V - Macroarea di Scienze

Teoria cinetica dei Gas
Gas Ideali
Velocità quadratica media
Termodinamica dei gas ideali
Definizione di Gas Perfetto
1.  Un gas perfetto è un “grand ensemble” di particelle indistinguibili,
identiche e puntiformi (sistema statisticamente significativo di
particelle).
2.  Le particelle si muovono in modo caotico (tutte le direzioni sono
equiprobabili);
3.  Le particelle interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente
mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di
energia durante gli urti);
4.  Le particelle non hanno forze di interazione a distanza (le traiettorie
del moto dopo l’urto sono rettilinee).
pV = NkT
pV = n R0T
N = numero di molecole
k = costante di Boltzmann
R = costante dei gas
n = numero di moli
Gas Perfetto
l 
l 
l 
Si può osservare che qualunque tipo di gas, confinato in un
recipiente a bassa densità, segue la legge dei gas perfetti:
pV = nRT.
n è il numero di moli
R è la costante dei gas è vale R = 8,31 [J/mol K]
L’equazione di stato dei gas si può esprimere anche in funzione del
numero di particelle N e diventa:
pV = NkT
con k = R/NA ed NA numero di Avogadro
l 
l 
L’importanza dell’equazione dei gas perfetti sta nella sua semplicità
e nel fatto che per basse densità è indipendente dalla specie
atomica.
Anche l’aria che respiriamo soddisfa le condizioni dei gas perfetti.
Pressione di un gas perfetto
•  La variazione della quantità di moto lungo l’asse x è:
ΔPx = (-mvx) – (mvx) = -2mvx
•  il tempo che intercorre per andare e tornare da parete a
parete lungo un cubo di lato L, è 2L = Δtvx Δt = 2L/vx
ΔPqx
2mv x
mv x2
•  la forza trasferita sulla parete è: F =
=
=
Δt
2L / vx
L
Questa è la forza impressa da una particella su una parete di lato L.
(ATTENZIONE: Pp rappresenta la pressione e la lettera Px la quantità di moto).
Pp =
Fx
=
2
L
mv x21 / L + mv x22 / L + ... + mv x2N / L
2
L
⎛ m ⎞
= ⎜ 3 ⎟ v x21 + v x22 + ... + v x2N
⎝ L ⎠
(
)
Con N il numero di particelle e vx2 velocità quadratica media nella direzione x
mN 2 nM 2
Pp = 3 v x =
vx
L
V
A causa del moto caotico dovremo dividere per 3 la
velocità quadratica media Pp = (nMv2qm)/3V
Velocità quadratica media
l 
dalla formula
P = (nMv2qm)/3V
si vede che la pressione P, dipende
dalla velocità v delle singole particelle.
l  Utilizzando l’equazione PV = nRT
ed evidenziando la vqm , per una mole,
si avrà:
3RT
vqm =
M
La velocità quadratica media, a R.T. , è molto alta (c.a. 520 m/s),
dipende dalla radice della temperatura, espressa in K, e dall’inverso
della specie atomica.
Domanda: Se ipotizzare che le molecole siano equamente distribuite in
tutte le direzioni è plausibile ed è verificato dall’esperienza quotidiana,
la velocità quadratica media non ci dice quante molecole hanno velocità v
in un certo istante. Per fare ciò serve conoscere la distribuzione delle
velocità di Maxwell
Energia cinetica traslazionale
Sempre considerando una scatola cubica di lato L, l’energia cinetica
media sarà
1 2 1
1 2
mv = m v 2 = mv qm
2
2
2
⎛ 1 ⎞ 3RT
K = ⎜ m ⎟
⎝ 2 ⎠ M
K=
dove M è la massa molare ed m la massa della
singola molecola. Ovvero M/n = NA (numero di Avogadro)
K=
3RT
3
ovvero K = kT
2N A
2
La misura della temperatura di un gas non è altro che la misura della energia
cinetica media del gas.
Cammino libero medio
Il camino fra due urti successivi è il
cammino libero. La somma dei
cammini divisa per il numero delle
collisioni è il cammino libero medio di
un N molecole in un volume V:
λ=
v Δt
lunghezza del cammino
= 2 m
numero di collisioni
πd v rel Δt N V
e considerando che
1 V 1
λ=
2
vrel = √2 vm avremo
2π N d
l’aria ha un cammino libero medio che è:
Al l.m.
A 100 km
A 300 km
λ = 10-7 m.
λ = 1,6 10-2 m.
λ = 2,0 103 m.
€
Velocità di Maxwell
La legge della distribuzione delle velocità
fu trovata da Maxwell nel 1852
 M 3 2 2
2
P(v) = 4 π 
 v exp[−(Mv 2RT)]
 2πRT 
La vm, la vp, e la vqm non
coincidono a causa della
forma asimmetrica della
curva. Il massimo della
curva cambia se cambia la
temperatura del gas.
Distribuzione delle velocità
La curva ci da la probabilità di trovare un certo numero di
particelle, P(v) dv, nell’intorno di una definita velocità. L’area
sottesa dalla curva è il numero delle particelle costituenti il gas.
Pertanto:
∞
∫ P(v)dv = 1
0
v2
fraz = ∫ P(v )dv
v1
La velocità media sarà dato dalla
soluzione:
8 RT
v = vP(v)dv =
0
π M
∫
∞
Allo stesso modo si può trovare la media della velocità quadratica
2
v =∫
∞
0
3RT
3RT
v P(v)dv =
→ vqm =
M
M
2
La velocità più probabile si trova ponendo
uguale a zero la derivata di P(v)
2 RT
vp =
M