la gravit`a come forza entropica e l`espansione accelerata dell

Alma Mater Studiorum · Università di Bologna
FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea Magistrale in Astrofisica e Cosmologia
LA GRAVITÀ COME FORZA
ENTROPICA
E
L’ESPANSIONE ACCELERATA
DELL’UNIVERSO
Relatore:
Tesi di laurea di:
DANIELE
PESOLILLO
FRANCESCO
RAVANINI
Sessione II
Anno Accademico 2010-2011
Alla mia famiglia, che ha sempre creduto in me.
Indice
Introduzione
1
1 Basi di Relatività Ristretta e Generale
1.1 Relatività Ristretta, Spazio-Tempo, metrica, Principi di Relatività Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalità e
cono-luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sistema di coordinate comoventi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Vettori di Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Spazi massimamente simmetrici e loro costruzione . . . . . .
1.6 Le equazioni di campo di Einstein . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
12
14
16
18
2 Cosmologia
23
2.1 Principio Cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Costruzione della metrica di FRW utilizzando spazi massimamente simmetrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Significato della costante cosmologica come proprietà
dello Spazio-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Significato della costante cosmologica come energia del
vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Entropia ed Olografia
3.1 Entropia termodinamica . . . . . . . . . . .
3.2 Entropia informazionale . . . . . . . . . . .
3.2.1 Entropia informazionale classica . .
3.2.2 Entropia informazionale quantistica
3.3 Entropia statistica . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Entropia dei buchi neri . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Le quattro leggi della termodinamica
3.5 Olografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Il processo Susskind . . . . . . . . .
i
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
dei buchi neri .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
40
40
42
44
44
47
49
51
ii
INDICE
3.5.2
La corrispondenza ADS/CFT . . . . . . . . . . . . . .
52
4 La Gravità come forza entropica
57
4.1 Proprietà emergente e forza entropica . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Foglio luce e schermo olografico . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Entropia limite di tipo spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Entropia limite covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Condizione di non espansione ed equazione di Raychaudhuri . 66
4.5.1 Significato di forza taglio, torsione ed espansione. . . . 67
4.6 La forza entropica nel modello olografico . . . . . . . . . . . . 68
4.7 Calcolo della legge di gravitazione di Newton come forza entropica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.8 Studio del potenziale Newtoniano nel modello olografico . . . 72
4.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazione
delle equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico . . . . . . . 76
5 L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come
forza entropica
5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo . . . .
5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo . .
5.2.1 Interpretazione come Dark Energy . . . . . . . . . . .
5.2.2 Interpretazione come forza entropica . . . . . . . . . .
5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione
accelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria . . . . .
5.3.1 La pressione entropica negativa che guida l’inflazione .
5.3.2 Calcolo del numero effettivo dei gradi di libertà e del
valore della correzione sull’entropia . . . . . . . . . . .
81
81
86
86
89
95
96
97
Conclusioni
101
A Distanze e orizzonti in Cosmologia
103
B Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie
107
Ringraziamenti
111
Bibliografia
114
Elenco delle figure
1.1
Grafico del sistema di coordinate[4].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
Tipi differenti di 4-vettori[4].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Diagramma spazio temporale per 3 andamenti differenti: in rosso eventi di
tipo luce (fotoni), in verde eventi di tipo tempo di una particella massiva in
moto uniforme, in blu eventi di tipo tempo di una particella massiva in moto
.
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
accelerato. Gli eventi di tipo spazio giacciono all’esterno delle bisettrici rosse.
1.4
Sistema di coordinate comoventi[5].
1.5
La figura (a) mostra la linea di mondo di una particella massiva come una curva
di tipo tempo, sempre all’interno del cono-luce e con un ds sempre positivo dato
da ds2 = gµν dxµ dxν . L’intervallo di tempo τ è sempre positivo. La figura (b)
riporta il caso dell’andamento di una particella non massiva (fotone) in cui le
linee di mondo sono tangenti ai coni-luce, l’intervallo di tempo τ è sempre nullo.
2.1
14
La figura (a) mostra una superficie a curvatura nulla k = 0, la figura (b) mostra
una superficie a curvatura positiva k = 1, la figura (c) mostra una superficie
con curvatura negativa k = −1[8].
2.2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Il grafico raffigura l’andamento dei vari fattori di scala in base alla curvatura
e al valore della costante cosmologica. La curva (a) rappresenta l’equazione
(2.34); la curva (b) rappresenta l’equazione (2.35); la curva (c) rappresenta
l’equazione (2.36); la curva (d) rappresenta l’equazione (2.33)[6].
2.3
. . . . . .
33
Spazio de Sitter come ipersuperficie a 4 dimensioni, immaginato come un iperboloide. Si considera la segnatura della metrica come (+ − −−) perchè questo
Spazio-Tempo è una 4-sfera lorentziana immerso nel 5-spazio di Minkowski la
cui metrica è ds2 = dt2 − dw2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .
2.4
. . . . . . . . . . . . .
36
Spazio-Anti de Sitter, immaginato come un iperboloide. Esso è una 4-sfera
lorentziana in un 5-pseudo spazio di Minkowski con metrica ds2 = dt2 + dw2 −
dx2 − dy 2 − dz 2 . Si notano le 2 coordinate temporali (t, w) e quelle spaziali
3.1
(x, y, z) considerando la segnatura della metrica come (+ + − − −) .
. . . . .
37
Valore massimo dell’entropia a cui corrisponde un valore di p = 0.5.
. . . . .
41
iii
iv
ELENCO DELLE FIGURE
3.2
(a) Per un gas in una scatola, inizialmente tutto in un angolo, l’entropia cresce
quando il gas comincia a diffondersi, raggiungendo infine lo stato uniforme di
equilibrio termico. (b) Nel caso della gravità, le cose vanno in maniera opposta.
Un sistema di corpi gravitanti all’inizio uniformemente distribuito rappresenta
un’entropia relativamente bassa , e tendono ad aggregarsi quando l’entropia
cresce. Vi è infine un grande aumento di entropia sotto forma di buchi neri[13].
3.3
3.4
3.5
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Legame teorico tra entropia di un buco nero e bit di informazione
Schema del processo Susskind
Rappresentazione grafica della corrispondenza ADS/CFT; il cilindro è il diagramma di Penrose dello Spazio-Tempo AdS5 .
4.1
. . . . . . . . . . . . . .
55
Molecole che interagiscono tra loro dando vita a determinate proprietà quali la
temperatura e la pressione.
4.2
45
50
52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Un polimero libero è immerso in un bagno termico con temperatura T e portato
fuori dalla sua configurazione di equilibrio da una forza esterna F . La forza
entropica di conseguenza punta nel verso opposto[23].
4.3
4.4
. . . . . . . . . . .
Propagazione della luce su una superficie di tipo luce (foglio luce) X + = cost[17].
Famiglia di raggi luce su una superficie X + fissata, in presenza di un buco
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Immagine dell’orizzonte stirato sullo schermo asintotico[15]. . . . . . .
Una ipersuperficie a t = cost, di regione V e superficie B[26]. . . . . .
Le quattro ipersuperfici nulle ortogonali alla superficie sferica B[18]. . .
Una particella di massa m a distanza ∆x dallo schermo olografico[23]. .
nero[17].
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
59
61
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
62
63
65
69
. . . . . .
71
Una particella di massa m vicino allo schermo olografico sferico. L’energia è
ugualmente distribuita sul numero di bit occupati, ed è equivalente alla massa
M che emerge nella parte di spazio circondata dallo schermo[30].
5.1
Queste 2 figure mostrano l’orizzonte delle particelle e l’orizzonte degli eventi in
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
funzione dela distanza comovente e della distanza propria[43].
5.2
5.3
Valori di entropia in un volume comovente[43].
83
84
Entropia della materia all’interno dell’orizzonte degli eventi ed entropia dell’orizzonte degli eventi.[43]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Introduzione
Lo studio della Relatività Generale, negli anni, ha aperto svariate porte allo
studio di diversi fenomeni fisici e astrofisici.
Il concetto che sta alla base della teoria relativistica è la cosidetta gravità,
facente parte, insieme all’interazione forte, all’interazione debole e all’interazione elettromagnetica, delle 4 forze fondamentali della natura. Una
delle sue proprietà fondamentali, quella cioè che tutti i corpi in caduta libera all’interno di un campo gravitazionale hanno la stessa accelerazione, fu
identificata da Galileo all’inizio del diciassettesimo secolo.
Verso la fine dello stesso secolo, Newton formulò la legge di gravitazione
universale, responsabile sia della forza di caduta dei gravi sia della forza
di attrazione tra pianeti ed Einstein, con la teoria della Relatività Generale, stabilı̀ la connessione tra campo gravitazionale e struttura dello SpazioTempo.
Tuttavia, ad oggi disponiamo di pochissimi elementi sulle proprietà della
forza gravitazionale ed in particolare sulle sue caratteristiche in condizioni
estreme, come quelle che presumibilmente dovevano esserci durante l’esplosione primordiale (Big Bang) o che compaiono nella trattazione della fisica
dei buchi neri. In quest’ultimo campo si sta cercando di trovare un approccio alternativo, che lega la gravità alla meccanica quantistica, che potrebbe
consentire di studiare questi oggetti esotici anche in casi di gravità estrema.
L’interazione gravitazionale quindi, contrariamente a ciò che si potrebbe
credere, è la meno conosciuta fra le interazioni fondamentali ed è l’unica
delle 4 forze a non essere stata ancora unificata tramite un’adeguata teoria.
Tra i vari metodi di unificazione sviluppati, oltre ad esempio a quelli basati
sulla Quantum Gravity o sulla Teoria delle Stringhe, un approccio alternativo e alquanto intrigante potrebbe essere il seguente: e se la gravità non
fosse una forza fondamentale ma una forza emergente dalle proprietà dello
Spazio-Tempo?
Questo lavoro di tesi viene sviluppato per cercare di dare una possibile risposta a questa domanda, applicare tale approccio allo studio della Cosmologia
ed in particolare capire in che modo la gravità partecipi in maniera diretta
nel dare una spiegazione alternativa alla componente che provoca l’espansione accelerata dell’Universo, cioè la Dark Energy.
La Dark Energy è sempre stata materia di dibattiti molto accesi tra i fisici
1
2
Introduzione
e gli astrofisici e ad oggi è il vero grande mistero che circonda la scienza
dell’Universo. Non si conosce la sua vera natura e si cercano di dare diverse
spiegazioni sulla sua origine, mediante la formulazione di varie teorie per
tentare di risolvere finalmente questo grande interrogativo.
In questa tesi si cerca di dare un approccio differente sia per quanto riguarda
la comprensione della gravità, sia per quanto riguarda l’espansione dell’Universo, senza ricorrere alla Dark Energy; quest’ultima risulta direttamente
legata alla gravità intesa come forza entropica, che crea nella sottostruttura
dello Spazio-Tempo una pressione negativa che provoca un’espansione accelerata.
La natura di tale approccio viene però da più lontano, ovvero da quello che
in fisica viene chiamato principio olografico, che suggerisce che tutto ciò che
è contenuto in una regione spaziale può essere descritto da bit di informazione confinati sul bordo della regione stessa. La gravità allora intesa come
forza entropica, insieme al fatto che l’olografia suggerisce un legame tra
la struttura spazio temporale dell’Universo e il bordo di esso (inteso come
orizzonte), permette, anche attraverso il legame tra l’informazione olografata sullo schermo e l’entropia che risiede in esso, di capire come l’orizzonte
abbia un ruolo importante nello studio e nella possibile comprensione dell’espansione accelerata dell’Universo.
Questo stesso approccio fisico può essere utile per cercare di capire anche
in che modo l’olografia e la forza entropica possano aver guidato l’Universo
durante il periodo inflazionario, fornendo anche in questo caso un’interpretazione diversa da quella che si dà comunemente in ambito cosmologico.
La grande differenza tra l’idea di Guth dell’inflazione, che si basa sulla presenza di un campo scalare detto inflatone, e la teoria analizzata in questa
tesi è costituita dal fatto che la prima è una teoria semi-classica, mentre
la correzione sull’entropia che è stata trovata e discussa in questo lavoro è
legata a concetti di gravità quantistica.
Nella stesura di questo lavoro l’approccio per analizzare le varie tematiche
discusse, e capire in che modo collegarle tra loro è stato il seguente.
• Nel primo capitolo vengono introdotte le nozioni basilari di Relatività Ristretta e Generale, con una particolare attenzione allo studio dei
vettori di Killing e alla costruzione di spazi massimamente simmetrici.
• Nel secondo capitolo viene enunciato il principio cosmologico come
introduzione ai concetti di omogeneità ed isotropia, analizzati però da
un punto di vista più matematico, ricorrendo agli spazi massimamente
simmetrici per costruire la metrica di Friedmann- Robertson- Walker.
Quest’ultima viene utilizzata insieme alle equazioni di campo per arrivare alle equazioni di Friedmann che governano l’evoluzione dinamica
dell’Universo.
Vengono dati anche 2 approcci solo in apparenza differenti per spiegare
il ruolo della costante cosmologica nelle equazioni di Einstein.
Introduzione
3
• Nel terzo capitolo viene trattata la teoria sull’entropia, enunciandone diversi significati, sia in ambito classico sia in ambito quantistico.
Successivamente si discute la connessione tra entropia ed informazione
che porta inevitabilmente al principio olografico, cioè ad una possibile teoria in cui tutta l’informazione è codificata sulla superficie di un
ipotetico orizzonte.
• Nel quarto capitolo si dà la definizione di proprietà emergente collegandola al principio olografico; questa dualità permette di introdurre
il concetto di gravità come forza entropica (quindi come forza non fondamentale ma emergente dalle proprietà dello Spazio-Tempo).
Viene accennata la fisica che permette la costruzione dei cosiddetti “fogli luce” e di come essi sono collegati alla definizione di un ipotetico
schermo olografico.
• Nel quinto capitolo viene studiato l’Universo come un sistema chiuso, viene analizzato il comportamento dell’entropia sull’orizzonte per
cercare di dare una spiegazione alternativa alle teorie cosmologiche che
studiano il comportamento della Dark Energy. Infine si ipotizza che
l’olografia possa essere applicata per spiegare anche l’espansione accelerata durante il periodo inflazionario, mediante una correzione quantistica sull’entropia dovuta ai gradi di libertà codificati sull’orizzonte
nell’epoca inflazionaria.
Capitolo 1
Basi di Relatività Ristretta e
Generale
La materia insegna allo
Spazio-Tempo come curvarsi, lo
Spazio-Tempo insegna alla
materia come muoversi.
Misner,Thorne, Wheeler
.
1.1
Relatività Ristretta, Spazio-Tempo, metrica,
Principi di Relatività Generale
Quando si comincia a parlare di Relatività, spesso ci si imbatte in concetti
che non sono per nulla intuitivi.
La Relatività nel ventesimo secolo ha permesso di modificare drasticamente
il nostro concetto di vedere e capire il mondo e i fenomeni che ci circondano.
La Relatività Ristretta si basa su 2 postulati:
1)Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
2)La velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
In particolare la domanda principale che ci si chiede quando si studiano fenomeni fisici e astrofisici relativistici è la seguente:
cosa succede ad un corpo e all’ambiente circostante se ci si avvicina a velocità prossime a quelle della luce?
In aiuto a questa domanda ci vengono 2 effetti noti in Relatività Ristretta:
la contrazione delle lunghezze e la dilatazione del tempo.
5
6
Basi di Relatività Ristretta e Generale
La prima mostra che la lunghezza di un corpo nella direzione del moto con
1
2
2
velocità uniforme v è ridotta di un fattore 1 − vc2 . Chiaramente il corpo
avrà la lunghezza maggiore nel S.D.R. (Sistema di riferimento) nel quale è a
riposo, e questa lunghezza è chiamata lunghezza propria. Si noti anche che
la lunghezza tende a zero se la velocità tende alla velocità della luce.
Per la dilatazione del tempo supponiamo invece di considerare una misura
di intervallo di tempo. in questo caso l’orologio in moto solidale con il riferimento inerziale O’ è visto da un altro sistema inerziale O occupare sempre la
medesima posizione rispetto ad O’. Ciò significa che si considerano 2 istanti
distinti t01 , t02 misurati da O’ nello stesso punto x~0 e ci si domanda quanto
valgono t1 ,t2 . Facciamo uso della trasformazione di Lorentz inversa per i
tempi, ottenendo:


~
v
0
0
~

 t2 = γ t2 + c2 · x


 t1 = γ t0 + ~v2 · x~0
1
c
sottraendo membro a membro otteniamo:
T = γT0 , T = t1 − t2 , T0 = t02 − t01
ovvero:
T =
q T0
2
1− v2
c
Si può interpretare questo risultato anche dicendo che per l’orologio in moto
il tempo scorre più lentamente rispetto all’osservatore che lo vede muoversi
di quanto non farebbe se fosse in quiete. Il tempo misurato da un orologio
in quiete con l’osservatore viene denominato tempo proprio dell’osservatore.
Un esempio può essere tratto dallo studio dei raggi cosmici[1].
Alcuni muoni che ci raggiungono e che provengono dagli strati alti dell’atmosfera hanno una vita cosı̀ breve (∼ 10−8 sec) che, anche se avessero viaggiato
alla velocità della luce, avrebbero comunque impiegato un tempo dell’ordine
di dieci volte maggiore della loro vita propria, se non si considerano gli effetti
della dilatazione del tempo. Queste particelle invece vengono rilevate alla
superficie della Terra perchè è come se le loro alte velocità le mantenessero
giovani.
Di solito nella vita quotidiana si è abituati a pensare al mondo in cui viviamo
come uno spazio 3-D, considerando il tempo come una proprietà a sè stante
e universale. La Relatività come suo punto cardine tralascia questo modo di
pensare e analizza lo spazio e il tempo come un unica proprietà della natura,
cioè basa tutti i suoi concetti sul cosiddetto continuo SpazioTemporale quadrimensionale (3+1 dimensioni). In questo quadro il quadrato dell’intervallo
1.1 Relatività Ristretta, Spazio-Tempo, metrica, Principi di
Relatività Generale
7
tra 2 eventi qualsiasi definito da:
ds2 = dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2
(1.1)
è invariante sotto una trasformazione di Lorentz; abbiamo quindi lo SpazioTempo di Minkowski.
Questo Spazio-Tempo è definito come una varietà quadrimensionale dotata
di una metrica piatta, in cui esiste un particolare sistema di coordinate che
ricopre l’intera varietà, nel quale la metrica è ds2 = ηµν dxµ dxν 1 in cui per
ηµν si intende la matrice:

ηµν

1 0
0
0
 0 −1 0
0 

=
 0 0 −1 0 
0 0
0 −1
Questo particolare sistema di coordinate si chiama sistema di coordinate di
Minkowski.
Il punto di partenza per lo studio della Relatività Generale è l’estensione
del primo postulato della Relatività Ristretta e che sancisce l’equivalenza
fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali; ovvero che le leggi della fisica
sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento. Questa assunzione porta come
conseguenza al cosiddetto principio di covarianza generale:
Le leggi della fisica sono covarianti rispetto a trasformazioni generali di coordinate, ovvero le equazioni della fisica devono avere una forma tensoriale.
Un secondo principio anch’esso importante che mi permette di scegliere una
struttura geometrica compatibile con le proprietà dell’interazione gravitazionale è il principio di equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale, che
porta alla seguente affermazione:
l’interazione gravitazionale è sempre localmente indistinguibile da
un’accelerazione
dove “localmente”vuol dire in un punto dato dello Spazio-Tempo e nel suo
intorno infinitesimo, in cui il campo gravitazionale è statico (~g costante nel
tempo) e omogeneo (~g uguale in tutti i punti); estendendo infatti tale intorno, si noterebbero effetti di accelerazione relativa tra i corpi dovuti alla
radialità del campo gravitazionale. Tale principio mi dice sostanzialmente
1
D’ora in avanti adotteremo la convenzione di Einstein sugli indici, per cui indici ripetuti una volta in alto e una volta in basso si intendono sommati. Quindi o un indice
si contrae e allora si somma con un altro indice che ha lo stesso nome ma che si trova in posizione opposta; oppure è libero e deve comparire tale anche nell’altro membro
dell’equazione. Gli indici ripetuti vengono detti muti.
8
Basi di Relatività Ristretta e Generale
che applicando un’accelerazione uguale e contraria, le forze gravitazionali
possono essere localmente eliminate.
Questa completa eliminazione delle forze, per qualunque sistema fisico dato,
è possibile grazie all’universalità dell’accoppiamento gravitazionale, dal momento che tutti i corpi rispondono ad un campo gravitazionale esterno con
la stessa accelerazione, cioè il rapporto tra la massa gravitazionale e quella
inerziale ha lo stesso valore per tutti i corpi. Infatti, sotto queste condizioni, è sempre possibile scegliere un opportuno sistema di coordinate, detto
“sistema localmente inerziale”, rispetto al quale la metrica di Riemann gµν
si riduce localmente a ηµν in corrispondenza di un punto dato e la geometria, nell’intorno di quel punto, ritorna ad essere di tipo Minkowskiano. In
questo contesto diventa inevitabile rinunciare alla struttura pseudo-euclidea
dello Spazio-Tempo di Minkowski a favore di una struttura geometrica più
generale, che sarà quella Riemanniana dove la metrica ηµν viene sostituita
con una metrica più generale gµν dipendente dai punti dello Spazio-Tempo.
Il principio di covarianza generale ci porta ad uno Spazio-Tempo con una
geometria più ricca e diversa rispetto a quella di Minkowski (piatta). Precisamente vale il seguente[1]:
Teorema 1. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una metrica sia
piatta è che il suo tensore di Riemann si annulli.2
Il tensore di Riemann dipende dalla metrica e dalle sue derivate prima
e seconda ed è definito come segue:
∂Γα βγ
∂Γα βδ
(1.2)
−
+ Γρβγ Γαρδ − Γρδβ Γαρ
δ
∂xγ
∂x
in cui la connessione affine (o simbolo di Christoffel) Γα µν è definito da3 :
Rα βγδ =
1
Γα µν = g αλ (∂µ gλν + ∂ν gλµ − ∂λ gµν )
2
(1.3)
Praticamente una generica metrica gµν descive uno Spazio-Tempo curvo se
e solo se Rα βγδ 6= 0. L’annullarsi del tensore di Riemann è condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una trasformazione di coordinate che riduca
la metrica alla forma di Minkowski gµν = ηµν .
1.2
Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalità e cono-luce
Per introdurre il formalismo tensoriale utilizzato in Relatività, considero il
4-vettore unitario {eµ } con µ = 0, 1, 2, 3 e un sistema di coordinate in cui ho
2
Un tensore che sia nullo in un sistema di riferimento sarà necessariamente nullo in
tutti i sistemi di riferimento.
3
Il simbolo di Christoffel non è un tensore.
1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalità e
cono-luce
9
un asse di tipo tempo Ox0 e tre assi di tipo spazio Oxi con i=1,2,3; questi tre
assi spaziali sono ortogonali all’asse Ox0 [Fig 1.1]. Abbiamo la costruzione
< eµ , eν >= ηµν dove <, > denota il prodotto pseudoscalare dello spazio di
Minkowski. Se A è un 4-vettore si può scrivere:
A = eµ · Aµ
(1.4)
Aµ sono chiamate componenti controvarianti di A. In (1.4) abbiamo usato
la convenzione di Einstein sulle somme, infatti esplicitamente abbiamo:
eµ · Aµ = e0 A0 + e1 A1 + e2 A2 + e3 A3
(1.5)
Analogamente le componenti covarianti di A sono definite da:
Aµ =< A, eµ >= Aν < eν , eµ >
(1.6)
Aµ = ηµν Aν
(1.7)
o anche
Per la componente controvariante la relazione analoga alla (1.7) è
Aµ = η µν Aν
(1.8)
dove η µν è definita dalla relazione η µν ηνσ = 4 δσµ [2].
Usando la notazione di prodotto scalare introdotta prima, si può facilmente
vedere il segno della norma del 4-vettore A, da cui si può fare la seguente
distinzione [Fig 1.2]:

 Aµ Aµ > 0 → A è di tipo-tempo
Aµ Aµ < 0 → A è di tipo-spazio

Aµ Aµ = 0 → A è di tipo-luce
Utilizzando il formalismo tensoriale si può riscrivere la (1.1) nella seguente
forma:
ds2 = ηµν dxµ dxν
(1.9)
In Relatività Generale la (1.9) diventa
ds2 = gµν (x)dxµ dxν
(1.10)
Definito il formalismo tensoriale possiamo introdurre il concetto di causalità, ma prima è utile definire il significato di geodetica.
Considereremo le traiettorie di particelle come geodetiche; queste ultime
descrivono la traiettoria di un punto materiale in presenza di un campo
4
dove δσµ è il simbolo di Kronecker.
10
Basi di Relatività Ristretta e Generale
Figura 1.1:
Grafico del sistema di coordinate[4].
Figura 1.2:
Tipi differenti di 4-vettori[4].
gravitazionale e particelle di tipo tempo percorrono geodetiche che convergono, la convergenza è descritta dal Tensore di Riemann tramite la cosidetta
equazione di deviazione geodetica[3]:
d2 xα
dxµ dxν
+ Γα µν
2
ds
ds ds
(1.11)
Ci si può chiedere se esista una ragione a priori per identificare le geodetiche
di tipo tempo e nulle con le traiettorie per le particelle materiali e per i fotoni, o se fosse possibile anche un’altra scelta ( ad esempio le geodetiche di
tipo spazio). Secondo la teoria newtoniana le particelle libere viaggiano in
linea retta, secondo la prima legge di Newton; sembrerebbe dunque naturale
considerare le geodetiche come l’analogo delle linee rette.
Il significato delle geodetiche di tipo tempo è che la loro scelta, a differenza
1.2 Formalismo tensoriale, definizione di geodetica, causalità e
cono-luce
11
di quelle di tipo spazio, è consistente con la causalità. Lo Spazio-Tempo di
Minkowski ammette un gruppo di simmetria particolare chiamato gruppo
di Poincarè come proprio gruppo di invarianza.
Per questo se 2 eventi vicini P e Q della storia di una particella libera avvengono su una geodetica di tipo tempo in corrispondenza dei valori di tempo
proprio τ e τ + dτ , allora una trasformazione ortocrona (trasformazione che
lascia invariato l’ordine temporale degli eventi) di Poincarè conserva il fatto
che Q avviene dopo P.
Questo è consistente con la causalità perchè affermiamo che l’arrivo della
particella in Q è causato dall’essere stata prima in P.
Le geodetiche nulle hanno una proprietà particolare che le rende candidati
naturali per i segnali luminosi, esse sono associate a una velocità caratteristica di modulo 1; tale proprietà è fondamentale perchè essa si conserva
sotto una trasformazione di Poincarè, e quindi le geodetiche nulle ( o di
tipo luce) appaiono i candidati naturali per formalizzare la costanza della
velocità della luce.
A questo punto diamo un breve accenno al gruppo di Poincarè[4].
Esso consiste nelle trasformazioni lineari non omogenee che lasciano ηµν invariante; una trasformazione di Poincarè è costituita da una trasformazione
di Lorentz e da una traslazione arbitraria nello Spazio-Tempo. Il gruppo di
Lorentz (formato dalle omonime trasformazioni ) è un sottogruppo di Poincarè e le traslazioni formano un sottogruppo invariante di esso.
Il gruppo di Poincarè è un gruppo a 10 parametri, di cui 6 parametri di
Lorentz e 4 parametri di traslazione.
In conclusione le trasformazioni di Poincarè costituiscono l’insieme completo delle isometrie (trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la
metrica) della metrica di Minkowski e fisicamente parlando sono importanti perché mettono in relazione un sistema inerziale S con un altro sistema
inerziale S’ in posizione generica.
Un modo utile per visualizzare la struttura dello Spazio-Tempo come emerge dalle trasformazioni di Lorentz è quello di ricorrere ai diagrammi spaziotemporali e di conseguenza al concetto di cono-luce.
Consideriamo la coordinata spaziale x come una retta unidimensionale, che
percorre l’ascissa su un piano cartesiano e alla coordinata temporale t che
percorre l’ordinata sempre sul medesimo piano. Allora lo Spazio-Tempo sarà
rappresentato da un piano bidimensionale avente coordiante (t, x ).
Nel grafico [Fig 1.3] si osservano 3 curve di colore diverso, ognuna delle quali
rappresenta un evento differente.
Le bisettrici (in rosso) rappresentano gli eventi di tipo luce che si propagano
dall’origine in linea retta.
Gli eventi di tipo tempo invece hanno la caratteristica di propagarsi sempre
all’interno delle bisettrici: infatti la linea verde rappresenta una particella
lanciata dall’origine che si muove di moto rettilineo uniforme, mentre la linea blu rappresenta sempre una particella lanciata dall’origine, ma che si
12
Basi di Relatività Ristretta e Generale
muove di moto accelerato. Per propagarsi all’interno delle bisettrici, la particella deve sempre avere velocità minore di quella della luce, quindi la sua
inclinazione dovrà essere sempre maggiore di 45◦ .
Gli eventi di tipo tempo, spazio e luce definiscono il cosidetto cono-luce [Fig
1.5]. Esso è composto da 2 falde: quella del futuro in cui t > 0, e quella del
passato in cui t < 0. La superficie del cono superiore è il luogo geometrico
delle traiettorie di raggi di luce emessi in O (origine), mentre l’interno del
cono superiore rappresenta gli eventi che potrò raggiungere partendo da O
e viaggiando sempre a velocità inferiori a quelle della luce. Analogamente,
la superficie del cono inferiore è il luogo geometrico di eventi del passato che
possono aver emanato un raggio di luce che raggiungono O, mentre l’interno
del cono inferiore è l’insieme degli eventi di un segnale che viaggia sempre a
velocità minore di c e raggiunge O.
Figura 1.3:
Diagramma spazio temporale per 3 andamenti differenti: in rosso eventi di tipo luce
(fotoni), in verde eventi di tipo tempo di una particella massiva in moto uniforme, in blu eventi
di tipo tempo di una particella massiva in moto accelerato. Gli eventi di tipo spazio giacciono
all’esterno delle bisettrici rosse.
1.3
Sistema di coordinate comoventi
La cosa che ci interessa di più è vedere come viaggia la luce nello SpazioTempo, precisamente come viaggia in un Universo in espansione, considerando una sfera che cresce al passare del tempo. Immagino di essere sulla
superficie di questa sfera, per prima cosa caratterizzo i punti della superficie
con un sistema di coordinate. Dal momento che si tratta di una sfera, le
1.3 Sistema di coordinate comoventi
13
coordinate migliori sono quelle polari. Scelto un polo P, avremo le coordinate ϑ e ϕ.
Figura 1.4:
Sistema di coordinate comoventi[5].
Il punto P [Fig 1.4], ad esempio, potremmo essere noi mentre Q un’altra
galassia: Q è caratterizzato dagli angoli ϑ e ϕ (il primo si disegna facilmente
mentre il secondo è meglio immaginarlo). Il fatto che l’Universo si espanda
non fa cambiare le coordinate, ovvero se il raggio della sfera cresce gli angoli
rimangono invariati. Dunque le coordinate polari di un determinato punto,
di una determinata galassia, sono costanti ed è per questo motivo che esse
vengono chiamate coordinate comoventi.
Le richieste per la costruzione di queste coordinate sono che ogni punto del
sottospazio dello Spazio-Tempo sia etichettato da tre coordinate che restino
costanti durante l’evoluzione dinamica del sistema. Ogni punto porta anche
un orologio, e tutti gli orologi sono opportunamente sincronizzati. Le tre
coordinate saranno r, ϑ ,ϕ . Se accettiamo l’idea di un’evoluzione temporale, dobbiamo avere la possibilità di misurare il tempo in un qualunque
punto dell’Universo in maniera omogenea. Una delle implicazioni del principio cosmologico che verrà trattato nel prossimo capitolo è, come vedremo,
la possibilità di definire un tempo cosmico. L’unico modo che abbiamo per
definire questo tempo in modo fisico sarà quello di riferirci a qualche grandezza scalare che sia uguale dappertutto, come ad esempio la densità o la
temperatura[5][6].
Per analizzare invece il modo matematico di definire il tempo cosmico, conviene studiare le equazioni nel sistema di coordinate comoventi.
14
Basi di Relatività Ristretta e Generale
Queste saranno le coordinate utilizzate in Cosmologia per descrivere la
metrica di Friedman-Robertson-Walker(FRW).
Figura 1.5:
La figura (a) mostra la linea di mondo di una particella massiva come una curva di
tipo tempo, sempre all’interno del cono-luce e con un ds sempre positivo dato da ds2 = gµν dxµ dxν .
L’intervallo di tempo τ è sempre positivo. La figura (b) riporta il caso dell’andamento di una
particella non massiva (fotone) in cui le linee di mondo sono tangenti ai coni-luce, l’intervallo di
tempo τ è sempre nullo.
1.4
Vettori di Killing
Siamo interessati alle trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la
metrica, cioè le trasformazioni di isometria.
Considero la metrica gµν , essa è invariante sotto una trasformazione di coor0 (x0 ) è funzione del suo argomento
dinate x → x0 , se la metrica trasformata gµν
0
x allo stesso modo di come lo è gµν (x) del suo argomento x. Quindi devo
avere:
0
gµν
(x0 ) = gµν (x)
(1.12)
In generale ho:
∂xα ∂xβ
gαβ (x)
(1.13)
∂x0µ ∂x0ν
e utilizzando la (1.12) posso ottenere la trasformazione di isometria:
0
gµν
(x0 ) =
gµν (x) =
∂x0α ∂x0β
gαβ (x0 )
∂xµ ∂xν
(1.14)
1.4 Vettori di Killing
15
Utilizziamo adesso la (1.14) per caratterizzare le isometrie nel caso di trasformazioni infinitesime di coordinate. Una trasformazione infinitesimale è
della forma:
x0µ = xµ + εξ µ (x) con ε → 0
(1.15)
Utilizziamo quest’ultima per ottenere la (1.14) al primo ordine in ε.
Per prima cosa consideriamo le seguenti relazioni[7]:







α
∂x0α
∂xµ
∂ξ
= δµα + ε ∂x
µ
∂x0β
∂xν
∂ξ
= δνβ + ε ∂x
ν
β




0
γ ∂gµν(x)

 gµν (x ) = gµν (x + εξ) ' gµν (x) + εξ ∂xγ
Utilizzando queste relazioni all’interno di (1.14) si ottiene la seguente relazione5 :
∂ν ξ β (x)gµβ (x) + ∂µ ξ α (x)gαν (x) + ∂γ gµν (x)ξ γ (x) = 0
(1.16)
Riscriviamo ora la (1.16) in termini di componenti covarianti:
∂ν ξµ + ∂µ ξν + ξ γ (∂γ gµν − ∂µ gγν − ∂ν gγµ ) = 0
(1.17)
Considerando adesso la definizione di derivata covariante in spazi curvi:
Dν Aµ = ∂ν Aµ − Γγ µν Aγ
(1.18)
dove Γγ µν è la connessione affine, possiamo riscrivere la (1.17) nel modo
seguente:
Dν ξµ + Dµ ξν = 0
(1.19)
Quest’ultima viene chiamata equazione di Killing.
Un vettore ξµ che soddisfa la (1.19) è detto vettore di Killing della metrica
gµν .
Il problema della determinazione delle isometrie infinitesime di una data metrica è risolto dall’individuazione dei vettori di Killing associati alla metrica.
A questo punto ci si può chiedere quale sia il numero massimo di vettori di
Killing ammessi da una metrica D-dimensionale, introducendo il concetto di
spazio massimamente simmetrico.
5
dove abbiamo utilizzato la notazione ∂µ ≡
∂
.
∂xµ
16
Basi di Relatività Ristretta e Generale
Uno spazio metrico si dice omogeneo nell’intorno di
un punto X se esistono isometrie tali da trasformare questo
punto in ogni altro punto appartenente all’intorno.
Considerando i vettori di Killing, questo vuol dire che esistono
vettori di Killing della metrica che in un dato punto possono
assumere qualsiasi valore (questo lo possiamo notare da (1.15)).
In uno spazio D-dimensionale si possono scegliere D vettori
di Killing indipendenti che soddisfano tale requisito.
Uno spazio metrico si dice isotropo nell’intorno di un punto X
se esistono isometrie tali da lasciare il punto X invariato, cioè tali da
ammettere dei vettori di Killing per cui ξµ (X) = 0; per tali vettori
nel punto X vale l’equazione di Killing (1.19),
per cui in D dimensioni sarà possibile
scegliere D(D−1)
vettori di Killing indipendenti.
2
1.5
Spazi massimamente simmetrici e loro costruzione
Gli spazi con numero massimo possibile di vettori di Killing sono detti spazi
massimamente simmetrici.
Si può far vedere che il massimo numero di vettori di Killing associabili ad
uno spazio metrico D-dimensionale ha D(D+1)
simmetrie. Uno spazio metri2
co è pertanto detto massimamente simmetrico se i vettori di Killing associati
alla sua metrica sono D(D+1)
. È chiaro che né uno spazio globalmente omo2
geneo né tantomeno uno spazio con regioni isotrope realizzano la condizione
di spazio massimamente simmetrico. Valgono però le seguenti proprietà:
1. Si può dimostrare tramite le proprietà dei vettori di Killing, che uno
spazio isotropo in ogni suo punto è anche omogeneo e che questo tipo
di spazio è massimamente simmetrico.
2. Uno spazio massimamente simmetrico è necessariamente omogeneo e
isotropo in ogni suo punto.
In conseguenza di ciò possiamo affermare che:
1.5 Spazi massimamente simmetrici e loro costruzione
17
uno spazio omogeneo e isotropo ha:
D+
D(D−1)
2
=
2D+D2 −D
2
=
D(D+1)
2
vettori di Killing linearmente indipendenti.
In uno spazio massimamente simmetrico il Tensore di Riemann ha la
proprietà di essere fissato a meno di una costante K detta costante di
curvatura:
Rαβγδ = K(gαγ gβδ − gβγ gαδ )
(1.20)
Inoltre possiamo scrivere anche il tensore di Ricci:6
Rαβ = K(D − 1)gαβ
(1.21)
ed il cosidetto scalare di curvatura:7
R = KD(D − 1)
(1.22)
È possibile dimostrare, a partire dalla (1.20), che, dati due spazi massimamente simmetrici con stesso valore della costante di curvatura K, è sempre
possibile trovare una trasformazione di coordinate che trasforma uno spazio
nell’altro, ovvero che gli spazi massimamente simmetrici sono sostanzialmente unici, determinati dal valore di K. Precisamente vale il seguente
teorema[7]:
Teorema 2. Date due metriche diverse, massimamente simmetriche, con
uguale:
• Dimensione D dello spazio descritto.
• Curvatura K.
• Segnatura P.
posso sempre trovare una trasformazione che mandi l’una nell’altra. Quindi
due metriche con stessi D,K,P descrivono lo stesso spazio.
Come si costruisce uno spazio massimamente simmetrico?
L’idea è di trovarli come immersi in uno spazio D+1 dimensionale, piatto,
con coordinate (x1 , ...., xD , z) e metrica data da8 :
ds2 = gαβ dxα dxβ = Cµν dxµ dxν + K −1 dz 2
(1.23)
6
Si ottiene facendo la contrazione del primo e terzo indice del tensore di Riemann e
rinominando opportunamente gli indici
7
Si ottiene calcolando la traccia del tensore di Ricci, considerato come una matrice 4x4
simmetrica a 10 componenti. R = g µν Rµν = Rµ µ
8
Cµν è una matrice costante e simmetrica; µ, ν =0,1....D-1 e K costante.
18
Basi di Relatività Ristretta e Generale
Individuo un sottospazio curvo non-Euclideo D-dimensionale di tale spazio,
ad esempio una superficie di una sfera che ha equazione:
KCµν xµ xν + z 2 = 1
(1.24)
Sulla superficie sferica dz 2 è dato da:
K 2 (Cµν xµ dxν )
z2
2
K (Cµν xµ dxν )
=
(1 − KCµν xµ xν )
dz 2 =
(1.25)
Da quest’ultima possiamo ricavare la metrica della sfera da (1.23):
ds2 = Cµν dxµ dxν +
K(Cµν xµ dxν )2
(1 − KCµν xµ xν )
(1.26)
Questa metrica è associata ad uno spazio massimamente simmetrico con costante di curvatura K.
Dalla metrica (1.26) potremo ricavare la metrica di FRW; l’idea è di costruire uno Spazio-Tempo il cui sottospazio delle tre dimensioni spaziali sia
massimamente simmetrico, ovvero omogeneo ed isotropo.
Ricordiamo anche che il nostro Universo non è massimamente simmetrico in
tutte le sue dimensioni. Esso è omogeneo e isotropo e massimamente simmetrico solo nelle dimensioni spaziali, ma non nel tempo. Quindi il nostro
Universo è uno spazio che ha un sottospazio massimamente simmetrico. Prima di addentrarci nel pieno della cosmologia diamo una breve spiegazione a
quelle che sono le equazioni sicuramente più importanti in ambito relativistico, che ci serviranno come base per sviluppare le equazioni di Friedmann
di cui parleremo nel paragrafo 2.3.
1.6
Le equazioni di campo di Einstein
Albert Einstein propose nel 1916 delle equazioni per determinare le componenti del tensore metrico gµν , nota la distribuzione di massa che genera il campo gravitazionale. Queste equazioni sono chiamate equazioni di
campo[8][9]:
Gµν = 8πGTµν
(1.27)
in cui:

Gµν = Rµν − 12 gµν R =⇒ tensore di Einstein





8πG = κ =⇒ costante di accoppiamento gravitazionale




 Tµν =⇒ tensore energia − impulso
1.6 Le equazioni di campo di Einstein
19
Le equazioni di campo possono essere lette in 3 maniere differenti:
1. Ricordiamo innanzitutto che queste equazioni sono equazioni differenziali che permettono di determinare gµν a partire dal tensore energiaimpulso Tµν . In questo modo è come se leggessimo le equazioni da
destra a sinistra, ovvero si specifica la distribuzione di materia e poi
si risolvono le equazioni per verificare la geometria che ne risulta. In
questo modo ci si chiede che tipo di geometria corrisponda ad un dato
tensore energia impulso. Nel caso in cui Tµν = 0 si possono trovare le
soluzioni nel vuoto.
2. Dato un tensore metrico gµν si può ricavare il tensore energia-impulso.
In questo modo è come se leggessimo le equazioni da sinistra a destra,
ma questo metodo è poco utile perchè i Tµν che risultano non sono
fisicamente realistici. Spesso risulta che la densità di energia diventa
negativa in qualche regione, e questa è una condizione non fisica perchè
nella teoria della gravitazione la densità di energia è positiva.
3. Le equazioni di campo sono viste come vincoli sulla scelta simultanea
di Tµν e gµν , visto che esse consistono di 10 equazioni che legano 20
quantità (10 di Tµν e 10 di gµν ). Questo approccio è utilizzato quando
è possibile specificare la geometria e il tensore energia-impulso a partire da condizioni fisiche, e le equazioni vengono utilizzate per trovare
entrambe le quantità[10].
Le equazioni di campo dovranno soddisfare questi requisiti:
• Deve valere il principio di covarianza generale.
• Nel limite classico dovranno ridursi all’equazione di Poisson ∇2 φ =
4πGρ.
• Devono essere del secondo ordine in gµν , cioè si deve considerare il
tensore di Riemann che al suo interno ha le
• Poichè gµν ha 10 componenti, dovranno esserci 10 equazioni.
• Devono legare gµν alla distribuzione di materia attraverso un tensore
a 10 componenti, cioè il tensore energia-impulso.
Calcolo della costante di accoppiamento gravitazionale dal limite
di campo debole
Consideriamo il moto di un corpo di prova di massa m, che interagisce con
una forza centrale descritta da un potenziale scalare φ = φ(r). Il moto è
20
Basi di Relatività Ristretta e Generale
governato dalla Lagrangiana relativistica9 :
r
2
L = −mc
1−
v2
− mφ
c2
(1.28)
Prendiamo una particella che interagisce con un campo gravitazionale descritto dal potenziale newtoniano φ(x) e supponiamo che il campo sia debole:
|φ| c2
(1.29)
(ossia che l’energia gravitazionale sia trascurabile rispetto all’energia di
massa a riposo), che sia statico:
φ̇ = 0
(1.30)
e infine che le velocità siano non relativistiche:
dxi |v i | = c
dt
(1.31)
In questo regime, l’azione associata alla lagrangiana (1.28) assume la forma:
r
v2 φ S = −mc2 dt
1− 2 +
c
c
Z 1
' dt − mc2 + mv 2 − mφ
2
Z
(1.32)
D’altra parte l’azione di una particella massiva immersa in una geometria
spazio-temporale descritta dalla metrica gµν si può scrivere come:
Z
r
dxµ dxν dt
gµν
dt dt
Z
dt g00 c2 + gij v i v j + 2g0i cv i
S = −mc
= −mc
Se consideriamo la metrica data da:

g00 = (1 + 2 cφ2 )




gij = −δji




g0i = 0
9
Per questo procedimento useremo valori di c 6= 1.
1
2
(1.33)
1.6 Le equazioni di campo di Einstein
l’azione diventa:
S = −mc2
Z
2φ v 2 21
dt 1 + 2 − 2
c
c
21
(1.34)
Usando le approssimazioni (1.29), (1.30), (1.31), ed espandendo la radice
quadrata all’ordine più basso arriviamo all’espressione:
Z v2
φ
2
dt 1 − 2 + 2
S = −mc
(1.35)
2c
c
che coincide con l’azione (1.32).
Abbiamo visto che nel limite Newtoniano di campi gravitazionali deboli,
statici e con velocità non relativistiche, la deviazione del valore di g00 è
legata a η00 da:
2φ
g00 − η00 = 2 = h00
(1.36)
c
Ricordando che l’equazione di Poisson è data da ∇2 φ = 4πGρ, possiamo
considerare:
∇2 h00 = κρc2
(1.37)
Il valore di h00 dobbiamo ritrovarlo anche nelle equazioni di Einstein, se
vogliamo che esse descrivano l’interazione gravitazionale. Sostituendo (1.36)
in (1.37) otteniamo:
1
∇2 φ = κρc4
(1.38)
2
Ma il potenziale newtoniano deve soddisfare l’equazione di Poisson e quindi:
1
4πGρ = κρc4
2
(1.39)
Ne consegue che le equazioni di Einstein sono consistenti con la teoria gravitazionale di Newton, purchè la costante di accoppiamento gravitazionale
sia:
8πG
κ= 4
(1.40)
c
Il valore della costante κ (a parte la costante c che può essere posta uguale ad
1) è lo stesso che ritroveremo più avanti quando ricaveremo la prima equazione di Friedmann; quindi già in questo caso si nota una piccola relazione
tra la Relatività e la Cosmologia.
Capitolo 2
Cosmologia
Due cose sono infinite: l’universo
e la stupidità umana, ma
riguardo l’universo ho ancora dei
dubbi.
Albert Einstein
2.1
Principio Cosmologico
Abbiamo visto che l’idea fondamentale della Relatività è quella di descrivere
spazio e tempo non più come due enti separati, ma come un tutt’uno (lo
Spazio-Tempo), che può essere piatto (nel caso della Relatività Ristretta) e
quindi descritto da una metrica di Minkowski, ma più in generale curvo in
presenza di corpi massivi (Relatività Generale).
Che forma avrà la metrica che descrive il nostro Universo nel suo complesso?
Per semplificare il problema si richiede che valga il cosidetto Principio Cosmologico:
L’Universo appare omogeneo e isotropo su larga scala.
L’omogeneità è verificata dai conteggi di galassie (test di Hubble), mentre
l’isotropia è verificata dalla Radiazione Cosmica di Fondo(CMB).
A piccole scale, dove osserviamo grandi concentrazioni di massa come stelle e pianeti contrapposte ad enormi vuoti interstellari, questo non è vero;
mentre a scale più grandi la materia sembra effettivamente distribuita in
maniera omogenea.
Per descrivere l’Universo alle grandi scale occorre utilizzare la Teoria della
Relatività Generale e costruire la metrica spazio temporale che soddisfi le
caratteristiche di omogeneità e isotropia ottenute dai dati osservativi. Per
la parte spaziale tale Spazio-Tempo deve essere a simmetria sferica in un
qualunque punto dello spazio, ovvero invariante per rotazioni (isotropia), e
23
24
Cosmologia
uguale in ogni punto dello spazio, ovvero invariante per traslazioni (omogeneità). Per quanto riguarda le coordinate spaziali, l’assunzione di omogeneità e isotropia permette di scegliere un sistema di coordinate generalizzate
in quiete rispetto agli elementi fluidi, che non è altro che il sistema di coordinate comoventi discusso nel paragrafo 1.3.
In tal modo le coordinate degli elementi fluidi non cambiano nel tempo: l’evoluzione viene rappresentata dalla variazione nel tempo di una scala spaziale. Bisogna però definire un tempo rispetto al quale calcolare l’evoluzione.
Sappiamo dalla teoria della Relatività che, a causa della velocità finita della trasmissione delle informazioni, i tempi misurati da osservatori in moto
relativo non coincidono; eventi simultanei per un certo osservatore non lo
sono per un altro. In effetti l’Universo appare diverso a diverse distanze
dall’osservatore comovente perchè la visione locale dell’Universo alle varie
distanze è influenzata dal ritardo temporale della ricezione dei fotoni che
viaggiano ad una velocità finita. Perchè il principio cosmologico abbia senso
occorre poter definire un tempo cosmico o universale, cui tutti gli osservatori
possano riferirsi.
Assumiamo che ad un tempo iniziale t = 0 tutte le componenti materiali
dell’Universo, le galassie, siano state in connessione causale tra di loro e si
siano sincronizzate su un tempo che appunto chiamiamo tempo cosmico t.
Successivamente le diverse componenti materiali si sono evolute in modo
indipendente, ciascuna con un tempo proprio τ misurato da un orologio a
riposo con la materia circostante. In ciascun punto il tempo proprio τ coincide con il tempo cosmico t, ma non con il tempo di un osservatore lontano
a causa dei ritardi nella trasmissione dei segnali (che ricordiamo hanno velocità finita). Tuttavia la sincronizzazione iniziale permette, sulla base della
legge di evoluzione cosmologica data dal modello utilizzato, di ricavare i ritardi degli osservatori lontani e ricondurre gli eventi al tempo cosmologico.
Si può pertanto descrivere l’evoluzione dell’Universo utilizzando un sistema
di riferimento basato sulle coordinate comoventi con la materia rispetto alla quale gli osservatori siano a riposo e utilizzando il tempo proprio come
tempo cosmico.
A questo punto dopo aver dato una definizione sia matematica (tramite i
vettori di Killing) che fisica di omogeneità e isotropia, utilizzando i concetti
matematici espressi nei paragrafi 1.4 e 1.5 possiamo ricavare la metrica di
FRW. La costruzione di uno spazio massimamente simmetrico con curvatura
K può quindi essere fatta scegliendo un sistema di coordinate arbitrario.
2.2
Costruzione della metrica di FRW utilizzando
spazi massimamente simmetrici
In generale, dato uno spazio metrico S in D dimensioni, M delle quali realizzano un sottospazio S1 massimamente simmetrico, è possibile scegliere un
2.2 Costruzione della metrica di FRW utilizzando spazi
massimamente simmetrici
25
particolare sistema di coordinate che separi il sottospazio S1 dal restante
sottospazio S2 [7][10].
Scegliamo M coordinate ui associate ad S1 e D − M coordinate v i associate
ad S2 . Per valori costanti di v i , le coordinate ui descrivono un sottospazio massimamente simmetrico. Ad esempio, uno spazio tridimensionale a
simmetria sferica può essere descritto dalle coordinate sferiche (r, ϑ, ϕ ).
La sfera può essere decomposta in una serie di superfici sferiche per valori
costanti di r (in questo caso l’unica coordinata v). Ogni superficie sferica è
poi uno spazio a due dimensioni omogeneo ed isotropo, descritto dalle due
coordinate (ϑ ,ϕ) (ovvero (u1 ,u2 )). Nel linguaggio dei vettori di Killing, la
presenza di un sottospazio massimamente simmetrico è data dall’invarianza
dell’intero spazio metrico sotto un gruppo di trasformazioni infinitesime del
tipo:

0
 ui −→ u i = ui + εξ i (u, v)
 v i −→ v 0 i = v i
con D(D+1)
vettori di Killing ξ i indipendenti. Utilizzando le coordinate ui
2
i
e v possiamo scrivere la metrica dello spazio S nel modo seguente:
h
K(Cij ui duj )2 i
ds2 = gab (v)dv a dv b + h(v) Cij dui duj +
(2.1)
(1 − KCij ui uj )
dove h(v) è una generica funzione delle coordinate v.
Per scrivere la metrica di FRW il caso che ci interessa è D=4 ed M = 3,
per cui in quest’ultima equazione il primo termine a secondo membro può
essere scritto semplicemente g(v)dv 2 . La parte spaziale deve ora permettere
l’introduzione di coordinate locali Euclidee, allora per K 6= 0:
Cij =

 |K|−1 δij

δij
per K 6= 0
(2.2)
per K = 0
Quindi la (1.26) diventa:
i
h

x·d~
x2 )2
2 = K −1 d~
2 + (~

ds
x
per

(3)
1−x2



h
i

·d~
x2 )2
ds2(3) = |K|−1 d~x2 − (~x1+x
per
2




2
2

per
 ds(3) = d~x
K>0
K<0
K=0
ove con ds2(3) abbiamo indicato la metrica del sottospazio tridimensionale
S2 .1 Prima di poter scrivere la metrica che ci interessa dobbiamo definire
certe quantita[7]:
1
ds2 = g(v)dv + h(v)ds2(3) .
26
Cosmologia
f (v) ≡



h(v)|K|−1
per
K 6= 0
h(v)
per
K=0


(2.3)
e
k≡
K
|K|

+1 per K > 0





−1 per K < 0
=




 0 per K = 0
Una volta definite queste quantità la (2.1) diventa, per D=4:
h
k(~u · d~u)2 i
(2.4)
ds2 = g(v)dv 2 + f (v) d~u2 +
1 − k~u2
Questo Spazio-Tempo ha un sottospazio 3-dimensionale massimamente simmetrico. In questo caso, considerando le coordinate u, v abbiamo una coordinata v (quella temporale) e tre coordinate u (quelle spaziali). A questo
punto possiamo fare il seguente cambiamento di variabili, introducendo le
coordinate comoventi trattate nel primo capitolo:
 1
u ≡ r sin ϑ cos ϕ


 u2 ≡ r sin ϑ sin ϕ
u3 ≡ r cos ϑ


R

1
t ≡ g(v) 2 dv
Con l’introduzione delle coordinate comoventi e radiali otteniamo finalmente
la metrica di Friedman-Robertson-Walker (FRW)2 :
h dr2
i
2
2
2
2
ds2 = dt2 − a2 (t)
+
r
(dϑ
+
sin
ϑdϕ
)
(2.5)
1 − kr2
p
dove a(t) = f (v(t)) è il fattore di scala, legato alla velocità relativa di
allontanamento degli elementi fluidi da:
H(t) =
ȧ(t)
a(t)
(2.6)
ove H(t) è detto parametro di Hubble.3
Da notare come questa metrica sia stata ricavata solamente da assunzioni
di omogeneità e isotropia, senza ancora far uso delle equazioni di campo
di Einstein. Nella prossima sezione useremo le equazioni di campo di Einstein per determinare un’equazione differenziale che governi l’evoluzione del
parametro di Hubble e della scala dell’Universo nel tempo t.
2
3
Da qui in poi useremo unità naturali con c=1.
Il suo valore a t = t0 = età attuale dell’Universo è H0 = H(t0 ) = 70km/s/Mpc.
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
27
Figura 2.1: La figura (a) mostra una superficie a curvatura nulla k = 0, la figura (b) mostra una
superficie a curvatura positiva k = 1, la figura (c) mostra una superficie con curvatura negativa
k = −1[8].
2.3
Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di Friedmann
Per studiare il comportamento del tensore energia-impulso scriveremo l’equazione (1.27) nel modo seguente:
1
Rµν = 8πG Tµν − gµν T
(2.7)
2
Nel nostro caso, vogliamo legare il tensore energia-impulso (che sarà quello
di un fluido perfetto) alla metrica di FRW. È chiaro che, se un fluido perfetto, isotropo in un qualche sistema di riferimento, è legato ad una metrica
isotropa in ogni suo punto in un qualche altro sistema di riferimento, allora i
due sistemi di riferimento coincideranno. Ovvero, la metrica (2.5), descrive
il sistema di riferimento in cui il fluido perfetto è a riposo.
Consideriamo un Universo non vuoto, riempito da un fluido perfetto. Un
fluido perfetto è caratterizzato dall’avere un campo di velocità costante, ovvero tale che ogni punto si muove con velocità ~v . Un osservatore che si
28
Cosmologia
muove con la stessa velocità ~v , vedrà intorno a sè il fluido come isotropo.
In altri termini, definiamo un fluido perfetto come un fluido isotropo nel
suo sistema localmente a riposo. Il tensore energia-impulso che descrive un
fluido perfetto è il seguente :
Tµν = (ρ + p)uµ uν − pgµν
(2.8)
dove uµ è la 4-velocità del fluido, p è la pressione nel sistema localmente a
riposo e ρ è la densità di energia del sistema localmente a riposo. Nel sistema
di riferimento solidale con il fluido la 4-velocità assume la forma uµ = (1, ~0)
e, sostituendo quest’ultima in (2.8) si ottiene il tensore energia-impulso nelle
coordinate con cui abbiamo definite la metrica di FRW[8]:


ρ 0
0
0
 0 −p 0
0 

Tµν = 
 0 0 −p 0 
0 0
0 −p
facendo la traccia di questa matrice diagonale ottengo:
T = ρ − 3p
(2.9)
Esplicitiamo adesso la forma delle equazioni di Einstein. Consideriamo, nella formulazione seguente, un generico tensore energia-impulso che descrive
un fluido perfetto. Utilizzando (1.2), (1.3) e il tensore di Ricci ricaviamo le
componenti del tensore di Ricci:

ä

 R00 = −3 a
ȧ2
k
ä

R
=
−g
+
2
+
2
ij a
 ij
a2
a2
Consideriamo le componenti diagonali di:
1
Tµν − gµν T = Sµν
2
(2.10)
e utilizziamo il tensore energia-impulso del fluido perfetto per trovare le
componenti di Sµν :

1
1

 S00 = ρ − 2 (ρ − 3p) = 2 (ρ + 3p)
1

 Sij = − 2 (ρ − p)gij
La componente S00 assieme alla componente R00 mi da:
−3
ä
1
ä
4πG
= (ρ + 3p)8πG =⇒ − =
(ρ + 3p)
a
2
a
3
(2.11)
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
29
La componente Sij assieme alla componente Rij mi da:
ä
ȧ2
k
1
+ 2 2 + 2 2 = (ρ − p)8πG
a
a
a
2
(2.12)
Sostituendo poi il primo termine del membro di sinistra con l’equazione
(2.11) otteniamo:
2
4π
4π
k
ȧ2
=
G(3ρ − 3p) +
G(ρ + 3p) − 2 2
2
a
3
3
a
(2.13)
da cui:
ȧ 2
a
=
8πG
k
ρ− 2
3
a
(2.14)
Le equazioni (2.11) e (2.14) sono chiamate Equazioni di Friedmann:
 2

ȧ

 a =



ä
a
8πG
3 ρ
−
k
a2
=⇒ P rima equazione di F riedmann
= − 4πG
3 (ρ + 3p) =⇒ Seconda equazione di F riedmann
Un Universo descritto da una metrica (2.5) che soddisfa le equazioni di Friedmann è detto Universo di Friedman-Robertson-Walker. Da queste equazioni
ricaviamo subito un risultato importante: in un’era dominata dalla materia
posso porre uguale a zero la pressione nella seconda equazione di Friedmann,
per cui:
ä
4πG
=−
ρ
a
3
(2.15)
Se richiediamo che l’Universo sia statico, cioè che la derivata temporale
del fattore di scala ȧ sia nulla ho di conseguenza ä = 0 ⇒ ρ = 0 per
cui se la densità di materia è diversa da zero allora non può esistere una
soluzione statica delle equazioni di Einstein. Questo risultato, messo in luce
da Einstein stesso, lo spinse ad introdurre nel 1917 un ulteriore termine nelle
sue equazioni che rendesse possibile ρ + 3p = 0 anche in presenza di materia.
Questo termine venne (e viene) chiamato costante cosmologica e può essere
interpretato in due modi:
• se inserito nel lato sinistro delle equazioni di Einstein lo si considera
una proprietà (controversa) dello Spazio-Tempo.
• se posto nel lato destro delle equazioni di Einstein diventa una forma
piuttosto insolita di densità di energia.
Vediamo ora di capire concettualmente queste due importanti differenze.
30
2.3.1
Cosmologia
Significato della costante cosmologica come proprietà
dello Spazio-Tempo
La costante cosmologica può essere inserita anche nel membro di sinistra
delle equazioni di campo di Einstein. In questo caso essa è strettamente
collegata al tensore di Ricci, e tramite la definizione (1.21) per spazi massimamente simmetrici possiamo ricavare i valori di Λ.
In questo caso utilizziamo la forma (2.7) delle equazioni di campo:
1
Rµν − Λgµν = 8πG Tµν − gµν T
2
(2.16)
E’ importante notare che il termine Λ permette di ottenere soluzioni delle
equazioni di Einstein anche in assenza di sorgenti; in questo caso il tensore
energia-impulso è dato da Tµν = 0.
Considerando quest’ultima situazione, la (2.16) si riduce semplicemente a:
Rµν = Λgµν
(2.17)
e tramite la definizione del tensore di Ricci per spazi massimamente simmetrici D-dimensionali:
Rµν = K(D − 1)gµν
(2.18)
sostituendo (2.17) in (2.18) otteniamo:
Λgµν = K(D − 1)gµν
(2.19)
da cui:
Λ
(2.20)
D−1
In base al valore della costante cosmologica possiamo avere due casi:

 Λ > 0 =⇒ K > 0
(2.21)
 Λ < 0 =⇒ K < 0
K=
E’ importante notare che, per D=4, la (2.20) dà esattamente il valore Λ3 che
troveremo anche per l’andamento del fattore di scala, per le soluzioni di De
Sitter e anti-De Sitter che analizzeremo nel prossimo paragrafo.
2.3.2
Significato della costante cosmologica come energia del
vuoto
È possibile descrivere dei modelli di Universo contenenti un valore non nullo
di energia del vuoto. Introdurre un’energia del vuoto non nulla è equivalente all’introduzione nelle equazioni di Einstein di una costante cosmologica.
Utilizziamo la forma (1.27) delle equazioni di campo[11]:
1
Rµν − gµν R = 8πGTµν + Λgµν
2
(2.22)
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
31
La parte destra può essere riscritta in termini del tensore energia-impulso
modificato dalla presenza di Λ:
8πGTµν + Λgµν = 8πGT̃µν
(2.23)
dove:
Λ
gµν
(2.24)
8πG
Come tensore energia-impulso Tµν consideriamo quello del fluido perfetto
dato dall’equazione (2.8), che in questo caso può essere riscritta:
T̃µν ≡ Tµν +
T̃µν = (p̃ + ρ̃)uµ uν − p̃gµν
Le quantità p̃ e ρ̃ sono definite nel modo seguente:

Λ

 p̃ = p − 8πG

 ρ̃ = ρ +
Λ
8πG
(2.25)
(2.26)
Possiamo riscrivere le equazioni di Friedmann introducendovi la costante
cosmologica:
 2

8πG
k
ȧ

 a = 3 ρ̃ − a2
(2.27)
4πG
ä


 a = − 3 (ρ̃ + 3p̃)
De Sitter studiò il caso limite di un Universo vuoto in cui le equazioni (2.26)
saranno:

Λ

 p̃ = − 8πG
(2.28)
Λ

 ρ̃ = 8πG
dove p̃ e ρ̃ rappresentano rispettivamente la pressione del vuoto e la densità
di energia del vuoto.
Da queste ultime possiamo ricavare:
p̃ = −ρ̃ = −
Λ
8πG
(2.29)
che costituisce l’equazione di stato del vuoto, con parametro di stato4 (o
indice barotropico) w = −1.
Andiamo a vedere la forma delle soluzioni delle equazioni di Friedmann nel
caso di un Universo dominato dall’energia del vuoto. La forma delle soluzioni
dipende ovviamente dal segno di Λ.
4
Considerando l’equazione di stato p = wρ, l’indice barotropico può avere diversi valori,
a seconda se si considera un Universo di materia (w = 0), di radiazione (w = 13 ) o dominato
dall’energia del vuoto (w = −1).
32
Cosmologia
Prendiamo la prima equazione in (2.27) e cerchiamo la soluzione per il fattore
di scala a(t):
8πG 2 8πG 2 Λ
Λ
ȧ2 =
ρ̃a =
a
= a2
(2.30)
3
3
8πG
3
Mettendo tutto sotto radice otteniamo:
r
r
r
Λ
da
Λ
da
Λ
ȧ =
a⇒
=
a⇒
=
dt
(2.31)
3
dt
3
a
3
integrando la (2.31) otteniamo:
a
ln =
A
r
Λ
t
3
ed infine:
r
a(t) = A exp
!
Λ
t
3
(2.32)
(2.33)
dove A è una costante di integrazione. Questa soluzione per il fattore di
scala è quella con Λ > 0 e k = 0.
Esistono anche altre soluzioni per il fattore di scala[6][12], che interessano i
casi k = 1 e k = −1:
r !
r
3
Λ
a(t) =
(2.34)
cosh
t =⇒ k = 1
Λ
3
r
a(t) =
3
sinh
Λ
r
!
Λ
t =⇒ k = −1
3
(2.35)
Le soluzioni (2.33), (2.34) e (2.35) descrivono lo stesso Spazio-Tempo, ma
in coordinate differenti. Questo Spazio-Tempo, massimamente simmetrico,
è noto come Universo di De Sitter.
Nel caso in cui Λ < 0 la soluzione è la seguente:
!
r
r
3
Λ
a(t) = − sin
− t =⇒ k = −1
(2.36)
Λ
3
Quest’ultima soluzione descrive un altro Spazio-Tempo massimamente simmetrico, chiamato Universo Anti-De Sitter, rilevante nell’ambito di alcuni modelli gravitazionali supersimmetrici e in sviluppi moderni di Teorie
di Stringa.
In definitiva le interpretazioni della costante cosmologica come energia del
vuoto o come proprietà dello Spazio-Tempo per spazi massimamente simmetrici sono equivalenti.
Di seguito diamo una spiegazione più accurata di spazi De Sitter e anti-De
Sitter.
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
33
Figura 2.2:
Il grafico raffigura l’andamento dei vari fattori di scala in base alla curvatura
e al valore della costante cosmologica. La curva (a) rappresenta l’equazione (2.34); la curva (b)
rappresenta l’equazione (2.35); la curva (c) rappresenta l’equazione (2.36); la curva (d) rappresenta
l’equazione (2.33)[6].
Spazio De Sitter
Per far capire meglio la geometria dello spazio di de Sitter consideriamo una
ipersuperficie a 4 dimensioni con segnatura pseudo-euclidea (+ − −−), parametrizzata dalle coordinate intrinseche xµ = (t, xi ) e immersa in uno SpazioTempo di Minkowski a 5 dimensioni con coordinate z A , con A=0,1,2,3,4.
L’ipersuperficie è descritta dalle seguenti equazioni parametriche:
 0
H Ht
1
i

 z = H sinh(Ht) + 2 e xi x


z i = eHt xi
(2.37)



 4
z = H1 cosh(Ht) − H2 eHt xi xi
dove H è una costante. Verificheremo che tale ipersuperficie rappresenta
una pseudo-sfera (o iperboloide) a 4 dimensioni, e determineremo la metrica
indotta su questa iperuperficie dalle equazioni (2.37).
Elevando al quadrato le coordinate z A , e contraendole con la metrica di
Minkowski della varietà a 5 dimensioni troviamo che l’ipersuperficie soddisfa
l’equazione:
ηAB z A z B = (z 0 )2 − (z 1 )2 − (z 2 )2 − (z 3 )2 − (z 4 )2 = −
1
= cost
H2
(2.38)
34
Cosmologia
Questa equazione mi descrive una pseudo-sfera a 4 dimensioni di raggio
a = H1 . Visto che la metrica esterna ha carattere pseudo-euclideo, le sezioni
spazio-temporali di questa ipersuperficie (cioè le sezioni con z 2 = z 3 = z 4 =
0) rappresentano iperboli anzichè cerchi. Ecco il motivo per cui l’ipersuperficie considerata viene interpretata come un iperboloide di rotazione a 4
dimensioni [Fig 2.3].
La sua metrica intrinseca gµν indotta dalle equazioni parametriche z A =
z A (xµ ) è definita come:
∂z A ∂z B
gµν =
ηAB
(2.39)
∂xµ ∂xν
derivando le equazioni (2.37) rispetto a xµ otteniamo:

g00 = 1




gij = −δij e2Ht




g0i = 0
(2.40)
L’elemento di linea intrinseco dell’iperboloide a 4 dimensioni è dato da:
ds2 = gµν dxµ dxν = dt2 − e2Ht | d~x |2
(2.41)
A questo punto prendiamo in considerazione uno Spazio-Tempo 4-dimensionale
con curvatura costante positiva, descritto in coordinate polari:
r2 r2 −1 2
ds2 = 1 − 2 dt2 − 1 − 2
dr − r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )
a
a
(2.42)
dove a è una costante. Verificheremo che questa metrica e la (2.41) corrispondono a diverse parametrizzazioni della stessa varietà spazio-temporale.
Procediamo considerando l’ipersuperficie immersa nell spazio di Minkowski
5-dimensionale con le coordiante z A descritte in precedenza, le equazioni
parametriche questa volta sono:
 0 √
z = a2 − r2 sinh at







z 1 = r sin ϑ cos ϕ




z 2 = r sin ϑ sin ϕ
(2.43)





z 3 = r cos ϑ





 4 √ 2
z = a − r2 cosh at
Tale ipersuperficie soddisfa l’equazione:
ηAB z A z B = −a2
(2.44)
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
35
e quindi riproduce esattamente la pseudo-sfera dell’equazione (2.38) con
raggio a2 = H12 . Differenziando le equazioni (2.43) rispetto a t, r, ϑ, ϕ e
sostituendo l’elemento di linea dello spazio di Minkowski 5-dimensionale, si
ottiene:
ds2 = ηAB dz A dz B
r2 dr2
= 1 − 2 dt2 −
− r2 (dϑ2 + sin2 ϑdϕ2 )
r2
a
1 − a2
(2.45)
cioè esattamente (2.42). Abbiamo ottenuto in questo modo la stessa varietà, descritta con sistemi di coordinate differenti. Per concludere questa
descrizione notiamo che nè il sistema (2.37) nè quello (2.43) ricoprono completamente la varietà di De Sitter.
Per le coordinate (2.37) si vede che al variare di xi e t da −∞ a +∞ la
condizione z 0 ≥ −z 4 è sempre soddisfatta (la condizione di bordo z 0 = −z 4
si raggiunge nel limite t → −∞). Se prendiamo le sezioni xi = 0 dello spazio
di De Sitter troviamo che le coordiante scelte parametrizzano solo il ramo
z 4 > 0 dell’iperbole z42 − z02 = H12 , ma non l’altro ramo. Analoga cosa succede per le coordinate parametriche (2.43), si ha in questo caso z 0 ≥ −z 4 e
z0 ≤ z4.
Dobbiamo cercare un ricoprimento completo della varietà di De Sitter, fornito ad esempio dalla carta xµ = (t, χ, ϑ, ϕ) definita dalle seguenti equazioni
parametriche:
 0
z = H −1 sinh(Ht)







z 1 = H −1 cosh(Ht) sin χ sin ϑ cos ϕ




z 2 = H −1 cosh(Ht) sin χ sin ϑ sin ϕ


 3


z = H −1 cosh(Ht) sin χ cos ϑ





 4
z = H −1 cosh(Ht) cos χ
(2.46)
dove H1 = a e dove t varia tra −∞ a +∞, χ e ϑ variano tra 0 e π, mentre
ϕ varia tra 0 e 2π. in questo modo l’elemento di linea della varietà di De
Sitter assume la forma:
ds2 = dt2 −
1
cosh2 (Ht) dχ2 + sin2 χ(dϑ2 + sin2 dϕ2 )
2
H
(2.47)
ponendo r = H −1 sin χ l’elemento di linea può essere riscritto nella forma:
h
ds2 = dt2 − cosh2 (Ht)
i
dr2
2
2
2
2
+
r
(dϑ
+
sin
dϕ
)
1 − H 2 r2
(2.48)
36
Cosmologia
Figura 2.3:
Spazio de Sitter come ipersuperficie a 4 dimensioni, immaginato come un
iperboloide. Si considera la segnatura della metrica come (+ − −−) perchè questo SpazioTempo è una 4-sfera lorentziana immerso nel 5-spazio di Minkowski la cui metrica è ds2 =
dt2 − dw2 − dx2 − dy 2 − dz 2 .
Spazio Anti-de Sitter
In matematica e fisica, uno spazio Anti de Sitter D-dimensionale, AdSD ,
è una varietà Lorentziana massimamente simmetrica con curvatura scalare costante negativa. E’ l’analogo lorentziano dello spazio iperbolico Ddimensionale, cosı̀ come lo spazio di Minkowski e lo spazio di de Sitter sono
l’analogo dello spazio euclideo e dello spazio ellittico rispettivamente. È conosciuto soprattutto per il suo ruolo nella corrispondenza AdS/CFT di cui
parleremo in (3.5.2). Questo spazio può essere visualizzato come l’analogo
Lorentziano di una sfera in uno spazio con una dimensione aggiuntiva, chè
è quella temporale[Fig 2.4].
La geometria può essere descritta da coordinate adimensionali t, r, Ω dove t
è il tempo, r è la coordinata radiale (0 ≤ r ≤ 1) e Ω parametrizza la 3-sfera.
La geometria ha curvatura uniforme R−2 dove R è il raggio di curvatura.
La metrica sarà:
ds2 =
R2 (1 + r2 )2 dt2 − 4dr2 − 4r2 dΩ2
2
2
(1 − r )
(2.49)
Un’altra forma della metrica che si usa di solito è la seguente:
ds2 =
R2 2
[dt − dxi dxi − dy 2 ]
y2
(2.50)
dove i=1,.....,3. La metrica (2.50) viene espressa in termini delle coordinate
z = y1 :
1
ds2 = R2 z 2 (dt2 − dxi dxi ) − 2 dz 2
(2.51)
z
2.3 Dalle equazioni di campo di Einstein alle equazioni di
Friedmann
37
In questa forma è chiaro che c’è un orizzonte a z = 0 e il bordo è a z = ∞.
Questi spazi hanno anche delle proprietà che sono:
1. Il punto r = 0 è il centro dello spazio Anti de Sitter ed r varia tra 0 e 1
nello spazio. Una geodetica nulla radiale soddisfa (1 + r2 )2 dt2 = 4dr2 .
2. La metrica è singolare per r = 1 in tutte le sue componenti.
3. Vicino ad r = 1 la metrica è approssimativamente conforme.
4. La metrica spaziale, generalmente, è quella di uno spazio curvo uniforme, ovvero un piano iperbolico (o disco di Poincarè).
Figura 2.4:
Spazio-Anti de Sitter, immaginato come un iperboloide. Esso è una 4-sfera lorentziana in un 5-pseudo spazio di Minkowski con metrica ds2 = dt2 + dw2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Si
notano le 2 coordinate temporali (t, w) e quelle spaziali (x, y, z) considerando la segnatura della
metrica come (+ + − − −) .
Capitolo 3
Entropia ed Olografia
I dati possono essere scritti su
una superficie.
’t Hooft
3.1
Entropia termodinamica
In termodinamica l’entropia è una funzione di stato che si introduce insieme
al secondo principio della termodinamica e che viene interpretata come una
misura del disordine di un sistema fisico o più in generale dell’Universo. In
base a questa definizione possiamo dire che quando un sistema passa da uno
stato ordinato ad uno disordinato la sua entropia aumenta. Per chiarire
maggiormente il concetto di entropia possiamo fare un esempio:
• Facciamo cadere una gocciolina d’inchiostro in un bicchiere d’acqua:
quello che si osserva immediatamente è che, invece di restare una goccia più o meno separata dal resto dell’ambiente (che sarebbe uno stato
completamente ordinato), l’inchiostro inizia a diffondere e, in un certo
tempo, otteniamo una miscela uniforme (stato completamente disordinato). É esperienza comune che, mentre questo processo avviene
spontaneamente, il processo inverso (separare l’acqua e l’inchiostro)
richiederebbe energia esterna.
L’entropia come funzione di stato è data da:
∆S =
∆Qrev
T
(3.1)
dove ∆Qrev è la quantità di calore assorbito in maniera reversibile dal sistema a temperatura T .
39
40
Entropia ed Olografia
Se assumiamo che l’Universo sia un sistema isolato (ovvero un sistema per
il quale è impossibile scambiare energia con l’esterno) possiamo affermare
che:
l’energia totale dell’Universo è costante
e l’entropia totale è in continuo aumento.
Questo vuol dire che non solo non si può né creare né distruggere l’energia,
ma nemmeno la si può completamente trasformare da una forma all’altra
senza che una parte venga dissipata sotto forma di calore. Lo stato in cui
l’entropia raggiunge il massimo livello e non vi è più energia libera disponibile per compiere ulteriore lavoro è detto stato di equilibrio. Per l’intero
Universo concepito come sistema isolato ciò significa che la progressiva conversione di lavoro in calore (per il principio di aumento dell’entropia totale),
a fronte di una massa dell’Universo finita, porterà infine ad uno stato in
cui l’intero Universo si troverà in condizioni di temperatura uniforme; la
cosidetta morte termica.
3.2
Entropia informazionale
Dopo aver dato una spiegazione standard dell’entropia, vediamo che ruolo
gioca nella teoria dell’informazione; che può essere studiata sia a livello
classico, sia a livello quantistico.
3.2.1
Entropia informazionale classica
Supponiamo di avere a che fare con un messaggio formato da una stringa di
n caratteri:
(a1 , a2 , ....., ak )
Come in ogni linguaggio, alcune lettere compaiono più frequentemente di
altre. In una data posizione ciascuna lettera ai avrà una certa probabilità
p(ai ) di comparire, con la condizione data da:
k
X
p(ai ) = 1
(3.2)
i=1
Il caso più semplice si ha quando si considera un alfabeto binario, dove l’uno
appare con probabilità p e lo zero con probabilità 1 − p. Ci chiediamo: dato
un messaggio di n caratteri, fino a che punto possiamo comprimerlo pur
mantenendo la stessa informazione?
3.2 Entropia informazionale
41
Per grandi n, un messaggio nel caso binario conterrà
n(1 − p) caratteri “0”,
n
e np “1”. Il numero possibile di messaggi sarà np
ed usando la formula di
1
Stirling, otteniamo:
n
log
= n log n − n − np log np
np
+ np − n(1 − p) log n(1 − p)
(3.3)
+ n(1 − p)
= nS(p)
dove:
S(p) = −[p log p + (1 − p) log(1 − p)]
(3.4)
è la funzione entropia e il logaritmo è in base 2 (in questo modo l’entropia
ha il valore S(p) = 1 nel punto p = 21 [Fig. 3.1]. L’entropia di un sistema
rappresenta l’incertezza o la mancanza di informazione sulla sua configurazione interna. Un’espressione dotata di un certo numero di proprietà che si
possono richiedere per una misura di incertezza è la cosidetta entropia di
Shannon,2 data da:
X
SSh = −
pi log pi
(3.5)
i
per un sistema che può assumere N configurazioni diverse,a ciascuna delle
quali attribuiamo una diversa probabilità pi . Come abbiamo visto prima
SSh è massima per probabilità tutte uguali pi = N1 , ma ogni volta che si
rendono disponibili nuove informazioni sul sistema, vengono imposti nuovi
vincoli sulle pi e l’entropia diminuisce.
Figura 3.1:
Valore massimo dell’entropia a cui corrisponde un valore di p = 0.5.
A questo punto possiamo dare la definizione di informazione come l’opposto
della variazione di SSh :
∆I = −∆SSh
(3.6)
1
2
log n! = n log n − n.
Questa entropia è adimensionale.
42
Entropia ed Olografia
L’informazione si misura in bit, nelle nostre unità un bit equivale a log 2
di informazione. In definitiva l’entropia di Shannon di un sistema termodinamico non all’equilibrio cresce perchè l’informazione iniziale sulla sua
configurazione interna perde significato durante la sua evoluzione dinamica,
mentre va diminuendo la dipendenza dello stato del sistema dalle sue condizioni iniziali.
Per far capire la correlazione tra entropia informazionale e quella termodinamica possiamo fare il seguente esempio:
• Consideriamo un sistema fisico con date condizioni di temperatura,
pressione, volume, e stabiliamone il valore dell’entropia; in connessione
è possibile stabilire il grado di ordine e quindi l’ammontare delle nostre
informazioni( in senso microscopico). Supponiamo ora di abbassare la
temperatura lasciando invariati gli altri parametri: osserviamo che la
sua entropia diminuisce poichè il suo grado di ordine aumenta e con
esso il nostro grado di informazione. Al limite, cioè alla temperatura
prossima allo zero assoluto, tutte le molecole sono quasi ferme, allora
l’entropia tende al minimo e l’ordine è il massimo possibile e con esso
si ha la massima certezza di informazione.
3.2.2
Entropia informazionale quantistica
Mentre nella visione classica l’entropia è sempre espressa in termini di variazione, in meccanica quantistica è possibile definire l’entropia in termini
assoluti, ad esempio attraverso l’entanglement[13].3
Per capire meglio di cosa si tratta, consideriamo due sistemi A e B, ognuno
con associato uno spazio di Hilbert4 Ha , Hb ; il sistema allora è dato da:
|Ψi ∈ Ha ⊗ Hb
(3.7)
In generale, non è possibile associare uno stato puro alla componente A.
Tuttavia è comunque possibile associarvi una particolare matrice, chiamata
matrice di densità. Sia definito l’operatore proiezione:
ρT = |ΨihΨ|
Lo stato di A è la traccia parziale di ρT sulle basi del sistema B:
X
ρA ≡
B hj|(|ΨihΨ|)|jiB
(3.8)
(3.9)
j
3
Proprietà di uno stato quantistico. La parola entanglement sta per non “separabilità”.
Uno spazio di Hilbert è una coppia H=(H,< ., . >) dove H è uno spazio vettoriale
reale o complesso e < ., . > è un prodotto scalare su H tale che, detta d la distanza da
esso indotta su H, lo spazio metrico (H,d) sia completo. La definizione si basa sul fatto
che il prodotto scalare definito positivo definisce una norma, che definisce a sua volta una
distanza, permettendo cosı̀ di caratterizzare uno spazio metrico.
4
3.2 Entropia informazionale
43
Ad esempio per lo stato entangled di A e B, ognuno composto da 2 stati
puri “0” e “1”:
1 √ |0iA ⊗ |1iB − |1iA ⊗ |0iB
(3.10)
2
la matrice densità è:
1
ρA =
|0iAA h0| + |1iAA h1|
(3.11)
2
e la matrice densità dello stato puro A è:
ρA = |ΨiAA hΨ|
(3.12)
ossia semplicememte l’operatore proiezione di |ΨiA . Da notare che la matrice
densità del sistema composto, ρT , ha la stessa forma. Ciò non sorprende, in
quanto lo stato entangled classico è uno stato puro.
Data una matrice densità qualsiasi ρ possiamo calcolare la seguente quantità:
SV N = −kB T r(ρ ln ρ)
(3.13)
Dove kB è la costante di Boltzmann, e la traccia è presa sullo spazio H in
cui è definita ρ. Risulta che S è esattamente l’entropia del sistema corrispondente ad H, ed è chiamata entropia di Von Neumann.
L’entropia di ogni stato puro è zero, in quanto non vi è indeterminazione
sullo stato del sistema. L’entropia di ciascuno dei due sottosistemi A e B
entangled è semplicemente uguale a k ln 2, cioè il massimo ammissibile per
un sistema a due stati. Notiamo subito che ln 2 è lo stesso valore che ha un
bit nell’entropia informazionale classica, quindi anche nel caso quantistico
c’è un legame tra informazione ed entropia. L’entropia di Von Neumann ha
delle importanti proprietà che sono:
• Purezza. Uno stato puro ha entropia nulla.
• Invarianza. L’entropia è invariante per trasformazioni unitarie:
S(Uρ U −1 ) = S(ρ)
• Massimo. Se ρ ha dimensione d × d, allora S(ρ) ≤ log d. L’uguaglianza vale solo nel caso di equipartizione.
• Concavità. Per λ1 , λ2 ≥ 0 e λ1 + λ2 = 1, si ha
S(λ1 ρ1 + λ2 ρ2 ) ≥ λ1 S(ρ1 ) + λ2 S(ρ2 )
• Subadditività. Dato un sistema bipartito AB nello stato ρAB , vale:
S(ρAB ) ≤ S(ρA ) + S(ρB )
dove ρA = T rB (|ΨiCC hΨ|) e ρB = T rA (|ΨiCC hΨ|).
44
3.3
Entropia ed Olografia
Entropia statistica
In meccanica statistica l’entropia è il tramite per ottenere informazioni macroscopiche a partire dalle configurazioni microscopiche. Intuitivamente si
immagina che ad una certa condizione macroscopica di equilibrio del sistema corrispondano una moltitudine di configurazioni microscopiche. Tali
configurazioni microscopiche occupano un volume nello spazio delle fasi il
quale viene indicato con V . Allora possiamo definire l’entropia di Boltzmann
come:
SB = kB ln V
(3.14)
Si può dimostrare che l’entropia cosı̀ definita possiede tutte le caratteristiche dell’entropia termodinamica ed in modo particolare si dimostra che è
estensiva, ovvero gode della proprietà di additività (per cui è calcolabile la
variazione d’entropia e la funzione entropia è differenziabile, ovvero ha senso
parlare di entropia in termini microscopici).
La differenza fisica di significato tra entropia e temperatura è che la prima
misura lo stato di disordine (fisico) del sistema e la seconda, lo stato di agitazione molecolare. Volendo informazioni macroscopiche del sistema basta
derivare l’entropia rispetto una delle sue variabili naturali E, N e V (energia,
numero di particelle e volume) tenendo costanti le altre.
Di solito siamo abituati a pensare all’entropia in termini di un gas ordinario: gas concentrato in piccole regioni significa entropia bassa, gas disperso
uniformemente vuol dire stato di equilibrio ad alta entropia[Fig. 3.2].
Nel caso in cui volessimo considerare un sistema uniformemente distribuito
di corpi gravitanti, esso rappresenta un sistema ad entropia relativamente
bassa (a meno che le velocità dei corpi siano molto alte e/o i corpi siano
molto piccoli e/o molto lontani, in modo che i contributi gravitazionali siano trascurabili), mentre si ottiene un’entropia alta quando i corpi gravitanti
si agglomerano[Fig. 3.2].
Ora ci chiediamo, cosa si intende per stato di massima entropia?
Mentre per un gas l’entropia massima di equilibrio termico corrisponde al
gas uniformemente distribuito in tutta la regione, nel caso di grandi corpi
gravitanti, l’entropia massima è ottenuta quando tutta la massa è concentrata in un solo posto (i cosidetti buchi neri, di cui parleremo nel prossimo
paragrafo).
3.4
Entropia dei buchi neri
In questa sezione vedremo che è possibile sviluppare una serie di analogie
tra la termodinamica dei buchi neri e la termodinamica dei “sistemi ordinari all’equilibrio”. Entambe sono caratterizzate da un numero piccolo di
parametri “macroscopici” e per entrambe si possono scrivere quattro leggi
fondamentali molto simili.
3.4 Entropia dei buchi neri
45
Figura 3.2:
(a) Per un gas in una scatola, inizialmente tutto in un angolo, l’entropia cresce
quando il gas comincia a diffondersi, raggiungendo infine lo stato uniforme di equilibrio termico.
(b) Nel caso della gravità, le cose vanno in maniera opposta. Un sistema di corpi gravitanti
all’inizio uniformemente distribuito rappresenta un’entropia relativamente bassa , e tendono ad
aggregarsi quando l’entropia cresce. Vi è infine un grande aumento di entropia sotto forma di
buchi neri[13].
E’ anche possibile dare un contenuto fisico all’identificazione dei parametri
“macroscopici” dei buchi neri e quelli della termodinamica. Vedremo che è
possibile interpretare l’area dell’orizzonte degli eventi5 , che per i buchi neri
gioca il ruolo di entropia, come entropia informazionale di Shannon.
La proprietà principale dei sistemi termodinamici all’equilibrio è l’essere caratterizzati da un numero piccolo di grandezze macroscopiche, come l’energia
interna, il volume e la pressione. Ad ogni stato macroscopico corrispondono
possibili stati microscopici e dal punto di vista dell’informazione , un buco
nero formatosi per collasso gravitazionale è molto simile a un sistema termodinamico. Nella fase finale, il campo esterno del buco nero non “ricorda”,
per cosı̀ dire, la configurazione iniziale dello Spazio-Tempo e dei campi di
materia. In altre parole il buco nero caratterizzato dai soli parametri M,Q e
J6 può aver avuto origine da moltissime distribuzioni iniziali di materia, che
si riflettono nella fase finale in diverse configurazioni della metrica interna
del buco nero, ma non del campo esterno.
Tutte le informazioni che riguardano la metrica interna, però sono inaccessibili per un osservatore esterno: possiamo allora assegnare al buco nero
un’entropia di Shannon relativa all’indisponibilità di questa informazione.
Nella [Fig 3.2] nel caso di corpi gravitanti, essi tendono ad aggregarsi quando vi è un aumento di entropia. In astrofisica gli oggetti esotici che hanno
entropia maggiore sono i buchi neri (questo perchè l’entropia è proporzionale
alla loro area, come vedremo tra poco).
Quando si forma un buco nero, l’orizzonte degli eventi si stabilizza rapidamente nella forma di una sfera perfettamente regolare e liscia ed a parte la
5
Superficie di là della quale nulla può sfuggire alla singolarità di un buco nero.
Il teorema no-hair afferma che questi sono i soli 3 parametri che caratterizzano un
buco nero stazionario.
6
46
Entropia ed Olografia
massa, la velocità di rotazione (nel caso dei buchi neri di Kerr) e la carica
(nel caso dei buchi neri Reissner-Nordstrom), ogni buco nero è uguale all’altro.
Parlando in termini di informazione, aggiungere un bit (unità fondamentale di informazione) di informazione fa crescere la superficie dell’orizzonte
degli eventi di un buco nero di una unità di Planck di area, cioè di una
lunghezza di Planck7 al quadrato. Immaginiamo di costruire un buco nero
un bit alla volta. Ogni volta che aggiungiamo un bit di informazione l’area
dell’orizzonte degli eventi aumenta di una unità di Planck. Quando il buco
nero è finito, l’area del suo orizzonte sarà uguale al numero totale di bit di
informazione nascosti nel buco nero; ci sarà ovviamente un limite ai bit che
posso aggiungere per formare l’area dell’orizzonte, questo limite sarà dato
dall’entropia del buco nero, dal momento che vale la seguente equazione8 :
SBH ≤
A c2 kB
4 G~
(3.15)
A
4
(3.16)
che in unità di Planck diventa
SBH ≤
Quest’ultima disuguaglianza può essere interpretata nel modo seguente:
L’entropia (misura dell’informazione nascosta) di un buco nero,
misurata in bit, è proporzionale ad un quarto dell’area del suo
orizzonte degli eventi, misurata in unità di Planck.
Il celebre fisico Stephen Hawking intuı̀ che non solo i buchi neri hanno una
entropia, ma anche una temperatura. Hawking calcolò che la perturbazione
delle fluttuazioni del vuoto causata dalla presenza del buco nero fa sı̀ che
vengano emessi fotoni, esattamente come se il buco nero fosse un corpo nero
caldo. Questi fotoni vengono chiamati radiazione di Hawking. Hawking riuscı̀ a calcolare esattamente la temperatura e, procedendo a ritroso, l’entropia
del buco nero.
Bekenstein si era limitato ad affermare che l’entropia era proporzionale all’area dell’orizzonte degli eventi misurata in unità di Planck[14] e Hawking
trovò che l’entropia di un buco nero è esattamente un quarto dell’area dell’orizzonte misurata in unità di Planck.
La formula ricavata da Hawking per la temperatura di un buco nero è la
q
Lp ' ~G
' 1.7 · 10−33 cm.
c3
8
8
c = 3 · 10 (velocità della luce); kB = 1.4 · 10−23 (costante di Boltzmann); G = 6.7 ·
−11
10
(costante gravitazionale); ~ ' 10−34 (costante di Planck).
7
3.4 Entropia dei buchi neri
47
seguente:
TH =
M ~c3
' 10−7 [K]
8πGM kB
M
(3.17)
Notiamo subito una cosa: la massa del buco nero è al denominatore; questo
vuol dire che più il buco nero è massiccio, più bassa è la sua temperatura e
viceversa. Se teniamo presente l’entropia della radiazione cosmica di fondo a
2.7 ◦ K (CMB) che negli anni Sessanta, si pensava fosse il maggior contributo
all’entropia dell’Universo risulta che essa è di gran lunga minore di quella
dei buchi neri (infatti in unità naturali, la sua entropia è 108 − 109 per barione, contro ad esempio l’entropia di un buco nero come quello della nostra
galassia che ha un entropia di ∼ 1021 ). Si nota anche che la radiazione di
Hawking è trascurabile per buchi neri che hanno avuto origine da processi
di collasso gravitazionale stellare (M > M ), ma può diventare importante
per buchi neri più piccoli che potrebbero essersi formati a causa delle fluttuazioni di densità nelle prime fasi dell’universo primordiale.
Sostanzialmente l’analogia più stretta tra entropia e area dell’orizzonte degli
eventi è data dalla legge dell’area, ma più in generale abbiamo tutta una serie di leggi che legano la termodinamica e i buchi neri. Queste leggi saranno
analizzate nel prossimo paragrafo.
3.4.1
Le quattro leggi della termodinamica dei buchi neri
Negli anni ’70, si avevano finalmente a disposizione le soluzioni delle equazioni di campo per buchi neri carichi e ruotanti. In seguito a ciò furono
dimostrate alcune leggi a cui obbediscono i buchi neri.
La prima cosa che venne notata è la stretta analogia tra queste leggi e quelle
della termodinamica, in seguito vedremo più in dettaglio queste analogie.
Legge zero
In un buco nero stazionario, la gravità superficiale κ dell’orizzonte degli
eventi è costante ovunque. Quest’ultima dipende solo dalle quantità che
descrivono completamente un buco nero, ovvero M, Q, J (massa ,carica e
momento angolare). Per un buco nero di Kerr-Neumann la gravità è data da:
p
M 2 − a2 − Q2
p
κ=
2M M + M 2 − a2 − Q2 − Q2
(3.18)
L’analogia con la legge zero della termodinamica è dovuta al fatto che la
temperatura rimane costante in situazioni di equilibrio termodinamico. Ecco
quindi l’analogia con i buchi neri per cui κ = cost.
48
Entropia ed Olografia
Prima legge
Consideriamo due buchi neri stazionari definiti dalle solite costanti del moto
M, Q, J. Un buco nero può essere ottenuto deformando adiabaticamente
l’altro in accordo con la formula:
κ
δM =
δA + ΩH δJ + ΦH δQ
(3.19)
8π
ove ΩH e ΦH sono la velocità angolare è il potenziale elettrostatico all’orizzonte degli eventi, che sono costanti come la gravità superficiale. In questo
caso l’analogia con la prima legge della termodinamica
δE = T δS − P δV + µδN
(3.20)
è più che evidente.
Seconda legge
Sotto le seguenti ipotesi:
• validità della relatività generale.
• validità del censore cosmico.9
• validità della condizione debole sull’energia Tµν v µ v ν ≥ 0, per qualunque vettore v µ di tipo tempo (v µ vµ > 0).
vale la legge che in un qualunque sistema fisico classico, ma non quantistico, l’area dell’orizzonte degli eventi non può mai diminuire, quindi δA ≥ 0.
L’analogia è dovuta al fatto che in termodinamica l’entropia non può mai
diminuire (δS ≥ 0).
L’entropia della regione esterna al buco nero è legata all’incertezza relativa
allo stato della materia “ordinaria”; dopo che una parte di essa (caratterizzata da un’entropia ∆S) ha attraversato l’orizzonte degli eventi l’incertezza
riguardante il suo stato si riferisce ora alla configurazione interna del buco
nero. In questo caso l’entropia della regione esterna diminuisce di ∆S, ma
contemporaneamente l’entropia del buco nero aumenta almeno dello stesso
valore.
In poche parole non è possibile eliminare il disordine dell’Universo, ma solo
nasconderlo.
Dal momento che A è legata all’entropia dalla formula di Bekenstein-Hawking,
possiamo formulare una seconda legge generalizzata che afferma: la somma
dell’entropia del buco nero (SBH ) e dell’entropia della regione esterna (Sext )
non può mai decrescere, allora si ha
∆(SBH + Sext ) ≥ 0
9
(3.21)
Se si forma una singolarità nello Spazio-Tempo, essa è racchiusa sempre da un
orizzonte degli eventi. Ovvero non può esistere una singolarità nuda.
3.5 Olografia
49
Terza legge
Si può dimostrare che la deformazione dei parametri di un buco nero ordinario, per ottenere un buco nero estremale (il che vuol dire con gravità
superficiale nulla) richiederebbe un numero infinito di processi; in analogia col fatto che in termodinamica la temperatura di zero assoluto non può
essere raggiunta con un numero finito di trasformazioni termodinamiche.
3.5
Olografia
Dal momento che abbiamo notato una relazione tra entropia (misura dell’informazione nascosta) e temperatura dei buchi neri, la domanda che ci
poniamo è la seguente:
Cosa accade all’informazione caduta precedentemente
nel buco nero quando esso evapora?
Ciascun bit di informazione è trasferito nei fotoni e nelle altre particelle
che portano via l’energia da un buco nero; in altre parole l’informazione
è immagazzinata nelle svariate particelle che costituiscono la radiazione di
Hawking.
Prendiamo il caso di una regione sferica, contenente materia individuata da
un immaginario bordo matematico. La cosa più “pesante” che possiamo
farci entrare è un buco nero, il cui orizzonte coincide perfettamente con il
bordo della regione sferica. A questo punto ci possiamo chiedere:
Esiste un limite sul numero di bit di informazione
contenuti nella materia?
Consideriamo un guscio sferico fatto di vera materia, che contenga l’intera
regione. Il guscio in questo caso ha una massa e può essere compresso fino
ad entrare perfettamente nella sfera. Aggiustando la massa del guscio, possiamo arrivare ad avere un orizzonte degli eventi che coincida perfettamente
con il bordo della regione sferica di partenza. La materia ha un valore iniziale di entropia di cui non specifichiamo il valore, ma l’entropia finale è quella
del buco nero, cioè la sua area espressa in unità di Planck[15].
Per il secondo principio della termodinamica, l’entropia può solo aumentare; quindi l’entropia del buco nero deve avere un valore maggiore rispetto a
quello della materia iniziale contenuta nella regione sferica. In questo modo
si è dimostrata la seguente affermazione:
50
Entropia ed Olografia
Il massimo numero di bit immagazzinati in una regione spaziale
è uguale al numero di pixel planckiani in cui si può suddividere
l’area della superficie di confine
Da questo deriva che in una cella di area di Planck può risiedere al più un
grado di libertà, quindi l’area della superficie totale in unità di Planck conteggia il numero massimo di gradi di libertà.
Figura 3.3:
Legame teorico tra entropia di un buco nero e bit di informazione
Dalla [Fig 3.3], è come se tutta l’informazione contenuta nel buco nero potesse essere “trascritta” sulla superficie dell’orizzonte usando come bit di
informazione “caselle” della dimensione di Planck.
In meccanica quantistica l’informazione non viene mai distrutta, quindi non
è possibile far sparire l’informazione dietro l’orizzonte di un buco nero[16].
Esso quindi, evapora in una varietà di particelle, ma l’informazione si “conserva” pur se in un’altra forma.
I buchi neri in sostanza sono dei serbatoi di informazione in cui i bit sono
densamente stipati.
La struttura dell’inaccessibile buco nero sarebbe in corrispondenza con l’informazione “codificabile” sulla superficie dell’orizzonte, che costituirebbe un
ologramma, una rappresentazione 2D del contenuto informativo di uno spazio 3D; costituita dall’insieme dei bit di informazione costruibili sull’orizzonte del buco nero. L’ologramma non è il contenuto 3D che ci è precluso,
bensı̀ ne è una rappresentazione alternativa, che ne conserva il contenuto
informativo.
L’entropia di un buco nero è proporzionale alla superficie del suo orizzonte,
e questo implica una corrispondenza tra la configurazione interna del buco
3.5 Olografia
51
nero (in termini di meccanica statistica, i gradi di libertà interni che sono inaccessibili da un osservatore esterno) e la configurazione superficiale il
cui “quanto” minimo è della dimensione della lunghezza di Planck. Questa
corrispondenza richiama il concetto di ologramma, inteso in modo generale
come rappresentazione a D − 1 dimensioni di un oggetto D-dimensionale.
Le assunzioni fatte precedentemente portano implicitamente al cosiddetto
principio olografico:
Tutto ciò che è contenuto in una data regione spaziale
può essere descritto da bit di informazione
confinati sul bordo della regione stessa
Dal principio olografico possiamo dedurre il seguente:
Corollario 1. Studiare la fisica della superficie olografica è equivalente a
studiare la fisica del volume in essa racchiuso.
Se tutta l’informazione presente in un volume di spazio deve poter essere “trascritta” sulla superficie dello spazio stesso in caselle di dimensione
fissata, vuol dire che la densità dell’informazione (e quindi materia, per ogni
particella di materia → informazione) non può superare un limite massimo, oltre il quale “non ci sarebbe abbastanza spazio” sulla superficie per
olografare tutta l’informazione contenuta. Se vale il principio olografico:
Corollario 2. Deve esistere una granularità minima alla quale è possibile
osservare le proprietà microscopiche della materia e dello Spazio-Tempo.
Questo principio mi permette di semplificare notevolmente le teorie nel
loro numero di gradi di libertà. Un esempio semplice e intuitivo è dato dal
cosidetto processo Susskind che illustreremo adesso.
3.5.1
Il processo Susskind
Consideriamo un guscio collassante al cui interno vi è un sistema Γ, proseguendo nel collasso arriveremo ad un punto in cui si formerà un buco
nero[Fig 3.4]. Compariamo l’entropia massima del sistema (Γ+guscio che
collassa), con l’entropia del buco nero formatosi. Avremo che:


 SI = SΓ + SG
(3.22)
A c2 kB

 SF = 4 G~
Considerando che l’entropia di un sistema chiuso non può mai diminuire, ne
concludiamo che:
A c2 kB
(3.23)
SI ≤ SF =⇒ SΓ ≤
4 G~
52
Entropia ed Olografia
Ricordando ciò che abbiamo detto in 3.5, il numero di gradi di libertà di
un sistema è sempre minore o al massimo uguale al numero di stati che si
possono codificare sulla superficie del buco nero che si forma dal collasso del
sistema[17].
Figura 3.4:
Schema del processo Susskind
Il Principio olografico ha la sua maggior interpretazione fisica nella cosidetta
corrispondenza ADS/CFT (Anti-De Sitter/ Conformal Field Theory).
3.5.2
La corrispondenza ADS/CFT
Occorre dire che il principio olografico ha trovato inaspettati riscontri nella
Teoria delle Superstringhe. In questa teoria si trovano varie soluzioni di
tipo olografico. La più celebre è la cosiddetta corrispondenza AdS/CFT:
essa significa in sostanza l’equivalenza tra la teoria della Superstringa in 10
dimensioni in un determinato ambiente geometrico, da un lato, e una teoria
di campi di gauge in uno spazio di Minkowski a quattro dimensioni (che
rappresenta il bordo dell ambiente geometrico) dall’altro. In altre parole
l’informazione contenuta nella teoria di Superstringa in dieci dimensioni si
può proiettare, o meglio, “codificare” in una teoria di campo quadridimensionale, e viceversa.
La teoria-schermo a quattro dimensioni di cui sopra non ha caratteristiche
interessanti dal punto di vista fenomenologico (cioè non è una teoria che
possa ambire a rappresentare il mondo fisico che conosciamo). Tuttavia,
nelle versioni via via più sofisticate proposte per questa corrispondenza, la
teoria di campo quadridimensionale ha assunto caratteristiche sempre più
realistiche. Sembrerebbe quasi che possiamo interpretare il nostro Universo
quadridimensionale come immerso in un mondo molto più ampio, a dieci
3.5 Olografia
53
dimensioni, e che, per descriverlo, abbiamo due possibilità: o lo descriviamo
come una teoria di campo a quattro dimensioni oppure lo descriviamo come
risultato delle interazioni di superstringa in dieci dimensioni, che significa
una maggiore complessità ma anche la possibilità di risolvere le ambiguità e
limitazioni delle teorie di campo.
Il prototipo di tale corrispondenza, come congetturato da Maldacena[18],
consiste nell’equivalenza esatta tra la teoria di stringa quantistica di tipo
IIB compattificata su AdS5 × S 5 e la teoria di Yang-Mills supersimmetrica
(SYM) N = 4 in quattro dimensioni. Gli spazi Anti-de Sitter sono soluzioni
massimamente simmetriche, a curvatura costante e con una costante cosmologica negativa, dell’equazione di Einstein, come avevamo visto in 2.3.2.
Il gruppo delle isometrie dello spazi Anti-de Sitter in cinque dimensioni
coincide esattamente con il gruppo delle simmetrie conformi della teoria di
Yang-Mills supersimmetrica N = 4 in quattro dimensioni. Il termine “corrispondenza AdS/CFT” trae origine da questo particolare esempio.
La teoria di Superstringa a 10 dimensioni di tipo IIB, ha una metrica data
da[15]:
R4 − 12
R4 12
ds2 = 1 + 4
(−dt2 + d~x2 ) + 1 + 4 (dr2 + r2 dΩ25 )
r
r
(3.24)
Se si considera il limite r R, otteniamo uno Spazio-Tempo piatto a 10
dimensioni; invece nel caso r < R la metrica sembrerebbe singolare per
2
r R. Se effettuiamo il cambio di coordinate z = Rr e consideriamo il
limite a grandi z, la metrica diviene nella forma asintotica:
ds2 =
R2
(−dt2 + d~x2 + dz 2 ) + R2 dΩ25
z2
(3.25)
la quale corrisponde ad una geometria prodotto di una 5-sfera (S 5 ) con
metrica R2 dΩ25 e lo spazio iperbolico AdS5 . Quindi la geometrica per r ∼ 0
e z ∼ ∞, è regolare, massimamente simmetrica e può essere scritta come
AdS5 × S 5 [Fig 3.5]. Siccome entrambi i fattori dello spazio AdS5 × S 5 sono
massimamente simmetrici vale:

1

 Rαβγδ = − R2 (gαγ gβδ − gβγ gαδ ) per AdS5
(3.26)
1
per S 5

 Rαβγδ = R2 (gαγ gβδ − gβγ gαδ )
Questo mostra che tutte le componenti del tensore di curvatura diventano
piccole per grandi valori di R.
Quindi la corrispondenza AdS/CFT è olografica, poichè stabilisce che la gravità quantistica in cinque dimensioni (trascurando la 5-sfera) è equivalente
ad una teoria di campo locale in quattro dimensioni.
La teoria di Superstringa a 10 dimensioni ha due parametri adimensionali,
che sono:
54
Entropia ed Olografia
• Il raggio di curvatura dello spazio Anti-de Sitter misurato in unità di
stringa lRs .
La relazione tra la stringa e la lunghezza di Planck è data da:
g 2 ls8 = lp8
(3.27)
• La costante di accoppiamento adimensionale di stringa.
La costante di accoppiamento di stringa e la lunghezza di scala sono
relazionati con la lunghezza di Planck 10-dimensionale e la costante di
Newton da:
lp8 = g 2 ls8 = G
(3.28)
La teoria di gauge ha anche due costanti, che sono:
• Il rango del gruppo di gauge N della teoria di gauge supersimmetrica
con N = 4.
• Costante di accoppiamento di gauge gym .
Ovviamente i parametri R e g devono essere determinati da N e gym :


R
ls
1
2 )4
= (N gym
(3.29)
 g = g2
ym
Vi sono due limiti distinti di particolare interesse.
1. La corrispondenza ADS/CFT è stata ampiamente studiata[15][17][18]
[19][20] nelle teorie di gauge nel limite dell’accoppiamento forte di ’t
Hooft. Dal punto di vista della teoria di gauge, il limite di ’t Hooft è
definito da:

gym → 0




N →∞
(3.30)



 2
gym N = costante = λ
Dal punto di vista della teoria di stringa il limite è:


 g→0


R
ls
1
= costante = λ 4
(3.31)
In questo modo il limite dell’accoppiamento forte di ’t Hooft è anche
il limite classico della teoria di stringa in uno spazio AdS fissato[21].
Questo limite è dominato dalla teoria classica di supergravità.
3.5 Olografia
55
2. Il limite di interesse dal punto di vista del principio olografico è differente, come detto prima esso trae origine dagli studi sulla termodinamica dei buchi neri. Sappiamo che questi ultimi possono essere visti
come un sistema termodinamico caratterizzato da una certa temperatura ed entropia e la temperatura è direttamente legata alla radiazione
A
di corpo nero emessa dal buco nero, mentre l’entropia è data da S = 4G
in unità di Planck; con queste definizioni le equazioni di Einstein sono
consistenti con le leggi della termodinamica. Come abbiamo visto nel
paragrafo 3.3 l’entropia è una misura del numero di gradi di libertà
del sistema, è sorprendente scoprire che l’entropia di un buco nero sia
proporzionale all’area dell’orizzonte. Infatti, se la gravità si comportasse come una teoria di campo locale, ci si aspetterebbe di trovare
un’entropia proporzionale al volume. È possibile ottenere un quadro
consistente se la gravità in D dimensioni è in qualche modo equivalente
ad una teoria di campo locale in D-1 dimensioni. Possiamo considerare il comportamento della teoria nel caso aumenti il raggio AdS , ma
con i parametri che governano la fisica microscopica nel bulk fissati.
In questo modo abbiamo il limite:


 g = costante
(3.32)
R

 ls → ∞
Per la teoria di gauge sul bordo questo equivale a:


 gym = costante

 N →∞
Figura 3.5:
(3.33)
Rappresentazione grafica della corrispondenza ADS/CFT; il cilindro è il diagramma
di Penrose dello Spazio-Tempo AdS5 .
Capitolo 4
La Gravità come forza
entropica
Sono convinto che la gravità sia
un fenomeno che emerge dalle
proprietà fondamentali dello
spazio e del tempo.
Erik Verlinde
4.1
Proprietà emergente e forza entropica
Per studiare la gravità come forza non fondamentale si propone di considerare lo Spazio-Tempo come un’entità emergente dal principio olografico e
dalla sua interpretazione come entropia “dell’informazione”. Per prima cosa
vediamo di capire cosa si intende per “emergente”.
Prendiamo una molecola di ossigeno in un contenitore chiuso. In un dato
istante questa molecola è descritta da 6 variabili: 3 della posizione (x, y, z) e
3 della velocità (v1 , v2 , v3 ). Non ha senso per questa molecola parlare di proprietà come la temperatura o la pressione; se aggiungiamo un gran numero
di molecole nel contenitore[Fig. 4.1], le posizioni e le velocità delle singole
particelle prese nel loro insieme danno luogo a grandezze fisiche che per una
singola molecola non esistono, come la temperatura. Quest’ultima è una
grandezza fisica che nasce dall’effetto complessivo di grandezze fondamentali prese su scala macroscopica. Questo è in breve il concetto di proprietà
emergente.
Un’analogia più precisa è l’osmosi. Separiamo una miscela di due tipi di
molecole di gas con una membrana, che permette il passaggio di un tipo
solo di molecole. Se la concentrazione di quest’ultima molecola è più elevata
da una parte della membrana rispetto all’altra, possiamo misurare una forza
netta. Si può calcolare questa forza usando metodi statistici[22][23].
57
58
La Gravità come forza entropica
Nel caso della gravità, la forza è la conseguenza del cambiamento di probabilità, quando due oggetti pesanti vengono spostati l’uno rispetto all’altro e
la membrana diventa invece uno schermo olografico (mostreremo questo più
avanti).
Figura 4.1:
Molecole che interagiscono tra loro dando vita a determinate proprietà quali la
temperatura e la pressione.
Ai fini di questa tesi, la natura di questa forza (che chiamaremo entropica)
può essere meglio compresa introducendo l’esempio del polimero[24][25].
Una catena polimerica1 , pensiamo ad esempio ad una proteina, può essere
assimilata, in prima approssimazione, ad una collana di perle, essendo le
perle i singoli aminoacidi, immersi in una bagno termico con temperatura T
[Fig. 4.2] . Fissiamo un punto, ad esempio nell’origine e stiriamo la molecola
lungo l’asse ~x , essa oppone resistenza e si manifesta cosı́ una tensione (in
senso opposto) che tende a riportare la proteina nella struttura originale. In
questo caso il polimero si troverà fuori dalla configurazione di equilibrio che
aveva all’inizio a causa di una forza esterna F , come mostrato nella [Fig.
4.2]. L’origine entropica di questa tensione di richiamo si può ben capire
pensando che la struttura originale è quella in cui la molecola possiede la
massima entropia S, mentre la perturbazione applicata tende a produrre
una struttura elongata e quindi a creare una situazione di minore entropia
(al limite della massima elongazione, la macromolecola avrebbe una entropia
nulla).
L’entropia è uguale a:
S(E, x) = kB log Ω(E, x)
(4.1)
1
Un polimero è una macromolecola, ovvero una molecola con un elevato peso molecolare, costituita da un gran numero di gruppi molecolari uguali o diversi chiamati monomeri,
uniti a catena mediante la ripetizione dello stesso tipo di legame covalente. Esempi di polimeri sono il Polietilene (CH2 )N , Polistirene(C8 H8 )N e la gomma(C5 H8 )N dove il numero
di monomeri N > 100000.
4.1 Proprietà emergente e forza entropica
59
dove Ω(E, x) rappresenta il volume dello spazio delle configurazioni per l’intero sistema come funzione dell’energia E del bagno termico e della posizione
x. Da notare subito l’analogia con l’entropia statistica (3.14) del paragrafo
3.3.
Figura 4.2:
Un polimero libero è immerso in un bagno termico con temperatura T e portato fuori dalla sua configurazione di equilibrio da una forza esterna F . La forza entropica di
conseguenza punta nel verso opposto[23].
La forza F è introdotta tramite la funzione di partizione di un ensemble
canonico2 :
Z
Z(T, F ) = dE dx Ω(E, x) e−(E+F x)/kB T
(4.2)
come una variabile esterna duale alla lunghezza x del polimero. La forza
F richiesta per mantenere il polimero ad una lunghezza x fissata, per una
data energia E può essere dedotta dalle equazioni ricavate con il metodo del
punto di sella[24][25]3 :









1
T
=
∂S
∂E
F =
∂E
∂x
F
T
∂S
∂x
=
(4.3)
Dall’equilibrio delle forze, la forza esterna F deve essere uguale alla forza
entropica, che tende a riportare il polimero nella sua configurazione di equilibrio. Questa forza entropica punta nella direzione di aumento dell’entropia,
ed è proporzionale alla temperatura. Per il polimero in questione la forza
2
E’ un insieme statistico che rappresenta una misura di probabilità degli stati microscopici del sistema; si tratta di un sistema chiuso in equilibrio termico con una grande
sorgente di calore, nel nostro caso il bagno termico in cui è immerso il polimero.
3
E’ un procedimento matematico utilizzato in meccanica statistica per trattare integrali
di funzioni rapidamente variabili.
60
La Gravità come forza entropica
obbedisce alla legge di Hooke:
Fpolimero ∼ −cost · kB T hxi
(4.4)
Da questo si deduce che a livello macroscopico una forza entropica può essere
conservativa, nel caso in cui la temperatura si mantenga costante. Prima di
analizzare in dettaglio come ricavare la forza entropica utilizzando il concetto
di schermo olografico, e successivamente estendere tale concetto per arrivare
a dimostrare la seconda legge di Newton, daremo nel prossimo paragrafo la
definizione di schermo olografico e di foglio luce ad esso legato, analizzando
anche le loro proprietà.
4.2
Foglio luce e schermo olografico
In questa sezione verrà dato solo un accenno ai cosidetti fogli luce, che spiegheremo più in dettaglio nel paragrafo 4.4 quando introdurremo il concetto
di entropia limite covariante.
Assumiamo che uno spazio piatto di Minkowski di coordinate X + , X − , xj
possa essere definito a distanze asintotiche. X + è tradotto come un cono
luce variabile temporalmente; consideriamo un set di tutti i raggi di luce che
si trovano nella superficie X + = X0+ nel limite X − → +∞.
In uno spazio piatto ordinario questa congruenza di raggi definisce una superficie piatta 3-D di tipo luce. In definitiva una superficie di tipo luce in
questo caso è chiamata foglio luce[Fig. 4.3]. Considerando come esempio
un buco nero che passa attraverso un foglio luce, che a sua volta varia lungo
X + [Fig. 4.4], i fogli luce risultanti riempiono tutto lo Spazio-Tempo eccetto
per una singolarità, che viene detta caustica, che si trova dietro l’orizzonte
del buco nero. Prendendo un punto p nello Spazio-Tempo, ed assegnatogli
coordinate di cono-luce nel modo seguente, cioè se il punto si trova sul foglio luce X0+ , gli assegniamo il valore X + = X0+ ; e se si trova su un raggio
luce che asintoticamente ha coordinate trasverse xi0 , gli assegniamo il valore
xi = xi0 e il valore di X − che gli assegniamo non ci importa. Il piano 2-D xi
è chiamato lo schermo.
Il prossimo passo è quello di considerare l’orizzonte stirato4 del buco nero
che descrive una superficie 2-D in un foglio luce 3-D [Fig. 4.4]. Ogni punto
sull’orizzonte stirato ha coordinate uniche X + , xj come si vede in [Fig. 4.5],
quindi più in generale se ci sono diversi buchi neri che passano attraverso il
foglio luce, possiamo mappare ognuno dei suoi orizzonti stirati sullo schermo in modo unico. Nel caso di un singolo buco nero osserviamo che non
è possibile mappare sullo schermo asintotico la parte interna all’orizzonte
degli eventi.
4
E’ una membrana fittizia a distanza dell’ordine della lunghezza di Planck
dall’orizzonte, dove gli effetti gravitazionali quantistici e di stringa diventano importanti.
4.2 Foglio luce e schermo olografico
61
Figura 4.3:
Propagazione della luce su una superficie di tipo luce (foglio luce) X + = cost[17].
Figura 4.4:
Famiglia di raggi luce su una superficie X + fissata, in presenza di un buco nero[17].
Riprendiamo l’analisi sull’entropia e cerchiamo di collegarla ai concetti espressi in precedenza. Considerando che l’entropia di un buco nero è dell’ordine
1
di 4G
volte l’area dell’orizzonte, possiamo definire una densità di entropia di
1
sull’orizzonte
stirato. La mappatura dello schermo definisce quindi una
4G
densità di entropia nel piano xi data da σ(x); la cosa importante da notare
1
è che σ(x) è sempre minore o uguale a 4G
. Per provare questo useremo il
teorema di messa a fuoco della relatività generale.
62
La Gravità come forza entropica
Figura 4.5:
Immagine dell’orizzonte stirato sullo schermo asintotico[15].
Teorema di messa a fuoco
Questo teorema dipende dalla positività dell’energia ed è basato sulla tendenza della luce a curvarsi attorno a regioni di energia diversa da zero[15].
Consideriamo un fascio di raggi luce con sezione d’urto di area α, i raggi
luce sono parametrizzati da un parametro affine λ; il teorema di messa a
fuoco mi dice che:
d2 α
≤0
(4.5)
dλ2
Adesso considero un fascio di raggi luce nel foglio luce che iniziano sull’orizzonte stirato e terminano a X − = ∞. Dato che i raggi luce che definiscono
il foglio luce sono paralleli nella regione asintotica dα
dλ → 0, il teorema ci
dice che mentre consideriamo il percorso a ritroso verso l’orizzonte, l’area
del fascio diminuisce. Ne consegue che l’immagine di una patch di orizzonte
sullo schermo è più grande della patch stessa[Fig. 4.5]. Il confine olografico
segue immediatamente e vale
σ(x) ≤
1
4G
(4.6)
Quindi non importa come si distribuiscono i buchi neri nello spazio 3-D,
l’immagine dell’entropia sullo schermo soddisfa sempre l’equazione (4.6).
4.3
Entropia limite di tipo spazio
Discuteremo adesso la migliore generalizzazione per la formula dell’entropia
di una superficie sferica, data dalla da (3.16); ma al tempo stesso questa
entropia non ha validità generale, da qui l’introduzione dell’entropia limite
covariante che analizzeremo nel prossimo paragrafo.
4.3 Entropia limite di tipo spazio
63
Definizione 1. L’entropia contenuta in una regione spaziale non eccede
l’area della superficie della regione.
Sia V una porzione compatta di ipersuperficie5 con t = cost nello SpazioTempo M, sia S(V ) l’entropia di tutti i sistemi situati in V , B la superficie
di V e A l’area della superficie di V [Fig. 4.6]. Quindi:
S(V ) ≤
Figura 4.6:
A[B(V )]
4
(4.7)
Una ipersuperficie a t = cost, di regione V e superficie B[26].
L’equazione (4.7) però è contraddetta da una varietà di esempi, ne citeremo
tre. Gli spazi chiusi, l’Universo e il collasso stellare.
Spazi chiusi
E’ sufficiente assumere che lo Spazio-Tempo M contenga una ipersuperficie
V chiusa di tipo spazio. Assumiamo inoltre che V contenga un sistema di
materia che non occupi tutto V , e che questo sistema abbia entropia non
nulla S0 . Il volume V occupa tutta l’ipersuperficie, eccetto una piccola
regione compatta Q fuori dal sistema di materia; per cui:
Smateria (V ) = S0 > 0
(4.8)
La superficie B di V coincide con la superficie di Q, la sua area può essere
resa arbitrariamente piccola contraendo Q in un punto e cosı̀ otteniamo:
Smateria (V ) > A[B(V )]
e la condizione (4.7) è violata.
5
In questo caso V rappresenta sia la regione spaziale che il suo volume.
(4.9)
64
La Gravità come forza entropica
L’Universo
Su larga scala, l’Universo si può ben approssimare come uno spazio 3-D,
piatto, omogeneo ed isotropo, che si espande nel tempo. Scegliamo sempre
la solita ipersuperficie a t = cost, questa volta omogenea; il suo contenuto
di entropia può essere caratterizzato da una densità di entropia media σ che
è una costante positiva su V . La piattezza implica che la geometria di V è
Euclidea (<3 ).
Quindi sia il volume sia l’area di una 2-D sfera crescono con il raggio:
4π 3
R , A[B(V )] = 4πR2
3
L’entropia nel volume V è data da:
3
σ
Smateria (V ) = σV = √ A 2
6 π
V =
(4.10)
(4.11)
in unità di Planck. Prendendo il raggio della sfera abbastanza grande:
3
4σ
troviamo un volume per cui la condizione (4.7) è violata[16].
R≥
(4.12)
Collasso stellare
Consideriamo una stella sferica con entropia non nulla S0 , che consuma idrogeno e subisce un collasso gravitazionale catastrofico.
Dal punto di vista di un osservatore esterno, la stella formerà un buco nero
che avrà un’area della superficie dell’orizzonte di almeno 4S0 , in accordo con
la formula di Bekenstein-Hawking. Supponiamo di seguire la stella mentre
attraversa il suo orizzonte durante il collasso, alla fine ridurrà il suo raggio
fino ad una singolarità. In particolare, la sua area superficiale diverrà arbitrariamente piccola: A → 0.
Dalla condizione (3.16), l’entropia in un volume (in questo caso quello della
stella) deve essere almeno S0 , quindi anche in questo caso la condizione (4.7)
è violata.
4.4
Entropia limite covariante
Questa entropia stabilisce una relazione generale tra le informazioni quantistiche e la geometria classica: l’entropia della materia su un foglio luce L(ovvero una ipersuperficie nulla che non si espande) ortogonale al limite spaziale B non eccede l’area A della superficie, misurata in unità di
Planck[26].
Ci sono 2 differenze profonde tra questa entropia e quella descritta nel paragrafo 4.3.
4.4 Entropia limite covariante
Figura 4.7:
65
Le quattro ipersuperfici nulle ortogonali alla superficie sferica B[18].
• La prima differenza è che una superficie B serve come punto di partenza
per la costruzione di una regione L, chiamata foglio luce [Fig. 4.7].
• La seconda differenza è che L è una ipersuperficie nulla6 , mentre V è
una ipersuperficie di tipo spazio7 .
La spiegazione nel paragrafo 4.3 comincia con una scelta di un volume spaziale V , ed esso definisce un limite B = ∂V la cui area A è supposta essere
un limite superiore su S(V ), cioè l’entropia in V . Invece l’entropia limite
covariante procede in senso opposto.
Dalla figura si nota come il foglio luce venga costruito dai raggi luce emanati dalla superficie B, fintanto che non si espandono; quando i raggi luce
si intersecano, cominciano ad espandersi. I fogli luce terminano in un punto
focale, come si nota anche dalla figura. Infatti F1 ed F3 sono fogli luce,
mentre F2 ed F4 no.
Definizione 2. L’entropia di ogni foglio luce di una superficie B non eccede
l’area di B:
S[L(B)] ≤
A(B)
4
(4.13)
Le ipersuperfici nulle giocano un ruolo primario, questo perchè il principio olografico lega l’area della superficie al numero dei gradi di libertà su
un foglio luce, e i fogli luce sono ipersuperfici nulle (il contrario non è vero,
come dimostrato precedentemente).
6
Una ipersuperficie L è un sottoinsieme D-1 dimensionale dello Spazio-Tempo, L ha
D-1 vettori tangenti linearmente indipendenti e un vettore normale in ogni punto. Se il
vettore normale è ovunque nullo, allora L è chiamata ipersuperficie nulla.
7
Una Ipersuperficie di tipo spazio può essere interpretata come “il mondo allo stesso
istante di tempo”, cosa che si nota anche dalla [Fig. 4.6].
66
La Gravità come forza entropica
Nel prossimo paragrafo spiegheremo in dettaglio la condizione di non espansione (ϑ ≤ 0) per un foglio luce, dal momento che esso termina in un punto
focale senza potersi espandere.
4.5
Condizione di non espansione ed equazione di
Raychaudhuri
Matematicamente la condizione si esprime come segue:
ϑ(λ) ≤ 0 per λ = λ0
(4.14)
dove λ è un parametro affine per tutti i raggi luce che generano gli Fi con
i = 1, 2, 3, 4 e assumiamo che λ aumenti lontano da B. λ0 è il valore di λ su
B. Prendiamo in considerazione una serie di raggi luce infinitamente vicini
che coprono una superficie di area A, quindi:
ϑ(λ) ≡
dA/dλ
A
(4.15)
L’espansione ϑ di una famiglia di raggi luce viene studiata attraverso l’equazione di Raychauduri[15][27].
Una famiglia di raggi luce, che di solito formano un foglio luce, è caratterizzata localmente dallo scalare di espansione, dal tensore di taglio e dal
tensore di torsione, nel modo seguente.
Sia B una superficie di dimensione spaziale D −2, parametrizzata dalle coordinate xα (α = 1, ...., D − 2), scegliamo una delle 4 famiglie di raggi luce
F1 , ...., F4 che provengono da B nelle direzioni passato e futuro [Fig. 4.7].
Ogni raggio luce soddisfa l’equazione delle geodetiche:
dk a
+ Γabc k b k c = 0
dλ
(4.16)
dove λ è il solito parametro affine e il vettore tangente k a è definito da:
ka =
dxa
dλ
(4.17)
che soddisfa la condizione nulla k a ka = 0. I raggi luce generano una ipersuperficie nulla L parametrizzata dalle coordinate (xα , λ). La metrica indotta
D − 2 dimensionale sulla superficie B è data da:
1
hab = gab + (ka lb + kb la )
2
(4.18)
con la vettore di campo nullo su B ortogonale a B e curvatura estrinseca
nulla:
Bab = hca hdb ∇c kd
(4.19)
4.5 Condizione di non espansione ed equazione di Raychaudhuri
67
dove ∇ è la derivata covariante. Il termine Bab contiene informazioni sullo
scalare di espansione ϑ, sul tensore di taglio σab e il tensore di torsione ωab
di una famiglia di raggi luce L:

ϑ = hab Bab




σab = 21 (Bab + Bba ) −




ωab = 21 (Bab − Bba )
1
D−2 ϑhab
A questo punto si potrebbe calcolare il valore di ϑ su B e una volta appurato che il suo valore è positivo, si può scartare l’ipersuperficie nulla inerente
a quel preciso valore di ϑ, e scegliere una direzione nulla differente per la
costruzione di un foglio luce. Questo perchè non sarebbe rispettata la condizione (4.14). L’equazione che descrive il cambiamento dello scalare di
espansione lungo i raggi luce è:
dϑ
1
=−
ϑ2 − σab σ ab + ωab ω ab − 8πTab k a k b
dλ
D−2
(4.20)
chiamata equazione di Raychaudhuri.
Per una famiglia di superfici ortogonali di raggi luce (come L), il termine ω
sparisce; il termine finale nel membro di destra è non positivo se la condizione
nulla sull’energia è soddisfatta. A questo punto risolvendo la disuguaglianza
differenziale:
dϑ
1
=−
ϑ2
(4.21)
dλ
D−2
si arriva al teorema di messa a fuoco (4.5), che può essere reinterpretato nel
modo seguente: se l’espansione di una famiglia di raggi luce prende valori
negativi ϑ1 ad ogni punto λ1 , ϑ divergerà a −∞ verso un certo parametro
affine:
(D − 2)
λ2 ≤ λ1 +
(4.22)
|ϑ1 |
Per costruzione, l’espansione su fogli luce è zero o negativa. Se è zero il
teorema di messa a fuoco non si applica.
4.5.1
Significato di forza taglio, torsione ed espansione.
Per capire da dove fisicamente le considerazioni precedenti vengono fuori,
consideriamo il caso della deformazione elastica in fisica Newtoniana.
Se u(x, y, z) è lo spostamento del punto con coordinate (x, y, z),
H l’aumento
del volume di una regione limitata da una superficie S è data da ~u d~s, dove
l’integrale è fatto sull’intera superficie S. Dal teorema di Gauss:
I
Z
~u d~s =
∇~u dv
(4.23)
V
68
La Gravità come forza entropica
Il volume di integrazione V è limitato dalla superficie S, da qui l’espansione
ϑ = ∇ · ~u. Come è noto, ∇ × ~u rappresenta una rotazione e possiamo
∂ui
suddividere il tensore cartesiano ∂x
k come segue[27]:
h 1 ∂u
i 1 ∂u
∂ui
∂uk 1
∂uk 1
i
i
=
+
−
+
+
−
ϑδ
ϑδik
ik
i
i
k
k
k
∂x
3
∂x
|3 {z }
{z
} |2 ∂x {z ∂x }
| 2 ∂x
T orsione
F orza di taglio
(4.24)
Espansione
Tutte le parti che formano il tensore cartesiano devono avere forma tensoriale, in particolare l’espansione deve essere uno scalare; mentre le altre due
quantità devono essere tensori.
4.6
La forza entropica nel modello olografico
Seguendo l’interpretazione termodinamica dell’orizzonte di un buco nero in
Relatività Generale e il principio olografico, si può mostrare che la gravità di
Newton appare introducendo diverse considerazioni che riguardano lo schermi olografici. Vedremo che questi schermi generano sia lo spazio che la forza
entropica, che è equivalente all’accelerazione gravitazionale.
La forza entropica è trattata come un gradiente di entropia che emerge quando una particella di prova di massa m si sta avvicinando allo schermo, in
accordo con il principio olografico, tramite cui una teoria spaziale 3-D può
essere descritta in termini di una teoria su una superficie 2-D che copre lo
spazio 3-D. Cosı̀ una dimensione dello spazio è olograficamente emergente
e l’informazione sulla particella all’interno della superficie è codificata sulla
superficie; lo spazio 3-D è considerato come un unione di schermi olografici
che sono caratterizzati dall’entropia e dalla temperatura. Nel caso che dimostreremo tra poco (ovvero quello di una particella m che si avvicina allo
schermo) lo schermo è una superficie equipotenziale ma in generale corrisponde ad una superficie di accelerazione costante per un corpo in caduta
libera. A questa superficie è attribuita una temperatura di Unruh costante.
Consideriamo un piccolo pezzo di schermo olografico e una particella m localizzata vicino allo schermo ad una certa distanza ∆x, che si avvicina ad
esso dal lato in cui emerge. Il cambiamento di entropia sullo schermo olografico è proporzionale alla massa m della particella di prova che si trova
vicino allo schermo a distanza ∆x [Fig. 4.8].
La variazione di entropia è data da:
∆S = 2πkB
(4.25)
quando la distanza è confrontabile con la lunghezza Compton:
∆x =
~
mc
(4.26)
4.6 La forza entropica nel modello olografico
Figura 4.8:
69
Una particella di massa m a distanza ∆x dallo schermo olografico[23].
quindi in definitiva abbiamo che l’entropia associata all’informazione sullo
schermo è data da[28][29]:
mc
∆x
(4.27)
∆S = 2πkB
~
La domanda che ci poniamo adesso è: come fa una forza ad emergere come
forza entropica? L’idea base è usare l’analogia con l’osmosi attraverso una
membrana permeabile, che avevamo discusso brevemente all’inizio del capitolo.
Quando la particella ha una forza entropica su un lato della membrana e
quest’ultima ha una temperatura T ( nel caso di schermo olografico, questa
è la temperatura sullo schermo), essa sperimenterà una forza effettiva data
da[30][31]:
F ∆x = T ∆S
(4.28)
che dà un indicazione su come la prima legge della termodinamica può essere realizzata sullo schermo olografico. La (4.28) non è altro che la forza
entropica, da cui si può notare che per avere una forza non nulla, devo avere
una temperatura non nulla.
La temperatura quindi può essere intesa in 2 modi che sono perfettamente
equivalenti:
1. Si relaziona la temperatura all’accelerazione usando la formula di Unruh8 :
1 ~a
kB T =
(4.29)
2π c
8
Consiste nel fatto che un corpo che si muove di moto accelerato nel vuoto con un’accelerazione “a”, non avverte una temperatura T = 0, ma una temparatura diversa da
70
La Gravità come forza entropica
2. Si relaziona la temperatura, l’energia e il numero di gradi di libertà
usando la regola dell’equipartizione dell’energia:
1
E = N kB T
2
(4.30)
A questo punto possiamo interpretare le equazioni precedenti nel modo
seguente:
• L’equazione (4.27) è l’assunzione base che lega l’entropia alla distanza
∆x dallo schermo olografico.
• L’equazione (4.28) è un’equazione delle forze.
• L’equazione (4.29) è un’equazione dell’accelerazione, o meglio ancora
di inerzia.
• L’equazione (4.30) codifica l’informazione della gravità Newtoniana.
Dal concetto di forza entropica espresso tramite la (4.28), si può ricavare la
seconda legge di Newton, nel seguente modo.
Sostituisco (4.27) in (4.28) ed ottengo:
2πkB mc
F
=
T
~
(4.31)
Infine utilizzo la (4.29) per ottenere:
F = ma
4.7
(4.32)
Calcolo della legge di gravitazione di Newton
come forza entropica
Cominciamo nel definire una temperatura T sullo schermo, che in questo
caso è assunto essere una superficie sferica di raggio R e una sorgente di
massa M al suo interno, localizzata come l’origine delle coordinate[32]. Il
numero dei gradi di libertà del sistema che stiamo considerando, corrisponde
secondo il principio olografico al numero di unità di informazione che possono essere codificate sulla superficie della regione sferica; questo numero è
proporzionale all’area A della superficie stessa e scriveremo:
N=
Ac3
G~
(4.33)
zero. Essa indica anche che un campo gravitazionale corrisponde ad un bagno termico con temperatura T(in analogia al bagno termico che avevamo introdotto nel caso del
polimero).
4.7 Calcolo della legge di gravitazione di Newton come forza
entropica
71
Figura 4.9:
Una particella di massa m vicino allo schermo olografico sferico. L’energia è
ugualmente distribuita sul numero di bit occupati, ed è equivalente alla massa M che emerge nella
parte di spazio circondata dallo schermo[30].
Dal momento che vi è una massa M , considerando l’equazione di Einstein
E = M c2 , ci sarà anche un’energia presente nel sistema e quest’ultima è
divisa uniformemente su tutti i bit N .
Resta solo da determinare la temperatura della nostra superficie sferica.
Per il principio di equipartizione dell’energia, all’equilibrio termico la temperatura è determinata dalla ripartizione dell’energia E sui gradi di libertà
del sistema secondo la relazione (4.30). Sostituiamo (4.33) in (4.30) ed
otteniamo:
1
Ac3
E = kB T
(4.34)
2
G~
ma dato che l’area della superficie sferica è A = 4πR2 , si ha:
E = M c2 =
2kB T πR2 c3
G~
(4.35)
Utilizziamo infine la formula dell’effetto Unruh (4.29), la sostituiamo in
(4.35) per ottenere l’accelerazione gravitazionale:
a=
GM
R2
(4.36)
o analogamente la forza esercitata dalla massa M sulla massa m a distanza
R:
GM m
F =
(4.37)
R2
Quindi se consideriamo una superficie olografica, dal concetto di entropia
e dal principio olografico deriverebbe l’esistenza di una forza entropica (ad
72
La Gravità come forza entropica
esempio la gravità). Questa forza è una conseguenza del fatto che alla superficie olografica è associata una temperatura diversa da zero, e che secondo l’effetto Unruh, a una temperatura diversa da zero è associata una
accelerazione[33][34][35].
Prima di passare allo studio del potenziale Newtoniano, ricapitoliamo gli
ingredienti utilizzati in questo paragrafo.
1. Il punto di partenza è che lo spazio ha una direzione emergente olografica.
2. C’è un cambiamento di entropia nella direzione emergente.
3. Il numero di gradi di libertà sono proporzionali alla area sullo schermo.
4. L’energia è ugualmente distribuita su questi gradi di libertà.
Da notare che questi ragionamenti possono essere estesi anche a dimensioni
D arbitrarie, come vedremo successivamente, e in tal caso avremo che[36]:
N=
4.8
1 D − 2 Ac3
2 D − 3 G~
(4.38)
Studio del potenziale Newtoniano nel modello
olografico
In questo paragrafo daremo una spiegazione del perchè l’accelerazione introdotta nell’equazione (4.29), è un’accelerazione fisica; visto che essa è stata
introdotta brutalmente senza darne motivazione esplicita.
Consideriamo ancora una volta cosa succede alla particella m quando si
avvicina allo schermo. Qui dovrebbe interagire con i microscopici gradi di
libertà che risiedono su di esso, e quindi essere costituita dagli stessi bit
olografati sulla superficie olografica.
Dal momento che ogni bit porta un’energia 12 kB T , il numero di bit n sarà:
1
mc2 = nkB T
2
(4.39)
Inserendo questa equazione in (4.27) ed usando l’equazione (4.29), possiamo
esprimere il cambiamento di entropia in termini dell’accelerazione come:
∆S
a∆x
= kB 2
n
2c
(4.40)
Introducendo il numero di bit n associati alla particella, si può rendere più
naturale l’identificazione in termini scalari, invece che in termini vettoriali,
dell’accelerazione e quest’ultima è in stretta relazione con il gradiente di
entropia; questo fatto è molto importante perchè ci dice che:
4.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazione
delle equazioni di Einstein
73
L’inerzia è una conseguenza del fatto che una particella in quiete
resterà in quiete perchè non c’è un gradiente di entropia.
Questa affermazione mi permette di introdurre il potenziale Newtoniano Φ
e scrivere l’accelerazione come un gradiente:
a = −∇Φ
(4.41)
quindi di esprimere la variazione di entropia tramite il potenziale Newtoniano:
∆S
∆Φ
= −kB 2
(4.42)
n
2c
In conclusione abbiamo che il potenziale Newtoniano memorizza l’esaurimento dell’entropia per bit.
4.9
Estensione relativistica della legge di Newton
e derivazione delle equazioni di Einstein
I ragionamenti fatti nei capitoli precedenti, si possono estendere anche alla
Relatività Generale. Prima però sarà necessario studiare l’origine dell’inerzia
e il principio di equivalenza.
Considero un background statico con un vettore di Killing di tipo tempo,
che indico con ξ µ . Per vedere come l’inerzia e il principio di equivalenza
emergono dalla gravità come forza entropica, si relaziona la scelta di ξ µ con
la temperatura e il gradiente di entropia.
In Relatività Generale la generalizzazione del potenziale Newtoniano è data
da:
1
φ = log(−ξ µ ξµ )
(4.43)
2
Il suo esponenziale eφ rappresenta il fattore di redshift gravitazionale che è
supposto uguale a uno all’infinito (φ = 0 a r = ∞), se lo Spazio-Tempo è
asintoticamente piatto[37].
Dimostreremo che il redshift perpendicolare allo schermo9 viene inteso microscopicamente originato da un gradiente di entropia. Consideriamo la
forza che agisce su una particella di massa m, la 4-velocità uµ della particella e la sua accelerazione aν ≡ uµ ∇µ uν può essere espressa tramite il vettore
di Killing ξ ν come:
uν = e−φ ξ ν ; aν = e−2φ ξ µ ∇µ ξ ν
9
(4.44)
Ricordiamo che lo schermo (o gli schermi a seconda del modello utilizzato) è una
superficie equipotenziale in cui il potenziale è costruito tramite vettori di Killing di tipo
tempo.
74
La Gravità come forza entropica
Possiamo riscrivere l’ultima equazione usando l’equazione di Killing (1.19) e
la definizione (4.43). Si trova che l’accelerazione può essere espressa ancora
come un gradiente:
aν = −∇ν φ
(4.45)
perpendicolare allo schermo S. Possiamo trasformarla in una quantità scalare contraendola con un vettore unitario N ν che punta verso l’esterno, normale allo schermo S e a ξ ν .
La temperatura locale T sullo schermo si può scrivere in maniera analoga al
caso non relativistico trattato nel paragrafo 4.6; in questo caso avremo:
~ φ ν
e N ∇ν φ
(4.46)
2π
La temperatura è misurata rispetto ad un punto di riferimento all’infinito
(φ = 0), ecco perchè è inserito il reshift eφ .
Per trovare la forza che agisce sullo schermo utilizziamo gli stessi concetti espressi nel paragrafo 4.6. Assumiamo che il cambiamento di entropia
sullo schermo è 2π per uno scostamento di una lunghezza d’onda Compton
normale allo schermo. Quindi:
m
∇µ S = −2π Nµ
(4.47)
~
La forza entropica segue da (4.46):
T =
Fµ = T ∇µ S = −meφ ∇µ φ
(4.48)
Questa è la forza gravitazionale corretta che è richiesta per mantenere la
particella in una posizione fissata vicino allo schermo. La (4.48) non è altro
che l’analogo della legge di inerzia già vista nel paragrafo 4.7 e il termine
−∇µ φ è l’analogo relativistico dell’accelerazione Newtoniana. Il fattore di
redshift eφ è dovuto alla presenza di un gradiente di entropia.
Il principio di equivalenza ci dice che il redshift può essere interpretato nello
Spazio-Tempo emergente sia a causa di un campo gravitazionale sia se si
considera un sistema accelerato. Quindi la gravità e l’accelerazione sono
entrambi fenomeni emergenti. Il prossimo passo è quello di estendere le
leggi della gravità al caso relativistico e ottenere le equazioni di Einstein.
Consideriamo di nuovo uno schermo olografico su una superficie chiusa con
redshift costante. Assumiamo che in essa sia racchiusa una massa M; la
densità di bit sullo schermo è data ancora da:
dA
dN =
(4.49)
G~
L’energia associata alla massa M è distribuita uniformemente su tutti i
bit olografati sullo schermo; in questo caso dalla legge dell’equipartizione
dell’energia, ogni bit “trasporta” un’unità di massa uguale a 12 T . Quindi:
Z
1
M=
T dN
(4.50)
2 S
4.9 Estensione relativistica della legge di Newton e derivazione
delle equazioni di Einstein
75
Inserendo (4.49) e (4.46) in quest’ultima otteniamo:
Z
1
eφ ∇φ · dA
M=
4πG S
(4.51)
che non è altro che la generalizzazione relativistica della legge di Gauss. La
parte destra dell’equazione è la massa contenuta all’interno di un volume
arbitrario in uno Spazio-Tempo curvo statico. Esprimiamo quest’ultima
tramite il vettore di Killing ξ µ :
Z
1
M=
dxµ ∧ dxν µνγδ ∇γ ξ δ
(4.52)
8πG S
La parte sinistra può essere espressa come un integrale sul volume racchiuso e
può essere identificata come la massa di Komar ed espressa come un integrale
di certe combinazioni del tensore energia-impulso Tµν , mentre la parte destra
può essere scritta in termini del vettore di Killing ξ µ e si arriva cosı̀ alla
relazione integrale:
Z Z
1
1
µ ν
2
Tµν − T gµν n ξ dV =
Rµν nµ ξ ν dV
(4.53)
2
4πG
Σ
Σ
dove Σ è il volume 3D limitato dallo schermo olografico S e nµ è la normale
ad esso [38][39]. Usando successivamente la relazione geometrica:
∇µ ∇µ ξ ν = −Rνµ ξ µ
(4.54)
e il teorema di Stokes per l’integrazione dei termini di superficie nella relazione (4.53), otteniamo le equazioni di Einstein:
1
Rµν = 8πG Tµν − gµν T
(4.55)
2
L’ipotesi olografica fornisce un meccanismo naturale per la gravità emergente come forza entropica. Essa consente un’ interazione diretta tra i gradi di
libertà associati ad un corpo materiale e al fatto che tutti i corpi all’interno
di un volume possono essere mappati sullo stesso schermo olografico. Una
volta fatto questo, il meccanismo per la gravità e per l’elasticità di Hooke
nel caso del polimero che abbiamo analizzato all’inizio del capitolo sono sorprendentemente simili.
Il concetto di gravità come forza entropica è stato applicato, ad esempio,
nei seguenti studi fisici e astrofisici:
• Equazioni di Friedmann nel caso D-dimensionale.
• Studio di modelli olografici di dark energy [35].
• Loop quantum gravity [40].
Nel prossimo paragrafo faremo vedere come si arriva alla scrittura delle
equazioni di Friedmann D-dimensionali, semplicemente applicando i concetti
di olografia e di gravità come forza entropica studiati fin’ora.
76
4.10
La Gravità come forza entropica
Le equazioni di Friedmann nel modello olografico
Useremo il principio olografico insieme alla legge dell’equipartizione dell’energia e alla temperatura di Unruh, per derivare le equazioni di Friedmann
D-dimensionali di un Universo FRW.
Come studiato e ricavato precedentemente, in questo lavoro di tesi la gravità
è spiegata come una forza entropica causata dal cambiamento nell’informazione associata con la posizione dei corpi materiali. La legge dell’equipartizione dell’energia per i gradi di libertà dell’orizzonte, combinati con la
relazione termodinamica:
E
S=
(4.56)
2T
porta alla legge di gravitazione di Newton. In questa equazione S e T sono
l’entropia termodinamica e la temperatura associati all’orizzonte, ed E è la
cosidetta massa gravitazionale attiva che produce l’accelerazione gravitazionale nello Spazio-Tempo.
Cominciamo nel derivare le equazioni di Friedmann che governano l’evoluzione dinamica di un Universo FRW. Con quest’ultima assunzione vedremo
che è possibile estendere a D-dimensioni le equazioni, che a questo punto
dipenderanno anche dalla dimensione spazio temporale, semplicemente modificando il numero di bit sullo schermo.
Considero la metrica di un Universo FRW data da:
ds2 = dt2 − a2 (t)(dr2 + r2 dΩ2 )
(4.57)
dove a(t) è il fattore di scala.
Prendiamo in esame una regione sferica compatta V con un raggio fisico dato
da r̃ = ar, e bordo compatto ∂V. Quest’ultimo agisce come schermo olografico e il numero di bit associati ad esso è dato da (4.33). Assumiamo che la
temperatura sullo schermo sia T e in accordo con la legge dell’equipartizione, l’energia totale sullo schermo è data da (4.30); la massa che emerge nella
regione spaziale V racchiusa da ∂V è data dalla nota formula di Einstein
E = M c2 . Supponiamo che la sorgente di materia in FRW sia un fluido
perfetto con tensore energia-impulso dato da:
Tµν = (ρ + p)uµ uν − pgµν
(4.58)
La massa totale M = ρV nella regione racchiusa da ∂V non è più conservata,
il cambiamento nella massa totale è uguale al lavoro fatto dalla pressione:
dM = −pdV
(4.59)
4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico
77
e tramite i seguenti passaggi:
d(V0 ρa3 ) = −pd(V0 a3 )
a3 dρ + 3ρa2 da = −3pa2 da
1
dρ = −3ρ(ρ + p) da
a
dρ
1 da
= −3(ρ + p)
dt
a dt
(4.60)
si ottiene l’equazione di continuità:
ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0
(4.61)
dove H è il parametro di Hubble. La massa totale nella regione spaziale V
può essere espressa come:
Z
M=
dV (Tµν uµ uν )
(4.62)
V
dove il termine fra parentesi è la densità di energia misurata da un osservatore comovente; l’accelerazione10 per un osservatore radiale comovente a
distanza r, cioè al posto dello schermo, è:
ar = −
d2 r̃
= −är
dt2
(4.63)
dove il segno negativo è dovuto al fatto che consideriamo l’accelerazione
causata dalla materia nella regione spaziale racchiusa da ∂V. In accordo
con la formula di Unruh, assumiamo che l’accelerazione corrisponda alla
temperatura:
1
T =
~ar
(4.64)
2πkB c
Per arrivare all’equazione di Friedmann consideriamo le seguenti equazioni,
trattate in precedenza:

E = M c2







 E = 21 N kB T
3


N = Ac

G~




 T = 1 ~a
r
2πkB c
Da queste ricaviamo M ed otteniamo:
M=
10
Aar
4πG
Da notare che l’accelerazione propria svanisce per un osservatore comovente.
(4.65)
78
La Gravità come forza entropica
Uguagliando quest’ultima alla (4.62) ed utilizzando la (4.63) si ha:
Z
Aär
dV (Tµν uµ uν ) = −
4πG
V
(4.66)
Adesso risolvo il membro di sinistra dell’equazione precedente, calcolando la
componente T00 del fluido perfetto e l’integrale sul volume, ottenendo:
Z
4
dV (Tµν uµ uν ) = πr̃3 (T00 (u0 )2 )
(4.67)
3
V
considerando che r̃ = ar, sostituisco in (4.67) ed uguagliando il secondo
membro di (4.66) sostituendo l’area della superficie A = 4πr̃2 , ottengo:
4 3 3
a2 r2
πr a ρ = −
(är)
3
G
(4.68)
Da quest’ultima posso ricavare finalmente:
4πG
ä
=−
ρ
a
3
(4.69)
che non è nient’altro che l’equazione dinamica per la cosmologia Newtoniana.
Per ricavare le equazioni di Friedmann di un Universo FRW in Relatività Generale, notiamo che la causa che produce l’accelerazione è la massa gravitazionale attiva M, piuttosto che la massa nella regione spaziale
V. La massa gravitazionale attiva è anche chiamata massa (o energia) di
Tolman-Komar[41], definita come:
Z
1
M = 2 dV Tµν − T gµν uµ uν
(4.70)
2
V
Mentre (4.62) è l’integrale della densità di energia misurata della congruenza degli osservatori, ed essa non è una sorgente dell’accelerazione gravitazionale, il contributo dalla pressione è dato da (4.70), che è la sorgente per
l’accelerazione gravitazionale. La combinazione covariante:
1
(4.71)
2 Tµν − T gµν uµ uν
2
si riduce a (ρ + 3p) per un fluido perfetto. Quindi rimpiazzando (4.62)
con (4.70) si giunge finalmente alla seconda equazione di Friedmann per un
Universo FRW.
ä
4πG
=−
(ρ + 3p)
(4.72)
a
3
Moltiplicando sia a sinistra che a destra per ȧa, usando l’equazione di continuità (4.61) ed integrando il risultato otteniamo la prima equazione di
Friedmann per un Universo FRW:
H2 +
k
8πG
=
ρ
2
a
3
(4.73)
4.10 Le equazioni di Friedmann nel modello olografico
79
Notiamo che in questo caso k compare come una costante di integrazione,
ma è chiaro che k è interpretata come la curvatura spaziale della regione V
nella teoria della relatività. Ovviamente k può assumere i valori 0, 1, −1 a
seconda se un Universo è rispettivamente piatto, chiuso o aperto.
La cosa interessante è che tutte le assunzioni e i procedimenti fatti in precedenza possono essere estesi a dimensioni spaziotemporali D ≥ 4. In questo
caso il numero di bit sullo schermo sarà:
N=
1 D − 2 Ac3
2 D − 3 G~
(4.74)
L’equazione di continuità avrà la forma:
ρ̇ + (D − 1)H(ρ + p) = 0
e la massa gravitazionale attiva sarà[42]:
Z
1
D−2
dV Tµν −
T gµν uµ uν
M=
D−3 V
D−2
(4.75)
(4.76)
Ripetendo i procedimenti fatti prima si arriva alle equazioni di Friedmann
per un Universo D-dimensionale:
Prima Equazione di Friedmann D-dimensionale
H2 +
k
a2
=
16πG
(D−1)(D−2) ρ
Seconda Equazione di Friedmann D-dimensionale
ä
a
8πG
= − (D−1)(D−2)
[(D − 3)ρ + (D + 1)p]
Nel capitolo finale cercheremo di dare una possibile spiegazione alternativa ad uno degli aspetti più controversi della cosmologia, ovvero il problema
della Dark Energy; applicando il principio olografico all’orizzonte di Hubble
e mostrando un possibile legame tra olografia e forza entropica all’orizzonte. Concluderemo mostrando un possibile scenario olografico riguardante le
correzioni quantistiche all’entropia, in cui sono coinvolti direttamente i gradi
di libertà memorizzati sullo schermo.
Capitolo 5
L’entropia dell’Universo e il
suo legame con la gravità
come forza entropica
La nostra immaginazione è tesa
al massimo; non, come nelle
storie fantastiche, per
immaginare cose che in realtà
non esistono, ma proprio per
comprendere ciò che davvero
esiste.
Richard Feynman
5.1
Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo
Il contributo dell’entropia dell’Universo è importante perchè il suo aumento
è associato a processi che sono tutti irreversibili, su tutte le scale: clustering
gravitazionale, dischi di accrescimento, supernovae, fusioni stellari, processi fisici chimici, geologici e biologici terrestri. Il contribuito di entropia
dell’Universo osservabile è:
Soss ' 10103 ÷ 10104 kB
(5.1)
dominata dall’entropia dei buchi neri supermassicci (SMBH) situati al centro
delle galassie. L’aumento di entropia però non può avere un valore infinito, ma come si usa dire, ha un limite superiore che nel nostro caso viene
chiamato limite olografico di entropia con un valore dato da:
Smax ∼ 10122 kB
81
(5.2)
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
82
entropica
La seconda legge generalizzata della termodinamica (3.21) dice che l’entropia
dell’Universo non può diminuire con il tempo. All’interno di un Universo
Friedmann-Robertson-Walker, la (3.21) può essere applicata in 2 modi:
1. L’entropia totale SV C in un volume comovente di Universo sufficientemente grande non diminuisce con il tempo cosmico
dSV C ≥ 0
(5.3)
2. L’entropia totale di materia contenuta all’interno dell’orizzonte di Hubble SIOH più l’entropia dell’orizzonte stesso SOH , non diminuisce con
il tempo cosmico
dSIOH + dSOH ≥ 0
(5.4)
Nella prima definizione, il sistema è limitato da una superficie comovente
chiusa; ed è effettivamente isolato perchè l’omogeneità e l’isotropia su larga
scala non implica flussi netti di entropia all’interno o all’esterno del volume comovente. Una scelta ragionevole per il volume comovente in questo
schema è la sfera comovente che corrisponde attualmente all’Universo osservabile, come mostrato in [Fig. 5.1].
La seconda definizione è simile alla prima, tuttavia qui il sistema (parte
gialla in [Fig. 5.1]) è delimitato dalla dipendenza temporale dell’orizzonte
degli eventi invece di un confine comovente. Il flusso di materia che attraversa l’orizzonte degli eventi non è trascurabile, e l’entropia dell’orizzonte
degli eventi deve essere inclusa nel bilancio per tener conto di questo. La
differenza tra i 2 pannelli è nel sistema di coordinate spaziali usato. L’asse
x nel pannello inferiore è la distanza propria D e nel pannello superiore è
la distanza comovente χ = D
a dove a è il fattore di scala. L’origine è scelta
in maniera tale che la nostra Galassia sia la linea verticale centrale tratteggiata e le altre linee tratteggiate rappresentano galassie distanti, che sono
comoventi e recedono mentre l’Universo espande. Il volume comovente, che
corrisponde all’Universo osservabile oggi è rappresentato in grigio. Riprendendo il concetto espresso dalle equazioni (5.3) e (5.4), analizzando la [Fig.
5.1] si ha che:
1. Nel pannello superiore della [Fig. 5.1] l’entropia all’interno del volume
comovente aumenta o rimane costante con il tempo. Per avere una
chiara idea dei contributi di entropia al nostro Universo delle varie
componenti osservo la [Tab. 5.1].
Questi dati si ottengono moltiplicando le densità di entropia delle varie
componenti per il volume dell’Universo osservabile tramite la seguente
equazione:
Si = si Voss
(5.5)
dove si è la densità di entropia della componente i. Il volume dell’Universo osservabile è Voss = 3.65 ± 0.10 × 1080 m3 , quindi prendendo
5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo
83
Figura 5.1:
Queste 2 figure mostrano l’orizzonte delle particelle e l’orizzonte degli eventi in
funzione dela distanza comovente e della distanza propria[43].
Componenti
Valori di Entropia S(kB )
Stelle
S? = 9.5 ± 4.5 × 1080 kB
Gravitoni
Sgrav = 6.2 × 1087 kB
Dark Matter
SDM = 2 × 1088 kB
Fotoni
Sγ = 2.03 ± 0.15 × 1089 kB
Neutrini
Sν = 5.16 ± 0.14 × 1089 kB
Buchi Neri Stellari
SBN = 5.9 × 1097 kB
Buchi Neri Supermassivi
SBN S = 3.1 × 10104 kB
Tabella 5.1: Differenti valori di Entropia dell’Universo osservabile.
come componente i-esima ognuna delle componenti presenti nella tabella si trovano i valori di S(kB ).
Nella figura seguente si osservano i contributi di entropia delle principali componenti.
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
84
entropica
Figura 5.2:
Valori di entropia in un volume comovente[43].
Nella parte di sinistra osserviamo un breve periodo di inflazione, durante questo periodo tutta l’energia è data dall’inflatone che ha pochi
gradi di libertà e un valore di entropia molto basso (zona celeste).
L’inflazione termina con un periodo di reheating tra la scala di Planck
(10−43 s) e la scala GUT (10−35 s), durante il quale l’energia dell’inflatone è trasferita ad un fluido relativistico (zona gialla). Durante il
reheating l’entropia aumenta in modo notevole, e dopo di esso il comportamento del fluido relativistico continua a cambiare, ma il cambiamento non aumenta l’entropia.
Dopo poche centinaia di milioni di anni si formano le prime stelle dal
collasso di nubi di idrogeno neutro ed elio; si formano anche i primi
buchi neri. A questo punto l’entropia dei buchi neri stellari (zona grigio chiara) e dei buchi neri supermassivi ( zona grigio scura) aumenta
rapidamente durante l’evoluzione galattica.
Nei successivi 1026 s la crescita delle strutture più grandi di circa
1014 M sarà fermata dall’accelerazione dell’Universo. Le galassie all’interno di superclusters faranno merging e le masse finali di SMBH saranno di circa 1010 M con entropia dominata da quelli con
M ∼ 1012 M . I buchi neri stellari evaporeranno tramite radiazione di Hawking in circa 1080 s e i buchi neri supermassicci in 10110 s. La
diminuzione del contribuito di entropia dei buchi neri è compensata
dall’aumento di entropia della radiazione.
La linea nera spessa rappresenta la crescita dell’entropia della radiazione come evaporazione di buchi neri.
5.1 Come quantificare l’aumento di Entropia dell’Universo
85
2. Nel pannello inferiore della [Fig. 5.1] l’entropia all’interno dell’orizzonte degli eventi, più l’entropia dell’orizzonte stesso, aumenta o rimane
costante con il tempo. Anche in questo caso osservo i vari contributi
di entropia tramite la [Tab. 5.2].
Questi dati si ottengono moltiplicando la densità di entropia delle varie
componenti per il volume dell’orizzonte degli eventi tramite la seguente
equazione:
Si = si VOE
(5.6)
dove si è la stessa dell’equazione (5.5). Il volume dell’orizzonte degli
eventi è VOE = 1.37 ± 0.10 × 1079 m3 , a questo punto si segue lo stesso
procedimento effettuato per calcolare i valori di entropia S(kB ).
Componenti
Valori di Entropia S(kB )
Stelle
S? = 3.5 ± 1.7 × 1078 kB
ISM, IGM
2.7 ± 2.1 × 1080 kB
Gravitoni
Sgrav = 2.3 × 1086 kB
WIMP Dark Matter
SDM = 6 × 1086 kB
Fotoni
Sγ = 2.03 ± 0.15 × 1088 kB
Neutrini
Sν = 1.93 ± 0.15 × 1089 kB
Buchi Neri Stellari
SBN = 2.2 × 1096 kB
Buchi Neri Supermassivi
SBN S = 1.2 × 10103 kB
Orizzonte degli eventi
SOE = 2.6 ± 0.3 × 10122 kB
Tabella 5.2: Valori di Entropia dell’orizzonte degli eventi e della materia
all’interno di esso.
Nella figura seguente, analoga alla [Fig. 5.2] si osserva la dipendenza temporale dei vari contributi all’entropia.
Durante l’era dominata dalla radiazione, il raggio comovente dell’orizzonte degli eventi è approssimativamente costante (la distanza propria cresce
proporzionale al fattore di scala) e la componente di Dark Energy inizia
a dominare nel tempo. Notiamo che la parte sinistra della figura è simile
a quella di [Fig. 5.2] eccetto per la parte di contributo all’entropia dell’orizzonte degli eventi (zona verde). Questa entropia comincia a dominare
da circa 1016 s. Il numero di galassie, di buchi neri e fotoni all’interno del
nostro orizzonte degli eventi decresce come a−3 , di conseguenza diminuisce
anche il contributo di entropia dei SMBH e delle stelle. La diminuzione dell’entropia dei buchi neri è compensata dalla crescita asintotica dell’entropia
dell’orizzonte e quindi la seconda legge della termodinamica rimane intatta.
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
86
entropica
Figura 5.3:
Entropia della materia all’interno dell’orizzonte degli eventi ed entropia
dell’orizzonte degli eventi.[43]
5.2
La pressione negativa causata dalla forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo
Nel corso degli ultimi 50 anni ci sono stati molti sviluppi in ambito cosmologico, dalla scoperta della radiazione cosmica di fondo, passando per l’idea
di Guth riguardante l’inflazione, fino a scoprire tramite le osservazioni e lo
studio delle Supernovae 1A l’espansione accelerata dell’universo. Di seguito
si danno 2 interpretazioni differenti sulla possibile natura della componente
dominante dell’Universo attuale, la prima è quella comune della Dark Energy, mentre la seconda è quella dovuta ad una ipotetica presenza di una forza
entropica che controbilancia una pressione negativa che va in direzione dello
schermo olografico, in questo caso assunto essere l’orizzonte di Hubble.
5.2.1
Interpretazione come Dark Energy
L’espansione attuale è causata, secondo i modelli, da un termine chiamato
Dark Energy, presente anche nelle equazioni di campo di Einstein sottoforma di costante cosmologica Λ, che egli introdusse per dare una possibile
spiegazione alla staticità dell’Universo.
Tramite l’utilizzo della relatività generale, insieme al principio cosmologico,
si può scrivere l’equazione di Friedmann che soddisfa il fattore di scala nel
modo seguente:
ȧ 2 8πG
H 2 (t) =
=
ρ
(5.7)
a
3
5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come
possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo 87
dove ρ è la sorgente di densità di energia che guida l’espansione. I contributi
alla densità sono:

 ρm (t) = ρm (t0 )a−3 (t)
 ρ (t) = ρ (t )a−4 (t)
γ
γ 0
dove con ρm si indica la componente di materia barionica più quella nonbarionica (Dark Matter), con ργ si indica la componente radiativa.
Quindi si ha che:
ρ ⊇ ρm + ργ
(5.8)
Per l’espansione accelerata osservata, tutti i modelli al giorno d’oggi considerano un termine aggiuntivo nella densità all’equazione (5.7) dato da:
ρDE (t) = ρDE (t0 )a(t)−3(1+w)
(5.9)
dove dall’equazione di stato p = wρ si ricava il parametro di stato w.
Nel caso w = −1, ovvero quello della costante cosmologica (Λ) si possono
trascurare ρm e ργ e integrando l’equazione di Friedmann (5.7) si ottiene:
a(t) = a(t0 )eHt
(5.10)
√
√
√
dove 3H = Λ = 8πGρDE . Differenziando l’equazione (5.10) due volte
rispetto al tempo si ha:
d2 a(t) = H2
(5.11)
dt2 t=0
Se Λ è positivo, come nella geometria di De Sitter, l’accelerazione è positiva
e non nulla. Di solito si identifica la costante cosmologica come l’energia del
vuoto, ma questa assunzione porta ad uno dei problemi irrisolti del modello
standard. Il valore osservato della costante cosmologica è:
ρΛoss ∼ (10−3 eV )4
(5.12)
ma le predizioni teoriche danno un valore:
ρΛteo ∼ (1018 GeV )4
(5.13)
Si nota subito un netto contrasto non banale di 120 ordini di grandezza:
ρΛoss
∼ 10−120
ρΛteo
(5.14)
In seguito vengono ricavate le equazioni di Friedmann con la costante cosmologica, utilizzando sempre il principio olografico e i concetti di entropia
sull’orizzonte.
Nella trattazione successiva viene incluso il termine di curvatura k e c 6= 1
e si considera l’orizzonte degli eventi apparente come possibile schermo olografico, invece dell’orizzonte di Hubble (da notare che nel caso di curvatura
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
88
entropica
nulla questi due orizzonti sono equivalenti).
Considero il raggio dell’orizzonte e la sua derivata:
c
rA = q
H2 +
k
a2
ṙA = −
3 HrA
k
Ḣ
−
c2
a2
(5.15)
Il flusso di energia attraverso l’orizzonte è −dE = dM c2 +pdV = (ρc2 +p)dV ,
cioè:
p
p
p
− dE = ρ + 2 c2 dV = ρ + 2 c2 Ar vdt = ρ + 2 c2 Ar HrA dt (5.16)
c
c
c
2 . Assumendo che l’orizzonte abbia un’entropia e una temdove Ar = 4πrA
peratura associate ad esso, date da:
S=
kB c3 A
~G 4
T =
~H
~ c
=
2πkB
2πkB rA
(5.17)
si può utilizzare la prima legge della termodinamica −dE = T dS per trovare:
p
−dE = Ar ρ + 2 c2 HrA dt = T dS
c
kB c3 dAr
dt
=T
(5.18)
4~G dt
kB c3
=T
8πrA ṙA dt
4~G
Dividendo per c2 dt e usando l’equazione della temperatura in (5.17) si ricava,
dopo aver sostituito ṙA :
p
c2
1 3
k
Ar ρ + 2 HrA = ṙA = − rA
Ḣ − 2
(5.19)
c
G
G
a
Dividendo per
HrA
G
2 si ha:
e usando Ar = 4πrA
p
k
k
p
4πG ρ + 2 = − Ḣ − 2 =⇒ Ḣ − 2 = −4πG ρ + 2
c
a
a
c
Considerando l’equazione di continuità per un fluido perfetto:
p
ρ̇ + 3H ρ + 2 = 0
c
si può sostituire H ρ + cp2 = − ρ̇3 nell’equazione (5.20):
h
k
p i 4πG
H Ḣ − 2 = −4πG ρ + 2
=
ρ̇
a
c
3
ora, integrando quest’ultima:
Z
Z
Z
ȧ
4πG
H Ḣ − k
=
ρ̇
a3
3
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come
possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo 89
che da:
1 2
k 4πG
cost
8πG
kc2
H + 2 =
ρ+
⇒ H2 =
ρ − 2 + cost
2
a
3
2
3
a
(5.24)
Ma nei modelli il termine costante è dato dalla Λ, quindi in definitiva ho che
la prima equazione di Friedmann completa è:
H2 =
8πG
kc2 Λc2
ρ− 2 +
3
a
3
(5.25)
Per trovare la seconda equazione di Friedmann completa si considera Ḣ =
ä
2
a − H ; la si sostituisce in (5.20) e utilizzando anche la (5.25) si ottiene:
4πG 3p ä
4πG 3p Λc2
ä
=−
ρ + 2 + cost ⇒ = −
ρ+ 2 +
a
3
c
a
3
c
3
(5.26)
Si sono ricavate cosı̀ le equazioni di Friedmann con l’aggiunta della costante
cosmologica tramite il concetto di olografia ed entropia sull’orizzonte.
5.2.2
Interpretazione come forza entropica
In questo paragrafo verrà utilizzato il concetto di forza entropica per dare
una possibile spiegazione alternativa alla Dark Energy, nel caso di Universo
con espansione accelerata.
I punti di partenza per la discussione saranno 2, ovviamente tutti collegati
tra loro, come si è già visto nei capitoli precedenti:
1. Informazione ed olografia
2. Entropia e temperatura
Prima di tutto si assume che la gravità sia una forza entropica, come analizzato nel capitolo 4. Applicata alla cosmologia cercheremo di verificare
l’espansione accelerata dell’Universo odierna prendendo in considerazione la
temperatura dell’orizzonte degli eventi data da TH ∼ 10−30 K, che dipende
dal parametro di Hubble.
La prima cosa da fare è considerare un immaginario schermo olografico, che
può essere assunto essere l’orizzonte di Hubble (questo perchè nel caso di
curvatura nulla il raggio di Hubble ha lo stesso valore del raggio dell’orizzonte apparente)[44].
La fisica sull’orizzonte degli eventi può essere descritta dalla termodinamica che soddisfa la distribuzione di informazione olografica, questo vuol dire
che il numero di gradi di libertà sull’orizzonte è proporzionale alla sua area
N ∝ A.
La sola assunzione da fare è che l’orizzonte ha una temperatura e un entropia associate con esso; un esempio legato a questa assunzione è quello
riguardante i buchi neri ed analizzato in dettaglio nel capitolo 3, in cui si
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
90
entropica
aveva una temperatura data dalla temperatura di Hawking e un entropia
data dall’entropia di Bekenstein.
L’entropia sull’orizzonte è data da:
SH =
kB c3 A
kB c3
2
=
πRH
' (2.6 ± 0.3) × 10122 kB
~G 4
~G
(5.27)
dove RH = Hc è il raggio di Hubble. Incrementando il raggio di Hubble di
∆r aumenta anche l’entropia di un valore ∆SH :
∆SH =
∆r
kB c3
2πRH ∆r ' (2.6 ± 0.3) × 10122 kB
G~
RH
(5.28)
Il valore di entropia (5.27) è quello gia visto nel paragrafo 5.1, ovvero
l’entropia calcolata sull’orizzonte degli eventi, considerando:
RH = 15.7 ± 0.4 Glyr
(5.29)
La forza entropica è determinata dalla variazione dell’energia rispetto al
raggio:
dE
dS
dSH
Fe = −
= −T
= −Tβ
(5.30)
dr
dr
dr
dove Tβ è la temperatura dell’orizzonte che vale:
Tβ =
~ H
∼ 3 × 10−30 K
kB 2π
(5.31)
in accordo con la temperatura di De Sitter [45]. La temperatura dell’orizzonte porta alla forza entropica (5.30) e all’accelerazione risultante dell’orizzonte
ricavata attraverso la formula di Unruh (4.29):
aorizzonte =
2πckB Tβ
= cH ∼ 10−9 m/s2
~
(5.32)
Usando la relazione (5.31) in (5.32) si ottiene un’accelerazione cosmica in
accordo con le osservazioni [46][47].
Quindi non vi è una componente di Dark Energy che permette all’Universo
di espandersi, ma dietro c’è una conseguenza della seconda legge della termodinamica, che agisce nel creare una componente apparente di Dark Energy
che guida la densità presente nel termine di destra della prima equazione
di Friedmann. Con questi ingredienti viene ricavata una pressione negativa,
che si comporta come una tensione nella direzione dello schermo olografico.
Sostituendo (5.27) e (5.31) in (5.30) si ottiene:
Fe = −
c4
~ H kB c3 c 2π
=−
kB 2π G~
H
G
(5.33)
5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come
possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo 91
dove il segno negativo indica che punta nella direzione di aumento di entropia
e quindi dello schermo olografico.
La pressione che dipende dalla forza entropica può essere scritta come:
Pe =
Fe
1 dS
1 c4
H 2 c4
c2 H 2
2
=− T
=−
=−
=
−
= − ρc c2
2
A
A dr
AG
4πc G
4πG
3
(5.34)
2
3H
dove ρc è la densità di energia critica ρc ≡ 8πG
.
Il valore di Pe è molto vicino alla misura odierna della pressione (tensione)
della costante cosmologica. Questa tensione non proviene dalla pressione negativa della costante cosmologica intesa come Dark Energy ma dalla tensione
entropica dovuta al contenuto di entropia della superficie dell’orizzonte, e
quindi legata all’informazione che vi risiede. Ciò equivale ad un’accelerazione verso l’esterno (5.32).
Se si sceglie di mettere lo schermo che contiene l’informazione a piccole distanze, e associando l’entropia con l’informazione olografata sullo schermo
si troverebbe una pressione proporzionalmente più piccola, e un’accelerazione che decresce linearmente con il raggio in accordo con la famosa legge di
Hubble[48].
Cosı̀, l’espansione accelerata dell’Universo nasce semplicemente come una
conseguenza naturale dell’entropia olografata sull’orizzonte[49]. E’ possibile
mostrare come dalla relazione (5.30), ovvero dal concetto di forza entropica,
si possono ottenere risultati che sono consistenti con le osservazioni.
Considero un Universo FRW con metrica:
ds2 = hµν dxµ dxν + r̃2 dΩ22
(5.35)
dove:

 r̃ = a(t)r
 h = diag(−1, a2 /(1 − kr2 ))
µν
L’orizzonte degli eventi apparente che in questo caso è il solito schermo
olografico, è definito dalla relazione hµν ∂µ r̃∂ν r̃ = 0 e risulta essere:
1
r̃A = q
H2 −
(5.36)
k
a2
2,
dove H è il parametro di Hubble. L’area dell’orizzonte è data da A = 4πr̃A
4πr̃2
che da N = L2A bit di informazione.
p
Si suppone che durante un intervallo dt il raggio dell’orizzonte evolve da r̃A
a r̃A + dr̃A , quindi l’area dell’orizzonte evolve come dA = 8πr̃A dr̃A . Si può
calcolare la variazione del numero di bit:
dN =
8πr̃A
dr̃A
L2p
(5.37)
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
92
entropica
~
2πr̃A
Il cambiamento di temperatura TA =
dTA = −
sull’orizzonte è:
~
2 dr̃A
2πr̃A
(5.38)
Dalla legge di equipartizione dell’energia ho che:
1
1
1
dE = d(N T ) = N dTA + TA dN
2
2
2
(5.39)
Sostituendo (5.37) e (5.38) in quest’ultima otteniamo:
dE =
dr̃A
G
(5.40)
Si nota immediatamente che introducendo questo termine nell’equazione
(5.30) per la forza entropica, e ponendo c = 1, si ottiene lo stesso risultato
dell’equazione (5.33). Da qui si nota come partendo da una metrica di FRW
si può cercare di determinare una relazione che mi possa legare il concetto di
gravità come forza entropica, e quindi la pressione negativa che punta verso
l’orizzonte (cioè nella direzione di aumento di entropia), con le osservazioni
che sono in accordo con l’espansione accelerata dell’Universo che notiamo
oggi.
Consideriamo adesso il caso in cui k = 0 (ma un procedimento analogo
vale anche per k 6= 0), dall’equazione (5.36) otteniamo il rate di espansione
dell’orizzonte:
Ḣ
r̃˙A = − 2
(5.41)
H
Combinando le equazioni di Friedmann ricavate nel capitolo 2, la relazione
(5.41) può essere scritta come:
3
r̃˙A = (1 + w)
2
(5.42)
dove w è il parametro che deriva dall’equazione di stato P = wρ.
I precedenti conti sono stati effettuati prendendo in considerazione il fatto
che l’idea base è che l’energia fluisca attraverso l’orizzonte di area A e l’energia E che è racchiusa dall’orizzonte aumenti con il tempo. Vediamo di
dimostrare queste 2 idee.
Queste assunzioni portano al cambiamento di temperatura e del numero
di bit sullo schermo identificati dall’equazione (5.39). Siccome il tensore
energia-impulso della materia nell’Universo è un fluido perfetto, l’energia
che fluisce attraverso l’orizzonte è:
2
3
− dE = 4πr̃A
Tµν k µ k ν dt = 4πr̃A
(ρ + p)Hdt
(5.43)
dove il vettore di Killing è dato da k µ = (1, −Hr, 0, 0).
Per esaminare se l’equazione (5.43) è giusta, abbiamo solo bisogno di prendere in considerazione il fluido molto vicino all’orizzonte; ricordando che
5.2 La pressione negativa causata dalla forza entropica come
possibile spiegazione per l’espansione accelerata dell’Universo 93
l’orizzonte può essere definito come il limite al di sopra del quale il fluido ha
velocità maggiore di quella della luce, otteniamo che la velocità del fluido
vicino all’orizzonte è:
r̃˙f = 1 − (5.44)
dove 0 < 1.
Confrontando (5.42) con (5.44), siamo in grado di capire se l’energia fluisce
attraverso l’orizzonte, cioè:
1 3
1 3
r̃˙A − r̃˙f = + w + ' + w
2 2
2 2
(5.45)
A questo punto due condizioni sono verificate:
1. L’energia fluisce attraverso l’orizzonte
2. L’area dell’orizzonte aumenta
Questo equivale a dire che:
1. r̃˙A − r̃˙f < 0
2. r̃˙A > 0
Dalle equazioni (5.42) e (5.45), le due condizioni sono soddisfatte quando:
−1<w <−
1
3
(5.46)
cioè da valori del parametro di stato in accordo con le osservazioni, che mi
dicono che:
Ḣ
aä
r̃˙A − r̃˙f ' − 2 − 1 = 2 < 0
(5.47)
H
ȧ
ma questo implica ä > 0, ovvero la condizione di Universo in espansione
accelerata che osserviamo oggi.
Si è appena dimostrato come introducendo il concetto di gravità come forza
entropica è possibile dare una spiegazione alternativa all’espansione accelerata dell’Universo, senza dover ricorrere alla componente Λ, semplicemente
facendo vedere come l’olografia e l’entropia sono collegate con l’orizzonte
degli eventi e con la sua evoluzione nel tempo.
I termini di superficie nelle Equazioni di Friedmann
Si è visto nel paragrafo precedente come la forza entropica può causare una
pressione negativa che guida l’espansione dell’Universo. Ma qual’è la componente nelle equazioni di Friedmann che provoca l’espansione accelerata
senza ricorrere alla costante cosmologica?
Si consideri l’azione di Einstein-Hilbert:
Z
I
1
I=
(R + Lm ) +
K
(5.48)
8π ∂M
M
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
94
entropica
dove R è lo scalare di curvatura, M è la varietà, ∂M è il bordo della varietà,
Lm è la lagrangiana del campo e K è la traccia della curvatura intrinseca.
Dall’azione è possibile ottenere le usuali equazioni di Einstein con l’aggiunta
dei cosidetti termini di superficie (T.S.) che si collocano nella parte destra
dell’equazione[50]:
1
8πG
Rµν − Rgµν = 4 Tµν + T.S.
2
c
(5.49)
Di solito questi termini sono trascurabili ma appaiono importanti nel caso
in cui sia presente un orizzonte, come nella nostra discussione. Nel caso di
simmetria sferica e omogeneità questo può portare alle equazioni di Friedmann con l’aggiunta di questi termini, nel modo seguente [per i conti si veda
appendice B ].
Si consideri la seconda parte dell’equazione (5.48) dal momento che ci interessa maggiormente la struttura spazio temporale piuttosto che la lagrangiana del campo[51].
L’energia totale è data dall’Hamiltoniana, che in questo caso non è altro che
l’integrale della curvatura intrinseca:
Z
1
H0 = −
K
(5.50)
8π
e la traccia sarà proporzionale ai termini di superficie che compariranno nelle
equazioni di Friedmann. L’integrale della traccia della curvatura intrinseca
sarà proporzionale a:
H0 ∝ CH H 2 + CḢ Ḣ
(5.51)
Quindi considerando la Relatività Generale si ottengono i termini di superficie con i loro relativi coefficienti:

3
 2π
H 2 ≡ α primo termine di superf icie

3
4π Ḣ
≡ β secondo termine di superf icie
Le equazioni di Friedmann potranno essere scritte nel modo seguente:
 2
 H =

ä
a
8πG
3 ρ
= − 4πG
3
+α+β
ρ + 3p
+α+β
c2
La somma dei 2 termini di superficie (α + β) ha la stessa funzione del termine di costante cosmologica presente nelle equazioni del modello con Dark
Energy. La somma dei termini di superficie però non è costante, ma tende
verso un valore fisso se ci si avvicina al limite di De Sitter.
Da qui la stretta analogia e quindi lo studio dell’espansione accelerata dell’Universo attraverso la gravità come forza entropica.
5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione
accelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria
95
5.3
La forza entropica come possibile spiegazione
per l’espansione accelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria
Fino ad ora si è visto come è possibile dare una spiegazione alternativa all’espansione accelerata dell’Universo senza ricorrere alla costante cosmologica,
ricavando la pressione entropica negativa che permette l’espansione e i termini di superficie nelle equazioni di Friedmann che mi danno l’accelerazione.
Nella storia dell’Universo c’è stata un’altra epoca in cui si suppone ci sia
stata un’espansione accelerata di gran lunga maggiore di quella odierna,
chiamata Inflazione.
Si cercherà ora di ricavare una pressione entropica negativa analoga alla
precedente che potrebbe guidare l’epoca inflazionaria, in cui vi è incluso un
termine che deriva da una correzione quantistica al primo ordine sull’entropia (5.27). Il passo finale sarà quello di ricavare questo termine cercando di
dare un valore teorico allla correzione sull’entropia che dipenderà dai gradi
di libertà.
Considero l’entropia:
SH =
kB c3 A
kB c3
2
=
πRH
' (2.6 ± 0.3) × 10122 kB
~G 4
~G
(5.52)
Il termine correttivo tiene conto del numero di modi in cui l’informazione può
essere codificata sulla superficie dello schermo (orizzonte). Questo termine
è analogo a quello che può essere ricavato in Teoria delle Stringhe e in Loop
Quantum Gravity; infatti in questi casi la correzione al primo ordine sarà
nella forma:
A
l2 A
pl
S = 2 + ρ ln 2 + O
(5.53)
A
4lpl
lpl
2 = ~G è il quadrato della lunghezza di Planck.
dove lpl
c3
Nel nostro caso si consideri la formula di Boltzmann:
S = kB ln W
(5.54)
dove W è il numero di microstati che producono lo stesso macrostato, che
in questo caso è il numero di modi in cui la stessa informazione può essere
memorizzata sulla superficie.
Si può stimare il numero di microstati W considerando che ci sono N = AApl
“posti” per l’ informazione sullo schermo e che il numero possibile di bit
di informazione deve essere di tot. volte il numero di “posti” N . Ci si
aspetterebbe un numero dell’ordine di 2 bit disponibili per ogni “posto” N
dandoci:
2N !
W =
(5.55)
[(N + 1)!N !]
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
96
entropica
che non è altro che il numero di modi in cui 2 bit possono essere situati in
N “posti”. Questo mi da:
A A
1
S = kB
ln 2 + C ln
(5.56)
Apl
2
Apl
utilizzando l’approssimazione di Stirling, ottenendo cosı̀ il termine correttivo
nella forma gkB ln AApl . A questo punto la nuova forma dell’entropia sarà:
SH =
A k c3 A
A kB A
B
+ gkB ln
=
+ gkB ln
4 Apl
Apl
G~ 4
Apl
(5.57)
Il fattore g include il numero effettivo dei gradi di libertà indipendenti, dato
che l’entropia sarà la somma su ogni grado di libertà. Il termine g sarà
quello che dovrà essere ricavato e poi sostituito nell’equazione (5.57) ed è
quello che dovrà comparire nella pressione entropica che guida l’inflazione.
5.3.1
La pressione entropica negativa che guida l’inflazione
Fino ad ora si è visto come l’accelerazione è guidata da un termine di superficie aggiuntivo nell’equazioni di Einstien, che viene fuori dal concetto di
schermo olografico studiato in questo lavoro di tesi.
Considerando l’equazione (5.52) e l’inclusione del termine correttivo che
compare in (5.57), incrementando il raggio RH di dr e l’entropia di un valore
dSH ottengo:
dSH
kB c3 dA
1 dA kB c3
gkB 2 dA
=
+ gkB
=
+
H
(5.58)
dr
4G~ dr
A dr
4G~
4πc2
dr
2 e R = cH −1 . Questo darà un altro termine nell’equazione:
dove A = 4πRH
H
ä
4πG 3p =−
ρ+ 2 +α+β+γ
(5.59)
a
3
c
dove γ = πg H 4 , mentre α e β sono gli stessi calcolati precedentemente.
Questo termine aggiuntivo può essere inserito nell’equazione di Friedmann
nel modo seguente:
ä
4πG 3p =−
ρ + 2 + H 2 + kH 4
a
3
c
(5.60)
4πG 3p g H2 =−
ρ + 2 + H2 1 +
2
3
c
π Hpl
dove k =
4G~ g
c3 4πc2
=
g
2
πHpl
e Hpl =
c
lpl .
Una volta scritta la variazione di entropia con il termine correttivo si può
ricavare la forza entropica anche nel caso inflazionario:
Fe = −
dE
dS
dSH
= −T
= −Tβ
dr
dr
dr
(5.61)
5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione
accelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria
97
Inserendo (5.31) e (5.58) in quest’ultima, si ha:
Fe = −
c4 g H2 1+
G
π Hpl
(5.62)
dove il segno negativo indica, come nel caso analizzato nel paragrafo 5.2.2,
che la forza punta in direzione dell’aumento di entropia cioè in direzione
dello schermo.
La pressione entropica allora si ricava direttamente scrivendo:
Fe
c2 H 2 1 c4 g H2 g H2 =
−
=−
1+
1
+
2
2
A
AG
π Hpl
4πG
π Hpl
2
g H2 = − ρc c2 1 +
2
3
π Hpl
Pe =
(5.63)
Quest’ultima può essere scritta anche utilizzando la densità di energia critica
attuale ρ0c :
2
g H2 2
2
g H4 2 H
Pe = − ρc c2 1 +
=
−
ρ
c
+
0c
2
2
3
π Hpl
3
H02 π H02 Hpl
| {z }
(5.64)
§
Questa è la pressione entropica che guida l’inflazione nel modello di gravità
entropica.
A piccoli valori di H il valore della pressione è vicino al valore della costante
cosmologica misurata correntemente, e il termine § può essere trascurato,
riottenendo cosi l’equazione (5.34). Analogamente al caso discusso nel paragrafo 5.2.2, la tensione in direzione dello schermo olografico non viene dalla
pressione negativa della Dark Energy, ma dalla tensione entropica dovuta
all’informazione contenuta sulla superficie dello schermo.
A grandi valori di H, come nel periodo inflazionario, il termine § è molto
importante e permette una correzione nel valore della pressione entropica
che potrebbe guidare l’espansione inflazionaria.
A questo punto la cosa che rimane da fare è trovare il valore del termine da
inserire poi nella formula dell’entropia (5.57)
5.3.2
Calcolo del numero effettivo dei gradi di libertà e del
valore della correzione sull’entropia
Per cominciare, si consideri il caso in cui il fattore di scala a è piccolo e il
rate di espansione H è molto veloce. Considero l’equazione:
H 2 (1 − CH ) − CḢ Ḣ =
8πG
ρ
3
(5.65)
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
98
entropica
dove CH =
3
2π
e CḢ =
3
4π .
Si può riscrivere la (5.59) nel modo seguente:
g H4
ä
4πG 3p =−
ρ + 2 + CH H 2 + CḢ Ḣ +
2
a
3
c
π Hpl
e raggruppare meglio i termini considerando anche che
H 2 (1 − CH ) + Ḣ(1 − CḢ ) = −
ä
a
(5.66)
= H 2 + Ḣ:
4πG 3p g H 4
ρ+ 2 +
2
3
c
π Hpl
(5.67)
Combinando l’equazione (5.66) con l’equazione:
8πG
ρ + CH H 2 + CḢ Ḣ
3
(5.68)
p g H4
Ḣ = −4πG ρ + 2 +
2
c
π Hpl
(5.69)
H2 =
si ottiene:
Se Ḣ = 0 si ha una fase di espansione accelerata di De Sitter e il fattore di
scala sarà a(t) = a(t0 )eH(t−t0 ) .
L’equazione precedente diviene:
p g H4
4πG ρ + 2 =
2
c
π Hpl
(5.70)
e nel caso di alte energie relativistiche (w = 13 ) diviene:
p
16πG
4πG ρ + 2 = 4πGρ(1 + w) −→
ρ
c
3
(5.71)
A questo punto posso legare il numero effettivo dei gradi di libertà con la
densità di energia nel caso relativistico:
16πG
g H4
ρ
2 =
π Hpl
3
(5.72)
Finchè ci troviamo nel regime in cui il tasso di espansione H è grande e
sostanzialmente costante, la densità dell’Universo è costante, piuttosto che
scalare come a−4 (t). Si comporta in modo molto simile ad una costante
cosmologica con la sua densità indipendente dal volume comovente.
E’ da notare come in questo caso è la radiazione termica della temperatura
dell’orizzonte che riscalda lo spazio interno e fornisce la densità di energia
seguente:
G(T )u(T )
(5.73)
ρ=
c2
5.3 La forza entropica come possibile spiegazione per l’espansione
accelerata dell’Universo durante l’epoca inflazionaria
99
dove u(T ) è la densità di energia. Dalla termodinamica è nota la relazione
che mi lega u(T ) con l’energia irradiata per unità di superficie per unità di
tempo U (T ):
4
u(T ) = U (T )
(5.74)
c
ma U (T ) non è altro che la legge di Stefan-Boltzmann, U (T ) = σT 4 . Inserendo la legge di Stefan-Boltzmann in (5.74) e quest’ultima in (5.73) si
ottiene:
4
u(T ) = G(T ) σT 4
(5.75)
c
dove G(T ) è il numero effettivo dei gradi di libertà ad una certa temperatura
T . Considerando l’equazione (5.72) e sostituendo sia il valore della densità
di energia che dipende da G(T ), sia la temperatura dell’orizzonte si ottiene:
~H 4
16πG
16πG
g H4
4
=
=
G(T
)4σT
G(T
)4σ
(5.76)
β
2
π Hpl
3c3
3c3
2πkB
A questo punto semplificando si può ricavare il valore di g da inserire poi
nell’equazione dell’entropia con il termine correttivo logaritmico che caratterizza il periodo inflazionario.
Semplificando l’equazione precedente si ottiene:
~ 4
g
16πG
=
G(T
)4σ
2
3
2πkB
πHpl
4 π 2 kB
16πG
~ 4
=
G(T
)4
3c3
60~3 c2 2πkB
G~
(5.77)
= G(T )
45πc5
Apl
= G(T )
45πc2
G(T )
=
2
45πHpl
cioè:
g
G(T )
=
2
2
πHpl
45πHpl
(5.78)
e da cui si ottiene il valore del numero dei gradi di libertà indipendenti,
che sono proporzionali al numero dei gradi di libertà effettivi ad una data
temperatura T:
G(T )
g=
oppure G(T ) = 45g
(5.79)
45
Inserendo tale valore nella formula dell’entropia (5.57), si ottiene la correzione logaritmica che dipende dai gradi di libertà effettivi:
A kB c3 A G(T )
SH =
+
kB ln
(5.80)
G~ 4
45
Apl
L’entropia dell’Universo e il suo legame con la gravità come forza
100
entropica
Con T si è indicata la temperatura legata al:
• Numero dei gradi di libertà effettivi della sottostruttura dello SpazioTempo.
Quindi la correzione logaritmica dipende dai gradi di libertà che vivono sull’orizzonte assunto come schermo olografico.
Da notare che quando la correzione logaritmica è assente, non vuol dire che
g = 0, ma semplicemente che essa è trascurabile, ovvero non siamo in regimi
di gravità quantistica.
Il caso in cui g = 0 (o G(T ) = 0) non si può mai verificare perchè significherebbe avere entropia nulla e quindi, in base al teorema di Nerst1 , temperatura nulla; in contrasto con il fatto che per avere una forza entropica e di
conseguenza una pressione entropica negativa che permette all’universo di
espandersi si deve avere una temperatura T ≥ Tβ 2 .
1
Questo teorema, chiamato anche terzo principio della termodinamica, afferma che
serve una quantità di energia infinita per raffreddare un corpo fino allo zero assoluto. Il
raggiungimento dello zero assoluto è contrario all’aumento di entropia nei sistemi isolati.
Lo zero assoluto non può essere raggiunto nè teoricamente nè praticamente perchè sarebbe
in contrasto con il principio di indeterminazione di Heisenberg.
2
Nel nostro caso nella terza legge della termodinamica la nozione di zero assoluto
(T = 0) deve essere rimpiazzata con T ≥ Tβ
Conclusioni
In questo lavoro di tesi si è cercato di capire come la gravità possa essere intesa come forza entropica ed emergente dalle proprietà dello Spazio-Tempo,
e tale interpretazione, studiata assieme alla teoria olografica, ha consentito
di fornire una possibile spiegazione all’espansione accelerata dell’Universo;
sia all’epoca attuale che durante l’inflazione.
Per prima cosa si è cercato di analizzare come l’entropia possa partecipare attivamente alla descrizione del principio olografico, partendo dal suo
concetto classico, fino ad arrivare al legame con l’entropia dei buchi neri.
Successivamente si è studiato come l’informazione possa essere codificata
sullo schermo olografico, il che corrisponde a una caratteristica particolare:
studiare la fisica della superficie olografica equivale a studiare la fisica del
volume in essa racchiuso.
Sostanzialmente gli ingredienti chiave su cui ci si è basati sono stati:
• Lo spazio è emergente, la parte di spazio che non è ancora emersa è racchiusa da uno schermo olografico e l’entropia è proporzionale all’area
della superficie dello schermo.
• La gravità è una forza entropica come qualsiasi altra forza generalizzata collegata alla prima legge della termodinamica. Più concretamente,
la gravità è causata dal cambiamento di entropia (dovuto allo spazio
emergente) sullo schermo olografico .
Infine, ma non per questo di minore importanza, si è visto come la gravità intesa come forza entropica e l’olografia possano dare una visione differente del
mondo che ci circonda. In particolare, esse potrebbero dare una spiegazione
alternativa a quell’espansione accelerata osservata attualmente e avvenuta,
si ipotizza anche durante il periodo inflazionario, considerando che il legame
tra la termodinamica statistica e l’olografia è giustificato dal fatto che sulla superficie dello schermo olografico sono memorizzati bit di informazione
caratterizzati da determinati stati microscopici, e questi stati sono legati a
correzioni di tipo quantistico sull’entropia.
101
Appendice A
Distanze e orizzonti in
Cosmologia
• Distanza propria e legge di Hubble: La distanza propria percorsa
dalla luce è per definizione:
Z r
a(t)
√
dp (t) =
dr0
(A.1)
02
1 − kr
0
Siccome è sempre possibile scegliere un sistema di coordinate per cui
dϑ = 0 e dϕ = 0, la parte angolare viene ignorata. La formula (A.1)
fornisce la distanza di un punto posto alla coordinata comovente r. A
seconda della geometria si trova:
dp (t) = a(t)f (r)
(A.2)
dove f (r), una volta risolto l’integrale, diviene:

arcsin r
k=1





r
k=0
f (r) =



 arcsinh r
k = −1

Quindi la dipendenza temporale è solo in a(t) e qualunque sia la varietà
spaziale dell’Universo, la velocità di recessione di un punto dovuta
all’espansione cosmica è:
v(t) =
dove
ȧ(t)
a(t)
d
ȧ(t)
dp (t) = ȧ(t)f (r) =
dp (t)
dt
a(t)
(A.3)
≡ H(t) è il parametro di Hubble. Quindi si può scrivere:
v(t) = H(t)dp (t)
103
(A.4)
104
Distanze e orizzonti in Cosmologia
che al tempo presente t0 diviene:
v(t) = H0 dp
(A.5)
dove H0 è la costante di Hubble. Quest’ultima relazione è nota come
legge di Hubble, e dal momento che non dipende dalle coordinate, essa
è la stessa in ogni punto dell’Universo.
• Distanza comovente: La distanza comovente è la distanza tra due
punti nello spazio in coordinate comoventi, ad un singolo tempo cosmico.
• Volume comovente: E’ il volume all’interno del quale la densità
degli oggetti rimane costante nel tempo. Esso è definito dall’integrale:
Z Z Z
dV
(A.6)
V (z, Ω) =
∆z
Ω
Il volume comovente corrisponde al volume dell’Universo osservabile
oggi.
• Orizzonte delle particelle: Dato un insieme di punti ed un osservatore, si definisce orizzonte delle particelle (Rp ), la massima distanza propria dei punti in connessione causale con l’osservatore stesso.
Poichè la massima distanza propria viene raggiunta muovendosi alla
velocità della luce, quindi percorrendo una geodetica nulla ds2 = 0, si
ha:
Z r
Z t
dr0
cdt0
p
Rp (t) ≡ a(t)
(A.7)
= a(t)
0
(1 − kr02 )
0
0 a(t )
Se Rp (t) è finito, non tutte le particelle possono essere in connessione
causale con l’osservatore. L’espressione in funzione del tempo cosmico
e del parametro di stato w per l’orizzonte delle particelle nel caso di
Universi piatti e a singola componente è la seguente:
Rp (t) = 3
1+w
ct
1 + 3w
(A.8)
• Orizzonte cosmologico: l’orizzonte cosmologico, chiamato anche
orizzonte degli eventi cosmico rappresenta, in ogni istante t, la distanza dall’osservatore alla quale è giunto un punto che si è mosso con
velocità c per un tempo pari al tempo tipico dell’espansione cosmica
τH (t) = H −1 (t):
c
RH (t) = cτH (t) =
(A.9)
H(t)
La differenza tra Rp e RH consiste nel fatto che RH è una misura puntuale di ciò che vediamo in un dato istante e non considera interazioni
105
e/o connessioni causali tra le particelle, mentre Rp ne tiene conto.
Una volta entrati nell’orizzonte delle particelle di un osservatore, non si
può più uscirne: esso è legato all’intera storia passata di quell’osservatore e uscire da Rp significherebbe cancellare la precedente connessione
cusale. L’espressione in funzione del tempo cosmico e del parametro
di stato w per l’orizzonte cosmologico è la seguente:
3
RH (t) = (1 + w)ct
2
(A.10)
Appendice B
Calcolo dei coefficienti dei
termini di superficie
In questa appendice verrà mostrato il procedimento per ottenere i valori dei
termini di superficie utilizzati nella trattazione della pressione entropica sia
nel caso attuale, sia nel caso del periodo inflazionario.
L’accelerazione H 2 è tale che la variazione di potenziale dal centro verso
l’orizzonte dall’accelerazione è costante. L’accelerazione fisica è af is = är,
per un’accelerazione H 2 del fattore di scala, e quindi si ha un’accelerazione
fisica linearmente crescente verso l’orizzonte. Integrando da r = 0 al raggio
di Hubble ho un potenziale negativo:
Z dH
Z dH
1
aCH H 2 r(adr) = − CH H 2 (adH )2
är(adr) = −
∆ΦH 2 = −
2
0
0
1
2
= − CH H 2 R H
2
(B.1)
Il valore del potenziale dipende dal coefficiente CH , per il termine H 2 . Allo
stesso modo per il termine Ḣ:
Z dH
1
1
2
∆ΦḢ = −
aCḢ Ḣr(adr) = − CḢ Ḣ(adH )2 = − CḢ ḢRH
(B.2)
2
2
0
La forza entropica è relazionata alla massa-energia racchiusa nell’orizzonte,
che è quella che ci aspettiamo per il contenuto di energia immagazzinata
sullo schermo olografico come informazione. L’assunzione che l’Universo sia
omogeneo e isotropo, mi può far capire in linea teorica che l’informazione
sullo schermo è in realtà l’informazione che è al difuori dello schermo, che
risulta in media la stessa all’interno dello schermo. In questo modo l’accelerazione entropica risulta come un’enegia costante all’interno dell’orizzonte.
Quando si ha una massa-energia all’interno dell’orizzonte, si ha un cambiamento di H nel tempo, quindi anche un cambiamento dell’orizzonte stesso
107
108
Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie
e dell’informazione codificata su di esso.
Nelle equazioni di Friedmann si aggiunge un termine costante, esattamente
come succede con il termine Λ nel caso “standard”, per una data dimensione
dell’orizzonte, e il valore di questo termine cambia quando H cambia.
A questo punto considerando l’espressione per l’energia totale di una particella di test che si avvicina all’orizzonte di Hubble dal centro risulta essere:
1
4πG 2
2
Etot = H 2 RH
−
ρRH + ∆ΦH 2 + ∆ΦḢ
(B.3)
2
3
cioè:
1
4πG 2
1
1
2
2
2
Etot = H 2 RH
−
ρRH − CH H 2 RH
− CḢ ḢRH
(B.4)
2
3
2
2
Dividendo tutto per
superficie:
H2 −
2
RH
2
ottengo l’equazione di Friedmann con i termini di
8πG
2
ρ − CH H 2 − CḢ Ḣ = 2 Etot ∼ 0
3
RH
(B.5)
Adesso considero l’energia totale come l’hamiltoniana, per calcolare i valori
di CH e CḢ . L’integrale della curvatura intrinseca è l’energia totale:
Z
1
H0 = −
K
(B.6)
8π
2
+Ḣ)
, quindi
la traccia della curvatura intrinseca sarà dell’ordine di −6(2H
8π
l’integrale della traccia della curvatura intrinseca sarà approssimativamente:
H0 =
6(2H 2 + Ḣ)
2
4πa2 RH
8π × 8π
(B.7)
che riscritta meglio dà:
3
2
(2H 2 + Ḣ)a2 RH
(B.8)
8π
Considerando che l’hamiltoniana non è altro che l’energia totale, riprendendo l’equazione (B.5), e ricordando che nel caso standard delle equazioni di
Friedmann i termini di superficie non ci sono, ho che:
H0 =
H2 −
8πG
1 2
ρ = 2 2 Etot
3
a RH
(B.9)
Sostituendo la (B.8) si ottiene:
H2 −
2
a2 RH
8πG
1 2 3
ρ= 2 2
(2H 2 + Ḣ)
3
a RH 4π
2
(B.10)
Semplificando si ottiene l’equazione di Friedmann con i termini di superficie:
H2 =
e quindi i coefficienti sono:
8πG
3 2
3
ρ+
H +
Ḣ
3
2π
4π
(B.11)
109

 CH =
3
2π
 C =
Ḣ
3
4π
Ringraziamenti
Finalmente è finita!!! Dopo tanti anni impegnato a studiare sono giunto alla
conclusione del mio lavoro di tesi.
Molte persone di solito scrivono dei ringraziamenti brevi ma io invece voglio
andare controcorrente; cercherò di scrivere il più possibile ahahahah.
La prima persona che ringrazio è il mio relatore, il prof. Francesco Ravanini,
che mi ha trasmesso la passione per la Relatività e permesso di poter scrivere la tesi sulla materia che più di ogni altra mi aveva sempre affascinato.
Di sicuro senza le sue lezioni divertenti, senza il “suo humor”, senza le sue
lavagnate di conti che almeno le prime volte sembravano assurdi lo studio di
questa materia non sarebbe stato lo stesso. A lui va un sentito Grazie per
tutto il tempo speso a darmi consigli, fare le dovure correzioni, specialmente
in un paio di occasioni in cui invece di usare la lettera “c” avevo usato la
lettera “k” in stile facebook (che risate quando l’ho scoperto). Sono sempre convinto che la bravura di un prof. sia sempre quella di trasmettere il
proprio interesse verso la propria materia, oltre che ovviamente conoscerla
in maniera profonda. Per questo credo che il prof. Ravanini sia uno dei
migliori che io abbia mai avuto in tanti anni di Università; lo ringrazierò
sempre. Spero che i suoi prossimi studenti possano avere la fortuna che ho
avuto io.
Eccoci qui adesso ai dovuti ringraziamenti per i cosiddetti soggetti grezzi.
Visto che non vorrei dare preferenze a nessuno di loro, preferisco indicarli
in ordine alfabetico e se qualcuno avesse da ridire non c’è problema, viene
da me e ne parliamo, con relativa testata finale però(munito rigorosamente
di infradito) ahahahahah.
Pietro Bontempi : eccolo qui, è lui, il famigerato grezzo supremo, con
poteri simili al supremo di Dragon Ball. Credo che la saggezza e la tempestività di riuscire a dire grezzate quando meno te l’aspetti sia una delle
sue caratteristiche migliori. Son rimasto scioccato anche io migliaia di volte,
però devo ammettere che le giornate erano super divertenti in sua compagnia; praticamente è una delle persone con cui ho stretto per primo un
rapporto di amicizia dall’inizio dell’Università e ci siamo fatti delle grasse
risate ovunque. Son riuscito a portargli anche sfiga pochi giorni dopo la sua
laurea, quando il suo Mac lo ha definitivamente abbandonato; immagino
solo le maledizioni che mi ha mandato. Speriamo di poterci fare ancora una
111
112
Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie
bella chiacchierata, con annesse grezzaggini sulle gazzelle ahahahahha.
Roberto Iaconi : ormai per tutti noi è il canguro italiano. Beato lui che è
andato in Australia a cercar miglior fortuna, però per tutto il tempo che è
stato con noi sono riuscito a capire quanto una persona possa essere grezza.
Lui e l’amico Pietro mi hanno indirizzato su una strada malvagia, cioè quella dell’essere grezzi doc; io che son sempre stato un agnellino ahahahahaha.
Mi son trovato davvero bene con lui, almeno le giornate in dipartimento son
state movimentate, specialmente nelle svariate occasioni in cui ascoltando
musica rock o metal si metteva a cantare disturbando il resto degli abitanti
dell’aula, con annessi insulti benevoli da parte nostra. Non dimenticherò
mai le serate passate al pub a bere una birretta in compagnia del King per
cercare di dare a quest’ultimo numerosi consigli sul gentil sesso. Per fortuna
prima di partire sei riuscito a registrare sul tuo pc il mio marchio di fabbrica,
cosi quando ascolterai ti ricorderai delle giornate in nostra compagnia.
Irene Madore: conosciuta come la tossica della curva (visto che tifa Bologna, poveri noi......), l’amica con cui ho condiviso le esperienze più belle,
dalla giornata al radiotelescopio di Medicina fino alla settimana a Loiano
per i laboratori, per di più aver condiviso la stessa camera è stato troppo
divertente. Romperle le scatole era la cosa più bella, non si riusciva a farne
a meno, sembrava di giocare con un pupazzo, e più reagiva più io continuavo
a romperle. Devo dire che ho conosciuto poche persone che hanno la sua
vivacità, ma per questo mi son sempre trovato bene coon lei; anche tutte
le volte che sono andato a casa sua per studiare insieme esami come AGN,
Cimatti o Relatività. Una delle mie migliori amiche. Ti ricordo: prima o
poi il Bologna tornerà in serie B, ahahahahaha.
Alessandro Maini : THE KING, l’unica parola plausibile per questo personaggio losco e sempre concentrato nello studio. Lo ringrazio per tutti i
mesi passati a dire cavolate e a cercare di dargli consigli su cose particolari e di importanza fondamentale :D. Non ho mai conosciuto una persona
cosı̀ meticolosa nel cercare di apprendere le varie problematiche di qualsiasi
materia di studio, ma non solo, anche di cose che riguardano il mondo e
l’informazione in generale. La cosa che mi ha scioccato di più è vedere le
migliaia di paranoie assurde della sua testa, che vanno dal bere l’acqua in
bottiglia rigorosamente di vetro in modalità cornucopia, fino a mettere il
computer nella valigia senza usare la sua naturale custodia, cosı̀ in tal modo
il computer subisce meno vibrazioni; ma ne potrei elencare altre centinaia.
Maini ricorda: meno paranoie e vedrai che le gazzelle verranno numerose.
Serena Manti : la persona che mi è stata sempre vicina nelle situazioni di
sconforto, ma la sua presenza mi ha aiutato a superare anche momenti in
cui non sapevo cosa fare e come andare avanti (per il lavoro di tesi). Anche
durante il perido di esami, fino ad Aprile mi ha sempre incitato a dare il
meglio, sapendo comunque di aver fatto sempre il massimo per preparare un
esame. La ringrazierò sempre perchè mi è stata vicina, non potevo chiedere
persona migliore. Ti voglio bene.
113
Antonino Marasco: il compagno di combriccola del King e suo fedele
coinquilino (anche se devo ammettere che non riesco ancora a capire come
faccia a resistere a tutte le sue paranoie). Sicuramente è la persona che
più ha capito quanto sia illuminante essere grezzi con classe, poche parole
ma piene di poteri mistici sull’essere grezzi, anche con il semplice sguardo.
Splendida la creazione del mio personaggio wrestler all’ xbox, con tanto di
camicia hawaiana, catenone d’oro e rigorose infradito rosse; il tutto condito
con la mitica mossa finale della craniata sul lobo oculare, quante risate la
prima volta che vidi il mio personaggio. Visto che alla fine il sidro di mele
è davvero buono???? SIDRO RULE!!
Andrea Negri : sicuramente è una delle persone che più mi ha aiutato nel
cercare di comprendere i numerosi errori che facevo a suo tempo (e continuo
a fare) con Latex. Immagino si sia più volte scioccato nel vedere le porcherie
che facevo con il mio codice sorgente, lui che è un luminare dei codici. Non
scorderò mai quei maledetti giorni di Novembre a preparare l’esame del prof.
Ciotti, ma soprattutto i fenomenali polinomi di Gegenbauer che Andrea si
ostinava imperterrito a gufarmi per l’esame. Poi purtroppo a me è andata
bene e al povero Pietro son capitati proprio quelli ahahahahha. Ricorda Andrea, al prossimo Lucca Comix voglio venire anche io, le donzelle aspettano
:D.
Cristina Pallanca: una delle persone con il viso più divertente che abbia
mai conosciuto, è un mix tra morbidezza e giovialità. La ringrazierò sempre
per tutte le volte che mi ha detto di non preoccuparmi per un esame e di
non essere teso. Lei è un’altra di quelle persone che fa parte della ristretta
cerchia delle grezze doc; quando meno te l’aspetti ecco una grezzata di livello
mondiale che solo persone come me, Roberto o Pietro potrebbero eguagliare
o superare. Anche se è da un pò che non è più in aula con noi, visto la sua
promozione a grado di dottoranda rimane sempre una delle persona con cui
ho avuto (ed ho) il piacere di parlare, fare battute e ridere. Una sola cosa:
basta urlare MIAAAAAAA a pallavolo, mi rompi i timpani :D.
Sara Rastello: tamburello!!!!!!! Anche se la conosco da appena un anno
è una delle persone con cui ho stretto un gran rapporto di amicizia. La
ringrazierò sempre per le numerose giornate di Gennaio e Febbraio, mentre
preparavo l’esame di Cimatti, per avermi tenuto compagnia fino alle 9 di
sera, visto che anche lei preparava un esame. Per fortuna in quelle giornate
passate in aula (diciamo serate visto che faceva notte alle 5 praticamente)
c’era qualcuno a cui poter tirare i pizzicotti, salvo poi prendersi in prestito il
mio cappello per dispetto, allargandomelo a dismisura, vero TESTA TONDA?????? Mi son sempre fatto delle immense risate in sua compagnia, è
una persona che trasmette vivacità e non smetterò mai di essere suo amico.
A proposito: Se non passi a salutare in aula raccomandati sono botte botte
:D.
Caterina Tiburzi : la persona più sfortunata con i pc. Mi ha fatto davvero
piacere condividere le giornate di preparazione alla tesi con lei, spesso ho
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Calcolo dei coefficienti dei termini di superficie
cercato di tirarla su moralmente in numerose occasioni di sconforto biblico,
specialmente per quanto riguarda i problemi avuti con quella macchina oscena chiamata “phantom”. E’ una delle persone con la più alta percentuale di
grezzaggine che io abbia mai conosciuto, però la sua è una grezzaggine con
classe :). Una cosa scandalosa è l’aver scoperto nel suo armadietto i famigerati biscotti senza zucchero, un abominio senza precedenti; oltre al fatto
di avere praticamente una succursale della coop al suo interno. Grazie per
le giornate passate a ridere e scherzare per cercare di allentare la tensione
dovuta alla preparazione della tesi. Ricorda sempre: “you are crude with
class”.
Gaia Vincenti : forse la persona che più mi ha odiato in tutto il periodo
della scrittura della tesi (sia mia che sua). Non passava giorno che io non
cercassi di portarle sfortuna, sia per il pc, sia per il giorno della discussione
di laurea; ogni volta il suo sguardo minaccioso mi incrociava e al tempo
stesso cercavo di concentrarmi il più possibile per cercare con i miei poteri di portarle una qualche sfortuna, ma è rimasta una delle poche persone
immuni da tale forza mentale. Tra poco finalmente sarò anch’io laureato, e
non potrai più bullarti davanti a me.
Voglio anticipatamente scusarmi con le seguenti persone se non ho fatto una
descrizione anche per loro, ma il tempo era poco e le pagine da riempire
sarebbero state troppe. Comunque ringrazio anche Alice, Fernanda, Francesca, Rocco, Matteo, Loredana, Maria Grazia,Ivan, Alessandro, Davide,
Carmelo.
Grazie a tutti per questi anni meravigliosi.
Infine vi chiederete: ma i genitori non li ringrazi??? Certo, però la dedica
all’inizio vale più di mille parole.
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