19/10/16
Primalezione
11/10/2016
Ilmotouniformementeaccelerato
Ilmotocircolareuniformementeacceleratoèquelloincuil’accelerazioneangolareè
costanteα=α0=ctesiritrovanolerelazioniformalmenteanalogheaquelledelmoto
reAlineo:
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Motocurvilineosutraie2oriadefinita
GeneralizziamoalcasodiunmotoincuiènotalatraieDoria;èpossibiledescrivereil
puntotramiteunasolacoordinatas(t),l’ascissacurvilinea,cherappresentaladistanzacon
segnopercorsalungolacurvadaun’originearbitraria.Questadescrizioneèmoltocomoda
perchéèunidimensionaleesiadaDabeneaicasiconvincolichefissanolatraieDoria.
GeometricamentepossiamodefinireinognipuntodellatraieDoriaunaternaformatacol
versoretangenteut,quellonormaleunedilterzoubchecompletalaternaortonormale.
Inquestabasevariabile,deDadiFrenet,lavelocitàsiscrivecome:
Perl’accelerazionepossiamoripetereilragionamentodelmotocircolareimmaginando
cometraieDoriaunacurvaregolare(comesuccedesempreinFisica)chelocalmentesipuò
approssimareconunacirconferenzatangente(cerchioosculatore)diraggioρdeDodi
curvatura;escriveremo:
atrifleDelavariazionedelmodulodella
velocità;mentrean,direDanelverso
dellaconcavitàdellacurva,èlegataalla
variazionedidirezione.
Integrazionedelmoto
Possiamo scrivere anche per il moto mulTdimensionale le relazioni integrali che ci
permeDono di risalire dall’accelerazione, come vedremo ricavabile dalla dinamica, alle
caraDerisTchedelmoto:
el’usodellegrandezzeveDorialilerendeindipendenTdallabaseeffeAvamenteusataper
esplicitare le coordinate: le coordinate cartesiane, quelle cilindriche o sferiche, o anche
unabasevariabilecomelaternadiFrenet.
Èfondamentaleprecisare,perevitareconfusioni,ladifferenzafrasistemadiriferimentoe
base di scomposizione dei veDori. Il sistema di riferimento è cosTtuito da un sistema di
assi legaT ad un osservatore ed in esso sono definite le grandezze cinemaTche; faDo
questo possiamo di volta in volta, al limite istante per istante, cambiare la base su cui
scomporre i veDori nel modo più opportuno. La situazione è completamente diversa,
comevedremoinseguito,sel’osservatoresimuoveinsiemeallabasevariabile.IlveDore
velocitàdiunpuntoP,definitoinundatosistemadiriferimento,siscrivev.utnellabase
diFrenetmentrenelsistemadiriferimentodiFrenetsarebbenullo!
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IntroMotorela8vi
v =v +v
PA
PB
BA
SeIduesistemisimuovonoavBA=cost
aPA=aPB
SevBAvaria:
aPA=aPB+aBA
SeilsistemadiriferimentodadoveBosservailmotodel
puntoPsimuovedimotoqualunquerispeDoalsistema
dell’osservatoreA,alloralerelazioni:
vPA=vPB+vBA
aPA=aPB+aBA+aC
DoveaCèdeDaaccelerazionedicoriolisocomplementaree
dipendedallavelocitàangolaredelsistemainBrispeDoadA,
ωBAedallavelocitàdiPrispeDoaB:
aC=ωxvPB
Imo8rela8vi
Desideriamo trovare come si formula la meccanica in un sistema R’(O’,x’,y’,z’,t) in moto
rispeDo al sistema inerziale R(O,x,y,z,t) (per convenzione). Istante per istante il nuovo
sistemaavràsial’origineO’cheledirezionidegliassicartesiani(x’,y’,z’)diverserispeDoa
(x,y,z) di R. Mentre, nell’ambito della meccanica classica e molto ben verificato
sperimentalmente per velocità molto più piccole della luce, il tempo è lo stesso t=t’.
L’aspeDocrucialeèche,solidaleconR’,esisteunnuovoosservatorediversodaR;questo
cosTtuiscelaveradifferenzafracambiamentodiriferimentoediversasceltadelsistemadi
assidescrivibileconletrasformazionidellecoordinatedeiveDori.
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Imo8rela8vi
LadescrizionedelpuntoPneiduesistemidiriferimentoèschemaTzzatanellafigura.Il
puntomobilePèindividuatorispeAvamenteinReR’daiveDori:
erisultaistanteperistante:
chepuòessereresaesplicitataconlecoordinate:
Erappresentalaleggeditrasformazione
dellecoordinatenelpassaggiodaun
riferimentoall’altro.
Trasformazionidellevelocità
PerdescriverelatrasformazionedellevelocitàeffeDuiamoladerivatarispeDoaltempo
dellarelazioneprecedente:
Ilsecondoterminedellatodestrodell’uguaglianzanonèbanalmentelavelocitàv’nel
nuovoriferimentoperchéiversoridiR’variano:
Unversorechecambianeltemporuota
convelocitàangolareω:
esioAenedunquelaleggeditrasformazione
dellevelocità:
IlprimotermineèlavelocitàinR’glialtrisonolavelocitàditrascinamento.
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Trasformazionidelleaccelerazioni
PerricavarelaleggeditrasformazionedelleaccelerazionidobbiamoderivarerispeDoal
tempolaprecedenterelazioneperlevelocità:
L’operazioneèabbastanzacomplicataperchè,oltreallederivatedellecoordinatex’,y’,z’,
sidevonoeffeDuareanchequelledeiversoridiR’;esioAene
Supponiamolavelocitàangolarecostanteeraggruppiamoivariterminiperscriverela
leggeditrasformazionedelleaccelerazionicome:
Ilprimotermineèl’accelerazioneinR‘,iduesuccessivisonodeAditrascinamentoe
l’ulTmoèl’accelerazionecomplementareodiCoriolis..
Trasformazionidelleaccelerazioni
L’accelerazioneditrascinamentocorrispondeaquellacheavrebbeinRunpuntoPfermo
inR’:
• a0’corrispondealmotoacceleratoditraslazionedelriferimento(gliassideiduesistemi
restanoparalleli);
• ilsecondotermineèdovutoalmotorotatoriodiR’esiscrivecome
dovecompareilveDoredistanzadelpuntoPall’assedirotazione(siriconoscela
formaTpicadell’accelerazionecentripeta).
• L’ulTmoterminedellatrasformazioneèl’accelerazionecomplementareodiCoriolis:
èquellomenointuiTvoanchesecomevedremoèall’originedifenomeniparTcolarmente
rilevanT(circolazioneatmosferica,ecc…).Danotarecheessoèpresentesoltantoseil
puntosimuoveinR’()echerisultaperpendicolareaconconseguenze,moltoimportanT
dalpuntodivistaenergeTco.
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Iprincipidelladinamicadelpunto
materiale-Introduzione
Iniziamolostudiodelladinamica,cioèdelmotodeicorpiedellesuecause.Peraffrontare
ilproblemadovremoprimainquadrarelogicamenteidueconceAfondamentalidimassa
ediforza,chesebbenemoltointuiTvi,celanomoltefonTdiconfusione.Grazieailavori,
principalmentediGalileoeNewton,ilproblemasirisolvecompletamente,almenoinlinea
teorica,contreLeggioPrincipichepermeDonodidescriverequalsiasimoto.
Il termine Principio in Fisica significa una legge di validità universale; e rappresenta
l’analogodell’assiomanelleteoriematemaTcheconladifferenzafondamentalechelasua
validitàsifondasullaverificasperimentale.
Come per ogni teoria in Fisica, la dinamica di Newton (meccanica classica) possiede un
dominiodiapplicabilità:
• levelocitàv<<cdiquelladellaluce,altrimenTalcuniconceAfondamentali(comeper
esempioiltempononpiùassoluto)vannorivisitaTnell’ambitodellaRelaTvitàRistreDa;
• le distanze devono essere ben superiori alla scala atomica (~10-10m) per potere
trascurare gli effeA quanTsTci (quanTzzazione delle grandezze, principio
d’indeterminazione,ecc…).
LameccanicaclassicasiapplicageneralmenteaisistemimacroscopicipermeDendoanche
ditrascurarelefluDuazionitermodinamiche.
Massaeforza
La massa di un corpo è una misura della sua resistenza alle
variazionidellavelocità.UncarreAnoèpiùdifficiledafermare
quandoècaricodimaDoni,rispeDoaquandoèvuoto.
LamassaèunagrandezzascalareedèaddiTva.
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Misuradellaforza
IlconceDodiforzaècollegatoall’ideadispingereodi4rare,chepuòavereuneffeDo
dinamico(moto)ostaTco(deformazione).
PerquanTficareunaforza(intensità)possiamousareildinamometroadeformazione,
una molla che si allunga soDo l’azione della forza. Scegliendo una forza campione si
puòeffeDuareunataraturafraallungamenTevaloridell’intensitàdellaforza,anchese
vedremo che sarà più vantaggioso definire l’unità della forza dalle sue caraDerisTche
dinamiche.
Misuradellaforza
Oltre l’intensità, nella forza, è ben presente l’idea di direzione e verso; per questo
possiamo pensare che sia una grandezza veDoriale, tuDavia questa proprietà va
verificata sperimentalmente. In effeA usando fili leggeri e pulegge ben lubrificate si
puòvariareladirezionedellaforzaapplicata.Inquestomodosiverificacheapplicare
due forze corrisponde ad applicarne una sola corrispondente alla loro somma
(risultante) oDenuta con la regola del parallelogramma: la forza è una grandezza
veDoriale.
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Ve2oreforza
IlprimoprincipiooPrincipiod’inerzia
Il primo principio della dinamica rappresenta l’esempio più bello del metodo
sperimentale introdoDo da Galileo che sconvolge il pensiero comune, riTene che per
avereunmotocideveessereunaforza.
Galileofeceunesperimento,inparteideale,incuifacevascendereunapallinasuun
piano inclinato. Per un angolo θ, come vedremo, la pallina subisce una forza neDa
dovuta alla proiezione del peso lungo il piano (Peff= g sinθ); e si misura un moto con
accelerazioneaθ=cost.Riducendol’inclinazionesiha:
Pertantosulpianoorizzontale,inassenzadiforzaneDa,lapallinaèinmotoreAlineo
uniformeenonperforzainequilibrio!
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