Contenuti delle lezioni di Geometria 4 – a.a 2014/2015 – Marina Bertolini
3 marzo 2015 – Lezioni 1 e 2
Introduzione al corso e informazioni di carattere organizzativo.
Definizione di spazio topologico localmente euclideo (di dimensione n) e di varietà topologica.
Primi esempi. Le componenti connesse di varietà topologiche sono connesse per archi.
Generalizzazione della definizione di varietà topologica.
Esercizi.
([M],[K] Cap.11)
4 marzo 2015 – Esercitazioni 1 e 2
Le sfere Sn e gli spazi proiettivi reali PnR come varietà topologiche.
Varietà topologiche a bordo ed esempi.
5 marzo 2015 – Esercitazioni 3 e 4
Esercizi su riconoscimento di varietà topologiche e topologiche a bordo. Bordo del prodotto di
varietà a bordo.
Superfici topologiche e loro rappresentazione con poligoni. Esempi. Somma connessa di superfici e
costruzione delle superfici Tg e Uh. Enunciato del teorema di classificazione delle superfici
compatte. ([K] Cap. 11)
10 marzo 2015 – Lezioni 3 e 4
Definizione di atlante liscio, struttura differenziabile e varietà differenziabile.
Teorema sugli atlanti massimali. Primi esempi. Atlante differenziabile sulle sfere.
Proprietà delle basi numerabili per la topologia quoziente. ([B] Cap.III, §1 e 2)
([B] Cap.III, §1 e 2 – [AT1] Cap. 2, § 2.1)
12 marzo 2015 – Esercitazioni 5 e 6
Esercizi sul bordo del prodotto di varietà a bordo.
Gruppo fondamentale delle superfici Tg e Uh e loro abelianizzati. Considerazioni sul Teorema di
classificazione delle superfici topologiche compatte. ([K] Cap. 26)
Struttura differenziabile sulle sfere con le proiezioni stereografiche. I due atlanti definiti sulle sfere
definiscono la stessa struttura differenziabile. ([AT1] Cap. 2, esempio 2.1.28).
17 marzo 2015 – Lezioni 5 e 6
Struttura differenziabile sugli spazi proiettivi reali. ([AT1] Cap. 2, § 2.1, ([B] Cap.III, § 2)
Applicazioni differenziabili e loro composizione. ([B] Cap.III, §3 – [AT1] Cap. 2, § 2.2 )
Definizione di diffeomorfismo tra varietà lisce ed esempi. Considerazioni sulle diverse
strutture differenziabili di varietà. ([B] Cap.III, §3 – [AT1] Cap. 2, § 2.2 )
19 marzo 2013 – Esercitazioni 7 e 8
Prodotti di varietà differenziabili ed esempi (cilindro e toro). I tori come varietà differenziabili
quozienti. Esercizi su varietà differenziabili come sottoinsiemi di Rn (grafici) con la determinazione
esplicita dell’atlante. Esercizio su mappe differenziabili.
24 marzo 2015 – Lezioni 7 e 8
Enunciato del teorema del rango per applicazioni da Rn a Rm.
Teorema del rango per mappe lisce tra varietà differenziabili.
Definizione di immersione, summersione, embedding. ([B] Cap.III, §4 e 5 – [AT1] Cap. 2)
Esempi.
Definizione di sottovarietà (regolare) e immersa. ([B] Cap.III, §4 e 5 – [AT1] Cap. 2,
oss. 2.4.9 e definizione 2.4.10 )
26 marzo 2015 – Esercitazioni 9 e 10
La proiezione sugli spazi proiettivi e caratterizzazione delle funzioni lisce sugli spazi proiettivi.
Esercizi su applicazioni lisce ed embedding.
31 marzo 2015 – Lezioni 9 e 10
Immersioni iniettive per varietà compatte e criterio affinché una fibra sia una sottovarietà.
([B] Cap.III, §5 Teorema 5.7 e Corollario 5.9 ). Esempio di Sn.
Introduzione alla definizione di Spazio Tangente: R-algebra dei germi di funzioni lisce
in un punto. Mappa pull-back.
([AT1] Cap. 2, § 2.3 )
9 aprile 2015 – Esercitazioni 11 e 12
Correzione esercizi in rete dal n° 1 al n° 6.
14 aprile 2015 – Lezioni 11 e 12
Derivazioni e spazio tangente Derivate direzionali.
Interpretazione geometrica dei vettori tangenti e loro espressione in coordinate locali.
Mappa differenziale e sue proprietà.
([AT1] Cap. 2, § 2.3 )
16 aprile 2015 – Esercitazioni 13 e 14
Correzione esercizi in rete dal n° 6 al n° 10.
21 aprile 2015 – Lezioni 13 e 14
Base dello spazio tangente. Seconda parte sulla interpretazione geometrica dello spazio
tangente. Cambio di coordinate.
([AT1] Cap. 2, § 2.3 )
Espressione del differenziale in coordinate locali. ([AT1] Cap. 2, § 2.3 ).
23 aprile 2015 – Esercitazioni 15 e 16
Correzione ultimo esercizio in rete e Prima prova intermedia Maggio 2014.
Esercizi vari.
5 maggio 2015 – Lezioni 15 e 16
Spazio tangente nei punti delle fibre di una mappa liscia (con dimostrazione).
Spazio cotangente: base e espressione in coordinate di un elemento dello spazio cotangente.
([AT1] Cap. 2, Osservazione 2.3.36 e Cap.3 Osservazione 3.1.14).
Richiami di algebra lineare: spazio Hom(V,W) e prodotto diretto di spazi vettoriali. ([AT1] Cap. 1, §
1.1).
6 maggio 2015 – Esercitazioni 17 e 18
Esercizi su spazi tangenti a varietà e svolgimento temi d’esame.
12 maggio 2015 – Lezioni 17 e 18
Applicazioni bilineari e multilineari. Prodotto tensoriale di spazi vettoriali. Esistenza e unicità.
Esempi.
([AT1] Cap. 1)
14 maggio 2015 – Esercitazioni 19 e 20
Esercizi sulle applicazioni bilineari e prodotti tensoriali. Complessificazione di uno spazio vettoriale
reale.
15 maggio 2015 – Lezioni 19 e 20
Algebra tensoriale. Forme multilineari alternanti.
Operatore di antisimmetrizzazione. Algebra esterna.
([AT1] Cap. 1)
19 maggio 2015 – Lezioni 21 e 22
Definizione di fibrato vettoriale.
Funzioni di transizione di un fibrato e costruzione di un fibrato a partire dalle funzioni di
transizione. Costruzione del fibrato tangente ad una varietà liscia. ([A] Cap. 3, § 3.1).
20 maggio 2015 – Esercitazioni 21 e 22
Esercizi di algebra multilineare su prodotti tensori e prodotti esterni
21 maggio 2015 –
Partizioni dell’unità ( [A] Cap. 2, § 2.7 )
26 maggio 2015 – Lezioni 23 e 24
Costruzione dei fibrati tangente e cotangente ad una varietà liscia. ([A] Cap. 3, § 3.1).
Sezioni di un fibrato vettoriale e Campi vettoriali. Esempi di campi vettoriali.
Riferimenti locali e cambio di carta.
([A] Cap. 3, § 3.2).
Introduzione alle forma differenziali: fibrato delle r-forme, cambio di base delle fibre e funzioni di
transizione.
([A] Cap. 3, Esempio 3.2.14).
27 maggio 2015 – Esercitazioni 23 e 24
Esercizi di algebra multilineare. Esercizi sui fibrati vettoriali (Nastro di Moebius) e campi vettoriali
sulle sfere.
28 maggio 2015 – Lezioni 25 e 26
Forme differenziali in coordinate locali. Pull back di forme differenziali ed esempi.
Differenziale esterno e proprietà.
([A] Cap. 4, § 4.1).
29 maggio 2015 – Lezioni 27 e 28
Orientabilità di una varietà differenziabile: carte equiorientate e atlante orientato.
([A] Cap. 4, § 4.2).
Forme di orientazione ed equivalenza tra orientabilità ed esistenza di una forma di
orientazione. Orientazione delle Sfere. Criterio di non orientabilità.
([A] Cap. 4, § 4.2).
3 giugno 2015 – Esercitazioni 25 e 26
Esercizi di riepilogo e svolgimento temi d’esame
4 giugno 2015 – Esercitazioni 27 e 28
Esercizi di riepilogo e svolgimento temi d’esame
5 giugno 2015 – Lezione 29 e 30
Integrazione di forme differenziali.
([A] Cap. 4, § 4.3).
9 giugno 2015 – Lezione 31 e 32
Teorema di Stokes per varietà orientabili ed alcune sue conseguenze.
([A] Cap. 4, § 4.5).
Referenze
[AT1] M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, New York Springer-Verlag 2011.
[B] W.M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry.
Orlando Academic Press, Inc. 1986
[K] C. Kosniowski, Introduzione alla Topologia Algebrica – Zanichelli
[M] M. Manetti, Topologia, New York Springer-Verlag
