Capitolo 3 - Tutorati UNIPV

Capitolo 3
Matrici
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria
Università degli studi di Pavia
Tutorato di geometria e algebra lineare
Anno accademico 2014-2015
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Matrice)
Una matrice A ∈ MR (k, n) è una tabella rettangolare di
numeri, detti entrate, di k righe e n colonne:

a11

a

A =  21
 ..
 .
ak1
a12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
ak2 · · ·
a1n


a2n 

.. 

. 
akn
oppure, in forma più sintetica:
A = (aij ) ;
i = 1, . . . , k;
Marco Robutti
Capitolo 3
j = 1, . . . , n
Definizione (Somma di matrici)
Date le matrici A, B ∈ MR (k, n):

a11

a

A =  21
 ..
 .
ak1
a12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
ak2 · · ·
a1n



a2n 

,
.. 

. 
akn
b11

b

B =  21
 ..
 .
bk1
b12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
bk2 · · ·
b1n

b2n 

.. 

. 
bkn
la matrice A + B è definita come:

a11 + b11

a + b

A + B =  21 . 21

..

ak1 + bk1
a12 + b12 · · ·
..
.
···
..
..
.
.
ak2 + bk2 · · ·
Marco Robutti
Capitolo 3
a1n + b1n


a2n + b2n 


..

.

akn + bkn

Definizione (Moltiplicazione matrice-scalare)
Data le matrice A ∈ MR (k, n) e lo scalare λ ∈ R:

a11

a

A =  21
 ..
 .
ak1
a12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
ak2 · · ·
a1n


a2n 

,
.. 

. 
λ∈R
akn
il prodotto λA è la matrice definita come:

λa11

λa

λA ==  .21
 .
 .
λak1
Marco Robutti
λa12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
λak2 · · ·
Capitolo 3
λa1n


λa2n 

.. 

. 
λakn
Definizione (Moltiplicazione matrice-vettore)
Data le matrice A ∈ MR (k, n) e il vettore X ∈ Rn , il prodotto
tra la matrice A e il vettore X è il vettore cosı̀ definito:

a11

a

A =  21
 ..
 .
ak1
a12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
ak2 · · ·
a1n

a2n 

,
.. 

. 
akn
AX = A1 | A2 | · · · | An
x1
 .. 
X =.
xn


x1
 .. 
·  .  = x1 A1 + x2 A2 + · · · + xn An



xn
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Prodotto tra matrici)
Date le matrici A ∈ MR (k, n) e B ∈ MR (n, h), la matrice
prodotto AB è la matrice cosı̀ definita:

a11

a

A =  21
 ..
 .
ak1
a12 · · ·
..
. ···
..
..
.
.
ak2 · · ·
a1n



a2n 

,
.. 

. 
akn
b11 b12 · · ·

..
b
. ···
 21
B= .
..
..
 .
.
.
 .
bn1 bn2 · · ·
A · B = AB
k×n
n×h → k×h
AB = AB 1 | AB 2 | · · · | AB h
Marco Robutti
Capitolo 3
b1h


b2h 

.. 

. 
bnh
Definizione (Prodotto tra matrici)
In forma meno analitica possiamo scrivere tale prodotto nella
seguente forma:

(a11 b11 + · · · a1n bn1 )
···

(a b + · · · + a b ) . . .

2n n1
AB =  21 11
..
..

.
.

(ak1 b11 + · · · + akn bn1 ) · · ·
(a11 b1h + · · · + a1n bnh )
···
..
.
···
(a21 b1h + · · · + a2n bnh )


..

.


(ak1 b1h + · · · + akn bnh )
NB: E’ possibile fare il prodotto AB sono se il numero di
colonne della matrice A coincide con il numero di righe della
matrice B!
Marco Robutti

···
Capitolo 3
Definizione (Matrice trasposta)
Data la matrice A ∈ MR (k, n), la sua trasposta è la matrice cosı̀
definita:
• se A è un vettore riga, AT è semplicemente il vettore A messo
per colonna;
• se A è un vettore colonna, AT è semplicemente il vettore A
messo per riga;
• in generale la matrice AT è la matrice le cui colonne sono le
righe di A trasposte:
AT = (A1 )T | (A2 )T | · · · | (Ak )T
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Matrice reale simmetrica)
Data la matrice A ∈ MR (k, n), essa è detta essere una matrice
reale simmetrica se:
A = AT
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Calcolo del determinante
Data la matrice quadrata A ∈ MR (n), il determinante della
matrice A può essere calcolato nei modi seguenti a seconda del
valore di n:
• n = 2:
A=
a b
c d
!
=⇒ det (A) = ad − bc
• n = 3 =⇒ Regola di Sarrus :


a b c


A = d e f 
g h i
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Calcolo del determinante
a
d
|A| =
g
b c a b
e f d e
= (aei + bfg + cdh) − (bdi + afh + gec)
h i g h
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Calcolo del determinante
n ≥ 3 =⇒ Teorema di Laplace:
per righe:
det (A) =
n
X
i+j
aij det A[i,j]
i+j
aij det A[i,j]
(−1)
i=1
per colonne:
det (A) =
n
X
(−1)
j=1
Esempio (Sviluppo del determinante lungo la prima colonna)
a
|A| = d
g
b c e f b c b c e f = a
−d
+g
h i h i e f h i
Marco Robutti
Capitolo 3
Calcolo del determinante
A∈
MR (n) è una matrice triangolare (superiore, inferiore o diagonale)
det (A) =
Yn
aij
i=1
Esempio (Determinante di una matrice triangolare)
8 3 1 |A| = 0 1 1 = 8 × 1 × 3 = 24
0 0 3 Marco Robutti
Capitolo 3
Osservazione (Una cosa utile...)
Per determinare qual è il segno che bisogna dare a ciascun
coefficiente quando si calcola il determinante, cioè sapere per
ogni coefficiente qual è il risultato di (−1)i+j , allora la seguente
tabella mostra una regola generale (qui nel caso di una matrice
4 × 4):

+
−

matrice dei segni = 
+
−
Marco Robutti
−
+
−
+
Capitolo 3
+
−
+
−

−
+


−
+
Teorema (Teorema di Binet)
Il determinante del prodotto di due matrici A, B ∈ MR (n) è
dato dal prodotto dei determinanti:
det (AB) = det (A) det (B)
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Matrice invertibile)
Data le matrice A ∈ MR (n), essa è invertibile se essite la
matrice A−1 tale che:
AA−1 = In ,
ovvero se:
det (A) 6= 0
Esistono due metodi principali per determinare l’inversa di una
matrice invertibile.
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 1
Data la matrice A ∈ GL (n, R):

a11 a12 · · ·

..
a
. ···

A =  21
.
.
..
 .
..
.
 .
an1 an2 · · ·
a1n


a2n 

.. 

. 
ann
si considera la base di Rn i cui vettori sono le colonne della
matrice A:
   

a12
 a11

  


a
 21  a22 
  
BA = 
 ..  ,  ..  , · · ·


.
  . 




an1
Marco Robutti
an2
Capitolo 3


a1n 


 
a2n 


, . 

 .. 


ann 
Algoritmo - Metodo 1
Si determinano quindi le coordinate dei vettori della base
canonica di Rn , BC = [e1 , e2 , . . . , en ], rispetto alla base BA :
[e1 ]BA
[e2 ]BA
 




 




1
a11
a1n
 
 
 
0
a21 
a2n 

 
 
=⇒ 
 ..  = λ1  ..  + · · · + λn  .. 
.
 . 
 . 
0
an1
ann
0
a11
a1n
 
 
 
1
a21 
a2n 

 
 
=⇒ 
 ..  = λ1  ..  + · · · + λn  .. 
.
 . 
 . 
0
an1
ann
.. .. ..
. . .
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 1
 
[en ]BA




0
a11
a1n
 
 
 
0
a21 
a2n 

 
 
=⇒ 
 ..  = λ1  ..  + · · · + λn  .. 
.
 . 
 . 
1
an1
ann
La matrice A−1 è quindi la matrice che ha come colonne le
coordinate dei vettori della base canonica di Rn rispetto alla
base costituita dalle colonne di A, cioè BA :
A−1 = [e1 ]BA , [e2 ]BA , . . . , [en ]BA
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 2 (Formula di Cramer)
La matrice A−1 è la matrice cosı̀ definita:
A−1 =
1
(αij )
det (A)
dove:
αij = (−1)i+j · A[j,i] Marco Robutti
Capitolo 3
Osservazione (Inversa di una matrice 2 × 2)
Se A ∈ GL (2, R), allora la formula di Cramer dà il seguente
risultato:
−1
A
1
=
ad − bc
Marco Robutti
d −b
−c a
Capitolo 3
!
Definizione (Rango di una matrice)
Data la matrice A ∈ MR (k, n), il rango di A è la dimensione del
sottospazio di Rk generato dalle colonne di A:
rg (A) = dim Span A1 , A2 , . . . , An
In particolare si ha che:
rg (A) ≤ min (k, n)
Quindi vale quanto affermato nella seguente tabella:
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Rango di una matrice)
Caso 1:
n≤k:
Caso 2:
k≤n:
Caso 3:
k=n:
il rango massimo è n.
rg (A) = n ⇐⇒ le colonne di A
sono linearmente indipendenti
(generano un sottospazio di Rk
di dimensione n).
il rango massimo è k.
rg (A) = k ⇐⇒ le colonne di Asono
un sistema di generatori di Rk .
il rango massimo è n.
rg (A) = n ⇐⇒ le colonne
di A sono una base di Rn
Marco Robutti
Capitolo 3
Definizione (Sottomatrice, minore, orlato)
Sia A una matrice di ordine k × n.
• Una sottomatrice di A è una matrice A0 che è possibile
ottenere cancellando righe e colonne di A.
• Il determinante di ogni sottomatrice quadrata di A viene
chiamato minore della matrice A.
• Diremo che un minore ∆ è di ordine h se è il determinante di
una sottomatrice h × h.
• Data una sottomatrice A0 ⊂ A di ordine r , un orlato di A0 è
una sottomatrice A00 di ordine r + 1 tale che A0 ⊂ A00 ⊂ A.
Esistono due metodi per calcolare il rango: il primo viene usato
nelle matrici le cui entrate sono numeri puri; il secondo viene
usato quando si ha a che fare con matrici parametriche.
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di
Kronecker)
Sia A una matrice di ordine k × n. Sia A0 una sottomatrice di A
di ordine r con determinante non nullo. Se tutti gli orlati di A0
hanno determinante nullo allora rg (A) = r .
Utilizzando tale criterio possiamo calcolare il rango di una
matrice A nel seguente modo:
1) Si fissa una sottomatrice A(1) di ordine 1 (ovvero un’entrata)
non nulla.
2) Si considerano tutti gli orlati di tale sottomatrice. Se i
corrispondenti minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A
è 1. Altrimenti si fissa un’orlato A(2) (quindi di dimensione
2 × 2) con determinante diverso da 0.
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 1 (Regola degli orlati di
Kronecker)
3) Si considerano tutti gli orlati di A(2) . Se i corrispondenti
minori sono tutti nulli, si deduce che il rango di A è 2.
Altrimenti si fissa un orlato A(3) (quindi di dimensione 3 × 3 con
determinante diverso da 0.
4) Si considerano tutti gli orlati di A(3) . Se i corrispondenti
minori sono tutti nulli si deduce che il rango di A è 3.
Altrimenti si fissa un orlato A(4) con determinante non nullo.
5) Si ripete ricorsivamente la procedura esposta sopra fino ad
arrivare al calcolo del rango (vedi un esempio a pag. 229-230 del
libro).
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Metodo 2 (per matrici parametriche)
1) Si prende la sottomatrice più grande possibile e se ne calcola
il minore in funzione dei parametri contenuti nella matrice;
2) Si pone il minore calcolato uguale a 0 e si determina quindi
per quali valori di h tale minore è nullo: per tutti i valori di h
diversi da quelli trovati, si può affermare che il rango della
matrice è massimo e pari al numero di righe e colonne della
sottomatrice a cui il minore appartiene;
3) Per i valori di h che rendono nullo il minore precedentemente
calcolato, si procede sostituendo tali valori all’interno della
matrice, verificando quindi con il Metodo di Kronecker qual è il
rango della matrice per ciascun valore di h sostituito nella
matrice (vedi un esempio a pag. 231 del libro).
Marco Robutti
Capitolo 3
Osservazione (Numero di minori estraibili da una matrice)
Il numero di minori di ordine p estraibili da una matrice di
ordine k × n è:
n° minori =
k
p
!
n
p
!
=
Marco Robutti
k!
p! (k − p)!
Capitolo 3
n!
p! (n − p)!
Osservazione (Numero degli orlati di una matrice)
Sia A ∈ MR (k, n). Data una sottomatrice A0 ⊂ A di ordine
h < k, n, si possono costruire un numero di orlati pari a:
n° orlati di A0 = (k − h) (n − h)
Marco Robutti
Capitolo 3
Problema (Effettuare un cambiamento di base)
Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n, consideriamo due
basi distinte in V : B = {u1 , . . . , un }, D = {w1 , . . . , wn }.
Dato un vettore v ∈ V , vogliamo calcolare le sue coordinate
rispetto alle due basi: [v]B e [v]D .
Supponendo di conoscere le coordinate dei vettori della base D
rispetto alla base B , ∃un modo per effettuare il cambio di
coordinate nei due sensi:
Marco Robutti
Capitolo 3
Algoritmo - Da coordinate in D a coordinate in B
Supponiamo di conoscere le coordinate del vettore v rispetto
alla base D, cioè [v]D = (µ1 , . . . , µn ). allora si ha che:


x1
 
x2 

[v]B = 
 ..  = µ1 [w1 ]B + µ2 [w2 ]B + · · · + µn [wn ]B
.
xn
Tale relazione può essere riscritta come:


µ1
 
 µ2 

[v]B = A · [v]D = ([w1 ]B | · · · | [wn ]B ) · 
 ..  ,
 . 
µn
dove la matrice A = MB,D è detta matrice di cambiamento di
base da D a B.
Marco Robutti
Capitolo 3
(1)
Algoritmo - Da coordinate in B a coordinate in D
Dall’equazione (1) della slide precedente possiamo facilmente
ricavare che le coordinate del vettore v rispetto alla base D sono
date da:
[v]D = A−1 · [v]B ,
dove la matrice A−1 è detta matrice di cambiamento di base da
B a D.
Osservazione
Nel caso in cui invece di conoscere le coordinate dei vettori della
base D rispetto alla base B accadesse l’opposto, ovvero nel caso
in cui conoscessimo le coordinate dei vettori della base B
rispetto alla base D, il discorso non cambia: basta solamente
rileggere quanto precedentemente scritto invertendo B con D.
Marco Robutti
Capitolo 3