Aldo Brigaglia
Michele Cipolla
Grazia Indovina
LA MATEMATICA
PER CRESCERE
corso di matematica per la scuola secondaria di primo grado
GUIDA PER
L’INSEGNANTE
VOLUME 1B - Geometria
G.
B.
A
L
U
M
B
O
E
D
I
T
O
R
E
© 2006 by G. B. Palumbo & C. Editore S.p.A.
Hanno collaborato per gli aspetti didattici
Paola Brigaglia, Cinzia Cerroni, Lucia Provenzale, Maria Vitrano
Redazione
Vincenzo Barbarotta, Manola Civiletti
Videoimpaginazione
Fotocomp - Palermo
Illustrazioni
Federigo Carnevali
Proprietà artistica e letteraria della Casa Editrice
La realizzazione di un libro è un’operazione particolarmente complessa che richiede l’apporto di numerose persone, con competenze diverse, affinché possa compiersi.A causa della sua natura, nonostante l’attenzione e la cura
poste nei controlli, è molto difficile evitare che nel libro non vi siano completamente errori o inesattezze.
L’Editore, pertanto, ringrazia sin d’ora chi vorrà segnalare alla redazione le imprecisioni riscontrate.
L’Editore ha cercato di reperire tutte le fonti delle illustrazioni, ma alcune restano sconosciute. L’Editore porrà
rimedio,in caso di segnalazione,alle involontarie omissioni e agli errori nei riferimenti.
Per segnalazioni rivolgersi a:
G.B.Palumbo & C.Editore S.p.A.- Redazione Editoriale - Via Bettino Ricasoli,59 - 90139 Palermo
e-mail:[email protected] - fax:0916111848
L’Editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre una porzione non superiore a un decimo del
presente volume. Le richieste di riproduzione vanno inoltrate all’Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione
delle Opere a Stampa (AIDROS),via delle Erbe 2,20121 Milano,tel.02/86463091,fax 02/89010863.
1B
Geometria
5
PARTE PRIMA RICONOSCERE E DISEGNARE FIGURE
6
CAPITOLO 1: Le forme principali della geometria: forme rettilinee
6
6
6
6
7
8
9
9
10
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
Attività
Attività 1. Un dominio geometrico
Attività 2. (In collegamento con il corso di scienze)
Attività 3. (In collegamento con il corso di scienze)
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
11
CAPITOLO 2: Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
15
15
15
15
15
16
17
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
Attività
Attività con il CABRI
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
18
CAPITOLO 3: Uso della squadra. Perpendicolari e parallele.
Forme poligonali
24
24
24
24
24
25
26
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
Attività
Attività con il CABRI
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
29
CAPITOLO 4: Forme nello spazio
33
33
33
33
33
34
34
35
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
Attività
Attività 1. Le sezioni del cubo
Attività 2. L’atelier dei poliedri
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
36
PARTE SECONDA COMPORRE E SCOMPORRE
42
CAPITOLO 5: Forme geometriche composte
42
42
42
42
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
INDICE
3
Attività
Attività 1. Verbalizzazione e comunicazione di forme geometriche
Attività 2. Dudeney
Attività 3. Tangram
Attività con il CABRI
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
42
42
42
43
43
44
CAPITOLO 6: Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
51
51
51
51
52
52
52
52
53
54
55
Prerequisiti
Obiettivi specifici di apprendimento
Osservazioni
Attività
Attività 1. L’atelier dei poligoni stellati
Attività 2. Il laboratorio della mattonelle
Attività 3. Il laboratorio fotografico
Attività con il CABRI
Attività con il CABRI
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
4
INDICE
46
56
1B Geometria
OBIETTIVI
–
–
–
–
–
–
Osservare e riconoscere le principali forme geometriche nella natura e nell’arte.
Padroneggiare il significato e la natura delle principali forme geometriche.
Riuscire a utilizzare correttamente alcuni strumenti come riga, compasso, goniometro.
Saper costruire e riconoscere le principali figure solide.
Saper manipolare e leggere matematicamente le figure che ci corcondano.
Padroneggiare il concetto di perpendicolarità.
Parte seconda: Comporre e scomporre
OBIETTIVI
–
–
–
–
–
Eseguire delle semplici costruzioni con riga e compasso.
Padroneggiare le principali proprietà delle figure geometriche.
Individuare forme geometriche semplici all’interno di figure più complesse.
Utilizzare forme geometriche semplici per comporre forme geometriche più complesse.
Essere in grado di riprodurre disegni geometrici.
1B
GEOMETRIA
Parte prima: Riconoscere e disegnare figure
Parte prima: Riconoscere e disegnare figure
Capitolo 1: Le forme principali della geometria: forme rettilinee
Prerequisiti
1B
Nessuno, a parte una minima confidenza con la più elementare nomenclatura delle figure geometriche.
GEOMETRIA
Obiettivi specifici di apprendimento
Conoscenze:
• Le principali forme geometriche e la loro nomenclatura: segmento, retta, semiretta,
triangolo, triangolo isoscele, triangolo equilatero, triangolo rettangolo, quadrilatero, trapezio, parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato, pentagono, esagono, ottagono,
circonferenza.
• Le principali disposizioni di punti, rette e segmenti: allineamento, consecutivi, adiacenti.
• Le diverse collocazioni dei punti rispetto a rette e a segmenti: estremi, punto medio,
interno / esterno, origine.
• Distanza e lunghezza.
Abilità:
• Osservare le principali forme geometriche presenti nella natura e nell’arte.
• Prestare attenzione ai significati attribuiti alle forme geometriche nelle diverse culture.
• Padroneggiare il significato e la natura delle principali forme rettilinee e dei punti ad
esse legati.
• Riuscire ad usare correttamente i principali concetti legati alle forme rettilinee: distanza,
lunghezza.
• Usare il righello e la riga.
• Riprendere dalla scuola primaria la capacità di riconoscere alcune figure.
Osservazioni
Come già detto nelle indicazioni generali, noi pensiamo che sia opportuno rinunziare del
tutto a definire gli enti principali della geometria. L’obiettivo della prima fase degli studi
geometrici è soltanto quello di riuscire a riconoscerli e descriverli correttamente anche
se non in modo formale.
In questo contesto, riteniamo del tutto inutili circonlocuzioni destinate a rimanere vaghe ed astratte quali (riprendiamo da un noto e diffuso libro di testo): “il punto geometrico non ha dimensioni, essendo privo di estensione, ma ha una sua posizione nello spazio”. Questa affermazione in realtà vorrebbe spiegare un concetto relativamente intuitivo quale quello di punto, attraverso l’uso di vocaboli assai più complessi quali quelli di dimensioni, estensione, posizione. In tal modo si fa esattamente l’opposto di ciò che invece
dovrebbe essere la finalità della matematica: spiegare le cose complesse attraverso cose
semplici.
Pensiamo sia molto meglio lasciar perdere e cercare di far usare con qualche correttezza
termini quali semiretta, retta, segmento, senza la pretesa di definire alcunché. Naturalmente in questo capitolo sono banditi esercizi che richiedano un apprendimento puramente verbale di concetti delicati quali: “dite il significato della parola geometria e di che
si occupa questa scienza”!
6
CAPITOLO 1
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
Attività
Naturalmente, più che di esercizi tradizionali, questo capitolo ha bisogno di essere imperniato su attività della classe, di laboratorio o esterne. Si tratta soprattutto di suscitare
una certa attenzione nei confronti delle forme geometriche che ci circondano. Quindi le
passeggiate scolastiche (in città o in campagna) possono tutte divenire occasioni per attività legate alle tematiche del capitolo.
Un’altra occasione da utilizzare con grande attenzione è l’eventuale presenza di situazioni multietniche e interculturali in classe. In questo caso i bambini potrebbero essere stimolati a presentare ai compagni le forme specifiche che, nella loro cultura, hanno un particolare valore estetico o religioso.
Oltre alle attività direttamente o indirettamente presentate nel testo, qui ci limitiamo a
suggerirne alcune (a carattere multidisciplinare) tra le molte possibili. Sarà cura dell’insegnante operare una scelta che può dipendere da molti fattori relativi alla situazione concreta della classe e agli eventuali stimoli e proposte provenienti dagli stessi allievi.
Pertanto, anche gli esercizi proposti vanno visti come suggerimenti per inventare attività
da proporre, a partire da esperienze concrete della classe.
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
CAPITOLO 1
7
1B
GEOMETRIA
Questo capitolo ha soprattutto lo scopo di contribuire allo sviluppo di un linguaggio condiviso dalla classe. Esso ha quindi bisogno di tempi lunghi, eventualmente di frequenti ritorni su di esso.
Qualcuno potrebbe chiedersi il motivo di anticipare l’uso di alcuni termini (per esempio
i nomi dei poligoni o la circonferenza) che saranno trattati con ampiezza solo più tardi. A
noi ciò sembra necessario perché pensiamo di lavorare in senso strettamente verticale rispetto alla scuola primaria e perché vogliamo sin dall’inizio porre l’attenzione del bambino sugli aspetti che legano la geometria all’ambiente in cui vive. Sarebbe ben strano allora, visitando una chiesa, riconoscere in un pavimento solo segmenti e spezzate e non vedere ottagoni, pentagoni e tutte le ricche forme che sono solitamente presenti sia nei manufatti artistici che negli oggetti naturali.
In questo capitolo, ampiamente descrittivo, si cerca inoltre di suggerire un impatto verso la geometria che sia, come deve essere, “naturalmente” multidisciplinare, legato come
è alle scienze naturali, alle arti figurative e alla tecnica, ma anche al simbolismo religioso
e a molteplici aspetti della cultura.
Il capitolo può essere svolto con l’ausilio del software di geometria dinamica CABRI, utilizzando in particolare il primo capitolo (Nomi e costruzioni) del volume Il computer per
la geometria.
Non è qui il caso di indicare attività specifiche in questo senso, attività che possono variare in funzione delle occasioni di incontro tra colleghi diversi, delle diverse sensibilità
degli insegnanti, …
Possiamo comunque consigliare a chi volesse addentrarsi in percorsi diversi dai soliti di esplorare siti internet. Ad esempio sul pentagramma e i suoi molteplici significati nell’ambito soprattutto della tradizione pitagorica possiamo indicare il sito
www.cs.utk.edu/~mclennan/BA/PP.
Attività 1. Un domino geometrico
I ragazzi scelgono sei diverse figure geometriche. Disegnano su di un cartoncino tanti rettangoli uguali e li dividono a metà come indicato in figura.
Da un lato viene disegnata una delle figure geometriche scelte, dall’altro lato si scrive uno
qualunque dei nomi delle figure e si fa ciò in tutti i modi possibili (cioè si disegnano nel
complesso 36 tessere; anche la determinazione del numero esatto di tessere fa parte dell’attività).
Quindi ogni figura deve essere associata sia con il suo nome esatto che con i nomi di tutte le altre figure.
Nel nostro esempio abbiamo scelto come figure il triangolo equilatero, il triangolo rettangolo, il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il pentagono, ma si possono scegliere
quelle che si desiderano.
Nella illustrazione mostriamo 12 tessere del domino (soltanto due invece di sei per ciascuna figura).
GEOMETRIA
1B
triangolo
equilatero
triangolo
rettangolo
parallelogramma
triangolo
rettangolo
parallelogramma
rettangolo
rettangolo
rombo
rombo
pentagono
pentagono
triangolo
equilatero
Il gioco si svolge come un normale domino; ad una tessera si può accostare o dalla parte
della figura una tessera che abbia la scritta corrispondente alla figura, ovvero dalla parte
della scritta la tessera con la figura corrispondente.
In figura sono presentati due accostamenti entrambi corretti.
triangolo
equilatero
triangolo
equilatero
triangolo
equilatero
triangolo
rettangolo
8
CAPITOLO 1
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
Attività 2. (In collegamento con il corso di scienze)
Creazione di un erbario con le foglie presenti nella regione. Classificazione delle foglie a
seconda delle forme geometriche che possono, anche approssimativamente, ricordare.
GEOMETRIA
1B
Attività 3. (In collegamento con il corso di scienze)
Creazione di una collezione di minerali. Sua classificazione attraverso le forme geometriche.
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
CAPITOLO 1
9
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 1
1B
Pag. 196
64
L’unica figura possibile è un triangolo.
Pag. 196
65
Un quadrilatero (convesso, concavo, o intrecciato).
Pag. 197
84
Una possibile soluzione:
.
GEOMETRIA
.
.
.
.
Pag. 197
85
.
.
.
10
Una possibile soluzione:
.
CAPITOLO 1
.
.
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 1
A
AC ..........................................................
DB ..........................................................
EC ...........................................................
GE ...........................................................
BD ..........................................................
EG ...........................................................
BG ...........................................................
CA ..........................................................
DF ...........................................................
AF ...........................................................
EG ...........................................................
B
G
C
F
D
E
punteggiato nero
punteggiato grigio
tratteggiato (tratto corto)
tratteggiato (tratto lungo)
continuo nero
continuo grigio
tratto-punteggiato
2 Associa ad ogni segmento il tipo di linea. (2 punti)
A
B
H
C
G
D
F
DA ..........................................................
BE ...........................................................
DG ..........................................................
GB ...........................................................
FA ............................................................
HC ..........................................................
CF ...........................................................
BG ...........................................................
HE ...........................................................
AF ...........................................................
GD ..........................................................
CH ..........................................................
E
punteggiato nero
punteggiato grigio
tratteggiato (tratto corto)
tratteggiato (tratto lungo)
continuo nero
continuo grigio
tratto-punteggiato
3 Osserva la figura. Esegui le istruzioni. Se non puoi eseguire una o più di esse, spiega perché.
(3 punti)
a) Segna un punto E interno al segmento AB.
b) Segna un punto F esterno al segmento AD.
c) Segna un punto G interno al segmento CB.
d) Segna un punto H esterno al segmento CD.
A
B
C
D
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
CAPITOLO 1
11
GEOMETRIA
1B
1 Associa ad ogni segmento il tipo di linea. (2 punti)
4 Osserva la figura. Esegui le istruzioni. Se non puoi eseguire una o più di esse, spiega perché.
(3 punti)
a) Segna un punto E interno al segmento AD.
b) Segna un punto F esterno al segmento BC.
c) Segna un punto G interno al segmento CD.
d) Segna un punto H esterno al segmento AC.
GEOMETRIA
1B
A
B
C
D
5 Disegna 5 punti allineati. Denomina ogni punto e unisci tutti i punti con un segmento. Elenca al-
meno 5 tra i segmenti che hai formato.
Disegna altri 6 punti a tre a tre non allineati. Denomina ogni punto e unisci tutti i punti con un
segmento. Elenca tutti i segmenti formatisi. (3 punti)
6 Disegna 6 punti allineati. Denomina ogni punto e unisci tutti i punti con un segmento. Elenca al-
meno 6 tra i segmenti che hai formato.
Disegna altri 5 punti a tre a tre non allineati. Denomina ogni punto e unisci tutti i punti con un
segmento. Elenca tutti i segmenti formatisi. (3 punti)
7 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (3 punti)
a) Disegna un segmento.
b) Disegna un segmento consecutivo al primo.
c) Disegna un segmento consecutivo al secondo e al primo.
Che cosa hai ottenuto?
................................................................................................................................................................................................................................................
8 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (3 punti)
a) Disegna un segmento a.
b) Disegna un segmento b consecutivo ad a.
c) Disegna un segmento c consecutivo ad a.
d) Disegna un segmento d consecutivo ad a e a c.
Che figura hai ottenuto?
................................................................................................................................................................................................................................................
9 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (4 punti)
a) Disegna due segmenti consecutivi a e b.
b) Disegna un terzo segmento consecutivo a b e che intersechi a non negli estremi.
12
CAPITOLO 1
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
10 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (4 punti)
a) Disegna due segmenti che si intersecano in un punto (diverso dagli estremi).
b) Disegna un segmento consecutivo ad entrambi.
11 Osserva la figura. Esegui le istruzioni. Se non puoi eseguire una o più di esse, spiega perché.
(4 punti)
1B
a) Segna un punto E interno al segmento AB.
..........................................................................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................................................................
c) Segna un punto G interno sia a BC che a CD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
d) Segna un punto H interno sia a BC che ad AC.
..........................................................................................................................................................................................................................................
D
C
B
A
12 Osserva la figura. Esegui le istruzioni. Se non puoi eseguire una o più di esse, spiega perché.
(4 punti)
a) Segna un punto E interno al segmento CD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
b) Segna un punto F interno ad AB ma esterno ad AC.
..........................................................................................................................................................................................................................................
c) Segna un punto G interno sia a CD che ad AD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
d) Segna un punto H interno sia ad AB che a CD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
D
C
A
B
13 Disegna un segmento AB. Segna un punto C allineato con A e B. Segna un punto P esterno ad
AC. Unisci A con C. A, P e C sono allineati? (3 punti)
14 Disegna un segmento AB. Disegna la semiretta che abbia origine in A e a cui appartiene B.
(2 punti)
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
CAPITOLO 1
13
GEOMETRIA
b) Segna un punto F interno ad AC ma esterno a BC.
15 Disegna un segmento AB, uno ad esso consecutivo BC, uno consecutivo CD, facendo in modo
che D non coincida con A. (2 punti)
16 Disegna un segmento AB. Segna il punto medio M. Segna un punto P esterno al segmento.
Unisci M con P. A, M e P sono allineati? (3 punti)
17 Disegna una semiretta con origine in A e un segmento AB in modo che B sia sulla semiretta.
(2 punti)
1B
18 Disegna un segmento AB, uno ad esso consecutivo BC, uno consecutivo CD, facendo in modo
GEOMETRIA
che D coincida con A. (2 punti)
14
CAPITOLO 1
Le forme principali della geometria: forme rettilinee
Capitolo 2: Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
Prerequisiti
Il contenuto del capitolo precedente.
Obiettivi specifici di apprendimento
Conoscenze:
• La circonferenza e le sue parti.
• Traslazione e rotazione.
• Angoli e loro misura.
• Angoli complementari e supplementari.
• Perpendicolarità tra rette.
Abilità:
• Padroneggiare i concetti di circonferenza, cerchio, raggio, diametro, arco.
• Saper utilizzare il compasso.
• Saper usare correttamente i termini traslazione, rotazione, verso orario e antiorario.
• Conoscere e usare i termini angolo, angolo retto, angolo piatto, angolo acuto e angolo
ottuso, angolo convesso, angolo concavo.
• Saper usare il goniometro per misurare gli angoli.
• Collegare l’idea di angolo con quella di rotazione e con la lettura dell’orologio.
• Saper confrontare gli angoli col goniometro e ad occhio.
• Conoscere il concetto di perpendicolarità tra rette.
• Riconoscere e calcolare gli angoli complementari e supplementari.
Osservazioni
Al centro degli obiettivi del capitolo c’è l’idea di angolo, che noi riteniamo una delle più
complesse e sfuggenti tra quelle introdotte nel corso della scuola media.
Anche in questo capitolo, non abbiamo ritenuto dare una definizione della parola angolo, ma piuttosto comunicarne l’idea, collegata a quella di rotazione e a quella di determinazione di una direzione.
Quindi, abbiamo evitato di definire l’angolo (come invece spesso avviene) come porzione di piano.
Nel capitolo l’angolo ha sempre una misura minore di 360° e si fa un uso assai parsimonioso degli angoli concavi: è preferibile pensare all’angolo, tranne in rari casi, come un
angolo minore o uguale a 180°.
Non diamo nel capitolo una definizione generale di somma di angoli, in quanto due angoli ottusi non possono essere sommati: ci limitiamo a trattare il caso degli angoli supplementari e di quelli complementari. Per il resto ci riferiremo soltanto alla somma delle
misure di due angoli.
In questo capitolo non ci siamo addentrati sui sottomultipli del grado (primi e secondi).
Questo sarà fatto, ma soltanto per cenni, più avanti, nel terzo volume.
Questo capitolo può essere svolto con l’ausilio del software di geometria dinamica CABRI, utilizzando soprattutto il capitolo 2 (Angoli e loro misura) del volume Il computer
per la geometria, ma anche i capitoli 3 (Angoli e rotazione) e 5 (Circonferenze) dello stesso volume.
Attività
Le attività principali di tipo laboratoriale che suggeriamo riguardano la lettura di carte
geografiche e mappe e il relativo orientamento.
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
CAPITOLO 2
15
GEOMETRIA
1B
Naturalmente, ove ciò sia possibile, è vivamente consigliato utilizzare la bussola per determinare l’orientamento in situazioni reali, nel cortile della scuola, o durante una passeggiata scolastica.
Ciò naturalmente può essere fatto anche in maniera interdisciplinare soprattutto con le
scienze e con l’insegnamento della geografia.
Qualora si sia usato il CABRI o altro software geometrico, la misura data dal computer
può contribuire a esercitare l’occhio del ragazzo ad associare ad un angolo la sua misura.
1B
Attività con il CABRI
GEOMETRIA
Gli studenti, divisi in gruppo, ricevono un dischetto da cui aprono il file (di nome ad es.
“angoli”) con la seguente consegna:
per ognuno degli angoli indicare una delle affermazioni: ottuso, retto o acuto.
Per ognuno degli angoli ottusi indicare se maggiore o minore di 135°, per ognuno degli
angoli acuti indicare se maggiore o minore di 45°.
Misurare gli angoli con il CABRI e verificare se le risposte sono esatte o meno.
A
F
B
G
C
H
D
E
16
CAPITOLO 2
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 2
Pag. 237 201 60°.
Pag. 237 202 30°.
1B
Pag. 251 350
Angolo
AOB
AOC
COD
AOD
BOD
COE
DOE
EOG
Tipo
Acuto
Retto
Acuto
Ottuso
Acuto
Retto
Acuto
Retto
Misura
75°
90°
40°
130°
55°
90°
50°
90°
Pag. 251 351
Angolo
AOB
BOG
AOE
COG
BOD
EOB
AOD
EOG
EOD
COA
DOA
Tipo
Retto
Acuto
Acuto
Acuto
Piatto
Acuto
Retto
Ottuso
Ottuso
Piatto
Retto
Misura
90°
43°
29°
57°
180°
61°
90°
104°
119°
180°
90°
Pag. 252 352
Angolo
AOB
AOC
COD
AOD
BOD
COE
DOE
Tipo
Acuto
Retto
Acuto
Ottuso
Acuto
Retto
Acuto
Misura
26°
90°
22°
112°
86°
90°
68°
GEOMETRIA
Pag. 237 203 120°.
Pag. 252 353 Misurando gli angoli convessi si ottengono le misure: 40°, 85°, 90° e 30°. Naturalmente
gli angoli di 270° e di 330° sono quelli associati rispettivamente a quelli di 90° e di 30°.
Pag. 252 354 Misurando gli angoli convessi si ottengono le misure: 20°, 45°, 60° e 100°. Naturalmente gli angoli di 300° e di 260° sono quelli associati rispettivamente a quelli di 60° e di 100°.
Pag. 253 355 Misurando gli angoli convessi si ottengono le misure: 10°, 120°, 50° e 180°. Naturalmente
gli angoli di 350° e di 240° sono quelli associati rispettivamente a quelli di 10° e di 120°.
Pag. 253 356 Misurando gli angoli convessi si ottengono le misure: 140°, 130°, 150° e 100°. Naturalmente gli angoli di 220° e di 210° sono quelli associati rispettivamente a quelli di 140° e di 150°.
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
CAPITOLO 2
17
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 2
1 Traccia un raggio e un diametro per ciascuna delle circonferenze in figura. (2 punti)
GEOMETRIA
1B
2 Traccia un raggio e un diametro per ciascuna delle circonferenze in figura. (2 punti)
3 Riconosci gli angoli convessi e gli angoli concavi. (2 punti)
E
G
F
D
C
A
B
18
CAPITOLO 2
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
4 Riconosci gli angoli convessi e gli angoli concavi. (2 punti)
E
D
F
GEOMETRIA
G
1B
C
B
A
5 Individua gli angoli acuti e gli angoli ottusi. (2 punti)
6 Individua gli angoli acuti e gli angoli ottusi. (2 punti)
7 Dai un nome ad ognuna delle circonferenze e ad ogni centro. Associa ad ogni circonferenza il suo
centro. Traccia un raggio per ciascuna delle circonferenze. Associa ad ogni circonferenza il suo
raggio. (3 punti)
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
CAPITOLO 2
19
8 Dai un nome ad ognuna delle circonferenza e ad ogni centro. Associa ad ogni circonferenza il suo
centro. Traccia un raggio per ciascuna delle circonferenze. Associa ad ogni circonferenza il suo
raggio. (3 punti)
GEOMETRIA
1B
9 Assegna la misura corretta a ciascuno degli angoli in figura. (3 punti)
a) 35°
b) 160°
c) 90°
d) 120°
10 Assegna la misura corretta a ciascuno degli angoli in figura. (3 punti)
a) 55°
b) 20°
c) 90°
d) 150°
20
CAPITOLO 2
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
11 Usando solo il compasso, disegna su un foglio una circonferenza di raggio uguale al segmento in
figura e di centro A. Segna 4 punti che abbiano da A la stessa distanza di B.
Segna 5 punti esterni alla circonferenza che abbiano la stessa distanza da A. (4 punti)
B
1B
A
GEOMETRIA
12 Usando solo il compasso, disegna su un foglio una circonferenza di raggio uguale al segmento
in figura e di centro B. Segna 4 punti che abbiano da B la stessa distanza di A.
Segna 5 punti interni alla circonferenza che abbiano la stessa distanza da B. (4 punti)
A
B
13 Disegna un punto B in modo che AÔB misuri 100° e un punto C in modo che AÔC misuri 30°.
(4 punti)
O
A
14 Disegna un punto B in modo che AÔB misuri 20° e un punto C in modo che AÔC misuri 130°.
(4 punti)
O
A
15 Disegna su un foglio una circonferenza e due punti A e B su di essa. Disegna i punti diametral-
mente opposti ad A e a B.
Come dovrebbero essere A e B perché non si ottengano punti nuovi dopo avere risposto alla domanda precedente?
Disegna un punto C tale che AÔC formi un angolo retto e il punto diametralmente opposto a C.
(4 punti)
16 Disegna una circonferenza e un punto A su di essa. Disegna un punto B tale che AÔB sia un an-
golo retto. Disegna un punto C tale che AÔC sia un angolo piatto. Disegna i punti diametralmente opposti rispettivamente ad A, a B e a C.
Quanti punti hai alla fine? (4 punti)
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
CAPITOLO 2
21
17 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (4 punti)
Disegna:
a) un segmento AB;
b) un segmento BC uguale ad AB e ad esso adiacente;
c) un segmento CD tale che l’angolo BCD sia retto;
d) il segmento AD.
Che figura hai ottenuto? .......................................................................................................................................................................................
18 Disegna una figura seguendo le istruzioni. (4 punti)
Disegna:
a) un segmento AB;
b) un segmento BC uguale ad AB e tale che l’angolo AB̂C sia retto;
c) un segmento CD uguale ai precedenti e tale che l’angolo BĈD sia retto;
d) il segmento AD.
Che figura hai ottenuto? .......................................................................................................................................................................................
GEOMETRIA
1B
19 Un angolo misura 38°. Calcola la misura del suo complementare e del suo supplementare. Dise-
gna i tre angoli. (5 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
20 Un angolo misura 26°. Calcola la misura del suo complementare e del suo supplementare. Dise-
gna i tre angoli. (5 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
21 Calcola la misura del supplementare di un angolo di 127°. Disegna i due angoli.
Perché non puoi trovare la misura del complementare dell’angolo dato? (5 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
22 Calcola la misura del supplementare di un angolo di 162°. Disegna i due angoli.
Perché non puoi trovare la misura del complementare dell’angolo dato? (5 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
23 Osserva gli orologi. Che ore saranno in ognuno di essi quando la lancetta delle ore avrà percor-
so un angolo di 60°, e la lancetta dei minuti sarà ritornata al 12? (5 punti)
22
CAPITOLO 2
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
24 Osserva gli orologi. Che ore saranno in ognuno di essi quando la lancetta delle ore avrà percor-
so un angolo di 30°, e la lancetta dei minuti sarà ritornata al 12? (5 punti)
GEOMETRIA
1B
25 Eseguire le misure degli angoli in figura usando il goniometro: (3 punti)
26 Che angolo formano le lancette di un orologio alle 3? (3 punti)
27 Indica in quali casi gli angoli formati dalle lancette dell’orologio formano angoli acuti e in quali
angoli ottusi. (3 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
28 Eseguire le misure degli angoli in figura usando il goniometro:
29 Che angolo formano le lancette di un orologio alle 6? (3 punti)
30 Indica in quali casi gli angoli formati dalle lancette dell’orologio formano angoli acuti e in quali
angoli ottusi. (3 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
Ruotare e orientarsi. Circonferenze, cerchi e angoli
CAPITOLO 2
23
Capitolo 3: Uso della squadra.
Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
Prerequisiti
Quasi nessun prerequisito, basta conoscere l’idea di angolo e di angoli retti.
Obiettivi specifici di apprendimento
1B
GEOMETRIA
Conoscenze:
• Quadrilateri, poligoni regolari, poligoni convessi, poligoni concavi, poligoni intrecciati.
• Rette perpendicolari.
• Distanza di un punto da una retta.
• Rette parallele e loro distanza.
• Rette incidenti.
• Angolo formato da due rette.
Abilità:
• Riconoscere rette parallele e perpendicolari, anche se poste in posizione obliqua.
• Saper usare la squadretta per disegnare rette parallele e perpendicolari.
• Riconoscere le principali forme poligonali.
• Costruire rettangoli e quadrati.
Osservazioni
Questo capitolo si presenta come molto semplice, ma di grande importanza. Al centro
dell’attenzione c’è l’idea di parallela e di perpendicolare e quella di poligono, con particolare riferimento ai quadrilateri.
È noto che i ragazzi tendono a confondere l’idea di perpendicolare con quella di verticale. Particolare attenzione andrà quindi prestata al presentare e fare disegnare rette perpendicolari, quadrati e rettangoli non in posizione verticale.
Il capitolo può essere svolto con l’ausilio del software di geometria dinamica CABRI, utilizzando il capitolo 4 (Rette parallele e rette incidenti) del volume Il computer per la geometria.
Attività
Gran parte dello studio relativo a questo capitolo va fatto in modo attivo, ed è dedicato al
disegno di quadrilateri e poligoni soddisfacenti a determinate condizioni. In particolare
il disegno di poligoni regolari può rafforzare l’idea di angolo, attraverso la misura e il calcolo dell’angolo necessario per la realizzazione di poligoni con il dato numero di lati.
Sono consigliare tutte le attività che sviluppino la capacità di riconoscere e descrivere una
figura, come per esempio: a coppie, un alunno fa un disegno e deve descriverlo all’altro,
il quale deve riprodurlo correttamente.
24
CAPITOLO 3
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
Attività con il CABRI
Viene proposto agli studenti, divisi in gruppi di tre ciascuno, di realizzare la seguente figura con il CABRI, dopo averne individuato le figure che la compongono:
I fase: uno degli studenti osserva la figura e ne fa una descrizione scritta.
II fase: i due compagni devono realizzarla con il CABRI.
Vince la figura considerata più simile a quella proposta.
GEOMETRIA
1B
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
CAPITOLO 3
25
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 3
Pag. 273 162 No. Perché t sia perpendicolare a s:
t
r
GEOMETRIA
1B
P
s
Pag. 277 190
a)
b)
c)
d)
Nota bene: le configurazioni sono molte. Può essere interessante
confrontare tra loro quelle apparentemente diverse, ma in realtà
uguali (sovrapponibili) come ad esempio la (a) e questa:
Quella chiusa è un rettangolo.
26
CAPITOLO 3
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
Pag. 277 191 Quelle chiuse sono i rombi (e quindi in particolare il quadrato). Altre aperte sono per
esempio:
1B
GEOMETRIA
Pag. 277 192 Come il precedente. Quella con i lati perpendicolari è il quadrato. Con i lati non perpendicolari sono sempre rombi.
Pag. 302 378 Esagono.
A
D
F
E
B
C
Pag. 302 379 Pentagono.
E
A
B
D
C
Pag. 307 425 Se i punti sono allineati, si ottiene un pentagono:
Q
D
C
P
A
B
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
CAPITOLO 3
27
Altre posizioni per cui si ottiene un pentagono:
Q
D
C
P
1B
B
GEOMETRIA
A
Q
D
C
P
A
B
Quadrilatero:
Q
D
C
P
A
B
Convesso, una qualsiasi delle precedenti.
Concavo, ad esempio la seguente:
Q
D
C
P
A
28
CAPITOLO 3
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
B
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 3
1B
GEOMETRIA
1 Assegna il nome corretto a ciascuno dei triangoli, classificandoli secondo gli angoli. (3 punti)
2 Assegna il nome corretto a ciascuno dei triangoli, classificandoli secondo i lati. (3 punti)
3 Indica l’ampiezza degli angoli individuati dal punto P. (3 punti)
116°
P
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
CAPITOLO 3
29
4 Indica l’ampiezza degli angoli individuati dal punto P. (3 punti)
P
55°
5 Assegna il nome corretto a ciascuna delle figure. (3 punti)
GEOMETRIA
1B
6 Assegna il nome corretto a ciascuna delle figure. (3 punti)
7 Traccia una retta r e un punto P esterno ad essa.Traccia la perpendicolare alla retta passante per P.
(4 punti)
8 Traccia una retta r e un punto P interno ad essa.Traccia la perpendicolare alla retta passante per P.
(4 punti)
30
CAPITOLO 3
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
9 Spiega con parole tue cos’è un dodecagono regolare e calcola la misura dell’angolo al centro.
(4 punti)
10 Spiega con parole tue cos’è un decagono regolare e calcola la misura dell’angolo al centro.(4 punti)
11 L’angolo al centro di un poligono regolare misura 36°. Quanti lati ha il poligono e come si chiama?
(4 punti)
................................................................................................................................................................................................................................................
12 L’angolo al centro di un poligono regolare misura 30°. Quanti lati ha il poligono e come si chiama?
1B
(4 punti)
GEOMETRIA
................................................................................................................................................................................................................................................
13 Disegna due rette incidenti che formino un angolo di 50°.
Individua gli angoli acuti e gli angoli ottusi.
Segna la misura di tutti gli angoli formati dalle due rette. (4 punti)
14 Disegna due rette incidenti che formino un angolo di 60°.
Individua gli angoli acuti e gli angoli ottusi.
Segna la misura di tutti gli angoli formati dalle due rette. (4 punti)
15 Osserva la figura.Esegui le istruzioni.Se non puoi eseguire una o più di esse,spiega perché.(5 punti)
a) Segna un punto E interno al segmento AB.
..........................................................................................................................................................................................................................................
b) Segna un punto F interno ad AC ma esterno a BC.
..........................................................................................................................................................................................................................................
c) Segna un punto G interno alla retta ma esterno al segmento AD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
d) Segna un punto H esterno alla retta ma interno al segmento CD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
D
C
B
A
16 Osserva la figura.Esegui le istruzioni.Se non puoi eseguire una o più di esse,spiega perché.(5 punti)
a) Segna un punto E interno al segmento CD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
b) Segna un punto F interno ad AB ma esterno ad AC.
..........................................................................................................................................................................................................................................
c) Segna un punto G interno alla retta ma esterno al segmento AD.
..........................................................................................................................................................................................................................................
d) Segna un punto H esterno alla retta.
..........................................................................................................................................................................................................................................
D
C
B
A
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
CAPITOLO 3
31
17 Esegui le istruzioni. (5 punti)
a) Traccia un segmento AB.
b) Traccia la retta r passante per A e per B.
c) Traccia la retta s perpendicolare ad r e passante per B.
d) Prendi un punto P su s tale che AB = PB.
e) Traccia la retta t parallela ad r passante per P.
1B
18 Esegui le istruzioni. (5 punti)
GEOMETRIA
a) Traccia una retta r e un punto P esterno.
b) Prendi un punto A della retta r.
c) Traccia il segmento AP.
d) Traccia la retta s parallela ad r passante per P.
e) Prendi un punto B su s tale AP = PB.
f ) Traccia la retta t perpendicolare ad r e passante per B.
19 Verifica se le rette sono o no parallele e spiega il procedimento seguito. (5 punti)
20 Verifica se le rette sono o no parallele e spiega il procedimento seguito. (5 punti)
32
CAPITOLO 3
Uso della squadra. Perpendicolari e parallele. Forme poligonali
Capitolo 4: Forme nello spazio
Prerequisiti
•
•
•
•
•
Concetto di poligono.
Concetto di angolo.
Circonferenza.
Retta.
Concetto di perpendicolare e di parallela.
1B
Conoscenze:
• Le principali forme nello spazio: sfera, cilindro, cono, prisma, parallelepipedo, piramide.
• Sviluppo piano di un solido.
• Rette e piani nello spazio.
• Latitudine e longitudine di un punto sulla sfera.
Abilità:
• Riconoscere le principali forme nello spazio.
• Riconoscere lo sviluppo piano di solidi nello spazio.
• Saper realizzare in cartoncino cilindri, coni, prismi, parallelepipedi, piramidi.
• Riconoscere le principali posizioni relative tra rette e piani nello spazio.
• Saper trovare la latitudine e la longitudine di un punto sul mappamondo.
Osservazioni
Abbiamo inserito un primo studio delle forme spaziali quasi subito, senza relegarlo alla
fine del corso di geometria, per vari motivi.
Innanzitutto perché in realtà gli oggetti materiali con i quali i bambini entrano maggiormente in contatto sono proprio i solidi: mentre gli oggetti piani sono puramente ideali, gli
oggetti solidi hanno una loro specifica “materialità”. Palle, tubi, scatole sono oggetti reali e non pure astrazioni. Maneggiare e “leggere” matematicamente i corpi che ci circondano è una delle finalità principali dell’insegnamento della geometria alla scuola media.
D’altra parte, manipolando e costruendo solidi si acquisisce una maggior dimestichezza
con i poligoni.
Attività
Attività 1. Le sezioni del cubo
Gli studenti, divisi in gruppi, ricevono la consegna di indicare il maggior numero di poligoni che è possibile ottenere sezionando un cubo con un piano.
Dopo aver indicato in un foglio i poligoni che si presume possano essere ottenuti in tal modo, gli studenti sono invitati a sperimentare con un cubo cavo trasparente ripieno di liquido.
Per ogni poligono ipotizzato e verificato si ottengono (ad esempio) 2 punti; per ogni poligono ipotizzato e realmente esistente, ma non verificato, si ottiene 1 punto; per ogni poligono ipotizzato, ma non esistente si ha una penalizzazione di un punto.
Le domande più semplici che possono essere fatte sono del tipo:
• Come sezionare un cubo per avere un quadrato?
Forme nello spazio
CAPITOLO 4
33
GEOMETRIA
Obiettivi specifici di apprendimento
• Come sezionare un cubo per avere un triangolo?
• Come sezionare un cubo per avere un rettangolo che non è un quadrato?
Su attività di laboratorio analoghe vedi la sezione Bibliografia.
Attività 2. L’atelier dei poliedri
È vivamente consigliata la realizzazione di un vero e proprio “atelier” di poliedri realizzati in cartoncino o con bacchette (meccano) direttamente dagli allievi seguendo le istruzioni contenute nel libro. Tutte le attività teoriche relative ai solidi dovrebbero essere effettuate con in mano il relativo solido costruito materialmente dall’allievo. Anche se questa attività richiede tempo (e può essere diluita man mano che si procede anche su altri
argomenti), essa dà alla fine una certa familiarità reale con molte forme geometriche.
Una consegna che potrebbe essere data agli studenti una volta realizzati i solidi è quella
di stabilire per ciascuno di essi il numero di Vertici, Spigoli e Facce.
Gli allievi potrebbero giungere a congetturare la famosa relazione di Eulero:
GEOMETRIA
1B
V+F–S=2
Dove V rappresenta il numero di vertici di un poliedro, F il numero delle sue facce, S il
numero dei suoi spigoli.
Ad esempio:
Tetraedro:
V = 4, F = 4, S = 6;
Piramide a base quadrangolare:
V = 5, F = 5, S = 8;
Cubo:
V = 8, F = 6, S = 12.
34
CAPITOLO 4
Forme nello spazio
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 4
Pag. 320
81 Il cono più alto è quello con la generatrice maggiore. Non conoscendo ancora il teorema di Pitagora i ragazzi devono rispondere usando l’intuito o facendo qualche prova.
82
Il più alto è il cono con il raggio di base minore.
1B
Pag. 321 83-91 Occorre solo stare attenti a che la misura dell’arco sia uguale a quella della circonferenza di base. Il ragazzo dovrà farlo misurando come indicato nell’esempio. Il docente può verificarlo con un semplice calcolo.
Pag. 329 125 Occorre tracciare l’altezza relativa all’ipotenusa. La figura ottenuta è formata dai due
coni generati dai due triangoli rettangoli in cui si scompone la figura.
Pag. 329 126-128 Si procede in modo analogo a quanto detto per l’esercizio 125.
Pag. 330 129 Scomponendo la figura in due rettangoli si vede che la figura generata è costituita da
due cilindri sovrapposti.
Pag. 330 130-131 Si procede in modo analogo a quanto detto per l’esercizio 129.
Pag. 330 134 Si ottiene un tronco di cono con una concavità cilindrica.
Pag. 333 150 Lo sviluppo di un cubo si ottiene soltanto quando quattro dei quadrati sono “in fila” e
gli altri due sono da parti opposte rispetto alla fila.
Pag. 333 151 Nota bene: si tratta dello sviluppo di un cubo. Conviene far fare la prova “materiale” ai
ragazzi.
Pag. 341 266 Si ottiene un cilindro sovrapposto a un tronco di cono.
Pag. 347 267 Un cilindro con una cavità conica.
Forme nello spazio
CAPITOLO 4
35
GEOMETRIA
Pag. 320
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 4
1 Assegna il nome corretto a ciascuno dei solidi in figura,indicando il numero corrispondente.(2 punti)
A) Piramide
B) Cilindro
C) Cono
D) Sfera
E) Cubo
GEOMETRIA
1B
1
2
3
5
4
2 Assegna il nome corretto a ciascuno dei solidi in figura,indicando il numero corrispondente.(2 punti)
A) Piramide
B) Cilindro
C) Cubo
D) Parallelepipedo
rettangolo
E) Prisma
esagonale
1
2
3
4
5
36
CAPITOLO 4
Forme nello spazio
3 Misura il raggio e l’altezza dei due cilindri il cui sviluppo è rappresentato in figura. Qual è il più alto?
Qual è il più “grosso”? (3 punti)
4 Misura il raggio e l’altezza dei due cilindri il cui sviluppo è rappresentato in figura. Qual è il più alto?
Qual è il più “grosso”? (3 punti)
5 Indica in ciascuna delle figure,tracciando il segmento corrispondente,il raggio e l’altezza del cilindro.
(2 punti)
6 Indica nelle figure,tracciando il segmento corrispondente,il raggio di base e la generatrice del cono.
(2 punti)
Forme nello spazio
CAPITOLO 4
37
GEOMETRIA
1B
7 Indica nella sfera in figura un punto diametralmente opposto al punto P. (3 punti)
P
O
GEOMETRIA
1B
8 Indica nella sfera in figura un punto diametralmente opposto al punto P. (3 punti)
O
P
9 Quante facce ha una piramide a base quadrata? Disegna il suo sviluppo. (3 punti)
10 Quante facce ha una piramide a base triangolare? Disegna il suo sviluppo. (3 punti)
11 Disegna su un foglio, usando il righello, il compasso e una cordicella, lo sviluppo di un cilindro di al-
tezza 3 cm e raggio 1,5 cm. (4 punti)
12 Disegna su un foglio, usando il righello e la squadra, lo sviluppo di un cubo il cui spigolo misura 2,5
cm. (4 punti)
13 Una piramide ha sei facce. Che poligono è il poligono di base? E quante sono le facce laterali di un
prisma con sei facce? (2 punti)
14 Una piramide ha sette facce.Che poligono è il poligono di base? E quante sono le facce laterali di un
prisma con sette facce? (2 punti)
15 Disegna su un foglio, usando il righello, e la squadra, lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo
i cui spigoli misurano rispettivamente 1cm, 2 cm, 3 cm. (4 punti)
16 Disegna su un foglio, usando il righello, e la squadra, lo sviluppo di un parallelepipedo rettangolo
i cui spigoli misurano rispettivamente 2 cm, 3 cm, 4 cm. (4 punti)
17 Disegna su un foglio di carta a quadretti lo sviluppo di un prisma con base un triangolo isoscele e i
cui spigoli laterali misurano rispettivamente 4 quadretti. (3 punti)
18 Disegna su un foglio di carta a quadretti lo sviluppo di un prisma con base un triangolo isoscele e i
cui spigoli laterali misurano rispettivamente 5 quadretti. (3 punti)
19 Che figura ottieni facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno a un cateto? (3 punti)
20 Che figura ottieni facendo ruotare un rettangolo attorno a un lato? (3 punti)
38
CAPITOLO 4
Forme nello spazio
21 In figura hai lo sviluppo di una piramide a base quadrata. Usando un righello misura l’apotema, lo
spigolo laterale e quello di base. (4 punti)
GEOMETRIA
1B
22 In figura hai lo sviluppo di un cono. Usando un righello misura la generatrice e il raggio di base.
(4 punti)
23 Usando una cordicella stabilisci quale di questi sviluppi rappresenta un cono. (4 punti)
Forme nello spazio
CAPITOLO 4
39
24 Usando una cordicella stabilisci quale di questi sviluppi rappresenta un cilindro. (4 punti)
GEOMETRIA
1B
25 Di quale solido rappresenta lo sviluppo del disegno qui riprodotto? Colora allo stesso modo i seg-
menti che vengono a coincidere nel realizzare il solido. (3 punti)
26 Di quale solido rappresenta lo sviluppo il disegno qui a fianco? Colora allo stesso modo i segmen-
ti che vengono a coincidere nel realizzare il solido. (3 punti)
27 Dai i nomi corretti ai tre solidi in figura. (3 punti)
Tetraedro
Cubo
Icosaedro
1
2
3
................................................................................................................................................................................................................................................
40
CAPITOLO 4
Forme nello spazio
28 Dai i nomi corretti ai tre solidi in figura. (3 punti)
Dodecaedro
Cubo
Ottaedro
1
2
3
1B
GEOMETRIA
................................................................................................................................................................................................................................................
29 Segna approssimativamente su questa sfera un punto posto a 90° di latitudine nord. (4 punti)
30 Segna approssimativamente su questa sfera un punto posto a 45° di latitudine nord. (4 punti)
31 Disegna su un foglio, usando righello e compasso, lo sviluppo di una piramide regolare a base esa-
gonale, di spigolo di base di 2 cm e di spigolo laterale di 5 cm. (5 punti)
32 Disegna su un foglio, usando righello e compasso, lo sviluppo di una piramide regolare a base esa-
gonale, di spigolo di base di 3 cm e di spigolo laterale di 4 cm. (5 punti)
33 Disegna su un foglio un qualsiasi trapezio isoscele. Disegna poi lo sviluppo di un prisma retto che
ha per base quel trapezio e spigolo laterale lungo 5 cm. (5 punti)
34 Disegna su un foglio un qualsiasi rombo. Disegna poi lo sviluppo di un prisma retto che ha per ba-
se quel rombo e spigolo laterale lungo 3 cm. (5 punti)
Forme nello spazio
CAPITOLO 4
41
Parte seconda: Comporre e scomporre
Capitolo 5: Forme geometriche composte
Prerequisiti
1B
• Riconoscere e disegnare le forme geometriche fondamentali nel piano e nello spazio.
• Riconoscere e disegnare rette parallele e perpendicolari.
GEOMETRIA
Obiettivi specifici di apprendimento
Conoscenze:
• Simmetria assiale e centrale.
• Asse di un segmento.
• Equiscomponibilità di figure geometriche.
Abilità:
• Riconoscere e utilizzare le simmetrie assiali di una figura.
• Conoscere e utilizzare l’asse di un segmento.
• Riconoscere e determinare il punto medio di un segmento.
• Riconoscere e determinare le diagonali di un quadrilatero.
• Comporre e scomporre figure geometriche in figure più semplici.
• Idea intuitiva di equiscomponibile e di equivalente.
Osservazioni
In questo capitolo vengono introdotti in modo intuitivo alcuni concetti che verranno ripresi successivamente. Tra questi segnaliamo quelli di asse di simmetria e di riflessione, ma anche quella di equiscomponibile e di equivalente.
Tutte queste idee sono introdotte unicamente attraverso situazioni problematiche e giochi (soprattutto puzzles). Non ci si deve preoccupare di una loro qualsiasi formalizzazione; un approfondimento sarà sviluppato più avanti e tale approfondimento avrà anche la
funzione di recupero per chi sul momento resti attardato.
Attività
Attività 1. Verbalizzazione e comunicazione di forme geometriche
Il gioco si effettua in squadre di quattro. Due degli studenti realizzano delle forme e le
descrivono agli altri due che, in due minuti, devono realizzare la stessa forma. Vince la
squadra che ha indovinato un maggior numero di forme.
Attività 2. Dudeney
Creazione in cartoncino di un puzzle Dudeney. Suo utilizzo per la costruzione di quadrati
equivalenti a triangoli.
42
CAPITOLO 5
Forme geometriche composte
Attività 3. Tangram
Creazione e utilizzazione di un tangram con cui giocare e fare esercizi.
Le figure seguenti sono soltanto alcune delle moltissime forme realizzabili.
GEOMETRIA
1B
Suggeriamo un uso esteso durante tutto il corso degli studi di questo gioco.
Attività con il CABRI
Si apre la pagina “triangolo equilatero” e, usando i comandi del CABRI, si deve scomporre il triangolo nel maggior numero di modi possibile in figure note.
Ogni squadra è composta da due allievi. Il primo propone una scomposizione, la descrive per iscritto all’altro che la deve riprodurre. Se la riproduzione è esatta si guadagna un
punto, poi si scambiano i ruoli.
Forme geometriche composte
CAPITOLO 5
43
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 5
Pag. 358
1B
Pag. 358
62 Il punto simmetrico di B è B'. Per esempio il simmetrico rispetto alla retta DL di AB'A'N'
è GF'G'H' e così via. Il simmetrico richiesto dalla terza domanda è B'CD'C'. Infine il simmetrico
di AB'A'N' rispetto alla retta AG è se stesso.
65
Ci sono 4 trapezi isosceli.
A
GEOMETRIA
B
E
F
O
G
H
D
Pag. 359
C
66
E
C
r
D
B
Pag. 362
A
94 Come nel disegno: chiamando i due parallelogrammi ABCD e A'B'C'D' (Con AB = A'B' e
disponendoli come nella figura del libro in modo che A,B,A',B' siano allineati), basta condurre da D la parallela DE a A'D' e da A' la parallela A'E' a AD. Si scompongono così i parallelogrammi in trapezi e triangoli uguali tra loro.
Quest’esercizio va fatto possibilmente in squadre e in laboratorio, lasciando che i ragazzi sperimentino liberamente vari tentativi, anche errati.
D
A
E
Pag. 363 100
44
CAPITOLO 5
Forme geometriche composte
D’ E’
C
B
A’
C’
B’
Pag. 363 101
1B
GEOMETRIA
Pag. 358 102
Pag. 364 105 Il triangolo di partenza ABC va scomposto in questo modo: M è il punto medio di AB, N
è il punto medio di BC, MH è perpendicolare ad AC.
Si scompone il triangolo ABC nel trapezio MHCN e nei triangoli BMN e AMH. I pezzi si ricompongono nel rettangolo MHTL (ovviamente il triangolo NTC è uguale a BMN e il triangolo CTL
è uguale a AMH.
Quest’esercizio va fatto possibilmente in squadre e in laboratorio, lasciando che i ragazzi sperimentino liberamente vari tentativi, anche errati.
B
T
N
M
C
A
L
H
Pag. 364 109 L’esagono è scomposto in due trapezi uguali che vengono ricomposti nel parallelogramma.
Forme geometriche composte
CAPITOLO 5
45
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 5
1 Individua gli assi di simmetria di questa figura. (2 punti)
GEOMETRIA
1B
2 Individua gli assi di simmetria di questa figura. (2 punti)
3 Dopo avere individuato le forme geometriche che costituiscono questa figura, individua gli assi di
simmetria. (2 punti)
4 Dopo avere individuato le forme geometriche che costituiscono questa figura, individua gli assi di
simmetria. (2 punti)
46
CAPITOLO 5
Forme geometriche composte
5 Traccia l’asse del segmento AB, usando il compasso e spiegando il procedimento seguito. (3 punti)
A
B
6 Traccia l’asse del segmento AB, usando il compasso e spiegando il procedimento seguito. (3 punti)
A
GEOMETRIA
1B
B
7 Dopo avere individuato il poligono in figura, traccia l’asse di ogni suo lato. (3 punti)
8 Dopo avere individuato il poligono in figura, traccia l’asse di ogni suo lato. (3 punti)
9 Segna il simmetrico di ognuno dei punti in figura rispetto alla retta r. (2 punti)
C
D
E
r
B
A
10 Segna il simmetrico di ognuno dei punti in figura rispetto alla retta r. (2 punti)
B
D
A
E
r
C
F
Forme geometriche composte
CAPITOLO 5
47
11 Costruisci la figura simmetrica rispetto ad r. (3 punti)
r
GEOMETRIA
1B
12 Costruisci la figura simmetrica rispetto ad r. (3 punti)
r
13 Spiega a parole tue come si fa a costruire un triangolo isoscele “esatto” di base un dato segmento.
(4 punti)
14 Spiega a parole tue come si fa a costruire un triangolo equilatero “esatto”di base un dato segmen-
to. (4 punti)
15 Disegna il quadrilatero ottenuto dalle diagonali in figura. Che quadrilatero è? Lo puoi capire os-
servando le sole diagonali? (4 punti)
48
CAPITOLO 5
Forme geometriche composte
16 Disegna il quadrilatero ottenuto dalle diagonali in figura. Che quadrilatero è? Lo puoi capire os-
servando le sole diagonali? (4 punti)
17 Indica come scomporre il triangolo isoscele in figura in due parti, in maniera che le parti si possano
ricomporre in un rettangolo. (2 punti)
C
B
A
18 Indica come scomporre il rettangolo in figura in due parti, in maniera che le parti si possano ri-
comporre in un triangolo isoscele. (2 punti)
A
B
C
D
19 Disegna su un foglio un rombo.Unisci i punti medi dei lati in modo da formare un quadrilatero con-
vesso. In quali figure viene scomposto? (3 punti)
20 Disegna su un foglio un rettangolo. Unisci i punti medi dei lati in modo da formare un quadrilatero
convesso. In quali figure viene scomposto? (3 punti)
21 Disegna i punti medi e gli assi dei lati di questo triangolo. (3 punti)
B
A
C
22 Disegna i punti medi e gli assi di questo quadrilatero. (3 punti)
Forme geometriche composte
CAPITOLO 5
49
GEOMETRIA
1B
23 Disegna la figura simmetrica rispetto a r. (4 punti)
1B
GEOMETRIA
r
24 Disegna la figura simmetrica rispetto a r. (4 punti)
r
25 Mostra, effettuando le opportune scomposizioni, che i due poligoni sono equiscomponibili (se ne-
cessario ti puoi aiutare effettuando qualche misura). (5 punti)
26 Mostra, effettuando le opportune scomposizioni, che i due poligoni sono equiscomponibili (Se ne-
cessario ti puoi aiutare effettuando qualche misura). (5 punti)
50
CAPITOLO 5
Forme geometriche composte
Capitolo 6: Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
Prerequisiti:
• Riconoscere e saper riprodurre i principali poligoni.
• Perpendicolarità e parallelismo.
Conoscenze:
• Le proprietà fondamentali delle diagonali dei quadrilateri e loro uso per la classificazione.
• Somma degli angoli di un triangolo e di un quadrilatero convesso.
• Disuguaglianza triangolare.
• Circonferenze iscritte e circoscritte ai poligoni.
• Poligoni concavi e convessi.
• Basi e altezze di un triangolo.
• Raggio, diametro, corda di un cerchio.
• Settore circolare.
• Rette esterne, secanti e tangenti a una circonferenza.
• Bisettrici di un angolo e in un triangolo.
• Ortocentro, incentro, circocentro di un triangolo.
Abilità:
• Saper utilizzare le proprietà delle figure geometriche per effettuare semplici costruzioni.
• Saper risolvere semplici problemi geometrici.
• Saper riconoscere figure geometriche nella natura e nelle decorazioni.
• Saper determinare l’angolo di un poligono regolare.
Osservazioni
Questo è il capitolo conclusivo del primo volume e richiede di applicare tutte le competenze acquisite precedentemente. Abbiamo preferito iniziare dalla forma più nota ai ragazzi, quella del quadrato e quindi dai quadrilateri, piuttosto che dai triangoli, figure in
realtà più complesse.
Abbiamo inoltre voluto introdurre tra le figure da imparare a manipolare delle figure in
realtà meno usuali, come alcuni poligoni concavi (quelli che abbiamo chiamato “frecce”,
il pentagramma, la stella di Davide, la stella a otto punte, i poligoni stellati) che fanno comunque parte dell’ordinario panorama di immagini comuni per i ragazzi.
Un punto da non sottovalutare è quello riguardante le difficoltà dei ragazzi nella determinazione delle altezze dei triangoli posti in posizione non “tradizionale” (cioè con la base posta in orizzontale).
La confusione tra altezza e verticale di un triangolo costituisce un vero e proprio “ostacolo epistemologico”, che va assolutamente superato: si converrà che l’apprendimento
della formula sull’area del triangolo è del tutto priva di contenuto se lo studente non ha
chiaro il significato della parola “altezza”.
Qui come in molti altri casi la “definizione” matematica ha un’importanza accessoria; non
preoccupatevi troppo se i vostri allievi non sanno definirla correttamente: ciò che per il
momento importa è il conseguimento di una corretta immagine mentale correlata alla parola “altezza”.
Per quanto riguarda l’avvio alla risoluzione dei problemi, che costituisce ovviamente una
parte importante del capitolo, ci limitiamo ad osservare che, rispetto al volume sull’aritmetica, si è ora voluto anche introdurre l’idea di “problemi senza dati”, o meglio di proLe proprietà fondamentali delle figure geometriche
CAPITOLO 6
51
1B
GEOMETRIA
Obiettivi specifici di apprendimento
blemi nei quali i dati devono essere conquistati con l’osservazione e per esempio con opportune misurazioni.
Questi problemi sono quelli che più si avvicinano a situazioni reali.
Una parte significativa dei risultati teorici (per esempio che l’angolo di un triangolo equilatero misura 60° ovvero la definizione di corda di una circonferenza) è ottenuto esclusivamente attraverso esercizi. Ciò va tenuto presente per operare una loro scelta oculata.
Per quanto riguarda l’angolo di un poligono regolare si può notare che mentre si insegna
a trovarlo, non vi è traccia della formula relativa. Questa è una scelta inerente alla filosofia di questo testo: le formule da memorizzare devono essere in numero limitatissimo e
non fanno parte delle conoscenze che noi riteniamo indispensabili.
Qualora si sia deciso di utilizzare il CABRI, è questo il momento di utilizzarlo in modo
continuativo: le sue proprietà dinamiche possono divenire essenziali.
GEOMETRIA
1B
Attività
Attività 1. L’atelier dei poligoni stellati
Realizzazione con spilli e fili colorati dei principali poligoni stellati.
Attività 2. Il laboratorio delle mattonelle (in collaborazione con il corso di tecnica o di artistica)
Realizzazione di mattonelle smaltate con poligoni di vario colore, in particolare con poligoni stellati o con poligoni inseriti l’uno dentro l’altro come indicato dal testo o suggerito
dalla fantasia
Attività 3. Il laboratorio fotografico
Realizzazione di un archivio fotografico contenente foto di decorazioni interessanti:
a) della propria città;
b)della propria casa (mattonelle, decori di stoviglie, ricami);
c) tratte da libri;
d)tratte da Internet.
52
CAPITOLO 6
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
Attività con il CABRI
A) Disegnare rombi
Disegnare un quadrilatero di dato lato che, anche modificato, si mantiene sempre un rombo.
C
1B
B
GEOMETRIA
D
A
La costruzione è indicata dalla figura: si parte da un segmento AB che sarà il lato del rombo; si disegna la circonferenza di centro B e raggio AB; si scegli un punto D sulla circonferenza; si considera la retta BD; si prende il punto C simmetrico di A rispetto a BD; il
rombo ABCD può essere deformato sia movendo D (in tal caso il lato del rombo resta costante, ma l’angolo viene modificato) o spostando A o B (in questo caso il lato cambia).
L’attività consiste anche nello studiare gli angoli e le loro relazioni: gli allievi vanno guidati verso la scoperta che gli angoli cambiano, ma:
angoli opposti restano sempre uguali,
angoli consecutivi sono supplementari:
Altra attività può riguardare le diagonali e le loro proprietà.
Si può chiedere agli allievi di realizzare un rombo a partire dalle diagonali.
Se si parte da un segmento AB e il suo asse k, gli allievi sono invitati a prendere due punti C e D su k.
Movendoli liberamente si studiano le varie configurazioni e poi si risponde alle domande:
a) come devono essere disposti C e D su k affinché il quadrilatero sia una punta di freccia?
b)come devono essere disposti C e D su k affinché il quadrilatero sia un aquilone?
c) come devono essere disposti C e D su k affinché il quadrilatero sia un rombo?
d)Sapresti descrivere il poligono ABCD?
C
C
D
B
B
A
A
D
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
CAPITOLO 6
53
Attività con il CABRI
B) Realizzare al computer il “fiore della vita”
GEOMETRIA
1B
54
CAPITOLO 6
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
Guida alle soluzioni di alcuni esercizi del Volume 1B, Geometria
Capitolo 6
Pag. 404 188 Qui, e negli esercizi immediatamente seguenti, le difficoltà maggiori per i ragazzi consistono proprio nella comprensione del testo.
No. Esempio un trapezio rettangolo.
Sì.
No. Esempio: il parallelogramma.
Sì.
Sì.
No. Per esempio un trapezio isoscele.
No. Esempio un parallelogramma.
1B
GEOMETRIA
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Pag. 404 189
a)
b)
c)
d)
e)
Sì.
Sì.
Sì.
No. Per esempio un trapezio isoscele.
Sì.
Pag. 404 190
a)
b)
c)
d)
No. Per esempio un parallelogramma.
No. Per esempio un rettangolo.
No. Per esempio un rettangolo.
Sì.
Pag. 404 191
a)
b)
c)
d)
e)
No. Esempio: un aquilone.
No. Esempio: un trapezio isoscele con la base minore uguale ai lati obliqui.
Sì.
Sì.
Sì.
Pag. 404 192
a)
b)
c)
d)
e)
No. Esempio: un rettangolo che non sia un quadrato.
No. Esempio: un rombo che non sia un quadrato.
Sì.
Sì.
No. Esempio: un rettangolo che non sia un quadrato.
Pag. 445 533 Basta vedere il punto in cui convergono i vertici di tre trapezi piccoli. I tre angoli sono
uguali e la loro somma dà 360°. Ciascuno misura quindi 120°. L’altro angolo ovviamente sarà
di 60°.
Pag. 449 558 Si può far riflettere lo studente sul fatto che O è il punto medio del lato DB (in un rombo le diagonali si tagliano a metà). Congiungendo tra loro i punti medi di due lati di un triangolo si ottiene un segmento parallelo al terzo lato. La verifica di questa proprietà deve essere effettuata, su suggerimento dell’insegnante, sperimentalmente o con il CABRI. Al secondo
anno la questione sarà ripresa usando i triangoli simili.
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
CAPITOLO 6
55
Verifiche integrative per la preparazione di Test
utili anche per il Recupero e il Potenziamento
Capitolo 6
1 Traccia la circonferenza circoscritta al quadrato. (2 punti)
A
B
D
C
GEOMETRIA
1B
2 Traccia la circonferenza inscritta nel quadrato. (2 punti)
D
C
A
B
3 Disegna il quadrato inscritto nella circonferenza. (2 punti)
4 Disegna il quadrato circoscritto alla circonferenza. (2 punti)
56
CAPITOLO 6
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
5 Un angolo di un parallelogramma misura 54°. Quanto misurano gli altri angoli? Aiutandoti col go-
niometro disegna un parallelogramma che verifichi i dati. (3 punti)
6 Quanto misurano gli angoli di un parallelogramma,avente uno degli angoli di 100°? Aiutandoti col
goniometro disegna un parallelogramma che verifichi i dati. (3 punti)
7 Quanto misurano gli angoli di un rombo, avente uno degli angoli di 65°? Aiutandoti col goniome-
tro disegna un parallelogramma che verifichi i dati. (3 punti)
8 Un angolo di un rombo misura 27°.Quanto misurano gli altri angoli? Aiutandoti col goniometro di-
1B
9 Un angolo di un trapezio isoscele misura 42°. Calcola la misura degli altri angoli. Aiutandoti col go-
niometro disegna un trapezio isoscele che verifichi i dati. (3 punti)
10 Un angolo di un trapezio isoscele misura 98°. Calcola la misura degli altri angoli. Aiutandoti col go-
niometro disegna un trapezio isoscele che verifichi i dati. (3 punti)
11 Un angolo di un trapezio rettangolo misura 103°. Calcola la misura degli altri angoli. Aiutandoti col
goniometro disegna un trapezio rettangolo che verifichi i dati. (3 punti)
12 Un angolo di un trapezio rettangolo misura 36°. Calcola la misura degli altri angoli. Aiutandoti col
goniometro disegna un trapezio rettangolo che verifichi i dati. (3 punti)
13 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (2 punti)
C
B
A
14 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (2 punti)
C
A
B
15 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (3 punti)
C
A
B
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
CAPITOLO 6
57
GEOMETRIA
segna un rombo che verifichi i dati. (3 punti)
16 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (3 punti)
C
A
1B
B
GEOMETRIA
17 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (2punti)
C
A
B
18 Traccia l’altezza del triangolo in figura relativa alla base AB. (2 punti)
C
A
B
19 Trova l’ortocentro di questo triangolo. (4 punti)
C
B
A
20 Trova l’ortocentro di questo triangolo. (4 punti)
C
A
58
CAPITOLO 6
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
B
21 In un triangolo isoscele l’angolo alla base misura 45°. Calcola l’ampiezza dell’angolo al vertice.
(2 punti)
22 In un triangolo isoscele l’angolo alla base misura 80°. Calcola l’ampiezza dell’angolo al vertice.
(2 punti)
23 In un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 120°. Calcola l’ampiezza dell’angolo alla base.
(3 punti)
1B
(3 punti)
25 In un triangolo rettangolo uno degli angoli acuti misura 21°. Calcola l’ampiezza dell’altro. (3 punti)
26 In un triangolo rettangolo uno degli angoli acuti misura 68°. Calcola l’ampiezza dell’altro. (3 punti)
27 Un triangolo ha un angolo di 60° e un altro di 100°. Calcola l’ampiezza del terzo. (2 punti)
28 Un triangolo ha un angolo di 32° e un altro di 98°. Calcola l’ampiezza del terzo. (2 punti)
29 Calcola la misura degli altri angoli del rombo, esplicitando il procedimento seguito. (5 punti)
67°
30 Calcola la misura degli altri angoli del rombo, esplicitando il procedimento seguito. (5 punti)
130°
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
CAPITOLO 6
59
GEOMETRIA
24 In un triangolo isoscele l’angolo al vertice misura 42°. Calcola l’ampiezza dell’angolo alla base.
31 Sapendo che il segmento AH è l’altezza relativa al lato BC, calcola la misura degli altri angoli del
triangolo. (5 punti)
A
30°
1B
GEOMETRIA
44°
B
C
H
32 Sapendo che il segmento BH è l’altezza relativa al lato AC, calcola la misura degli altri angoli del
triangolo. (5 punti)
A
52°
H
70°
B
60
CAPITOLO 6
Le proprietà fondamentali delle figure geometriche
C
