COSTRUZIONE DI R Costruiremo l`insieme R dei numeri reali per

COSTRUZIONE DI R
INGEGNERIA PER L’AMBIENTE E IL TERRITORIO
LUCA ROSSI
A. A. 2009/2010
Costruiremo l’insieme R dei numeri reali per mezzo di successioni di numeri razionali.
Ricordiamo che
Definizione 1. Una successione razionale {qn } è detta
(1) crescente [risp. decrescente] (in senso largo) se
∀ n ∈ N,
qn+1 ≥ qn
[risp. qn+1 ≤ qn ];
(2) infinitesima se per ogni ε ∈ Q positivo esiste n0 ∈ N (dipendente da ε) tale che
∀ n ≥ n0 ,
|qn | < ε;
Introduciamo la seguente nozione:
Definizione 2. Una coppia di successioni razionali ({an }, {bn }) è detta intrappolante se
(1) ∀ n ∈ N, an ≤ bn ;
(2) {an } è crescente e {bn } è decrescente
(3) {bn − an } è infinitesima.
Diremo che due coppie intrappolanti ({an }, {bn }) e ({pn }, {qn }) sono in relazione tra
loro, e scriveremo ({an }, {bn }) ∼ ({pn }, {qn }), se la successione {an − pn } è infinitesima.
Definiamo allora la classe di equivalenza h i di una data coppia intrappolante ({an }, {bn })
come l’insieme delle coppie intrappolanti in relazione con ({an }, {bn }). Cioè:
h{an }, {bn }i := {({pn }, {qn }) : ({pn }, {qn }) ∼ ({an }, {bn })}.
La coppia ({an }, {bn }) è detta rappresentante della classe h{an }, {bn }i.
Ex 1. h{an }, {bn }i = h{cn }, {dn }i ⇔ ({an }, {bn }) ∼ ({cn }, {dn }).
Siamo ora in grado di definire i numeri reali R.
Definizione 3 (Numeri reali).
R := {h{an }, {bn }i : ({an }, {bn }) è una coppia intrappolante}.
Proposizione 4. |Q| ≤ |R|.
Dimostrazione. Basta mostrare che esiste un’applicazione iniettiva Φ : Q → R. Definiamo
∀ q ∈ Q,
Φ(q) := h{q}, {q}i,
cioè la classe di equivalenza della coppia di successioni che valgono costantemente q. Si
verifica immediatamente che ({q}, {q}) è una coppia intrappolante. Per vedere che Φ è
iniettiva supponiamo che Φ(p) = Φ(q) per qualche p, q ∈ Q. Cioè h{p}, {p}i = h{q}, {q}i
e quindi l’Ex 1 implica ({p}, {p}) ∼ ({q}, {q}). In altre parole la successione (costante)
{p − q} è infinitesima e ciò è possibile se e solo se p = q.
D’ora in avanti useremo la convenzione di identificare Q con la sua immagine tramite
l’applicazione iniettiva Φ. Perciò possiamo dire che Q ⊂ R.
Gli elementi di R saranno indicati semplicemente con lettere quali x, y, . . . e saranno
detti numeri reali oppure punti. Possiamo estendere ad R la nozione di segno:
1
Definizione 5. Sia x = h{an }, {bn }i un numero reale. Diremo che
x ≥ 0 se ∀ n ∈ N, bn ≥ 0,
x ≤ 0 se ∀ n ∈ N, an ≤ 0,
e quindi che
x > 0 se x ≥ 0 ∧ x 6= 0,
x < 0 se x ≤ 0 ∧ x 6= 0.
Ex 2. Dimostrare che ogni x ∈ R verifica una e una sola delle seguenti condizioni:
x > 0,
x < 0,
x = 0.
Le operazioni di Q sono ereditate in maniera naturale da R:
Definizione 6. Siano x = h{an }, {bn }i e y = h{cn }, {bn }i due numeri reali. Definiamo
x + y := h{an + cn }, {bn + dn }i,
x · y := h{αn }, {βn }i,
dove
αn := min(an · cn , an · dn , bn · cn , bn · dn ),
βn := max(an · cn , an · dn , bn · cn , bn · dn ).
Ex 3. Verificare che la Definizione 6 è ben posta. Cioè che ({an + cn }, {bn + dn }) e
({αn }, {βn }) sono coppie intrappolanti (ci si può limitare al caso an , cn > 0) e che x + y,
x · y non dipendono dalla scelta del rappresentante delle classi x e y.
Ex 4. Verificare che 0 e 1 sono gli elementi neutri della somma e della moltiplicazione in
R. Dimostrare inoltre ∀ x ∈ R l’esistenza dell’opposto −x e, per x 6= 0, dell’inverso x−1 .
Si verifica facilmente che tutte le proprietà (associativa, distributiva, ecc...) valide per
la somma e la moltiplicazione in Q continuano a valere in R. Grazie alla Definizione 6 e
all’Ex 4 possiamo definire le operazioni di differenza e divisione:
x
:= x · y −1 .
∀ x, y ∈ R, x − y := x + (−y),
y 6= 0,
y
Inoltre, la Definizione 5 permette di dotare R di un ordinamento:
x ≥ y ⇔ x − y ≥ 0.
L’insieme dei numeri reali così definito gode della seguente proprietà cruciale:
Teorema 7 (Principio di incastro). Siano {xn } e {yn } due successione di numeri reali,
{xn } crescente e {yn } decrescente (cioè xn+1 ≥ xn e yn+1 ≤ yn ), tali che xn ≤ yn . Allora
esiste un numero reale ξ che verifica:
∀ n ∈ N,
x n ≤ ξ ≤ yn .