Teoria cinetica dei Gas Gas Ideali Velocità quadratica media Termodinamica dei gas ideali Definizione di Gas Perfetto 1. Un gas perfetto è un “grand ensemble” di particelle indistinguibili, identiche e puntiformi (sistema statisticamente significativo di particelle). 2. Le particelle si muovono in modo caotico (tutte le direzioni sono equiprobabili); 3. Le particelle interagiscono tra loro e con le pareti del recipiente mediante urti perfettamente elastici (ovvero non vi è dispersione di energia durante gli urti); 4. Le particelle non hanno forze di interazione a distanza (le traiettorie del moto dopo l’urto sono rettilinee). pV = NkT pV = n R0T N = numero di molecole k = costante di Boltzmann R = costante dei gas n = numero di moli Gas Perfetto l l l Si può osservare che qualunque tipo di gas, confinato in un recipiente a bassa densità, segue la legge dei gas perfetti: pV = nRT. n è il numero di moli R è la costante dei gas è vale R = 8,31 [J/mol K] L’equazione di stato dei gas si può esprimere anche in funzione del numero di particelle N e diventa: pV = NkT con k = R/NA ed NA numero di Avogadro l l L’importanza dell’equazione dei gas perfetti sta nella sua semplicità e nel fatto che per basse densità è indipendente dalla specie atomica. Anche l’aria che respiriamo soddisfa le condizioni dei gas perfetti. Pressione di un gas perfetto • La variazione della quantità di moto lungo l’asse x è: ΔPx = (-mvx) – (mvx) = -2mvx • il tempo che intercorre per andare e tornare da parete a parete lungo un cubo di lato L, è 2L = Δtvx Δt = 2L/vx ΔPqx 2mv x mv x2 • la forza trasferita sulla parete è: F = = = Δt 2L / vx L Questa è la forza impressa da una particella su una parete di lato L. (ATTENZIONE: Pp rappresenta la pressione e la lettera Px la quantità di moto). Pp = Fx = 2 L mv x21 / L + mv x22 / L + ... + mv x2N / L 2 L ⎛ m ⎞ = ⎜ 3 ⎟ v x21 + v x22 + ... + v x2N ⎝ L ⎠ ( ) Con N il numero di particelle e vx2 velocità quadratica media nella direzione x mN 2 nM 2 Pp = 3 v x = vx L V A causa del moto caotico dovremo dividere per 3 la velocità quadratica media Pp = (nMv2qm)/3V Velocità quadratica media l dalla formula P = (nMv2qm)/3V si vede che la pressione P, dipende dalla velocità v delle singole particelle. l Utilizzando l’equazione PV = nRT ed evidenziando la vqm , per una mole, si avrà: 3RT vqm = M La velocità quadratica media, a R.T. , è molto alta (c.a. 520 m/s), dipende dalla radice della temperatura, espressa in K, e dall’inverso della specie atomica. Domanda: Se ipotizzare che le molecole siano equamente distribuite in tutte le direzioni è plausibile ed è verificato dall’esperienza quotidiana, la velocità quadratica media non ci dice quante molecole hanno velocità v in un certo istante. Per fare ciò serve conoscere la distribuzione delle velocità di Maxwell Energia cinetica traslazionale Sempre considerando una scatola cubica di lato L, l’energia cinetica media sarà 1 2 1 1 2 mv = m v 2 = mv qm 2 2 2 ⎛ 1 ⎞ 3RT K = ⎜ m ⎟ ⎝ 2 ⎠ M K= dove M è la massa molare ed m la massa della singola molecola. Ovvero M/n = NA (numero di Avogadro) K= 3RT 3 ovvero K = kT 2N A 2 La misura della temperatura di un gas non è altro che la misura della energia cinetica media del gas. Cammino libero medio Il camino fra due urti successivi è il cammino libero. La somma dei cammini divisa per il numero delle collisioni è il cammino libero medio di un N molecole in un volume V: λ= v Δt lunghezza del cammino = 2 m numero di collisioni πd v rel Δt N V e considerando che 1 V 1 λ= 2 vrel = √2 vm avremo 2π N d l’aria ha un cammino libero medio che è: Al l.m. A 100 km A 300 km λ = 10-7 m. λ = 1,6 10-2 m. λ = 2,0 103 m. € Velocità di Maxwell La legge della distribuzione delle velocità fu trovata da Maxwell nel 1852 M 3 2 2 2 P(v) = 4 π v exp[−(Mv 2RT)] 2πRT La vm, la vp, e la vqm non coincidono a causa della forma asimmetrica della curva. Il massimo della curva cambia se cambia la temperatura del gas. Distribuzione delle velocità La curva ci da la probabilità di trovare un certo numero di particelle, P(v) dv, nell’intorno di una definita velocità. L’area sottesa dalla curva è il numero delle particelle costituenti il gas. Pertanto: ∞ ∫ P(v)dv = 1 0 v2 fraz = ∫ P(v )dv v1 La velocità media sarà dato dalla soluzione: 8 RT v = vP(v)dv = 0 π M ∫ ∞ Allo stesso modo si può trovare la media della velocità quadratica 2 v =∫ ∞ 0 3RT 3RT v P(v)dv = → vqm = M M 2 La velocità più probabile si trova ponendo uguale a zero la derivata di P(v) 2 RT vp = M