Esercitazione del 1/12/10
A cura di Giuseppe Gori ([email protected])
Corso di Microeconomia, Titolare del Corso Luigi Marattin
1
Esercizi.
1.1
Si consideri un’economia di puro scambio dove esistono solo due consumatori,
denominati A e B. Le loro funzioni di utilità sono:
Ua = 2xy
Ub = xy
La dotazione iniziale di A è (xa = 20; ya = 4) e quella di B è (xb = 4;
yb = 16).
(a) Si ricavi l’equazione della curva dei contratti.
(b) Si ricavi un vettore dei prezzi che garantisca l’equilibrio concorrenziale
(di Walras).
(c) Si determini l’allocazione ottimale per i due consumatori.
1.2
In un’economia di puro scambio con due agenti, a e b, e due beni y e x
la quantitá complessivamente disponibile di ciascuno dei due beni é 1 e le
funzione di utilitá sono le seguenti:
√
Ua = x y
√
Ub = xy
si dica se le seguenti allocazioni sono efficienti:
1 1
(xa ; ya ) =
;
3 5
2 4
(xb ; yb ) =
;
3 5
1
1.3
Le funzioni di utilità di due individui rispetto ai due beni di consumo, x e y,
sono:
Ua = xa ya + xa + ya
Ub = xb yb2
le quantitá complessive dei beni e le loro distribuzioni tra i due individui
sono le seguenti:
X = 6; xa = 3; xb = 3
Y = 4; ya = 2; yb = 2
(a) Si dica se siamo in presenza di efficienza nello scambio.
(b) Si proceda alla determinazione della curva dei contratti
visitate il sito http://www.econlab.arizona.edu/software/edgeworth/.
2
Domande a risposta multipla, Teoria.
2.1
Una economia di consumo con due beni (x e y) é popolata da due consumatori, A e B con funzioni di utilitá Ua = min(xa , ya ) e Ub = xb + yb . Dite
se:
(a) la curva dei contratti é una parabola.
(b) la curva dei contratti é una linea retta.
(c) non é possibile determinare la forma della curva dei contratti
2.2
Mediante il modello di scambio visto a lezione é possibile determinare:
(a) il rapporto tra i prezzi dei beni che permette di raggiungere efficienza
nello scambio.
(b) il livello dei prezzi dei beni che permette di raggiungere efficienza nello
scambio.
(c) nessuna delle precedenti.
2
Soluzioni suggerite
1.1:
Punto (a): La curva dei contratti è il luogo dei punti di tangenza delle curve
di indifferenza dei due consumatori. Per trovare l’equazione della curva dei
contratti si risolve il seguente sistema in tre equazioni:
SM SA = SM Sb
xa + xb = X
ya + yb = Y
La prima equazione impone che le curve di indifferenza dei due consumatori
siano tangenti tra loro. Le altre due equazioni assicurano che le quantità totali dei beni disponibili nell’economia siano uguali alla somma delle dotazioni
dei due individui. Risolvendo il sistema per i nostri dati si ha:
y
yb
ya xb
a
xa = xb
ya xb = yb xa
yb = xa
xa + xb = 24 → xa + xb = 24 → xa + xb = 24
ya + yb = 20
ya + yb = 20
ya + yb = 20
(
xa + xb = 24
ya + yxa xa b = 20
(
xb = 24 − xa
→
ya xa + ya xb = 20xa
ya xa + ya (24 − xa ) = 20xa → ya =
→
20
24 xa
La curva dei contratti é quindi:
5
ya = x a
6
Si osservi che l’allocazione iniziale dei beni dei due individui non giace sulla
curva dei contratti. Infatti, per l’individuo A, si ha che: 4 6= 0.83̄ · 20 .
Punto (b): La soluzione di questo punto puó essere ottenuta procedendo in
due modi diversi. Il primo tiene conto del fatto che i prezzi devono essere tali
che il loro rapporto sia uguale al MRS di uno dei due individui e, in aggiunta,
che questo avvenga in un punto sulla curva dei contratti (che equivale a dire
che il rapporto tra i prezzi non solo é uguale al MRS di un individuo, ma
anche a quello dell’altro, dato che per tutti i punti sulla curva dei contratti
M RSA = M RSB ). Il sistema si scrive allora come:
(
M RSa =
ya = 65 xb
px
py
(
→
ya
xa
ya
xa
=
=
px
py
5
6
3
e quindi necessariamente:
5
px
=
py
6
Due valori qualsiasi dei prezzi che soddisfino questo rapporto sono quindi
compatibili con i punti sulla curva dei contratti, ovvero con le allocazioni
pareto efficienti. Un diverso rapporto tra i prezzi sarebbe destinato a modificarsi a causa dell’eccesso di domanda di un bene e di offerta dell’altro, fino
a raggiungere il valore che abbiamo trovato, ovvero 5/6. Il secondo modo di
risolvere il punto è quello di considerare che un vettore di prezzi per il mercato concorreziale (walrasiano) deve appunto assicurare l’equilibrio su tutti
i mercati. Secondo la legge di Walras, se tutti i mercati sono in equilibrio
tranne uno, anche questo ultimo mercato deve essere in equilibrio. Poichè in
questo caso ci sono solo due mercati, quello del bene X e quello del bene Y
, è sufficiente cercare i prezzi di equilibrio per un solo mercato. Affinché un
mercato, ad esempio quello di X, sia in equilibrio, la somma delle domande
dei due consumatori deve essere uguale alla somma delle loro dotazioni del
bene stesso (eccesso di domanda nullo). Ricaviamo, quindi, la domanda di
ciascun consumatore per il bene X. Per il consumatore A si ha:
(
SM Sa = ppxy
px xa + py ya = Ra
Dove il reddito di A è uguale al valore della sua dotazione iniziale (Ra =
20px + 4py ) . Per cui, risolvendo il sistema, si ottiene la domanda di A:
(
ya
px
20px +4py
xa = py
→xda = 2p
x
px xa + py ya = 20px + 4py
Nella stessa maniera si ricava la domanda di B:
(
yb
px
4p +16p
xb = py
→xdb = x2px y
px xb + py yb = 4px + 16py
La quantità di X disponibile sul mercato è pari alla somma delle dotazioni
iniziali dei due consumatori:
X = 20 + 4 = 24
La somma delle domande di A e B deve uguagliare la disponibilità totale di
X sul mercato:
xda + xdb = X
4
Quindi abbiamo che:
4px + 16py
20px + 4py
+
= 24
2px
2px
24px + 20py = 48px
px
20
5
=
=
py
24
6
Un vettore di prezzi capace di assicurare l’equilibrio walrasiano è, quindi,
ancora:
px = 5; py = 6
Punto (c): Per ottenere le scelte ottime di A e B è sufficiente sostituire
i prezzi di equilibrio nelle rispettive funzioni di domanda del bene X e del
bene Y1 (da ricavare):
xda =
20px + 4py
20 · 5 + 4 · 6
→ x∗a =
= 12.4
2px
2·5
xdb =
4px + 16py
4 · 5 + 16 · 6
→ x∗b =
= 11.6
2px
2·5
yad =
20px + 4py
20 · 5 + 4 · 6
→ ya∗ =
= 10.3̄
2py
2·6
ybd =
4px + 16py
4 · 5 + 16 · 6
→ yb∗ =
= 9.6̄
2py
2·6
L’utilità di A per il paniere di scelta ottima é 256.26 e quella di B é 112.13,
ovviamente entrambi superiori a quelle delle dotazioni iniziali.
1.2:
Le allocazioni sono efficienti.
1.3:
Punto (a): Le dotazioni iniziali non sono pareto efficienti.
7yb
Punto (b): La curva dei contratti é xb = 10−y
b
1
Nel caso della funzione di utilità Cobb-Douglas é possibile sfruttare le sue proprietà
per ricavare direttamente le funzioni di domanda di x e y. Per la generica funzione di
β
α R
R
utilitá U = xα y β , le rispettive funzioni di domanda sono: xd = α+β
e y d = α+β
,
px
py
dove R é il reddito del consumatore. Infatti α e β rappresentano la quota relativa di
reddito che il consumatore utilizza per acquistare ciascun bene.
5
1.4:
Domande a risposta multipla: (b), (a).
6
