Trasformaz.Termodin. 2

TERMOLOGIA-Trasformazioni Termodinamiche
Liceo Scientifico Tecnologico
ESERCIZIO tratto da compito in Classe del 4° anno
Sviluppo curato da: Antonio Giuliano
Docente: prof.Quintino d’Annibale
classe IV LST A
a.s. 2004/2005
Testo
Una mole di gas perfetto biatomico,compie il ciclo di fig. 1 dove BC è a temperatura costante. Determinare:
a) Il rendimento del ciclo;
b) La variazione entropica nelle varie fasi.
P(Pa)
Sviluppo
Come si può vedere nella Fig.1 il ciclo che
compie il gas ideale è costituito da 3
trasformazioni termodinamiche:
1. La trasformazione AB avviene a
volume costante quindi è una
trasformazione isocora;
2. La trasformazione BC avviene a
temperatura costante quindi è una
trasformazione isoterma;
3. La trasformazione CA avviene a
pressione costante quindi è una
trasformazione isobora;
B
5P
0
C
P0
A
V
0
5V
0
V(m^3)
Figura 1
PUNTO a
Per calcolare il rendimento del ciclo che compie il gas basta fare un semplice rapporto tra l’energia ottenuta
ossia il lavoro ( L ) e l’energia spesa ossia il calore ( Q ).
η=
L
energia _ ottenuta
L + LB − C + LC − A
= A− B
=
Q
energia _ spesa
QA − B + QB − C
Per poter procedere nel calcolo del rendimento dobbiamo studiare il ciclo che compie il gas in ogni singola
trasformazione che esegue andando a calcolare sia il lavoro compiuto che il calore perso o assorbito a
seconda dei casi.
Calore e lavoro nella trasformazione isocora AB ( volume costante ).
L A −B = 0
Nelle trasformazioni isocore il lavoro è zero perché non avviane una
variazione di volume essendo appunto a volume costante.
Per calcolare il calore applichiamo l’equazione del calore specifico molare a volume costante:
Q A− B = n ⋅ CV ⋅ ∆T
nel nostro caso dovremo considerare che il gas ideale è biatomico perciò il valore di Cv = 5/2 R, inoltre non
conoscendo le temperature iniziali e finali rispettivamente nel punto B e nel punto A applichiamo la legge dei
gas ideali
P⋅ V = n⋅R ⋅ T
PA ⋅V A = n ⋅ R ⋅ T A ⇒ TA =
PB ⋅ V B = n ⋅ R ⋅ TB ⇒ TB =
PA ⋅ VA P0 ⋅ V0
=
n⋅R
n⋅ R
PB ⋅ VB 5 ⋅ P0 ⋅ V0
=
⇒ TB = 5 ⋅ TA
n⋅R
n⋅R
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TERMOLOGIA-Trasformazioni Termodinamiche
5
5
5
QA − B = n ⋅ CV ⋅ ∆T = n ⋅ ⋅ R ⋅ (TB − TA ) = n ⋅ ⋅ R ⋅ (5 ⋅ TA − TA ) = n ⋅ ⋅ R ⋅ 4 ⋅ TA = 10 ⋅ n ⋅ R ⋅ TA
2
2
2
Calore e lavoro nella trasformazione isoterma BC ( temperatura costante ).
Nelle trasformazioni isoterme il lavoro è uguale al calore in quanto la variazione di energia interna è zero.Nel
grafico il lavoro corrisponde alla parte evidenziata (fig. 2).
LB − C = QB − C = n ⋅ R ⋅ TB ⋅ ln
Vf
= n ⋅ R ⋅ TB ⋅ ln
Vi
5 ⋅ V0
= n ⋅ R ⋅ TB ⋅ ln 5
V0
Come abbiamo già citato precedentemente le
trasformazioni isoterme sono quelle che
avvengono
a
temperatura
costante
di
conseguenza la temperatura che abbiamo nel
punto B è la stessa che abbiamo nel punto C.
P(Pa)
B
5P 0
TB = TC
Calore e lavoro nella trasformazione isobara
CA ( pressione costante ).
C
P0
A
V
5V
0
Per poter calcolare il lavoro compiuto dal gas
basta fare il prodotto tra pressione e la variazione
del volume.Esso verrà negativo perché il gas
compie una compressione (fig.3).
V(m^3)
0
Figura 2
LC − A = P0 ⋅ ∆V = P0 ⋅ (V f − V I ) = P0 ⋅ (V 0 − 5V 0 ) = −4 ⋅ P0 ⋅V 0
P(Pa)
Il lavoro della trasformazione CA può essere
espresso anche in funzione della temperatura
attraverso l’applicazione della legge dei gas
perfetti
B
5P
0
P⋅ V = n⋅R ⋅ T
dove la temperatura nel punto A può essere
indicata anche con T0 perciò T A = T0 .
C
P0
A
V
5V
0
V(m^3)
0
PA ⋅V A = n ⋅ R ⋅ T A
⇒
P0 ⋅ V0 = n ⋅ R ⋅ T0 ⇒ LC − A = −4 ⋅ n ⋅ R ⋅ T0
Per poter calcolare la quantità di calore dobbiamo
utilizzare la formula del calore specifico molare a
pressione costante Q = n ⋅ C P ⋅ ∆T nel nostro caso trattandosi di un gas ideale biatomico il valore di CP sarà
7/2 R. Trattandosi di una compressione anche per il calore il valore finale sarà negativo.
Figura 3
Q = n ⋅ C P ⋅ ∆T
⇒
QC − A = n ⋅ C P ⋅ (T f − Ti ) =n⋅
QC − A
= −n⋅ 7 ⋅ R ⋅ 4 ⋅ T A
2
7
7
R ⋅ (T A − TC ) =n⋅ R ⋅ (T A − 5 ⋅ T A )
2
2
⇒ QC − A = − 14 ⋅ n ⋅ R ⋅ T0
Una volta aver studiato tutte le trasformazioni si può calcolare il rendimento del ciclo.
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η=
LA−B + LB−C + LC−A n ⋅ R ⋅ TB ln5 − 4 ⋅ n ⋅ R ⋅ TA 5 ⋅ TA ln5 − 4
=
=
≅ 0,224≅ 22,4%
QA−B + QB−C
10⋅ n ⋅ R ⋅ TA + n ⋅ R ⋅ TB ln5 10+ 5 ⋅ ln5
PUNTO b
Per determinare la variazione entropica nelle varie fasi dobbiamo considerare che ∆S non dipende innanzi
tutto dal modo in cui il gas cambia stato ma la variazione entropica tra uno stato iniziale e uno stato finale di un
gas ideale dipende solo dalle proprietà degli stati iniziale e finale ( V e T ).La variazione entropica può essere
determinata dalla formula sottostante.
∆S = S f − S I = n ⋅ R ⋅ ln
Vf
Vi
+ n ⋅ CV ⋅ ln
Tf
Ti
La prima trasformazione termodinamica avvenendo a volume costante la variazione entropica viene
determinata dalla seconda parte della formula generale infatti avendo il volume costante il rapporto che
abbiamo tra Vf e Vi è 1 sapendo che il logaritmo di 1 è zero la prima parte delle equazione si annulla.
∆S A − B = S f − S I = n ⋅ CV ⋅ ln⋅
Tf
5
T
5
5 ⋅ TA
J
= n ⋅ ⋅ R ⋅ ln B = n ⋅ ⋅ R ⋅ ln
≅ 33,45
Ti
2
TA
2
TA
K
La seconda trasformazione termodinamica avviene a temperatura costante esso è un caso analogo al
precedente solo che in questo caso si annulla la seconda parte della formula generale portandoci ad utilizzare
la prima parte che determina la variazione entropica.
∆S B − C = S f − S I = n ⋅ R ⋅ ln
Vf
Vi
= n ⋅ R ⋅ ln
5 ⋅ V0
J
= n ⋅ R ⋅ ln 5 ≅ 13,37
V0
K
La terza trasformazione termodinamica avviene a pressione costante in questo caso per determinare la
variazione entropica utilizziamo l’intera formula generale.
∆SC − A = S f − S I = n ⋅ R ⋅ ln
Vf
Vi
+ n ⋅ CV ⋅ ln
Tf
Ti
= n ⋅ R ⋅ ln
V0
T
J
+ n ⋅ CV ⋅ ln A ≅ −46,81
5 ⋅ V0
5 ⋅ TA
K
Conoscendo la variazione entropica in ogni trasformazione possiamo determinare quella del sistema facendo
la somma di tutte le variazioni entropiche.
∆S SIST = ∆S A− B + ∆S B − C + ∆S C − A = (33,45 + 13,37 − 46,81)J / K ≅ 0 J/K
A.Giuliano
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