A
Albero Binario
Il TDA BinaryTree
B
C
D
E
Albero in cui ogni nodo ha
al più due figli. I figli di un
nodo costituiscono una
coppia ordinata
H
F
G
I
– I figli di un nodo vengono
chiamati figlio sinistro e figlio
destro
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Albero sintattico
Applicazioni
Albero binario associato ad un’espressione:
– Nodi interni: operatori
– Nodi esterni: operandi
Applicazioni:
– Valutazione di espressioni aritmetiche
– Rappresentazione di processi di
decisione
– Ricerca di un elemento in un insieme
Esempio: (2 × (a − 1) + (3 × b))
+
×
×
−
2
a
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3
Albero delle decisioni binario
b
1
4
Albero binario di ricerca
35
– Nodi interni: domande con risposte SI/NO
– Nodi esterni: decisioni
35
30
Resto in casa?
20
Si
3
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Albero binario associato ad un processo di
decisione SI/NO:
71
50
36
83
20
71
50
83
No
Mi riposo?
22
Aria aperta?
Si
No
Si
No
Libro
PS2
Passeggiata
Cinema
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2
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97
ok
22
sbagliato
93
5
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97
93
6
1
Interfaccia BinaryTree
Il TDA BinaryTree
Il TDA BinaryTree è una specializzazione di
Tree che supporta tre metodi addizionali
leftChild(v)
– Restituisce il figlio sinistro di v oppure errore se v
non ha un figlio sinistro
rightChild(v)
– Restituisce il figlio destro di v oppure errore se v
non ha un figlio destro
sibling(v)
– Restituisce il fratello di v oppure errore se v non
ha un fratello
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7
Gerarchia completa
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8
Struttura dati per rappresentare BinaryTree
InspectableContainer
size – isEmpty – elements
Possiamo
rappresentare il TDA Position
tramite un nodo che contiene
InspectablePositionalContainer
positions
InspectableTree
PositionalContainer
root – parent – children isIntenal
– isExternal – isRoot
public interface InspectableBinaryTree
extends InspectableTree {
// Metodi di accesso
/** restituisce il figlio sinistro di un nodo */
public Position leftChild(Position v);
/** restituisce il figlio destro di un nodo */
public Position rightChild(Position v);
/** restituisce il fratello di un nodo */
public Position sibling(Position v);
}
public interface BinaryTree
extends InspectableBinaryTree, PositionalContainer { }
replaceElement – swapElement
InspectableBinaryTree
Tree
leftChild – rightChild – sibling
– un riferimento ad un elemento
– un riferimento al nodo genitore
– un riferimento al figlio sinistro
– un riferimento al figlio destro
Graficamente ….
BinaryTree
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9
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10
Classe BTNode – 1
∅
public class BTNode implements Position {
B
∅
B
A
A
D
∅
∅
∅
E
C
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public BTNode() {}
D
∅
C
private Object element;
private BTNode left, right, parent;
∅
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E
11
public BTNode(Object o, BTNode u,
BTNode v, BTNode w) {
setElement(o); setParent(u);
setLeft(v); setRight(w);
}
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12
2
Classe BTNode – 2
Un’altra rappresentazione
public Object element() { return element; }
public void setElement(Object o) { element = o; }
public BTNode getLeft() { return left; }
public void setLeft(BTNode v) { left = v; }
• p(v)=1
public BTNode getRight() { return right; }
– se v è il figlio sinistro di u allora
public void setRight(BTNode v) { right = v; }
• p(v)=2p(u)
– se v è il figlio destro di u allora
public BTNode getParent() { return parent; }
• p(v)=2p(u)+1
public void setParent(BTNode v) { parent = v; }
}
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13
Esempio
1 B
2 A
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Implementazione
statica: è necessaria
una stima del numero massimo di nodi
dell’albero
3 D
4
D
5
C
In A[0] potremmo memorizzare il numero di
elementi nell’albero binario
Problemi con gli array
B
A
Si usa un array A
Ogni nodo v è memorizzato in posizione p(v)
– se v è la radice allora
E
– può portare a spreco di risorse
– nel caso peggiore, un albero con n nodi
richiede un vettore con 2n-1 elementi (se
l’albero degenera in una catena)
6 C
7 E
• Provarlo come esercizio
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15
Esercizi
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16
Esercizi
Implementare l’interfaccia BinaryTree
(scrivere il codice della classe
LinkedBinaryTree) usando
l’implementazione BTNode per Position
Scrivere il codice della classe
ArrayBinaryTree che implementa
l’interfaccia BinaryTree utilizzando un array
per memorizzare i nodi dell’albero
Testare
le classi LinkedBinaryTree e
ArrayBinaryTree provando tutti i metodi
Valutare
le differenze della complessità
computazionale dei metodi implementati
nelle due classi
– In questo caso come possiamo implementare
Position?
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18
3
Visita postorder
Visita preorder
Le visite in alberi attraversano
tutti i nodi dell’albero in
Algorithm preOrder(v)
maniera sistematica
visit(v)
Preorder:
un
nodo
è
ispezionato prima dei suoi
for each child w of v
discendenti
preOrder (w)
Applicazioni:
stampa
dell’indice di un documento
strutturato
1 Data Structures and Algorithms in Java
Un nodo è ispezionato dopo
i suoi discendenti
Applicazione:
calcola
lo
spazio usato dai file in
directory e sotto-directory
9
LASD/
3
2
5 2. OOP
4
1.2 Methods
1.8 Packages
9 Bibliography
7
6
3
2.1 Exception
8
2.7 Exercises
2.5 Casting
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2
listaE.doc
200K
1
6
Stack.ppt
64.5K
6
Queue.ppt
96.5K
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7
4
5
Intro.ppt
85.5K
20
Visita inorder in alberi binari
1
5
4
1
Ulteriori esempi
3
studenti.xsl
53K
Slide/
primaProva.doc
27.5K
19
8
7
ESAMI/
1. Java Programming
2
Algorithm postOrder(v)
for each child w of v
postOrder (w)
visit(v)
3
6
7
2
preorder
4
5
Un nodo è ispezionato dopo il suo sottoalbero sinistro e prima del suo sotto-albero
destro
Applicazione: disegnare un albero binario
– x(v) = # nodi sotto-albero sinistro di v
• rango inorder (numero di elementi visitati prima di v
durante la visita inorder)
postorder
– y(v) = profondità di v
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21
Algorithm inOrder(v)
if isInternal (v)
inOrder (leftChild (v))
visit(v)
if isInternal (v)
inOrder (rightChild (v))
6
Specializzazione della visita
postorder
– chiamate ricorsive
calcolano i valori dei
sotto-alberi
– visitando un nodo,
combina i risultati ottenuti
dai sotto-alberi
+
8
4
1
3
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7
×
9
5
23
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Algorithm evalExpr(v)
if isExternal (v)
return v.element ()
else
x ← evalExpr(leftChild (v))
y ← evalExpr(rightChild (v))
⊗ ← operator stored at v
return x ⊗ y
×
−
2
5
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22
Valutazione espressioni aritmetiche
Algoritmo ed esempio
2
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3
2
1
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24
4
Esercizi
Suggerimenti
Aggiungere, alla classe LinkedTree, il
metodo preorder(). Deve restituire in una
LinkedList i nodi dell’albero memorizzari
secondo la visita preorder.
Aggiungere, alla classe ArrayBinaryTree, il
metodo preorder(). Deve restituire in una
LinkedList i nodi dell’albero memorizzari
secondo la visita preorder.
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25
Esercizi
Il metodo preorder() restituisce quello che è
ritornato dalla funzione treePreorder(root(),L)
LinkedList treePreorder(TreeNode v, LinkedList L) è
la funzione che realmente visita l’albero ed
inserisce i nodi incontrati nella lista L
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26
Gerarchia completa
Aggiungere a LinkedBinaryTree il metodo
toString() che restituisce il contenuto
dell’albero rappresentato tramite una stringa
– toString() può essere implementato tramite una
visita
Aggiungere a LinkedBinaryTree il metodo
eval() che restituisce il risultato della
valutazione
dell’espressione
aritmetica
rappresentata dall’albero
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28
5
