Fondamenti Teorici e Programmazione: Modulo A: Elementi di

Concetti Di Base
Algebra di Boole
I
Definizione: È costituita dall’insieme dei valori {true, false} su cui
sono definiti i seguenti operarori:
I
I
I
∧ detto and o prodotto logico o congiunzione
∨ detto or o anche somma logica o disgiunzione
not denotato anche con ! o con ∼ è il complemento.
I
L’algebra di Boole è la base per la logica preposizionale che consente
di parlare di fatti che possono verificarsi o meno.
I
Ad esempio ”Piove” indica un fatto che può essere vero (true) o falso
(false) a seconda di cosa sta succedendo in questo momento.
I
L’algebra di Boole ha diverse altre proprietà, la riprenderemo più
avanti, per il momento definiamo il significato degli operatori di base.
E. Occhiuto
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Concetti Di Base
Definizione dell’operatore and
I
Questo operatore consente di esprimere condizioni in cui più fatti
devono verificarsi contemporaneamente. Ad esempio:
I
I
”Piove e c’è il sole”,
”Ho fame e sete”.
I
”Piove e c’è il sole” è un’affermazione vera se è vero che piove ed è
anche vero che c’è il sole.
I
Se piove ma non c’è il sole l’affermazione ”Piove e c’è il sole” è falsa.
I
Ancora se non piove ma c’è il sole l’affermazione ”Piove e c’è il sole”
è ancora falsa.
I
Infine se non piove e non c’è il sole, l’affermazione è ancora falsa.
E. Occhiuto
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Concetti Di Base
Definizione dell’operatore and
I
In generale, chiamiamo p il primo fatto (piove) e q il secondo (c’è il
sole),
I
per poter stabilire se l’espressione p ∧ q è vera o falsa dobbiamo
sapere se le due proposizioni che la compongono sono vere o false.
I
L’operatore and segue la seguente tabella:
p
true
true
false
false
E. Occhiuto
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q
true
false
true
false
p∧q
true
false
false
false
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Concetti Di Base
Definizione dell’operatore or
I
Anche questo operatore consente di esprimere condizioni in cui più
fatti possono verificarsi contemporaneamente, ma con un significato
diverso. Ad esempio:
I
I
”Piove o fa freddo”,
”Ho fame o sonno”.
I
”Piove ‘o fa freddo” è un’affermazione vera se è vero che piove ed è
vero che fa freddo.
I
Se piove ma non fa freddo l’affermazione ”Piove o fa freddo” è
ancora vera.
I
Ancora se non piove ma fa freddo l’affermazione ”Piove o fa freddo”
è ancora vera.
I
Infine se non piove e non fa freddo, l’affermazione è falsa.
E. Occhiuto
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Concetti Di Base
Definizione dell’operatore or
I
Di nuovo, chiamiamo p la prima (proposizione) (piove) e q la seconda
(c’è il sole),
I
anche in questo caso, per poter stabilire se l’espressione p ∨ q è vera
o falsa dobbiamo sapere se le due proposizioni che la compongono
sono vere o false.
I
L’operatore r segue la seguente tabella:
p
true
true
false
false
E. Occhiuto
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q
true
false
true
false
p∨q
true
true
true
false
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Concetti Di Base
Definizione del complemento o negazione
I
L’altro operatore che consideriamo è il complemento detto anche
negazione, e serve appunto per negare una proposizione.
I
Ad esempio: ”Non piove”
I
In matematica è denotato con a ma essendo tale notazione complessa
da riprodurre sul computer è stata abbandonata per adottare il
simbolo !.
I
è un operatore unario cioè abbiamo una sola proposizione p che viene
negata
I
L’operatore segue la seguente tabella:
p
true
false
E. Occhiuto
–
!p
false
true
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Concetti Di Base
Esercizi
I
I
Con riferimento agli insiemi A e B degli esercizi 1 e 2 sugli insiemi,
riscrivere la loro definizione intensionale utilizzando gli operatori
booleani.
Utilizzando gli operatori booleani, riscrivere poi le rappresentazioni
intensionali di :
1. A ∪ B
2. A ∩ B
3. A − B
E. Occhiuto
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