Equazioni e disequazioni

EQUAZIONI
• Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una
variabile reale
• Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni
eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla
variabile
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
• La variabile è detta incognita dell’equazione
1
SOLUZIONI
• I particolari valori di x per cui questa è verificata
sono detti soluzioni dell’equazione
• Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei
domini delle due funzioni.
• Una equazione che ammette come soluzione ogni
valore di x per il quale le due espressioni non
perdono di significato si dice equazione
indeterminata o identità in x.
• Una equazione per la quale non esistono soluzioni si
dice equazione impossibile
• Equazione possibile quando esiste un numero finito
di valori di x che la soddisfano
2
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni
equazione del tipo:
𝑎𝑎 + 𝑏 = 0
con a, b coefficienti numerici , a ≠ 0.
• Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e
si divide per il coefficiente di x:
𝑎𝑎 = −𝑏
(𝑎𝑎)
𝑏
=−
𝑎
𝑎
da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:
Esempio:
𝑥 = −𝑏/𝑎
2x - 3 = 0
2x = 3
3
𝑥 =
2
3
EQUAZIONI DI 2o GRADO
• Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x
ogni equazione del tipo:
𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0
con 𝑎, 𝑏, 𝑐 coefficienti numerici e 𝑎 ≠ 0.
SPURIA:
PURA:
𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 = 0
𝑥(𝑎 𝑥 + 𝑏) = 0
𝑥1 = 0 𝑥 2 = − 𝑏 / 𝑎
𝑎 𝑥2 + 𝑐 = 0
𝑥=±
𝑐
−
𝑎
4
COMPLETA
𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0
Δ>0
2 soluzioni reali e diverse
Δ=0
2 soluzioni reali e coincidenti
𝑥1,2
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑎
=
2𝑎
𝑏
𝑥=−
2𝑎
Δ<0
nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni
appartengono all’insieme dei numeri complessi)
5
ESEMPIO
2𝑥 2 = −7𝑥 − 3
∆= 49 − 24 > 0
𝑥1,2
𝑥1 =
−7 ± 5
=
4
1
−
2
𝑥2 = −3
6
ESEMPI
25𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 0
∆= 100 − 100 = 0
10
1
𝑥1,2 = −
=−
50
5
𝑥2 − 3 𝑥 + 8 = 0
∆= 9 − 32 < 0
non ha soluzioni in R.
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RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E
LE SOLUZIONI
𝑏
𝑎
𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐 = 0
𝑐
𝑎
𝑥2 + 𝑥 + = 0
𝑥 2 − 𝑠𝑠 + 𝑝 = 0
−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑎 −𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑎
2𝑏
𝑏
𝑠 = 𝑥1 + 𝑥2 =
+
=−
=−
2𝑎
2𝑎
2𝑎
𝑎
−𝑏 + 𝑏 2 − 4𝑎𝑎 −𝑏 − 𝑏 2 − 4𝑎𝑎 𝑏 2 − 𝑏 2 + 4𝑎𝑎 𝑐
𝑝 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 =
⋅
=
=
2𝑎
2𝑎
4𝑎2
𝑎
𝑠=
𝑏
−
𝑎
𝑝=
𝑐
𝑎
8
ESERCIZI
• Determinare i due numeri la cui somma sia
𝑠 = −4 ed il cui prodotto sia 𝑝 = −5:
assumendo 𝑎 = 1 si ottiene 𝑥2 + 4 𝑥 − 5 = 0
𝑥1 = 1 𝑥2 = −5
• Determinare a meno di un coefficiente di
proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui
soluzioni hanno per somma e prodotto i valori
3
1
𝑠=−
𝑝=−
10
10
𝑥2
3
1
+
𝑥−
=0
10
10
9
FATTORIZZAZIONE
𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 + 𝑐 = 0
1) se ∆> 0 → 𝑎 · 𝑥 − 𝑥1 · 𝑥 − 𝑥2 = 0
2) se ∆= 0 → 𝑎 · 𝑥 − 𝑥1 2 = 0
3) se ∆< 0 𝑛𝑛𝑛 è 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑅
10
IL SEGNO DEL TRINOMIO
«Il Polinomio di secondo grado 𝑝2 𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑏 + 𝑐
assume valori che hanno lo stesso segno del coefficiente 𝑎
del termine 𝑥 2 all’esterno dell’intervallo delle radici. Il
polinomio assume valori che hanno segno opposto rispetto
al coefficiente 𝑎 del termine 𝑥 2 all’interno dell’intervallo
delle radici»
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IL SEGNO DEL TRINOMIO
𝐶𝐶𝐶𝐶 1: (𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑥1 ≠ 𝑥2 )
𝑝2 (𝑥1 ) = 0
𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑝2 (𝑥)) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
𝑥1
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑝2 𝑥
𝑝2 (𝑥2 ) = 0
𝑥2
= −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑝2 (𝑥)) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
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IL SEGNO DEL TRINOMIO
𝐶𝐶𝐶𝐶 2: (𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑥1 = 𝑥2 )
𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑝2 (𝑥)) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
𝑝2 (𝑥1 ) = 𝑝2 (𝑥2 ) = 0
𝑥1 = 𝑥2
𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑝2 (𝑥)) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
13
IL SEGNO DEL TRINOMIO
𝐶𝐶𝐶𝐶 3: (𝑥1 , 𝑥2 ∉ 𝑅)
𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑝2 (𝑥)) = 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎
14
DISEQUAZIONI
• Si dice disequazione una disuguaglianza tra due
funzioni eventualmente verificata per particolari
valori attribuiti alla variabile che vi compare:
𝑓 𝑥 >𝑔 𝑥
𝑓 𝑥 ≥𝑔 𝑥
𝑓 𝑥 < 𝑔 𝑥
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
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SOLUZIONI
• Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:
𝐼 = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
• Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme 𝐼 verifica la
disequazione
(ex: 𝑥 < 1)
• Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme 𝐼 verificano la
disequazione
(ex: 𝑥2 + 1 > 0)
• Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione
(ex: 𝑥2 + 2 < 0)
16
ESEMPIO
2
− 𝑥>8
3
−2𝑥 > 24
𝑥 < −12
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INTERVALLI DELLA RETTA
• Siano 𝑎 e 𝑏 due numeri reali (che possono essere
interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si
supponga 𝑎 < 𝑏. Si possono definire i seguenti
intervalli reali di estremi 𝑎 e 𝑏:
• [ 𝑎 , 𝑏 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} chiuso
• ] 𝑎 , 𝑏 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} = ( 𝑎, 𝑏] chiuso a destra
• [ 𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} = [𝑎, 𝑏) chiuso a sinistra
• ] 𝑎 , 𝑏 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} = ( 𝑎 , 𝑏 ) aperto
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INTERVALLI DELLA RETTA
• ] − ∞ , 𝑎 ] = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≤ 𝑎} = ( − ∞ , 𝑎 ]
• ] − ∞, 𝑎 [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 < 𝑎} = ( − ∞, 𝑎 )
• [ 𝑏 , + ∞ [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≥ 𝑏} = [ 𝑏 , + ∞ )
• ] 𝑏 , + ∞ [ = {𝑥∈𝑅: 𝑥 > 𝑏} = ( 𝑏 , + ∞ )
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DISEQUAZIONI DI PRIMO
GRADO
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0con 𝑎 e 𝑏 numeri reali e 𝑎 ≠ 0.
Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),
Si isola il termine che contiene l’incognita 𝑥:
𝑎𝑎 > −𝑏
Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a
𝑥>
𝑏
−
𝑎
se 𝑎 > 0
20
DISEQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑏 + 𝑐 > 0
con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 e 𝑎 ≠ 0
Per risolvere una qualunque disequazione
algebrica di secondo grado basta applicare il
teorema sul segno del trinomio di secondo
grado.
21
ESEMPIO
3 𝑥2 + 5 𝑥– 2 > 0
△= 25 + 24 = 49 > 0
−5 ± 49
𝑥1,2 =
6
1
𝑥1 = −2 𝑥2 =
3
1
𝑆 = 𝑥∈𝑅: 𝑥 < −2 ∪ 𝑥∈𝑅: 𝑥 >
3
22
ESEMPIO
3 𝑥2 + 5 𝑥– 2 < 0
△= 25 + 24 = 49 > 0
𝑥1,2
5 ± 49
=
6
𝑥1 = −2 𝑥2 =
1
3
1
𝑆 = 𝑥∈𝑅: −2 < 𝑥 <
3
23
ESEMPIO
4𝑥2 + 12𝑥 + 9 > 0
△ = 144 − 144 = 0
−12
3
𝑥1,2 =
=−
8
2
3
𝑆 = 𝑥∈𝑅; 𝑥 ≠ −
2
24
ESEMPIO
3 𝑥2 − 𝑥 + 2 < 0
△= 1 – 24 < 0
𝑆 = {∅}
25
DISEQUAZIONI FRATTE
1)
2)
3)
4)
𝑓(𝑥)
>0
𝑔(𝑥)
𝐼 = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) ∩ {𝑥∈𝑅: 𝑔(𝑥) ≠ 0}
Studio segno numeratore
Studio segno denominatore
Uso regola segni
Determinazione dell’insieme nel quale la
disequazione è verificata
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ESEMPIO
𝑥−4
>0
𝑥+3
𝑥−4>0→
𝑥+3>0→
𝑥 ≠ −3
(𝑥 + 3)
(𝑥 − 4)
𝑥−4
𝑥+3
𝑥>4
𝑥 > −3
-
+
+
-
-
+
+
-
+
-3
4
27
Continuazione ESEMPIO
𝑆 = {𝑥∈𝑅: 𝑥 < −3} ∪ {𝑥∈𝑅: 𝑥 > 4}
N.B.: 𝐼 = {𝑥∈𝑅: 𝑥 ≠ 3}
28
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
• Insieme di due o più disequazioni di cui si
vogliono determinare le soluzioni comuni.
• La soluzione si ottiene trovando l’insieme
intersezione degli insiemi che risolvono
ciascuna disequazione:
• 𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 ∩ ⋯ ∩ 𝑆𝑛
• 𝑠𝑠 𝑆 = {∅} allora il sistema è impossibile
29
ESEMPIO
(2x + 1)
2𝑥 + 1 > 0
�
𝑥−3≤0
(x – 3)
1
3
−
2
1
𝑆 = 𝑥∈ 𝑥∈𝑅: −
< 𝑥≤3
2
30