.
123
A
Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione
p.
ESEMPIO
Il valore di un’obbligazione al terzo anno si ottiene applicando la (5.6):
a3 0,07
= 6,75
i
a3 0,09
br
a ( 3; 0,09) = 7 ⋅
S.
Un prestito obbligazionario è costituito da obbligazioni del valore nominale di 7 € ed è
rimborsabile in 6 anni con il metodo a rate costanti al tasso annuo effettivo d’interesse del 7%.
Determinare il valore di una obbligazione al terzo anno al tasso di valutazione del 9%.
6. LA DURATION
Es
se
li
I titoli a reddito fisso, se da un lato garantiscono all’investitore un rendimento costante per
tutta la loro durata tutelandolo contro l’alea implicita negli investimenti in titoli a reddito
variabile (es. azioni), dall’altro non lo preservano da due tipi diversi di rischio allorquando, nel
corso dell’orizzonte temporale d’investimento, si verifica una variazione dei tassi di mercato.
Questi rischi sono rappresentati dal rischio di prezzo e dal rischio di reinvestimento.
Per quanto riguarda il primo, se il periodo di detenzione del titolo non coincide con la sua vita
residua, il prezzo di cessione dipenderà dai tassi di mercato del momento. A proposito del
secondo tipo di rischio, esso riguarda qualsiasi operazione effettuata su un valore mobiliare che
presenta flussi in entrata durante il periodo di detenzione.
Ci occuperemo, in questo contesto, della prima tipologia di rischio.
titolo X
titolo Y
op
yr
ig
ht
Valore
di mercato
©
Consideriamo due titoli, X e Y, entrambi con lo stesso prezzo iniziale e finale, in un arco
temporale rappresentati in figura:
Tempo
Fig. 1 - Andamento del prezzo del titolo X e del titolo Y
C
L’andamento seguito dal prezzo durante il periodo di tempo analizzato è stato diverso: nel
caso del titolo X, infatti, il prezzo è fluttuato, sia al rialzo che al ribasso, in misura di gran lunga
maggiore rispetto al titolo Y, per cui la sua instabilità è stata maggiore.
.
124
A
Capitolo Sesto
li
br
i
S.
p.
Le oscillazioni del prezzo di un titolo sono attribuibili a diversi fattori, tra questi la funzione
più importante sono, senza dubbio, la durata del titolo e i tassi di interesse di mercato.
Si consideri, innanzi tutto, che a parità di cedola, quanto maggiore è la durata di un titolo
tanto più il prezzo del titolo stesso è sensibile a variazione dei tassi d’interesse di mercato, in
quanto il suo detentore accetta per un lungo periodo il tasso d’interesse stabilito che potrà
risultare, col tempo, minore o maggiore, di quello offerto sul mercato.
In secondo luogo, si considerino le instabilità di prezzo attribuibili alle variazioni dei tassi di
interesse di mercato: un incremento degli stessi rispetto a quello garantito dal titolo implica che
nessun investitore è disposto ad acquistare il titolo in quanto garantisce un rendimento inferiore a
quello offerto da investimenti alternativi al tasso di mercato, con la conseguente riduzione del
prezzo del titolo; il contrario accade in caso di decremento dei detti di interesse di mercato.
Un indicatore di rischio, ossia una misura della sensibilità del prezzo di un titolo a una data
variazione dei tassi d’interesse, è fornito dalla cosiddetta duration o Macaulay duration.
La duration è la durata media finanziaria del titolo, ovvero la vita residua del titolo
ponderata con il flusso di cedole che il titolo pagherà in futuro.
n
se
L’espressione analitica della duration (D) di un generico titolo a reddito fisso che paga
interessi su base annuale è:
∑ kF (1 + TRES )
k
D=
Es
k =1
n
∑ F (1 + TRES )
−k
−k
(6.1)
k
k =1
n
∑ F (1 + TRES )
k
k =1
−k
ht
©
in cui:
k
è la scadenza, k = 1, 2, …, n, di ciascun flusso di cassa relativo al titolo;
n
è il numero di anni alla scadenza;
Fk
è il k–esimo flusso di cassa;
TRES è il tasso di rendimento effettivo a scadenza o tasso di rendimento corrente richiesto dal
mercato sull’investimento;
è il valore attuale dei flussi di cassa del titolo, praticamente è il prezzo P
ig
corrente del titolo.
Nella formula appena data, si consideri che l’n–esimo flusso di cassa è rappresentato dalla
somma del valore nominale del titolo e della cedola periodica.
op
yr
La (6.1), in caso di cedole semestrali, diviene:
C
1
in cui k = , 1, …, n .
2
TRES
∑1 kFk 1 + 2
k=
n
D=
−2 k
2
TRES
∑1 Fk 1 + 2
k=
n
2
−2 k
(6.2)
.
125
A
Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione
se
li
br
i
S.
p.
Quanto più è basso il valore della duration minore è la sensibilità del prezzo di un titolo a
variazioni inattese dei tassi d’interesse.
Dalla (6.1) si evince che:
— un titolo con durata in vita più alta presenta una duration più alta e, quindi, un grado di
rischiosità elevato;
— un titolo con cedola elevata, a parità di durata, presenta una duration bassa ed è, quindi, poco
sensibile a variazioni dei tassi d’interesse.
Le obbligazioni a tasso variabile, in cui la cedola si adegua ai tassi di mercato, hanno
duration zero, quindi non presentano rischi in caso di variazione dei tassi di mercato.
Le obbligazioni a tasso fisso, in cui la cedola resta fissa a prescindere dall’andamento dei tassi
di mercato, hanno una duration pari o inferiore alla vita residua del titolo.
L’immunizzazione indica il complesso di operazioni che rendono insensibile un portafoglio
titoli alle variazioni dei tassi di interesse. I portafogli di titoli a reddito fisso possono dirsi
immunizzati quando la loro duration equivale al periodo di detenzione atteso dei portafogli
stessi. I titoli con duration più alta e, dunque, con le massime oscillazioni di prezzo, in caso di
variazione dei tassi d’interesse di mercato sono gli zero coupon bonds, per i quali duration e vita
residua hanno lo stesso valore: uno zero coupon bond che scade fra 1 anno ha duration di 1 anno.
ESEMPIO
Es
Determinare la duration di un’obbligazione del valore nominale di 110 €, con tasso di
interesse nominale del 10%, al netto di aliquota fiscale, pagato su base semestrale, tasso di
rendimento effettivo dell’8%, scadenza a 4 anni.
©
Sia i il tasso di interesse nominale annuo al netto di aliquota fiscale, ciascun flusso di cassa,
costante, sarà pari a:
100 ⋅ i 100 ⋅ 0,1
=
=5
2
2
ht
Fk =
Per la determinazione della duration facciamo uso di un foglio elettronico di Excel.
ig
✔ Nelle celle da A2 ad A9 scriviamo i valori di k = 0,5; 1; 1,5; …; 8.
✔ Nella cella B2 scriviamo il valore della cedola (5) costante per tutte le scadenze,
trasciniamo fino alla cella B8; nella cella B9 scriviamo il valore del flusso all’ultima
scadenza, ossia la somma tra valore nominale e importo di ciascuna cedola: 115.
yr
✔ Nella cella C2 calcoliamo il valore attuale di un flusso unitario relativo alla prima scadenza;
digitiamo:
op
=(1+0,08/2)^(-2*A2)
trasciniamo la selezione fino alla cella C9.
✔ Nella cella D2 calcoliamo il valore attuale del flusso F1, relativo, cioè, al primo periodo;
C
moltiplichiamo il valore delle celle B2 e C2; digitiamo:
=B2*C2
trasciniamo la selezione fino alla cella D9.
.
126
A
Capitolo Sesto
p.
✔ Nella cella E2 moltiplichiamo il valore della cella A2 per il valore della cella D2, digitiamo:
=A2*D2
Trasciniamo la selezione fino alla cella E9.
S.
✔ Nelle celle D10 ed E10 otteniamo le somme delle colonne D ed E, rispettivamente; digitiamo:
=SOMMA(D2:D9)
=SOMMA(E2:E9)
che rappresentano, rispettivamente, il denominatore e il numeratore della (6.2).
i
✔ Dal rapporto tra la cella E10 e la cella D10 si ottiene il valore della duration.
ig
ht
©
Es
se
li
br
Il foglio elettronico è il seguente:
yr
Il valore assunto dalla duration, ossia la media aritmetica ponderata delle scadenze, è:
D = 3,45
op
6.1 Duration modificata
C
La duration costituisce una misura dell’elasticità della funzione che lega il prezzo (P) di un
titolo (variabile dipendente) al suo rendimento (variabile indipendente); in simboli:
D=
− dP / P
d (1 + TRES ) / (1 + TRES )
(6.3)
.
127
A
Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione
p.
L’espressione (6.3) può essere scritta in questo modo:
dP
D
=−
⋅ d (1 + TRES )
P
1 + TRES
S.
(6.4)
in cui, la frazione a secondo membro rappresenta l’espressione della duration modificata (o
modified duration MD):
D
1 + TRES
(6.5)
i
MD =
dP
= − MD ⋅ d (1 + TRES )
P
br
Pertanto, la (6.4) può essere scritta in modo equivalente:
(6.6)
li
La duration modificata fornisce, quindi, una misura della variazione unitaria del prezzo di un
titolo rispetto a una variazione del suo rendimento.
se
L’approssimazione è tanto meno accettabile quanto più è ampia la differenza tra rendimento
effettivo e rendimento stimato. Si scrive:
dP
≅ − MD ⋅ ∆TRES
P
Es
(6.7)
op
yr
ig
ht
Prezzo
©
Infatti, la relazione tra prezzo di un titolo e rendimento è di tipo curvilineo, mentre la duration
rappresenta un’approssimazione lineare della curva prezzo-rendimento, essa è la retta tangente
alla curva nel punto relativo al rendimento in corso del titolo. L’errore commesso dall’approssimazione è uguale alla distanza verticale tra la retta tangente alla curva e la curva stessa.
Funzione prezzo-rendimento reale
Funzione prezzo-rendimento
stimata dalla duration
Rendimento
Fig. 2 – Duration
C
Pertanto, quanto più ci si allontana dal punto di tangenza, perché maggiore è la variazione dei
rendimenti rispetto al rendimento contemporaneo del titolo, in altre parole quanto più è convessa
la curva, tanto maggiore è l’errore che si compie utilizzando la duration per stimare le variazioni
di prezzo.
.
128
A
Capitolo Sesto
S.
p.
A parità di duration (e di rendimento) risultano più appetibili titoli o portafogli con maggiore
curvatura, giacché si ha un maggiore incremento dei prezzi in caso di ribasso dei tassi e un minore
decremento in caso di aumento dei tassi.
7. CONVESSITÀ
li
br
i
In generale, la convessità di una funzione esprime il suo grado di curvatura. Per quanto
concerne la funzione prezzo-rendimento, la convessità esprime la differenza tra i valori assoluti
della variazione del prezzo di un titolo dovuta a variazioni dei rendimenti dello stesso
ammontare. È una caratteristica che, a parità di inclinazione, e quindi di duration, è differente
per i diversi titoli, in modo da determinare, a parità di variazioni dei tassi, differenti variazioni
relative del prezzo. La convessità elimina l’errore insito nella duration. Essa misura l’accelerazione (decelerazione) nella velocità di aggiustamento del prezzo al tasso.
È indipendente dal peso dei titoli nel portafoglio e da valutazioni soggettive sulle aspettative
del mercato.
n
k =1
2
) ⋅ Fk (1 + TRES )− k
Es
C=
∑(k + k
se
Analiticamente, la convessità è fornita dalla seguente espressione:
(7.1)
P
Se un titolo presenta convessità positiva il suo prezzo cresce, al diminuire dei tassi, in misura
maggiore rispetto a una sua riduzione dovuta a una variazione positiva di identico ammontare
dei tassi.
ht
©
A parità di duration e rendimento, nel confronto tra titoli, si preferiscono quelli con maggiore
convessità che comporta:
— un minore decremento dei prezzi all’aumentare del rendimento di mercato;
— un maggiore incremento dei prezzi in caso di riduzione del rendimento di mercato.
ig
8. STRUTTURA PER SCADENZA DEI TASSI D’INTERESSE
C
op
yr
Finora si sono supposti tassi d’interesse costanti, nella realtà diversi fattori influenzano i
livelli dei tassi d’interesse (o i prezzi) dei titoli, la cui variazione, quindi, causa variazioni nel
livello dei tassi; tra questi occorre annoverare:
— l’inflazione, ossia l’aumento del livello generale dei prezzi;
— l’istante di valutazione;
— la vita residua o, equivalentemente, la data di scadenza del titolo, infatti, in un dato istante i
tassi a breve termine e i tassi a lungo termine sono diversi;
— l’importo delle cedole;
— il trattamento fiscale differente che comporta che alcuni titoli presentano vantaggi fiscali tali
da renderli particolarmente appetibili;
.
129
A
Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione
p.
— il rischio di insolvenza ossia il rischio che l’emittente non adempia ai pagamenti;
— la liquidità, i titoli più liquidi hanno prezzi superiori o, equivalentemente, tassi di rendimento
inferiori.
se
li
br
i
S.
Con il termine struttura per scadenza dei tassi d’interesse (SPS) o struttura a termine dei
tassi d’interesse si intende la relazione strutturale tra tassi di interesse (o prezzi) dei titoli
presenti su un dato mercato e le relative scadenze o durate, proprio perché sul mercato non esiste
un tasso d’interesse unico ma un tasso per ciascuna scadenza. In pratica, ogni pagamento futuro
disponibile a una certa data s è scontato utilizzando un tasso di interesse funzione della data,
denominato tasso a pronti, che è specifico per la scadenza considerata. Si tratta di un’informazione fondamentale per calcolare il valore attuale di un flusso di importi e rappresenta la
distribuzione dei rendimenti effettivi di un insieme di titoli obbligazionari identici sotto tutti i
profili, ad eccezione che per la loro scadenza, in funzione della loro vita residua.
Generalmente, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è costruita a partire dai titoli
senza cedola (tsc) o a capitalizzazione integrale o di puro sconto o zero coupon bond.
Si consideri un tsc unitario, ossia con valore facciale unitario, che paga un importo unitario
all’istante t e che può essere acquistato alla sua emissione (tempo 0) a un prezzo A. Le
disponibilità da 0 a t possono essere capitalizzate secondo il fattore seguente:
1
A
Il fattore di anticipazione combinato con r ( 0, t ) è, secondo la notazione usata nel testo, il
seguente:
Es
r ( 0, t ) =
v ( 0, t ) =
1
r ( 0, t )
©
In regime di interesse composto, associati a r ( 0, t ) , sono i tassi seguenti:
i ( 0, t ) che è il tasso periodale vigente nell’intervallo [ 0,t ] ;
ig
ht
δ ( 0,t ) che è il tasso istantaneo d’interesse vigente nell’intervallo [ 0,t ] .
Essi corrispondono a una legge finanziaria a una variabile e sono tassi spot o tassi a pronti.
Si scrive:
δ ( 0 ,t )t
r ( 0, t ) = 1 + i ( 0, t ) = e
t
yr
le cui relazioni inverse consentono di ottenere i due tassi:
1
i ( 0, t ) = r ( 0, t ) t − 1
1
δ ( 0, t ) = ln r ( 0, t ) = ln 1 + i ( 0, t )
t
C
op
La struttura per scadenza dei tassi di interesse, o yield curve, che si ottiene ponendo, in un
sistema di assi cartesiani, sulle ascisse le varie scadenze e in ordinata il valore dei corrispondenti
tassi a pronti, consente di confrontare i tassi di interesse dei titoli, ipotizzando che tutti gli altri
fattori, eccetto la scadenza, restano immutati.
.
130
p.
S.
La curva dei tassi assume tre tipiche inclinazioni:
— crescente se i tassi a lungo termine sono maggiori di quelli a breve;
— piatta se i rendimenti di obbligazioni con differenti scadenze sono uguali;
— decrescente se i tassi a breve sono più alti dei tassi a lungo.
A
Capitolo Sesto
Essa può presentare un caratteristico andamento a gobba, per cui nel tratto iniziale è crescente
mentre nel tratto finale è decrescente.
li
br
i
La SPS cambia se cambia l’istante di valutazione, se cambia l’imposizione fiscale, se cambia
il rischio di insolvenza etc. e può presentare tre diversi movimenti:
— traslazione parallela, se tutti i rendimenti si muovono dello stesso ammontare, non
comportando una diversa forma né pendenza della curva;
— rotazione, se variano i rendimenti a breve scadenza in misura proporzionalmente maggiore
della variazione dei rendimenti a lunga scadenza;
— ingobbimento, se, per ipotesi, i rendimenti tendono a crescere con la scadenza fino a un certo
punto e poi tendono a decrescere con la scadenza.
se
Diverse sono le teorie elaborate per spiegare la struttura della yield curve. Di seguito ne
illustriamo alcune.
Es
TEORIA DELLE ASPETTATIVE PURE (O NON DISTORTE)
La curva riflette le aspettative attuali del mercato sui tassi futuri a breve termine, per cui il
valore stabilito dal mercato per i tassi a termine coincide con il valore che il mercato stesso si
attende per i tassi a pronti futuri.
©
TEORIA DEL PREMIO PER LA LIQUIDITÀ
ht
Il mercato richiede un compenso, il cosiddetto premio per la liquidità, per la detenzione di
titoli con scadenza più lunga, i quali sono reputati più rischiosi.
TEORIA DELLA SEGMENTAZIONE DEL MERCATO
yr
ig
Gli investitori hanno specifiche preferenze di scadenza, ossia scelgono di detenere titoli
appartenenti a un segmento dell’asse delle scadenze, senza considerare i prezzi degli altri titoli;
inoltre, la domanda e l’offerta di titoli sono scisse per i diversi segmenti.
TEORIA DELL’HABITAT PREFERITO
op
Gli agenti investono su un dato segmento di scadenze, ma sono disposti a uscire dall’habitat
preferito se i titoli di un altro segmento offrono un rendimento maggiore.
8.1 Tassi a termine
C
I tsc possono essere negoziati, oltre che a pronti, e ricevere esecuzione al tempo 0, a termine,
e ricevere, quindi, esecuzione in un tempo futuro s comunque antecedente a t (tempo di rimborso
del tsc).
.
131
A
Prestiti divisi in titoli: le obbligazioni e loro valutazione
p.
Pertanto, usando la simbologia solita, con:
1
A
si indica il montante che sarà riscosso in t per ogni importo unitario emesso in s, secondo
quanto stabilito in 0. Si tratta, quindi, di una legge finanziaria a due variabili cui è associato il
fattore di attualizzazione:
1
r ( s, t )
i
v ( s, t ) =
S.
r ( s, t ) =
br
e che indica, quindi, il prezzo stabilito in 0 di uno zero coupon bond scambiato al tempo s e
scadente al tempo t.
se
li
In regime di interesse composto, associati a r ( s, t ) , sono i tassi seguenti:
i ( 0, t ) che è il tasso periodale praticato sul mercato al tempo 0 per operazioni che si svolgeranno
nell’intervallo [s,t];
δ ( s, t ) che è il tasso istantaneo d’interesse praticato sul mercato al tempo 0 per operazioni che
si svolgeranno nell’intervallo [s,t].
Essi sono tassi forward o tassi a termine, e sono tassi d’interesse impliciti nella curva dei
tassi spot e rappresentano il rendimento di un tsc con inizio differito.
Es
Sono espressi dalle relazioni seguenti:
1
i ( s, t ) = r ( s, t )t −s − 1
1
ln r ( s, t ) = ln 1 + i ( s, t )
t−s
©
δ ( s, t ) =
ht
Per ogni coppia di istanti s e t, con s < t, i tassi spot e forward praticati devono soddisfare le
seguenti relazioni:
1 + i ( s, t )
t −s
1 + i ( 0, t )
=
e (t − s ) δ ( s, t ) = tδ ( 0, t ) − sδ ( 0, s )
s
1 + i ( 0, s )
t
(8.1)
ig
equivalenti alla relazione:
r ( 0, s ) r ( s, t ) = r ( 0, t )
(8.2)
C
op
yr
che si assume come ipotesi di coerenza del mercato necessariamente soddisfatta in un
mercato dove non esistono opportunità di arbitraggio.
Per le (8.1) i tassi forward sono forniti a partire dai tassi spot e sono impliciti in quanto il loro
valore è derivato dalla relazione tra tasso spot di un titolo di durata maggiore e tasso spot di un
titolo di durata minore.
Se è verificata l’ipotesi di coerenza del mercato, la struttura dei tassi a pronti dà luogo a una
legge finanziaria scindibile avente legge di capitalizzazione:
r ( s, t ) = 1 + i ( s, t )
relativamente all’intervallo [s,t].
t −s
= e δ( s ,t )(t −s)
.
132
A
Capitolo Sesto
p.
Questionario
1. Quando un’obbligazione si dice emessa alla pari?
S.
(par. 2)
2. Cosa si intende per zero coupon bond?
(par. 2)
i
3. In un piano di ammortamento di un prestito obbligazionario, che differenza esiste tra quota
teorica di ammortamento e quota effettiva di ammortamento?
br
(par. 4.2)
4. Cosa si intende per probabilità di rimborso delle obbligazioni?
li
(par. 4.2)
5. Quando si rende necessario effettuare una valutazione distinta di nuda proprietà e
usufrutto di un prestito obbligazionario?
C
op
yr
ig
ht
©
Es
se
(par. 5.2)
