HR
ber′ (γ0 r) + jbei′ (γ0 r)
aϕ
ber(γ0 R) + jbei(γ0 R)
(7.33)
da cui l’espressione nel dominio del tempo diventa
J(r, t) = −γ0 HR
ber′ (γ0 r) + jbei′ (γ0 r)
exp (jωt)aϕ
ber(γ0 R) + jbei(γ0 R)
(7.34)
Osservando che la densità di corrente ha solo la componente lungo l’asse ϕ, è possibile
calcolare la potenza dissipata da una corrente inﬁnitesima considerando sul piano r, z un
area elementare, dS avente dimensione dr, lungo la direzione r, e dimensione unitaria,
lungo la direzione z, e la relazione J = dI/dS. Pertanto si ha
dI(r, t) = |J|dS = −γ0 HR
ber′ (γ0 r) + jbei′ (γ0 r)
dr exp (jωt)
ber(γ0 R) + jbei(γ0 R)
(7.35)
La potenza media dissipata per perdita ohmica dalla corrente elementare sulla superﬁce
inﬁnitesima è data da
′2
′2
1
2πr
2 ber (γ0 r) + bei (γ0 r)
dP (r, t) = dR |dI(r, t)|2 = ρ
|dI(r, t)|2 = ρπγ02 rHR
dr
2
dr
ber2 (γ0 R) + bei2 (γ0 R)
(7.36)
dove ρ è la resistivita del materiale. La potenza totale dissipata si ottiene integrando la
(7.36) su tutta la sezione del cilindro
Pd =
2
ρπγ02 rHR
ber2 (γ0 R) + bei2 (γ0 R)
∫
R[
]
ber′2 (γ0 r) + bei′2 (γ0 r) rdr
(7.37)
0
Integrando per parti si ottiene
∫
R
0
∫
R
r
1
ber (γ0 r)rdr =
ber(γ0 r)ber′ (γ0 r)0 −
γ0
γ0
R
′2
bei′2 (γ0 r)rdr =
0
R
r
1
bei(γ0 r)bei′ (γ0 r)0 −
γ0
γ0
∫
R
ber(γ0 r)
0
∫
R
bei(γ0 r)
0
Considerando la proprietà della funzione ber
ber′′ (γ0 r) = −bei(γ0 r) −
Ing. Luciano Mescia
1
ber′ (γ0 r)
γ0 r
)
d (
rber′ (γ0 r) dr
dr
)
d (
rbei′ (γ0 r) dr
dr
7.2. Riscaldamento a induzione magnetica
213
e considerando che
)
d (
rber′ (γ0 r) = ber′ (γ0 r) + rγ0 ber′′ (γ0 r)
dr
si ottiene
[
]
)
d (
1
′
′
′
rber (γ0 r) = ber (γ0 r) + rγ0 −bei(γ0 r) −
ber (γ0 r) = −rγ0 bei(γ0 r)
dr
γ0 r
Considerando la proprietà della funzione bei
bei′′ (γ0 r) = ber(γ0 r) −
1
bei′ (γ0 r)
γ0 r
e considerando che
)
d (
rbei′ (γ0 r) = bei′ (γ0 r) + rγ0 bei′′ (γ0 r)
dr
si ottiene
[
]
)
1
d (
′
′
′
rbei (γ0 r) = bei (γ0 r) + rγ0 ber(γ0 r) −
bei (γ0 r) = rγ0 ber(γ0 r)
dr
γ0 r
Sostituendo quanto ottenuto nei due integrali precedenti si ottiene
∫ R
∫ R
R
1
′2
′
ber (γ0 r)rdr = ber(γ0 R)ber (γ0 R) +
ber(γ0 r)rγ0 bei(γ0 r)dr
γ0
γ0 0
0
∫ R
∫ R
1
R
′
′2
ber(γ0 r)rγ0 bei(γ0 r)dr
bei (γ0 r)rdr = bei(γ0 R)bei (γ0 R) −
γ0
γ0 0
0
da cui sostituendo nella (7.37) si ricava in deﬁnitiva
ber(γ0 R)ber′ (γ0 R) + bei(γ0 R)bei′ (γ0 R)
ber2 (γ0 R) + bei2 (γ0 R)
2
2πf µSHR
ber(γ0 R)ber′ (γ0 R) + bei(γ0 R)bei′ (γ0 R)
=
γ0 R
ber2 (γ0 R) + bei2 (γ0 R)
2
Pd = ρπγ0 HR
R
(7.38)
dove S = πR2 è l’area della superﬁcie di base del cilindro, f è la frequenza dell’onda
elettromagnetica, e ρ = 1/σ.
Ing. Luciano Mescia