Derivate di funzioni

Derivate di funzioni
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica
9 novembre 2015
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Approssimazione
Problema.
Data una funzione f definita in un intorno di x0 , ci poniamo il
problema di approssimarla localmente, cioè in un intorno
sufficientemente piccolo di x0 , con una retta di equazione
y = ax + b, passante per (x0 , f (x0 )) e quindi tale che
f (x0 ) = ax0 + b.
Notazione.
Dicendo che una funzione f è uguale a o(x − c) intenderemo che
lim
x→c
f (x)
= 0.
x −c
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Introduzione
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Nota sugli o
Nota.
Osserviamo che se limx→x0 f (x) = 0, limx→x0 g (x) = 0 allora
avevamo già visto che f = o(g ) se
lim
x→x0
f
= 0.
g
Con questa vecchia notazione, g (x) = x − c e x0 = c, scrivevamo
f è uguale a o(x − c) qualora
lim
x→c
f (x)
= 0.
x −c
proprio come nella definizione appena introdotta.
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Introduzione
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Approssimazione
Esempio
La funzione sin(x) − x è o(x) (cioè o(x − 0)).
Svolgimento.
Da limx→0
sin(x)
x
= 1 abbiamo che
sin(x)
x
sin(x) − x
= lim
− lim = 1 − 1 = 0
x→0
x→0 x
x→0
x
x
lim
e quindi sin(x) − x è o(x).
Di conseguenza, sin(x) − x = o(x) e quindi, con un abuso di
notazione, sin(x) = x + o(x).
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Introduzione
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Approssimazione
2
1
0
−1
−2
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−8
x 10
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−3
x 10
Figura : In alto. La funzione sin(x) in [−2, 2] (in nero) e x (in rosso). In
basso. L’errore assoluto | sin(x) − x| in un intorno di 0.
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Retta tangente al grafico di f in (x0 , f (x0 ))
Definizione (Retta tangente)
Sia I un intervallo (anche illimitato), e x0 sia interno ad I (cioè non
sia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x0 , f (x0 ))
y = f (x0 ) + m(x − x0 )
è tangente al grafico di f in (x0 , f (x0 )) se
f (x) − [f (x0 ) + m(x − x0 )] = o(x − x0 ).
Usando l’abuso di notazione precedente, che tornerà utile, ciò si
scrive pure
f (x) = [f (x0 ) + m(x − x0 )] + o(x − x0 ).
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Approssimazione
Nota. (1)
Potrebbe dar fastidio l’abuso di notazione. Vediamone la ragione.
Quando scriviamo
f (x) − g (x) = o(x − c)
intendiamo che h(x) = f (x) − g (x) (cioè f (x) = g (x) + h(x)) è
una funzione tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0. Quindi, portando
a secondo membro g (x) con
f (x) = g (x) + o(x − c)
intendiamo dire
f (x) = g (x) + h(x)
con h(x) tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0.
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Approssimazione
Teorema
Se
f (x) = o(x − c) per x → c
allora
lim f (x) = 0.
x→c
Dimostrazione. (Facoltativa)
Infatti, per definizione, limx→c
f (x)
x−c
= 0, dice che
∀ > 0, ∃δ() > 0 : |x − c| < δ() ⇒ |f (x)/(x − c)| < ovvero
∀ > 0, ∃δ() > 0 : |x − c| < δ() ⇒ |f (x)| < · |x − c|
e quindi, esiste un intorno di c per cui |f (x)| < · |x − c| e visto che
|x − c| → 0 per x → c, per il teorema del confronto, da
− · |x − c| < f (x) < · |x − c|
deduciamo che f (x) → 0 per x → c.
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Retta tangente al grafico di f in (x0 , f (x0 ))
Nota.
Ricordando la definizione di o(x − x0 )
f (x) − [f (x0 ) + m(x − x0 )] = o(x − x0 )
significa
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x) − [f (x0 ) + m(x − x0 )]
= lim
−m =0
x→x
x − x0
x − x0
0
cioè facilmente
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
= m ∈ R.
x − x0
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Derivata
Definizione (Rapporto incrementale)
La quantità
f (x) − f (x0 )
x − x0
si chiama rapporto incrementale di f in x relativamente a x0 .
Definizione (Derivabilità )
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, con x0 interno ad I .
Diremo che f è derivabile in x0 se esiste finito il limite
f 0 (x0 ) = limx→x0
f (x)−f (x0 )
.
x−x0
Tale limite f 0 (x0 ) viene chiamato derivata (prima) di f in x0 e
df
viene a volte indicato con dx
|x0 o Df (x0 ).
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Derivabilità : definizione alternativa
Nota.
Osserviamo che posto x = x0 + h, abbiamo
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim
.
h→0
x − x0
h
Per questo motivo spesso si definisce
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
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Derivata, esempio 1
Esercizio
Mostrare che la derivata prima di sin(x) in 0 vale 1.
Svolgimento.
Per quanto detto basta sia, per f (x) = sin(x)
f (0 + h) − f (0)
sin(h) − sin(0)
= lim
h→0
h→0
0+h−0
h
sin(h)
= lim
=1
h→0
h
f 0 (0) =
lim
cosa nota per il limite notevole
lim
x→0
sin(x)
= 1.
x
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Derivata, esempio non derivabile, 1
Esercizio
La funzione
√
3
x non è derivabile in x0 = 0.
Traccia.
Scrivendo il rapporto incrementale
√
3
f (0 + h) − f (0)
h
=
= h−2/3 → ±∞
h
h
con ± a seconda si tenda da destra o sinistra, rispettivamente.
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Derivata, esempio
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
Figura : In alto. La funzione
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0
0.02
√
3
0.04
0.06
0.08
0.1
x in [−0.1, 0.1] (in blue).
Introduzione
14/ 121
Derivata, esempio non derivabile, 2
Definizione (Punto angoloso)
Se
f−0 (x0 ) = lim
h→0−
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
f (x0 + h) − f (x0 )
h
sono finiti ma distinti, il punto x0 si dice angoloso per f .
f+0 (x0 ) = lim+
h→0
Nota.
In questo caso la funzione non risulta derivabile, si ha quando
f+0 (x0 ) = lim
h→0+
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
6= lim
= f−0 (x0 )
h
h
h→0−
in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0
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Introduzione
f (x0 +h)−f (x0 )
.
h
15/ 121
Derivata, esempio non derivabile, 2
Esercizio
La funzione f (x) = |x| ha un punto angoloso in x0 = 0.
Traccia.
Si vede subito che
1 = lim+
h→0
|h| − 0
|h| − 0
−h − 0
6= lim
= lim
= −1.
−
−
h
h
h
h→0
h→0
e quindi il limite richiesto per essere derivabile in x0 = 0 non esiste.
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16/ 121
Derivata, esempio
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Figura : In alto. La funzione |x| in [−0.1, 0.1] (in blue).
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Derivata, cuspide
Definizione (Cuspide)
Se uno tra f+0 (x0 ) e f−0 (x0 ) vale +∞ e l’altro −∞, il punto x0 si
dice cuspide per f .
Nota.
Tale funzione non risulta derivabile, si ha quando
f+0 (x0 ) = lim
h→0+
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
6= lim
= f−0 (x0 )
h
h
h→0−
in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0
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Introduzione
f (x0 +h)−f (x0 )
.
h
18/ 121
Derivata, cuspide
Esempio
La funzione
p
|x| ha una cuspide in x0 = 0.
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.1
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
p
Figura : In alto. La funzione |x| in [−0.1, 0.1]. Si noti che
f−0 (x0 ) = −∞, f+0 (x0 ) = +∞.
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19/ 121
Derivabilità
Definizione (Derivabilità in un intervallo)
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R → R, derivabile per ogni x ∗
interno ad I . Diremo che f è derivabile in I e con
f 0 (x)
intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata nel
punto x.
Nota.
A volte
df
(x)
dx
intenderemo una notazione alternativa a f 0 (x), per definire la
funzione che ad x associa il valore della derivata.
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20/ 121
Derivata, derivate sinistre e destre
Definizione (Derivata destra)
Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f è
derivabile a destra in x0 se esiste finito il limite destro
f (x) − f (x0 )
lim+
:= f+ 0 (x0 )
x − x0
x→x0
Definizione (Derivata sinistra)
Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f è
derivabile a sinistra in x0 se esiste finito il limite sinistro
f (x) − f (x0 )
lim
:= f− 0 (x0 )
−
x − x0
x→x0
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21/ 121
Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre e
destre
Teorema (Legame derivabilità e derivate destre e sinistre)
Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0 . La funzione f è
derivabile in x0 se e solo se
esistono finite f− 0 (x0 ), f+ 0 (x0 ),
f− 0 (x0 ) = f+ 0 (x0 ) = f 0 (x0 ).
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22/ 121
Derivabilità e continuità
Teorema (Legame derivabilità e continuità)
Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0 . Sia la funzione f
derivabile in x0 . Allora la funzione è continua in x0 .
Dimostrazione.
Dalla definizione,
f 0 (x0 )
⇔
f (x) − f (x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 )
lim
=0
x→x0
x − x0
f (x) − f (x0 ) − f 0 (x0 )(x − x0 ) = o(x − x0 )
⇔
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )
=
⇔
lim
x→x0
ed essendo f 0 (x0 )(x − x0 ) → 0, o(x − x0 ) → 0, per x → x0 , ricaviamo
cioè f continua in x0 .
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
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Introduzione
23/ 121
Derivabilità e continuità
Nota.
Il teorema precedente di che la derivabilità di una funzione si studia
solo nei punti in cui f è continua perchè dove è discontinua
sicuramente non è derivabile.
Nota.
Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, come ad
esempio, la funzione f (x) = |x| che è ovunque continua ma non è
derivabile in x0 = 0.
Si noti che, contro l’intuito, esistono perfino funzioni continue
ovunque e mai derivabili.
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24/ 121
Derivabilite delle funzioni elementari: monomi
Teorema (Derivata di f (x) = x α .)
La derivata di f (x) = x α è, internamente al dominio di f ,
0, se α = 0
0
f (x) =
α · x α−1 , se α 6= 0
Dimostrazione.
se α = 0, x0 6= 0 abbiamo
(x0 + h)0 − (x0 )0
0
= lim = 0.
h→0
h→0 h
h
f 0 (x0 ) = lim
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Introduzione
25/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: monomi
se α 6= 0, da
(x0 + h)α = (x0 (1 + (h/x0 )))α = x0α (1 + (h/x0 ))α
necessariamente
(x0 + h)α − x0α
h→0
h
x0α (1 + (h/x0 ))α − x0α
= lim
h→0
h
α
α
1 + xh0
x0
−1
= lim
h→0
h
f 0 (x0 ) =
lim
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26/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: monomi
Dal limite notevole
(1 + t)α − 1
=α
t→0
t
e
x0α (1 + xh0 )α − 1
f 0 (x0 ) = lim
h→0
h
posto t = h/x0 , necessariamente t → 0 e
x0 α (1 + xh0 )α − 1
x α ((1 + t)α − 1)
lim
= lim 0
t→0
h→0
h
tx0
α
α−1 ((1 + t) − 1)
·
= lim x0
t→0
t
((1 + t)α − 1)
α−1
= x0
· lim
t→0
|
{z t
}
lim
=
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αx0α−1 .
Introduzione
27/ 121
=α
Derivabilità delle funzioni elementari: monomi
se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare
√ il limite per x → 0
(pensare quanto differenti siano i casi x 2 e x!)
(0 + h)α − 0α
= lim hα−1
h→0
h→0
h
che vale 0, come x α−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,
come x α−1 per x = 0 (con abuso di notazione).
lim
se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare esclusivamente il limite
per x → 0+
(0 + h)α − 0α
lim
= lim hα−1
h
h→0+
h→0+
che vale 0, come x α−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,
come x α−1 per x = 0 (con abuso di notazione).
se α = 1 e x0 = 0 allora
lim
h→0
(0 + h)α − 0α
h
= lim = 1
h→0 h
h
come x 0 = 1 per x = 0, definendo 00 = 1.
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28/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: sin(x)
Teorema (Derivata di f (x) = sin(x).)
La derivata di f (x) = sin(x) è f 0 (x) = cos(x).
Dimostrazione.
Osserviamo che da sin(x0 + h) = sin(x0 ) cos(h) + sin(h) cos(x0 )
sin(x0 + h) − sin(x0 )
h
sin(x0 ) cos(h) + sin(h) cos(x0 ) − sin(x0 )
lim
h→0
h
sin(x0 )(cos(h) − 1) + cos(x0 ) sin(h)
lim
h→0
h
sin(x0 )h(cos(h) − 1)
cos(x0 ) sin(h)
+ lim
lim
h→0
h→0
h2
h
0 · (−1/2) + cos(x0 ) = cos(x0 ).
lim
h→0
=
=
=
=
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Introduzione
29/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: cos(x)
Teorema (Derivata di f (x) = cos(x).)
La derivata di f (x) = cos(x) è f 0 (x) = − sin(x).
Dimostrazione. (Facoltativa)
Osserviamo che da cos(x0 + h) = cos(x0 ) cos(h) − sin(h) sin(x0 )
cos(x0 + h) − cos(x0 )
h
cos(x0 ) cos(h) − sin(h) sin(x0 ) − cos(x0 )
lim
h→0
h
cos(x0 ) · (cos(h) − 1) − sin(h) sin(x0 )
lim
h→0
h
sin(h)
1 − cos(h)
− cos(x0 ) · lim |{z}
h
·
− lim
2
h→0
h→0
h
h }
→0 |
{z }
| {z
lim
h→0
=
=
=
→1/2
=
0 − sin(x0 ) = − sin(x0 ).
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30/ 121
· sin(x0 )
→1
Derivabilità delle funzioni elementari: e x
Teorema (Derivata di f (x) = e x .)
La derivata di f (x) = e x è f 0 (x) = e x .
Dimostrazione.
Osserviamo che da limh→0
e h −1
h
e x0 +h − e x0
h→0
h
lim
=1
e x0 · e h − e x0
h→0
h
eh − 1
= lim e x0 ·
h→0
h }
| {z
=
lim
→1
= e x0 .
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31/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: ax
Teorema (Derivata di f (x) = ax .)
Per a 6= 1, la derivata di f (x) = ax è f 0 (x) = ax log(a).
Dimostrazione.
Osserviamo che da limh→0
ah −1
h
ax0 +h − ax0
h→0
h
=
lim
= log(a)
ax0 · ah − ax0
h→0
h
ah − 1
= lim ax0 ·
h→0
h }
| {z
lim
→log(a)
x0
= a log(a).
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Introduzione
32/ 121
Derivabilità delle funzioni elementari: ax
Nota.
Abbiamo visto che se a 6= 1, la derivata di f (x) = ax è
f 0 (x) = ax log(a).
Nel caso particolare di a = e abbiamo che se f (x) = e x
f 0 (x) = e x log(e) = e x
come affermava il teorema precedente a quello appena mostrato.
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Introduzione
33/ 121
Algebra delle derivate
Teorema
Siano f , g : I ⊆ R → R derivabili in x0 interno ad I . Allora
f + g è derivabile in x0 e
(f + g )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 );
se c ∈ R allora c · f è derivabile in x0
(c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 );
f · g è derivabile in x0 e
(f · g )0 (x0 ) = f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 );
se g (x0 ) 6= 0 allora f /g è derivabile in x0 e
(f /g )0 (x0 ) =
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f 0 (x0 )g (x0 )−f (x0 )g 0 (x0 )
g 2 (x0 )
Introduzione
34/ 121
Algebra delle derivate. Esempi.
Esempio
Abbiamo visto che D sin(x) = cos(x), che Dx 3 = 3x 2 e che
De x = e x . Di conseguenza
D(x 3 ) = 3x 2 + cos(x),
D(2 · x 3 ) = 2 · D(x 3 ) = 2 · 3 · x 2 = 6 · x 2
D(x 3 · sin(x)) = 3x 2 · sin(x) + x 3 · cos(x)
x e
e x · sin(x) − e x · cos(x)
sin(x) − cos(x)
D
=
= ex ·
2
sin(x)
sin (x)
sin2 (x)
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Introduzione
35/ 121
Algebra delle derivate: tan(x), cot(x)
Teorema (Derivata di f (x) = tan(x))
Se f (x) = tan(x) allora, per x 6= (π/2) + kπ, k ∈ Z,
f 0(x) = 1 + tan2 (x).
Dimostrazione.
Dall’algebra delle derivate sopra esposta e cos2 (x) + sin2 (x) = 1
d
tan(x) =
dx
=
d sin(x)
cos2 (x) + sin2 (x)
=
dx cos(x)
cos2 (x)
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
Teorema
Se f (x) = cot(x) := (cos(x)/ sin(x)) allora, per x 6= kπ, k ∈ Z,
f 0(x) = −1 + cot2 (x).
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Introduzione
36/ 121
Derivazione di funzioni composte
Teorema (Derivata di funzioni composte)
Sia I un intervallo e supponiamo che
f : I ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di I ,
g : J ⊆ R → R sia derivabile nell’interno di J,
f (I ) ⊆ J.
Allora g ◦ f è derivabile e vale
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x).
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Introduzione
37/ 121
Derivazione di funzioni composte
Esempio
Calcolare la derivata di
h(x) = cos(x)
utilizzando la derivata di una funzione composta.
Svolgimento.
La funzione h(x) = cos(x) = sin(π/2 − x) è la composta di
g (y ) = sin(y ) e f (x) = π/2 − x. Quindi dalla regola appena vista,
visto che g 0 (y ) = cos(y ) e f 0 (x) = 0 − 1 = −1, ricaviamo
h0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) = (−1) · cos(π/2 − x) = − sin(x).
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Introduzione
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Derivazione di funzioni composte
Esempio
Calcolare la derivata di
h(x) = e sin(x) .
Svolgimento.
La funzione h(x) = e sin(x) è la composta di g (x) = e x e
f (x) = sin(x). Quindi dalla regola appena vista, visto che
g 0 (x) = e x e f 0 (x) = cos(x), ricaviamo
h0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) = e sin(x) · cos(x).
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Introduzione
39/ 121
Derivazione della funzione inversa
Teorema (Derivata della funzione inversa)
Sia I un intervallo e supponiamo che
f : I ⊆ R → R sia derivabile in x0 appartenente all’interno di
I,
f 0 (x0 ) 6= 0.
Allora f −1 è derivabile in y0 = f (x0 ) ed è
(f −1 )0 (y0 ) =
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1
.
f 0 (f −1 (y0 ))
Introduzione
40/ 121
Derivazione della funzione inversa
Traccia.
Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che,
derivando ambo i membri di f −1 (f (x)) = x visto che
D(f −1 (f (x))) = (f −1 )0 (f (x)) · f 0 (x);
Dx = 1,
deduciamo che
(f −1 )0 (f (x)) · f 0 (x) = 1 ⇔ (f −1 )0 (f (x)) =
1
f 0 (x)
da cui posto y = f (x), abbiamo x = f −1 (y ) e quindi
(f −1 )0 (y ) = 1/f 0 (x) = 1/f 0 (f −1 (y )).
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Introduzione
41/ 121
Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)
Teorema (Derivata di arcsin(x))
Se f (x) = arcsin(x) allora f 0 (x) =
√ 1
.
1−x 2
Traccia.
Posto f (x) = sin(x), abbiamo per il precedente teorema, visto che
d
sin(x) = cos(x), che
dx
1
d
arcsin(y ) =
.
dx
cos(arcsin(y ))
Osserviamo poi che essendo arcsin(y ) ∈ [−π/2, π/2], sicuramente
cos(arcsin(y )) ≥ 0 in quanto cos(τ ) ≥ 0 per τ ∈ [−π/2, π/2] e quindi da
sin2 (x) + cos2 (x) = 1 abbiamo
q
cos(arcsin(y )) = 1 − sin2 (arcsin(y )).
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Introduzione
42/ 121
Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)
Inoltre, poichè sin2 (τ ) := (sin(τ ))2 e sin(arcsin(y )) = y , necessariamente
sin2 (arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2 = y 2 .
Assemblando i risultati
q
cos(arcsin(y )) = 1 − sin2 (arcsin(y ));
e
sin2 (arcsin(y )) := (sin(arcsin(y )))2 = y 2 .
ricaviamo
1
1
1
d
arcsin(y ) =
= p
= p
.
dx
cos(arcsin(y ))
1 − y2
1 − sin2 (arcsin(y ))
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Introduzione
43/ 121
Lista di derivate
Teorema
Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione):
f (x)
f 0 (x)
nota
α
x
α · x α−1
α∈R
ex
ex
x
a
(log a) · (ax )
a>0
sinh (x)
cosh (x)
cosh (x)
sinh (x)
log (|x|)
1/x
loga (|x|) (1/x) loga (e) a ∈ R+ \{0, 1}
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
tan(x)
1 + tan2 (x)
arcsin(x) (1 − x 2 )−1/2
arccos(x) −(1 − x 2 )−1/2
arctan(x) (1 + x 2 )−1
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Introduzione
44/ 121
Derivazione della funzione inversa: log(x)
Teorema (Derivata di log(x))
Mostrare che
1
d
loga (x) =
dx
x log a
Dimostrazione.
d x
Ricordato che loga ax = x, che dx
a = (log(a)) · ax , dal teorema
della funzione inversa e aloga (x) = x,
d
1
1
loga (x) =
=
.
log
(x)
a
dx
(log(a))x
(log(a)) · a
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Introduzione
45/ 121
Massimi e minimi relativi
Definizione (Minimo locale)
Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I è un
minimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 tale
che
f (x) ≥ f (x0 ), per ogni x ∈ U.
Definizione (Massimo locale)
Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I è un
massimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 tale
che
f (x) ≤ f (x0 ), per ogni x ∈ U.
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Introduzione
46/ 121
Massimi e minimi assoluti
Definizione (Minimo assoluto)
Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I è un
minimo assoluto (o globale) per f se
f (x) ≥ f (x0 ), per ogni x ∈ I .
Definizione (Massimo assoluto)
Sia f : I ⊆ R → R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I è un
massimo assoluto (o globale) per f se
f (x) ≤ f (x0 ), per ogni x ∈ I .
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Introduzione
47/ 121
Massimi e minimi assoluti
Nota.
Se x0 è un minimo assoluto allora è anche un minimo relativo.
Se x0 è un massimo assoluto allora è anche un massimo
relativo.
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Introduzione
48/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0
Teorema (Fermat (1637))
Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .
Allora se x0 è un punto di minimo relativo o massimo relativo per f
sia ha che f 0 (x0 ) = 0.
Svolgimento.
Dalla derivabilità deduciamo che
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
:= f 0 (x0 ).
x − x0
Se x0 è un minimo relativo, esiste un intorno U ⊆ I tale che
f (x0 ) ≤ f (x) per ogni x ∈ U, cioè
f (x) − f (x0 ) ≥ 0 per ogni x ∈ U.
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Introduzione
49/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0
In particolare se x > x0 allora x − x0 > 0 e quindi
f (x) − f (x0 )
≥ 0 per ogni x ∈ U, x > x0
x − x0
e quindi per il teorema di permanenza del segno
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
x→x0
Se invece x < x0 allora x − x0 < 0 e quindi
lim+
f (x) − f (x0 )
≤ 0 per ogni x ∈ U, x < x0
x − x0
da cui per il teorema di permanenza del segno
lim
x→x0−
f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
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Introduzione
50/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0
Siccome la derivata in x0 esiste, necessariamente
0 ≤ lim+
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
≤0
−
x − x0
x − x0
x→x0
e quindi
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim+
= lim
= 0.
−
x − x0
x
−
x
x − x0
x→x0
0
x→x0
Con la stessa tecnica si dimostra l’asserto nel caso x0 sia un
massimo relativo.
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Introduzione
51/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0
Definizione (Estremi)
I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamano
estremi di f .
Nota.
Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non è
continua o non derivabile!
Definizione (Punto critico o stazionario)
Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .
Diremo che x0 è un punto critico o stazionario per f se f 0 (x0 ) = 0.
Nota.
Non tutti i punti stazionari sono estremi. La funzione f (x) = x 3 ha
un punto stazionario in x0 = 0 che però non è estremo.
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Introduzione
52/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0 . Punti critici.
1
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−1
Figura : La funzione x 3 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).
Evidentemente non ha un punto estremo in 0, tuttavia si annulla la
derivata.
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Introduzione
53/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0 . Punti critici.
Teorema
Sia I un intervallo e f : I → R e supponiamo che x0 sia un minimo
o un massimo relativo per f . Allora vale una delle seguenti:
x0 è un punto critico per f ;
x0 non è interno a I (è un estremo, anche ±∞ se l’intervallo è
illimitato);
f non è derivabile in x0 .
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Introduzione
54/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0 . Punti critici.
2
1.5
1
0.5
0
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
1
2
3
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−3
Figura : La funzione ||x| − 1| in [−3, 3] (in nero) e la sua derivata (in
rosso), qualora esistente.
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Introduzione
55/ 121
Teorema di Rolle.
Teorema (Weierstrass (1860))
Sia f : [a, b] → R
continua in [a, b];
−∞ < a < b < +∞
Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b].
Teorema (Rolle (1691))
Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo
f continua in [a, b];
f derivabile in (a, b);
f sia tale che f (a) = f (b).
Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che f 0 (ξ) = 0.
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Introduzione
56/ 121
Teorema di Rolle.
Dimostrazione.
Se f è costante in [a, b], il teorema è ovvio.
Se f non è costante, certamente è continua in quanto persino
derivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo
−∞ < a < b < +∞, ha un massimo e minimo in [a, b] e
quindi esistono x1 , x2 ∈ [a, b] tali che
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ), per ogni x ∈ [a, b].
Siccome f (a) = f (b) e f non è costante, necessariamente o
x1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, o
f 0 (x1 ) = 0 o f 0 (x2 ) = 0 con x1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b).
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Introduzione
57/ 121
Teorema di Rolle.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Figura : La funzione sin(x) in [0, π] (in nero) e la sua derivata (in rosso).
Evidentemente è applicabile il teorema di Rolle e in effetti la derivata si
annulla in almeno un punto (cioè π/2 ≈ 1.570796326794897).
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Introduzione
58/ 121
Teorema di Lagrange.
Teorema (Lagrange (1797))
Sia f : [a, b] → R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo
f continua in [a, b];
f derivabile in (a, b).
Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che
f 0 (ξ) =
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f (b)−f (a)
.
b−a
Introduzione
59/ 121
Teorema di Lagrange.
Dimostrazione.
Sia
g (x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
La funzione g è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali
(a)
f e f (b)−f
(x − a), e valendo l’algebra delle funzioni continue e
b−a
derivabili lo è pure g .
Inoltre g (a) = f (a), g (b) = f (a) e quindi, per il teorema di Rolle
esiste ξ ∈ (a, b) tale che
0 = g 0 (ξ) = f 0 (x) −
f (b) − f (a)
f (b) − f (a) d
(x − a) = f 0 (x) −
b−a
dx
b−a
cioè per cui
f 0 (ξ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
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Introduzione
60/ 121
Teorema di Lagrange.
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Figura : La funzione sin(x) + cos(x) in [0, (5/3)π] (in nero), la sua derivata
(a)
(0)
= f ((5/3)π)−f
.
(in rosso) con sovrapposta la retta di equazione y = f (b)−f
b−a
(5/3)π
Evidentemente è applicabile il teorema di Lagrange e in effetti la derivata
interseca la retta in verde in almeno un punto.
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Introduzione
61/ 121
Teorema di Cauchy.
Teorema (Cauchy)
Siano f , g : [a, b] → R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in
(a, b) con g (a) 6= g (b) e g 0 6= 0. Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che
f 0 (ξ)
f (b) − f (a)
=
0
g (ξ)
g (b) − g (a)
Dimostrazione.
Si verifica facilmente che
h(x) = f (x)(g (b) − g (a)) − g (x)(f (b) − f (a))
è continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e g .
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Introduzione
62/ 121
Teorema di Cauchy.
Inoltre, da h(x) = f (x)(g (b) − g (a)) − g (x)(f (b) − f (a)),
h(a)
h(b)
=
f (a)(g (b) − g (a)) − g (a)(f (b) − f (a))
=
f (a)g (b) − g (a)f (b),
=
f (b)(g (b) − g (a)) − g (b)(f (b) − f (a))
=
−f (b)g (a) + f (a)g (b).
Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ ∈ (a, b) tale che
0 = h0 (ξ) = f 0 (ξ)(g (b) − g (a)) − g 0 (ξ)(f (b) − f (a))
cioè per cui
f 0 (ξ)
f (b) − f (a)
=
.
g 0 (ξ)
g (b) − g (a)
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Introduzione
63/ 121
Derivate prime e monotonia.
Teorema
Supponiamo I sia un intervallo e
f :I →R
f sia derivabile in I
Allora
f crescente in I se e solo se f 0 (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I .
f decrescente in I se e solo se f 0 (x) ≤ 0 per ogni x ∈ I .
f strettamente crescente in I , se f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ I .
f strettamente decrescente in I , se f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ I .
Nota.
Si noti che il se e solo se vale solo nel caso crescente e decrescente.
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Introduzione
64/ 121
Derivate prime e monotonia.
Dimostrazione. (⇒)
Siano x1 , x2 ∈ I , x1 < x2 , arbitrariamente scelti. Per il teorema di
Lagrange esiste ξ ∈ (x1 , x2 ) tale che
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ).
Se
f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo è in ξ, ed
essendo x1 < x2
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ) > 0
e vista l’arbitrarietà della scelta x1 , x2 ∈ I , x1 < x2 , deduciamo
che f è strettamente crescente.
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Introduzione
65/ 121
Derivate prime e monotonia.
f 0 (x) < 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo è in ξ, ed
essendo x1 < x2
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 − x1 ) < 0
e vista l’arbitrarietà della scelta x1 , x2 ∈ I , x1 < x2 , deduciamo
che f è strettamente decrescente.
La dimostrazione per f crescente o decrescente, è simile.
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Introduzione
66/ 121
Derivate prime e monotonia.
Dimostrazione facoltativa. (⇐)
Viceversa, se
se f è crescente in I , allora
f (x) − f (x0 )
≥ 0, x, x0 ∈ I
x − x0
in quanto
se x > x0 allora f (x) > f (x0 ) e quindi x − x0 > 0,
f (x) − f (x0 ) > 0;
se x < x0 allora f (x) < f (x0 ) e quindi x − x0 < 0,
f (x) − f (x0 ) < 0.
e quindi per il teorema di permanenza del segno
f 0 (x0 ) = limx→x0
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f (x) − f (x0 )
≥0
x − x0
Introduzione
67/ 121
Derivate prime e monotonia.
se f è decrescente in I , allora
f (x) − f (x0 )
≤ 0, x, x0 ∈ I
x − x0
in quanto
se x > x0 allora f (x) < f (x0 ) e quindi x − x0 > 0,
f (x) − f (x0 ) < 0;
se x < x0 allora f (x) > f (x0 ) e quindi x − x0 < 0,
f (x) − f (x0 ) > 0.
e quindi per il teorema di permanenza del segno
f 0 (x0 ) = limx→x0
f (x) − f (x0 )
≤0
x − x0
e quindi vista l’arbitrarietà di x0 è negativa in I .
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Introduzione
68/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 1.
Esercizio
Mostrare che la funzione f (x) = x 3 è strettamente crescente in R.
Svolgimento.
Da f 0 (x) = 3x 2 ≥ 0 è crescente in R.
Osserviamo che per ogni x 6= 0 è strettamente crescente, in quanto
f 0 (x) = 3x 2 > 0 per x 6= 0. Quindi siccome f 0 (x) non è
strettamente positiva al più in un insieme numerabile di punti, la
funzione f (x) = x 3 è strettamente crescente in R.
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Introduzione
69/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 2.
Esercizio
Determinare dove è crescente o decrescente f (x) = e x − x.
Svolgimento.
Da f 0 (x) = e x − 1, essendo il logaritmo una funzione crescente,
e x − 1 > 0 ⇔ e x > 1 ⇔ x > log(1) = 0,
e quindi è strettamente crescente per x > 0, altrimenti
strettamente decrescente. Si deduce che x = 0 è un punto di
minimo.
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Introduzione
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Derivate prime e monotonia, esercizio 2.
6
5
4
3
2
1
0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura : Il grafico di e x − x in [−2, 2].
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Introduzione
71/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
Esercizio
2
+1
Determinare dove è crescente o decrescente f (x) xx+1
.
Svolgimento.
Osserviamo per prima cosa che il dominio della funzione è
D = R\{−1} e che in D la funzione è continua. Da
f 0(x) =
x 2 + 2x − 1
2x · (x + 1) − (x 2 + 1) · 1
=
,
(x + 1)2
(x + 1)2
visto che il denominatore è sempre positivo in D, f 0 (x) > 0 per
x ∈ D se e solo se x 2 + 2x − 1 > 0.
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Introduzione
72/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
Vediamo quindi quando x 2 + 2x − 1 > 0.
Visto che x 2 + 2x − 1 = 0 se e √
solo se
4 + 4)/2
x
=
(−2
±
√
cioè x = −1 ± 2.
Considerato che
√
√
x1 = −1 − 2 = −2.4142 . . . , x2 = −1 + 2 = +0.4142 . . . .
deduciamo che
f 0 (x) > 0, cioè strettamente
crescente, se e solo se
√
√
x ∈ (−∞, −1 − 2) ∪ (1 + 2, +∞),
√
√
f 0 (x) = 0 in x1 = −1 − 2, x2 = −1 + 2,
√
√
negli altri punti di D, cioè x ∈ (−1 − 2, 1 + 2)\{−1},
abbiamo f 0 (x) < 0, cioè strettamente decrescente.
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Introduzione
73/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
60
40
20
0
−20
−40
−60
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura : Il grafico di (x 2 + 1)/(x + 1) in [−4, 4].
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Introduzione
74/ 121
Derivate prime e monotonia, esempio.
Teorema
Supponiamo I sia un intervallo, f : I → R continua. Allora è
invertibile in Im(f ) se e soltanto se è strettamente monotona.
Esempio
La funzione f (x) = x 3 − 1 : R → R è continua, strettamente
monotona (lo è x 3 e quindi anche x 3 − 1). Quindi è invertibile. In
√
effetti f −1 (y ) = 3 y + 1.
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Introduzione
75/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio.
Esempio
Data f (x) = x + sin (x),
dimostrare che f è invertibile;
calcolare (f −1 )0 ( 3π
2 − 1).
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Introduzione
76/ 121
Asintoti orizzontali.
Definizione (Asintoto orizzontale)
La retta y = y0 è un asintoto orizzontale per f a +∞ se
limx→+∞ f (x) = y0 .
Definizione (Asintoto verticale)
La retta y = y0 è un asintoto orizzontale per f a −∞ se
limx→−∞ f (x) = y0 .
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Introduzione
77/ 121
Asintoti verticali.
Definizione (Asintoto verticale per f a sinistra di x0 )
La retta x = x0 è un asintoto verticale per f a sinistra di x0 se
limx→x − f (x) = +∞ o limx→x − f (x) = −∞.
0
0
Definizione (Asintoto verticale per f a destra di x0 )
La retta x = x0 è un asintoto verticale per f a destra di x0 se
limx→x + f (x) = +∞ o limx→x + f (x) = −∞.
0
0
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Introduzione
78/ 121
Asintoti obliqui.
Definizione (Asintoto obliquo a +∞)
La retta y = mx + q (m 6= 0) è in asintoto obliquo per f a +∞ se
lim
x→+∞
f (x)
=m
x
e
lim f (x) − mx = q.
x→+∞
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Introduzione
79/ 121
Asintoti obliqui.
Definizione (Asintoto obliquo a −∞)
La retta y = mx + q (m 6= 0) è in asintoto obliquo per f a −∞ se
lim
x→−∞
f (x)
=m
x
e
lim f (x) − mx = q.
x→−∞
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Introduzione
80/ 121
Asintoti.
5
x 10
10
5
0
−5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
−5
x 10
3
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
2.5
2
1.5
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura : Il grafico di tre curve e loro asintoti. In alto, 1/x (in blue) e y = 0 (in
verde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 0 a
+∞. In centro, (x + 1)/x (in blue) e y = 1 (in verde). La curva
√ha un asintoto
verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 1 a +∞. In basso, x 2 + 1 (in
blue) e y = x (in verde). La curva ha un asintoto obliquo y = x a +∞.
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Introduzione
81/ 121
Asintoti, esempio.
Esempio
Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x) =
√
x 2 + 1.
Svolgimento.
Si osservi che la funzione è continua in [0, +∞) e quindi non ha
asintoti verticali. Inoltre
p
lim
x 2 + 1 = +∞
x→+∞
e quindi è possibile abbia un asintoto obliquo a +∞. Non ha
asintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste un
asintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito
√
x2 + 1
m = lim
.
x→+∞
x
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Introduzione
82/ 121
Asintoti, esempio.
Raccogliendo x,
√
m = lim
x→+∞
x
x2 + 1
= lim
x→+∞
x
p
1 + (1/x 2 )
= 1.
x
Ora, razionalizzando
√
p
p
x2 + 1 + x
2
2
q =
lim
x + 1 − x = lim ( x + 1 − x) √
x→+∞
x→+∞
x2 + 1 + x
x2 + 1 − x2
1
=
lim √
= lim √
= 0.
2
2
x→+∞
x→+∞
x +1+x
x +1+x
√
Quindi y = x è un asintoto obliquo per f (x) = x 2 + 1 a +∞.
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Introduzione
83/ 121
Derivate successive (di ordine superiore).
Definizione (Derivata seconda)
Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che esista f 0 e
sia derivabile in I . La funzione f 00 = (f 0 )0 si chiama derivata
seconda di f .
Nota.
A volte si scrive
f 00 =
d2
d2
f
|
=
f (x).
x
dx 2
dx 2
In alternativa si pone
f (2) = f 00
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Introduzione
84/ 121
Derivate successive (di ordine superiore).
Definizione (Derivata k-sima)
Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che
f (k−1) esista,
f (k−1) sia derivabile in I , per k ≥ 2.
La funzione f (k) = (f (k−1) )0 si chiama derivata k-sima di f .
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Introduzione
85/ 121
Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.
Esercizio
Calcolare le derivate successive di
f (x) = x n .
Svolgimento.
f (2) (x) = 0 se n = 0, altrimenti f (1) (x) = nx n−1 ;
f (2) (x) = 0 se n ≤ 1, altrimenti f (2) (x) = n(n − 1)x n−2 ;
f (3) (x) = 0 se n ≤ 2, altrimenti
f (3) (x) = n(n − 1)(n − 2)x n−3 ;
f (k) (x) = 0 se n ≤ k − 1, altrimenti
f (k) (x) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)x n−k ;
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Introduzione
86/ 121
Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.
Esercizio
Calcolare le derivate successive di
f (x) = sin(x).
Svolgimento.
f (1) (x) = cos(x);
f (2) (x) = − sin(x);
f (3) (x) = − cos(x);
f (4) (x) = sin(x);
. . .;
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Introduzione
87/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Definizione (Funzione convessa)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f è convessa se per
ogni x, y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1 − t)x + ty ) ≤ (1 − t)f (x) + tf (y ).
Definizione (Funzione concava)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f è concava se per ogni
x, y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1 − t)x + ty ) ≥ (1 − t)f (x) + tf (y ).
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Introduzione
88/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Definizione (Funzione strettamente convessa)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f è strettamente
convessa se per ogni x, y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1 − t)x + ty ) < (1 − t)f (x) + tf (y ).
Definizione (Funzione strettamente concava)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f è strettamente
concava se per ogni x, y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1 − t)x + ty ) > (1 − t)f (x) + tf (y ).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
89/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
8
6
4
2
0
−2
−3
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
1
2
3
2
0
−2
−4
−6
−8
−3
Figura : Il grafico di una funzione convessa (in nero, sopra) e il grafico di
una funzione concava (in nero, sotto). In entrambe, il segmento che
unisce due punti del grafico. In un caso è sopra la curva, nell’altro è sotto.
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Introduzione
90/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Teorema
Sia f : I → R, con I chiuso. Se f è concava o convessa, allora f è
continua in I .
Teorema
Sia f : I → R, con I chiuso.
Se f è convessa, allora
f è derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o
numerabile di punti X ;
la funzione f 0 , ove definita, è monotona crescente.
Se f è concava, allora
f è derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito o
numerabile di punti X ;
la funzione f 0 , ove definita, è monotona decrescente.
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Introduzione
91/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Teorema
Sia f : I → R, con I aperto. Si supponga f 0 , f 00 : I → R. Allora:
f è convessa se e solo se
f 00 (x) ≥ 0,
per ogni x ∈ I ;
f è strettamente convessa se e solo se
f 00 (x) > 0,
per ogni x ∈ I ;
f è concava se e solo se
f 00 (x) ≤ 0,
per ogni x ∈ I ;
f è strettamente concava se e solo se
f 00 (x) < 0,
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per ogni x ∈ I ;
Introduzione
92/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.
Definizione (Flesso)
Sia f : (a, b) → R. Un punto x0 ∈ (a, b) si dice di flesso per f se
f 0 (x0 ) ∈ R∗
per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x0 , la funzione f
cambia concavità.
Teorema
Sia f : (a, b) → R. Supponiamo f sia derivabile due volte in (a, b)
e x0 ∈ (a, b) sia di flesso. Allora f (2) (x0 ) = 0.
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Introduzione
93/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.
1
0.5
0
−0.5
−1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5
4
3
2
1
0
−1
Figura : La funzione x 5 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).
Evidentemente ha un punto di flesso in x0 = 0.
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Introduzione
94/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: nota.
Teorema
Se f : (a, b) → R è strettamente convessa e derivabile in (a, b)
allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un minimo
globale.
Teorema
Se f : (a, b) → R è strettamente concava e derivabile in (a, b)
allora ha al più un punto stazionario e questo sarà un massimo
globale.
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Introduzione
95/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: esempio.
Esempio
La funzione f (x) = e x è derivabile due volte ed è
f (2) (x) = e x > 0. Quindi è strettamente convessa in R.
Esempio
La funzione f (x) = log(x) è derivabile due volte ed è
f (2) (x) = −(1/x 2 ) < 0. Quindi è strettamente concava nel suo
insieme di definizione R+ \0.
Esempio
Dire dove, al variare di α ∈ R, la funzione f (x) = x α , è derivabile
due volte, stabilendone la concavità o convessità .
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Introduzione
96/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Teorema (de l’Hopital (1696))
Siano f , g : I ⊆ R → R, con I = (a, b) intervallo aperto. Si
supponga che
f , g siano entrambe derivabili in I ;
valga una delle seguenti
1
2
3
limx→a+ f (x) = limx→a+ g (x) = 0;
limx→a+ f (x) = limx→a+ g (x) = −∞;
limx→a+ f (x) = limx→a+ g (x) = +∞;
sia limx→a+
f 0 (x)
g 0 (x)
= L, L ∈ R∗ .
Allora
lim+
x→a
f (x)
= L.
g (x)
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Introduzione
97/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Dimostrazione facoltativa.
Mostriamo esclusivamente il caso
limx→a+ f (x) = limx→a+ g (x) = 0.
Siano
fˆ(x) =
f (x), x ∈ (a, b)
0, x = a.
g (x), x ∈ (a, b)
0, x = a.
ĝ (x) =
Le funzioni fˆ, ĝ sono
continue in [a, b);
derivabili in (a, b);
limx→a+
f (x)
g (x)
= limx→a+
fˆ(x)
ĝ (x)
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Introduzione
98/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Osserviamo che
fˆ(x) − 0
fˆ(x) − fˆ(a)
fˆ(x)
=
=
.
ĝ (x)
ĝ (x) − 0
ĝ (x) − ĝ (x)
Fissato x ∈ [a, b), si ha che fˆ(x), ĝ (x) sono continue in [a, x] e
derivabili in (a, x).
Dal teorema di Cauchy, esiste ξ(x) ∈ (a, x) tale che
fˆ(x) − fˆ(a)
fˆ0 (ξ(x))
= 0
ĝ (x) − ĝ (a)
ĝ (ξ(x))
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Introduzione
99/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Quindi
lim+
x→a
f (x)
g (x)
=
lim+
x→a
=
lim+
x→a
fˆ(x)
ĝ (x)
fˆ(x) − fˆ(a)
ĝ (x) − ĝ (a)
= lim+
x→a
fˆ0 (ξ(x))
.
ĝ 0 (ξ(x))
Osserviamo ora che se x → a+ , pure ξ(x) → a+ poichè
ˆ0
+
ξ(x) ∈ (a, x). Inoltre limt→a+ ĝf 0(t)
(t) = limt→a
+
t = ξ(x), si ha quindi che t → a da cui
lim+
x→a
f (x)
g (x)
=
lim+
x→a
f 0 (t)
g 0 (t) .
Posto
f 0 (t)
fˆ0 (ξ(x))
fˆ0 (t)
=
lim
=
lim
.
ĝ 0 (ξ(x)) t→a+ ĝ 0 (t) t→a+ g 0 (t)
come volevasi dimostrare.
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Introduzione
100/ 121
(1)
Teorema di de l’Hopital, esempio.
Esempio
Calcolare
1 − cos2 (x)
x→0
x
lim
Svolgimento.
E’ una forma indeterminata del tipo 0/0. Usando la regola de
l’Hopital
lim
x→0
1 − cos(x)
sin(x)
cos(x)
1
= lim
= lim
=
x→0 2x
x→0
x2
2
2
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Introduzione
101/ 121
(2)
Esercizi
Esercizi
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Introduzione
102/ 121
Derivata, esercizio
Esercizio
Mostrare che la derivata prima di log(x) in x0 > 0 vale 1/x0 .
Traccia.
Ricordiamo che
log(1 + y )
→ 1.
y →0
y
lim
Dalle proprietà dei logaritmi
log(x + h) − log(x)
h
=
=
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log((x + h)/x)
h
log(1 + (h/x))
→ 1/x
(h/x)x
Introduzione
103/ 121
Derivazione: esercizi
Esercizio
Calcolare le derivate di
f (x) = asin (x) ;
f (x) = cos xx+1
3 +2
f (x) =
f (x) =
sin(x)+e 1/x
+ log(x);
x 2 cos(x)
x x (nota che f 0 (x) 6=
x · x x−1 )!!
f (x) = (tan(x))x/(x+1) ;
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Introduzione
104/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
La funzione f (x) =
dominio?
p
1
|x| è ovunque derivabile nel suo
p
La funzione f (x) = 3 |x| è ovunque derivabile?
Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le
principali derivate, che
se f (x) = 1/ sin(x) allora f 0 (x) = − cos(x)/ sin2 (x);
f (x) = 3x 2 + e x · sin(x) + (1/log (x)) allora
f 0 (x) = 6x + e x · sin(x) + e x · cos(x) − 1/(x(log(x))2 );
f (x) = sin(x 2 ) allora f 0 (x) = 2x · cos(x 2 );
f (x) = e −x allora f 0 (x) = −e −x ;
f (x) = sinh(x) = (e x − e −x )/2 allora
f 0 (x) = cosh(x) = (e x + e −x )/2;
f (x) = cosh(x) = (e x + e −x )/2 allora
f 0 (x) = sinh(x) = (e x − e −x )/2;
sin(x 2 )
f (x) = 2 log(cos(x 2 )) allora f 0 (x) = −4x
cos(x 2 ) .
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Introduzione
105/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principali
derivate, che
f (x) = x x allora f 0 (x) = x x · (log(x) + 1) (sugg.
f (x)g (x) = e g (x) log(f (x)) );
f (x) = (sin(x))sin(x) + sin(sin(x)) allora f 0 (x) =
(sin(x))sin(x) ·(cos(x) log(sin(x))+cos(x))+cos(sin(x)) cos(x);
f (x) = arccos(x) allora f 0 (x) = −1/(1 − x 2 )1/2 se
x ∈ (−1, 1);
f (x) = arctan(x) allora f 0 (x) = 1/(1 + x 2 )1/2 ;
g (x) = sinh(x),
p la sua inversa è f (y ) = settsenh(y ) e allora
0
f (y ) = 1/ p1 + y 2 (sugg. se y = sinh(x) allora
cosh(x) = 1 + y 2 );
g (x) = cosh(x),
la sua inversa è f (y ) = settcosh(y ) e allora
p
0
2.
f (y )Paola
= 1/
−1e Alvise
+ y Sommariva
Annalisa Cesaroni,
Mannucci
Introduzione
106/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
Mostrare che | sin(x)| è continua ma non è derivabile in x = kπ,
per k ∈ Z.
Esercizio
Dire in quali punti sono continue e/o derivabili le seguenti funzioni
f (x) = |x 3 |;
e |x−1| ;
f (x) =
1 + x 2 , se x ≥ 0
−(1 + x 2 ), se x < 0
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Introduzione
107/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0 . Esercizi.
Esercizio
Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di
2
x − 1, se x ≤ 1
f (x) =
1
), se x > 1
(x − 1) sin( x−1
Esercizio
Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimi
relativi e assoluti, di
βx + γ, se x < π
f (x) =
sin(αx), se x ≥ π
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Introduzione
108/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f 0 . Esercizi.
Esercizio
Calcolare, al variare di α, β, i punti critici, massimi e minimi
relativi e assoluti, di
(
αx 2 + β, se x ≤ 0
f (x) =
3x 2
e x 3 +x , se x > 0
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Introduzione
109/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.
Esercizio
Calcolare i possibili asintoti di
f (x) = log(|e x − 4|) − arctan(e x − 5) − log(4).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
110/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
Figura : In alto. La funzione log(|e x − 4|) − arctan(e x − 5) − log(4) in
[−10, 10].
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Introduzione
111/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l’Hopital.
Esercizio
Usando il Teorema de L’Hopital, calcolare
limx→0 sin(x)/x;
2
e −1/x
= 0;
x
x
(e − 1)/x;
limx→0+
limx→0
limx→0
limx→0
limx→0
ex
3 /(x 4 +x)
−cos(x)
sin(x)(tan(x))
sin(x)+cos(x)−e x
(1/(x+1))−1
= 2;
e x −(1+x+(1/2)x 2 )
x2
x−sin(x)
limx→0 x 3
limx→0+ x 3/2 log(sin(x))
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Introduzione
112/ 121
Studi di funzione, esercizio 1.
Esercizio
Sia
f (x) =
x2 + x + 1
.
2x − 1
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
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Introduzione
113/ 121
Studi di funzione, esercizio 2.
Esercizio
Sia
f (x) = log
x +4
(x + 1)2
.
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
114/ 121
Studi di funzione, esercizio 3.
Esercizio
Sia
f (x) =
1
x + 2 − (x+2)
e
.
x
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
115/ 121
Studio di funzione: esercizio 4.
Esercizio
Sia
f (x) = arcsin(x 2 − 4|x| + 3).
Si determini
il dominio di f ;
dove è positiva
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove è concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Studio di funzione: esercizio 5.
Esercizio
Sia
f (x) = x log(x).
Si determini
il dominio di f ;
dove è positiva
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove è concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Studio di funzione: esercizio 6.
Esercizio
Sia
f (x) = 3−1/| sin(x)| .
Si determini
il dominio di f ;
dove è positiva
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove è concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Studio di funzione: esercizio 7.
Esercizio
Sia
f (x) = log(e x + e −x ) + x.
Si determini
il dominio di f ;
dove è positiva
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove è concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Studio di funzione: esercizio 8.
Esercizio
Sia
f (x) = arcsin
|x − 1|
x +3
.
Si determini
il dominio di f ;
dove è positiva
determinare dove f è continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f è derivabile e calcolare f 0 ;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione e
eventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove è concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Introduzione
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Esercizi di ricapitolazione. Studi di funzione
Esercizio
Studiare le seguenti funzioni, al variare di α > 0, β ∈ R
e x −1
se x > 0
xα
f (x) =
1 + βx + x 2 se x ≤ 0
1−cos(x α )
se x > 0
x2
f (x) =
2
β + x se x ≤ 0
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Introduzione
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