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Il primo principio della termodinamica
Il primo principio della termodinamica
Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che per far innalzare la temperatura di un sistema vi sono
due possibilità:
fornendo calore al sistema, per esempio mediante una fiamma o una stufa
compiendo un certo lavoro sul sistema, per esempio con l’attrito.
Ricordando che l’energia interna U del sistema dipende dalla sua temperatura, combiniamo le
osservazioni precedenti in un’unica equazione e otteniamo il primo principio della termodinamica:
La variazione di energia interna ΔU di un sistema è uguale alla differenza tra il calore e il
lavoro scambiati dal sistema con l’ambiente esterno. In simboli:
ΔU = Q −L.
Per quel che riguarda il segno, i valori che assumono le due grandezze Q
e L seguono la seguente convenzione:
Q è positivo quando il sistema assorbe calore dall’ambiente esterno
Q è negativo quando il sistema cede calore all’ambiente esterno
L è positivo quando il sistema compie lavoro sull’ambiente esterno
L è negativo quando il sistema subisce lavoro dall’ambiente esterno.
Questa convenzione deriva dal fatto che tali grandezze vennero applicate alle macchine termiche
per le quali era naturale introdurre calore e produrre lavoro.
Possiamo verificare che applicando questa convenzione si ha:
Q positivo e/o L negativo
ne segue che
U aumenta
Q negativo e/o L positivo
ne segue che
U diminuisce
Se invece Q e L sono entrambi positivi o entrambi negativi il segno di U dipende da quale dei due
è più grande.
Esempio 1 – Calcolo della variazione di energia interna di un gas mediante l’applicazione del primo
principio della termodinamica
Consideriamo un gas contenuto in un cilindro dotato di un pistone mobile sul quale è posto un certo peso.
Inizialmente il gas è in equilibrio e possiede energia interna U0. Il gas riceve dall’ambiente esterno la
quantità di calore Q = 4,0 ∙ 103 J e solleva il peso compiendo un lavoro L1 = 2,5 ∙
103 J.
In un secondo momento, dopo essere ritornato alle condizioni iniziali, oltre che
ricevere il calore Q, il gas viene compresso e subisce il lavoro L2 = − 2,5 ∙ 103 J.
Vogliamo calcolare di quanto varia l’energia interna in ognuno dei due processi.
Scriviamo i dati del problema
Primo processo:
Calore assorbito: Q = 4,0 ∙ 103 J
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Calore assorbito: Q = 4,0 ∙ 10 J
Lavoro subito: L2 = −2,5 ∙ 103 J
Lavoro compiuto: L1 = 2,5 ∙ 103 J
Secondo processo:
Incognite
Valore della variazione di energia interna ΔU in ognuno dei due processi.
Analisi e soluzione
Per determinare la variazione di energia interna ΔU applichiamo ai dati del problema il primo principio della
termodinamica.
Primo processo:
ΔU1 = Q −L1 = 4,0 ∙ 103 J − 2,5 ∙ 103 J = 1,5 ∙ 103 J
Secondo processo:
ΔU2 = Q −L1 = 4,0 ∙ 103 J − (−2,5 ∙ 103 J) = 6,5 ∙ 103 J
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Il primo principio della termodinamica esprime il bilancio energetico tra il sistema e l’ambiente
esterno; questo principio, riscritto nella forma Q U L non è altro che il principio di
conservazione dell’energia: il calore fornito al sistema si trasforma in energia interna del sistema o
in lavoro.
Un’altra importante conclusione che deriva dal primo principio della termodinamica è il fatto che
un sistema termodinamico non può produrre con continuità lavoro senza che, in cambio, gli venga
fornita dall’esterno una quantità equivalente di energia. Questo principio quindi definisce
l’impossibilità di realizzare il cosiddetto moto perpetuo di prima specie, cioè un dispositivo che
compie lavoro senza ricevere energia.
Analizziamo ora come il primo principio della termodinamica viene applicato ad alcune
trasformazioni di un sistema costituito da un gas ideale.
Trasformazione isovolumica (isocora o a volume costante)
Consideriamo un gas contenuto in un recipiente il cui volume V non può cambiare, come per
esempio nella pentola a pressione.
Come abbiamo visto nella lezione precedente il lavoro L in una trasformazione isovolumica è nullo,
pertanto il primo principio della termodinamica viene così espresso: ΔU = Q.
Otteniamo quindi:
se il calore Q è fornito al sistema, esso risulta positivo e va ad aumentare l’energia interna e di
conseguenza la temperatura
se il calore Q è sottratto al sistema, esso risulta negativo e va a diminuire l’energia interna e di
conseguenza la temperatura.
Trasformazione isobarica (a pressione costante)
Consideriamo un gas che si trova in un recipiente cilindrico
dotato di un pistone mobile; sul pistone è posto un certo peso.
Inizialmente il gas è in equilibrio alla temperatura T, al volume V
e alla pressione p. Fornendo il calore Q al gas la sua energia
interna
aumenta,
aumentando
così
la
temperatura.
Contemporaneamente il pistone si alza e compie il lavoro L. Il
peso del pistone e la massa non cambiano, per cui la pressione rimane costante.
Riscriviamo il primo principio della termodinamica nella forma Q = ΔU +L: una parte del calore
fornito al sistema si trasforma in energia interna aumentando così la temperatura, e l’altra parte
compie il lavoro L aumentando il volume V.
Confrontiamo ora il calore da fornire a una certa quantità di gas per far aumentare la sua
temperatura di 1 K rispettivamente per mezzo di una trasformazione a volume costante e per mezzo
di una trasformazione a pressione costante.
se la trasformazione avviene a volume costante, tutto il calore fornito al gas serve per variare
l’energia interna e quindi la temperatura;
nella trasformazione a pressione costante per ottenere lo stesso innalzamento di temperatura del
caso precedente occorre fornire più calore, perché una parte di questo si trasforma in lavoro.
Il gas, pertanto, ha due calori specifici:
il calore specifico per le trasformazioni a volume costante e indicato con il simbolo cv
il calore specifico per le trasformazioni a pressione costante e indicato con il simbolo cp
dove il calore specifico a pressione costante cp risulta maggiore del calore specifico a volume
costante cv: cp > cv
Osserviamo quindi come nei gas, a differenza che nei liquidi e nei solidi, il calore specifico dipende
dalla trasformazione seguita.
Tabella 1 – Calori specifici di alcuni gas
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Gas
J
c p
kg
K
833
1000
5234
14236
913
J
cp
mol
K
39,96
J
c v
kg
K
636
710
3160
10090
653
J
cv
mol
K
28,46
Anidride carbonica
Aria
Elio
20,08
12,47
Idrogeno
28,75
20,42
Ossigeno
29,09
20,76
Il calcolo dell’energia interna
Poiché in una trasformazione isovolumica la variazione di energia interna è uguale al calore
assorbito e dipende solamente dalla temperatura, in qualunque trasformazione possiamo calcolare la
sua variazione mediante la formula ΔU = c v ∙ m ∙ ΔT, dove: c v è il calore specifico a volume
J
costante espresso in
, m è la massa del gas e ΔT è la variazione di temperatura; oppure
kg K
J
, n è il numero
U cv n T , dove: cv è il calore specifico a volume costante espresso in
mol K
di moli e ΔT è la variazione di temperatura.
Trasformazione isotermica (a temperatura costante)
Nella trasformazione isotermica la temperatura rimane costante per cui la variazione ΔU di energia
interna è nulla. Il primo principio della termodinamica si scrive in questo caso:
0 = Q −L
da cui Q =L
Questa equazione significa che il calore che il gas riceve (o cede) si trasforma interamente in lavoro
compiuto sull’ambiente esterno (o ricevuto dall’ambiente esterno).
Trasformazione adiabatica
Una trasformazione è adiabatica se avviene senza scambio di calore con l’esterno; questo si può
verificare per esempio in un contenitore a pareti adiabatiche, cioè tali da impedire il passaggio di
calore, come per esempio nei thermos; oppure sono trasformazioni adiabatiche quelle che
avvengono in modo così rapido da non lasciare il tempo al calore di propagarsi (come le
esplosioni).
L’equazione del primo principio della termodinamica diventa: ΔU = −L e significa:
il lavoro compiuto dal sistema sull’ambiente esterno avviene a spese dell’energia interna con la
conseguente diminuzione di temperatura
il lavoro compiuto dall’ambiente esterno sul sistema determina un aumento dell’energia interna
e quindi della temperatura.
Trasformazione ciclica
In una trasformazione ciclica il gas attraversa diversi stati di equilibrio ritornando allo stato iniziale.
Per esempio il pistone di un cilindro può espandersi per il calore ricevuto e poi ritornare agli stessi
valori di pressione, volume e temperatura che aveva all’inizio. Poiché la temperatura non è
cambiata, si ha che la variazione di energia interna è nulla: ΔU = 0. Pertanto dal primo principio
della termodinamica abbiamo: Q = L.
In altre parole in una trasformazione ciclica il lavoro compiuto dal gas è uguale al calore totale che
esso scambia con l’ambiente esterno.
Riassumiamo nella seguente tabella i risultati ottenuti dalle analisi precedenti.
Trasformazione termodinamica
Caratteristiche
Primo principio
Isobara o a pressione costante
p = costante; L = pΔV
ΔU = Q −L
Isovolumica o a volume costante
L=0
ΔU = Q
Isoterma o a temperatura costante
T = costante; ΔU = 0
Q=L
Adiabatica (senza scambio di calore)
Q=0
ΔU = −L
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Anche se in questa lezione abbiamo analizzato solo il caso dei gas, il primo principio della
termodinamica ha comunque valore generale e può essere applicato a qualunque altro sistema, sia
solido che liquido. In questi casi occorrerà tener presente che le variazioni di volume sono
trascurabili e quindi il lavoro L dovuto alla deformazione del sistema è nullo; il primo principio
della termodinamica si riduce allora all’espressione ΔU = Q. Il lavoro che eventualmente può
essere considerato è quello generato da forze che non cambiano il volume, come la forza d’attrito;
in questo caso l’espressione del primo principio risulta completa: ΔU = Q − L.
Il primo principio della termodinamica nel quotidiano
In un motore diesel l’accensione del gasolio nei cilindri avviene attraverso un
trasformazione adiabatica e non per mezzo di una scintilla. Il pistone posto in
un cilindro comprime rapidamente la miscela di gasolio e di aria, la
temperatura aumenta prima che il calore abbia il tempo di uscire dal sistema,
perciò la trasformazione è adiabatica e la temperatura
stessa raggiunge valori sufficienti da incendiare la
miscela.
Una manifestazione in ambiente naturale della
trasformazione adiabatica si ha quando, nei pressi della
superficie terrestre, una corrente d’aria calda e umida
sale verso l’alto. Mentre sale la pressione atmosferica diminuisce e di
conseguenza l’aria si espande in modo adiabatico, raffreddandosi. Le
goccioline di vapore si condensano formando nuvole ed eventualmente
precipitazioni.
Il primo principio della termodinamica ci permette di capire perché
un elastico si riscalda mentre viene allungato.
Il rapido allungamento di un elastico è un processo adiabatico durante il quale non
avviene alcuno scambio di calore con l’aria circostante per cui il primo principio della
termodinamica diventa: ΔU = −L.
Il lavoro compiuto dalla forza che allunga l’elastico è negativo perché compiuto
sull’elastico stesso,
quindi il secondo membro dell’equazione risulta positivo e l’energia interna aumenta, aumentando
di conseguenza anche la temperatura dell’elastico.
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Verifiche di comprensione
1. Enuncia il primo principio della termodinamica
2. Scrivi l’equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica
3. Sostituisci al posto dei puntini i vocaboli adeguati:
a. L è positivo quando il sistema … lavoro …l’ambiente esterno
b. … è negativo quando il sistema cede calore all’ambiente esterno
c. L è negativo quando il sistema … … dall’ambiente esterno
d. Q è positivo quando il sistema … calore dall’ambiente esterno
(lavoro, calore, dal, sul, positivo, negativo, compie, cede, subisce, assorbe, L, Q)
4. Completa le seguenti affermazioni: rispetto al primo principio della termodinamica
a. se Q è positivo e L negativo, ΔU …
b. se Q è negativo e L positivo, ΔU …
5. Spiega in che cosa può trasformarsi il calore fornito a un sistema termodinamico
6. Spiega in che cosa consiste il moto perpetuo di prima specie
7. Illustra perché il primo principio della termodinamica sancisce l’impossibilità di realizzare il
moto perpetuo di prima specie
8. Scrivi l’equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una
trasformazione isovolumica
9. Quali conseguenze si hanno se si fornisce calore a una sistema mediante una trasformazione a
volume costante?
10. Scrivi l’equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una
trasformazione isobarica
11. Spiega perché i gas hanno due calori specifici e quale dei due è il maggiore
12. Scrivi l’equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una
trasformazione isotermica
13. Quali conseguenze si hanno se si fornisce calore a una sistema mediante una trasformazione a
temperatura costante?
14. Scrivi l’equazione che rappresenta il primo principio della termodinamica applicato a una
trasformazione adiabatica
15. Qual è la relazione tra il lavoro scambiato da un gas con l’ambiente esterno e la variazione di
temperatura in una trasformazione adiabatica?
16. Qual è la caratteristica in termini energetici di una trasformazione ciclica?
17. A che cosa è uguale il lavoro scambiato da un sistema termodinamico mediante una
trasformazione ciclica?
18. Come avviene l’accensione del carburante nel motore diesel?
19. Che cosa avviene alle molecole di vapore di una corrente calda ascensionale e perché?
20. Perché un elastico si riscalda mentre viene allungato?
Verifiche di conoscenza
1. Quale delle seguenti equazioni rappresenta il primo principio della termodinamica:
a. Q = L + ΔU
b. L = Q − ΔU
c. L = Q + ΔU
d. U = Q − L
2. In quale delle seguenti trasformazioni il lavoro compiuto da un gas contenuto in un cilindro
dotato di un pistone mobile è nullo:
a. isoterma
b. isobara
c. isovolumica
3. In quale delle seguenti situazioni il lavoro compiuto da un gas è positivo?
a. la temperatura finale è maggiore della temperatura iniziale
6
4.
5.
6.
7.
8.
b. il volume finale è maggiore del volume iniziale
c. la pressione finale è maggiore della pressione iniziale
Vero/Falso
V F
a. Il primo principio della termodinamica riguarda trasformazioni di energia meccanica in
energia termica
b. Una trasformazione termodinamica è ciclica quando lo stato finale coincide con lo stato
iniziale
c. La variazione di temperatura di un gas perfetto in una trasformazione termodinamica è
sempre inversamente proporzionale alla variazione di energia interna
d. Una trasformazione ciclica è espressa dall’equazione: Q + L = costante
Se in una trasformazione isotermica il volume finale diventa il triplo del volume iniziale, il
primo principio della termodinamica assume la forma:
a. ΔU = Q −2 L
b. L = 0
c. Q =L
d. ΔU = −2L
Quale delle seguenti frasi è errata:
a. Se comprimiamo un gas in un cilindro mediante una trasformazione adiabatica, l’energia
interna del gas aumenta
b. Si può sempre realizzare una compressione adiabatica di un gas a temperatura costante
c. Un gas, pur cedendo calore, si riscalda solo se subisce un lavoro maggiore del calore
ceduto
I gas hanno due calori specifici, quello a pressione costante e quello a volume costante:
a. per distinguere i gas reali da quelli ideali
b. perché il calore specifico dei gas dipende dal tipo di trasformazione utilizzata
c. per distinguere i gas monoatomici da quelli le cui molecole sono formate da più atomi
In un gas perfetto il confronto tra i calori specifici porta a:
a. cp < cv
b. cp > cv
c. cp = cv
Problema svolto – Calcolo del calore assorbito da un gas per variare la temperatura rispettivamente a
volume costante e a pressione costante
Vogliamo determinare quanto calore occorre fornire a 3,75 moli di ossigeno, la cui massa molare è pari a 32
g∙mol−1, per aumentare la sua temperatura da 20 °C a 140 °C rispettivamente:
J
)
mol K
J
b. a pressione costante (cp = 29,09
). In questo secondo caso vogliamo calcolare il lavoro
mol K
a. a volume costante (cv = 20,76
compiuto dal gas.
Scriviamo i dati del problema
Massa di ossigeno: m = 3,75 moli
Temperatura iniziale dell’ossigeno: t0 = 20 °C; temperatura finale dell’ossigeno tf = 140 °C
Incognite
a. calore Qv fornito a volume costante
b. calore Qp fornito a pressione costante
Analisi e soluzione
Calcoliamo il calore fornito utilizzando la formula Q = c ∙ m ∙ Δt per ognuno dei due casi. La differenza di
temperatura è la stessa sia calcolata in gradi kelvin che calcolata in gradi celsius.
a. Trasformazione a volume costante
Qv = 20,76
J
∙ 3,75 moli ∙ 120 °C = 9,3 ∙ 103 J
mol K
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b. Trasformazione a pressione costante Qp = 29,09
J
∙ 3,75 moli ∙ 120 °C = 13,1 ∙ 103 J
mol K
Calcoliamo ora il lavoro compiuto dal gas; dal primo principio della termodinamica abbiamo: L = Q − ΔU.
La variazione di energia interna è ΔU = cv ∙ n ∙ ΔT = 20,76
J
∙ 3,75 moli ∙ 120 °C = 9,3 ∙ 103 J.
mol K
Abbiamo visto che il calore scambiato è pari a 13,1 ∙ 103 J, quindi per il lavoro avremo:
L = 13,1 ∙ 103 J − 9,3 ∙ 103 J = 3,8 ∙ 103 J.
Problemi
1. Calcola la variazione di energia interna nei seguenti casi:
a. il gas assorbe 7,0 ∙ 103 J di calore dall’ambiente esterno e compie contemporaneamente
4,5 ∙ 103 J di lavoro sull’ambiente esterno
b. il gas assorbe 7,0 ∙ 103 J di calore dall’ambiente esterno e subisce contemporaneamente
un lavoro di 4,5 ∙ 103 J dall’ambiente esterno
c. il gas cede 7,0 ∙ 103 J di calore dall’ambiente esterno e compie contemporaneamente un
lavoro di 4,5 ∙ 103 J sull’ambiente esterno
2. Un gas contenuto in un cilindro dotato di un pistone scorrevole durante una trasformazione
termodinamica assorbe una quantità di calore Q = 6 ∙ 103 J e si espande da 20 dm3 a 50 dm3 alla
pressione costante p = 1,8 ∙ 105 Pa. Calcola il lavoro compiuto dal gas e la sua variazione di
energia interna.
3. Un gas contenuto in un cilindro dotato di pistone scorrevole assorbe una certa quantità di calore
Q e il suo volume aumenta di 30 cm3 alla pressione costante p = 2,0 ∙ 107 Pa. Sapendo che la
variazione di energia interna del gas è di 250 J, determina il lavoro compiuto dal gas e il calore
assorbito.
4. Una massa di 100 g di elio contenuta in un certo recipiente, viene riscaldata da 15 °C a 160 °C
mantenendo costante il volume. Di quanto aumenta l’energia interna del gas?
5. Una massa di anidride carbonica passa da 30 °C a 120 °C attraverso una trasformazione
isovolumica durante la quale la sua energia interna aumenta di 6,9 ∙ 103 J. Calcola la massa del
gas.
6. Una massa di 100 g di aria passa da 20 °C a 160 °C mediante una trasformazione isobarica.
Calcola la variazione di energia interna e il calore assorbito dalla massa d’aria. (Suggerimento:
ricorda che l’energia interna si calcola come calore scambiato in una isovolumica tra due stati
aventi le temperature dello stato iniziale e finale…)
7. Durante una trasformazione isobarica una massa di 20 moli di elio viene riscaldata di 70,0 °C.
Calcola quanto lavoro compie il gas. Si espande o viene compresso? (Vedi suggerimento
problema 6)
8. Una certa quantità di anidride carbonica durante una trasformazione termodinamica cede
all’ambiente esterno la quantità di calore Q = 2,0 ∙ 103 J e contemporaneamente la sua energia
interna aumenta di 5,0 ∙ 103 J. Calcola il lavoro compiuto dal gas. Si espande o viene
compresso?
9. Una massa di 100 g di idrogeno durante una trasformazione termodinamica viene compressa
subendo un lavoro di 1,0 ∙ 104 J. La sua energia interna
diminuisce di 2,0 ∙ 104 J. Calcola la variazione di
temperatura del gas sia in gradi kelvin che in gradi celsius.
10. Il grafico p/V disegnato in figura rappresenta la
trasformazione ciclica ABCDC compiuta da un gas
perfetto. Facendo riferimento ai dati presentati sul grafico:
a. calcola la variazione di energia interna del gas
b. calcola il lavoro compiuto dal gas in un ciclo
c. calcola il calore scambiato dal gas in un ciclo
