Note - Ottica Nonlineare

Capitolo 3
Introduzione all’ottica nonlineare
Nel corso di questo capitolo arriveremo alla definizione di ottica nonlineare
del secondo e del terzo ordine ed alla descrizione dei processi ottici ai quali esse
danno origine. In alcuni casi si daranno degli esempi applicativi più specifici.
I risultati riportati nel capitolo 1 per l’ottica classica prevedono che la
radiazione elettromagnetica, per basse intensità, si propaghi nei materiali in
modo indipendente dalla propria intensità. Infatti, come previsto dalla teoria
dell’elettromagnetismo basata sulle equazioni di Maxwell, la propagazione
dipende solo dalla lunghezza d’onda e dalla velocità della luce nel materiale.
Inoltre campi elettromagnetici diversi che attraversino un mezzo non
interagiscono tra loro.
L’invenzione dei laser capaci di generare fasci di luce monocromatica e
coerente di altissima intensità (>1012 Wcm2), ha permesso l’osservazione di
nuovi effetti fisici che dipendono strettamente dall’intensità della luce e che
vengono descritti nell’ambito della teoria dell’ottica nonlineare. Le proprietà
ottiche dei materiali dipendono in modo nonlineare dall’intensità del fascio e
dalle sue caratteristiche da cui il termine “ottica nonlineare”.
L’effetto provocato da un’onda su un materiale è descritto dalla

polarizzazione P indotta nel materiale stesso dal campo elettrico ad essa
associato. Per campi elettrici intensi la polarizzazione indotta non può essere
espressa tramite la relazione semplificata (1.1.13). Essa sarà descritta invece da
una funzione complicata, e non necessariamente lineare, del campo elettrico:
  
P  f (E )
96
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
Per dare un prima descrizione della risposta nonlineare utilizziamo il
modello intuitivo classico molto semplificato dell’oscillatore anarmonico.
3.1 Modello microscopico generico dell’origine della nonlinearità ottica
Quando un’onda luminosa attraversa un mezzo materiale, il campo elettrico
ad essa associato agisce sulle nuvole elettroniche, o più schematicamente sugli
elettroni degli atomi (o delle molecole), spostando il baricentro dai rispettivi
nuclei e inducendo perciò momento di dipolo elettrico, come mostrato in figura
3.1.
Figura 3.1
Nei conduttori le cariche sono libere di muoversi attraverso il materiale
dando origine ad una debole corrente elettrica. Nei materiali dielettrici invece le
cariche sono localizzate e possono essere schematizzate come oscillatori legati
con una certa elasticità, come schematizzato in figura 3.2.
In regime di bassa intensità, il campo elettrico associato all’onda provoca
un lieve spostamento delle particelle dalla loro posizione di riposo e queste
generano una polarizzazione indotta oscillante. Poiché le cariche nucleari hanno
massa molto più grande degli elettroni ne segue che, alle frequenze ottiche, solo
la carica negativa subisce uno spostamento rilevante e dà contributo. La
polarizzazione indotta che ne risulta si propaga con il campo alla stessa
frequenza ottica, vedi figura 1.6c, ed irraggia campo nel mezzo, secondo le
modalità introdotte nel paragrafo 2.1. Possiamo utilizzare il modello di figura 2.7
per studiare la risposta del mezzo all’azione del campo elettrico associato ad
97
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
un’onda in regime lineare ed estendere poi la trattazione al caso in cui l’intensità
sia tale da non poter più considerare il regime lineare.
Figura 3.2
Trascurando lo spostamento dello ione positivo e limitandoci al caso
unidimensionale, la posizione del singolo elettrone varia secondo la seguente
equazione del moto:
 d2x

dx
m  2  2
  2 x   2  x 2   3  x 3  ...   eE t  ,
dt
 dt



(3.1.1)
dove x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio,  è la frequenza di
risonanza dell’oscillatore, e la carica dell’elettrone e  tiene conto della
dissipazione. Il termine a destra dell’equazione rappresenta la forza applicata
all’elettrone dal campo dell’onda che genera le oscillazioni. Si trascurino in un
primo momento i termini anarmonici  2  x 2   3  x 3  ... e si consideri solo la
risposta armonica generata da un campo elettrico della forma:
E t   E o cost  
1
1
E o exp it   expit   E o exp it   c.c . ,
2
2
(3.1.2)
dove  è la pulsazione ottica e c.c. indica l’ operazione di coniugazione
complessa. La soluzione della (3.1.1) va quindi cercata nella forma
98
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
1 ~
x0 exp it   c.c. , dove ~x0 è una quantità complessa che include sia la
2
risposta in ampiezza che in quella in fase. Sostituendo tale espressione e la
(3.1.2) nella (3.1.1) otteniamo una equazione lineare che risolta dà lo
spostamento dell’elettrone in funzione del tempo:
xt  
xt  
exp it 
1   eE o

 c.c.
2  m  2   2  2i

.
(3.1.3)
Si ha quindi un momento di dipolo indotto pari a p( t )  e  x( t ) e, se N è il
numero di oscillatori per unità di volume, la polarizzazione indotta nel mezzo è
pari a:
P( t )   Nex( t ) .
(3.1.4)
Si ottiene che la dipendenza della polarizzazione rispetto dal campo è
quindi lineare tramite la suscettività complessa ~(  ) secondo la:
P( t )  12  o ~(  )Eo exp it   c.c.
,
(3.1.5)
.
(3.1.6)
dove:
~   
Ne 2
1
 2
 o m    2  2i
99
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
L’andamento delle parti reale ed immaginaria di ~( ) è mostrato in
figura 3.3. La polarizzazione indotta nel mezzo oscilla alla stessa frequenza del
campo ottico incidente, irradia nel mezzo e modifica la propagazione dell’onda.
Le perdite del mezzo sono rappresentate dalla parte immaginaria di ~( ) che


tiene conto della componente di P in quadratura con il campo E . Come
anticipato nel capitolo 1, la costante dielettrica, data dall’equazione 2.1.16, è
anch’essa complessa:
~    1 
Ne 2
1
 2
 o m    2  2i
(3.1.7)
con dipendenza dalla pulsazione simile a quella di ~(  ) . Potremo scrivere:
~(  )   R (  )  j I (  )
(3.1.8)
Ricordiamo che l’indice di rifrazione complesso di un materiale è definito come:
n~  n  j
(3.1.9)
dove n e , detti indice di rifrazione e coefficiente di estinzione, determinano le
proprietà rifrattive ed assorbenti del materiale. Si ha che valgono le:
Figura 3.3
 R  n2   2
(3.1.10)
 I  2 n
(3.1.11)
100
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
dalle quali è possibile ricavare l’andamento, o dispersione, di n e  in funzione
della pulsazione  dell’onda elettromagnetica.
Come detto, l’approssimazione lineare è una semplificazione di una
dipendenza più complicata ed è in generale valida per bassi valori di campo
elettrico. Per spostamenti più ampi la forza di richiamo è significativamente
nonlineare. L’anarmonicità è tenuta in conto nella (3.1.1) mediante i termini
m  2  x 2   3  x 3  ... dove  2  e  3  sono delle costanti.
Nei mezzi simmetrici, in cui cioè è possibile determinare un centro di
simmetria nella struttura, l’energia potenziale di un elettrone deve riflettere la
simmetria del mezzo; ne consegue che il potenziale di attrazione è dato da [2.1]:


V( x ) 
m 2 2 m (3) 4
 x   x  ...
2
4
.
(3.1.12)
A causa della simmetria del materiale, V(x) contiene solo potenze pari di x, in
modo tale che risulti V(x)=V(-x). La forza di richiamo esercitata sull’elettrone e’
quindi pari a:
F( x )  
V
  m 2 x  m ( 3 ) x 3 .
x
(3.1.13)
In mezzi particolari, nei quali la condizione V(x)=V(-x) non è più verificata,
detti non-centrosimmetrici, la funzione potenziale può contenere anche potenze
dispari di x:
m 2 2 m (2) 3
 x   x  ...
2
3
.
(3.1.14)
V
 ( m 2 x  m ( 2 ) x 2  ...) .
x
(3.1.15)
V( x ) 
cui corrisponde la forza di richiamo:
F 
Ne consegue che, volendo tenere conto della risposta anarmonica degli
oscillatori microscopici, nel caso di mezzi centrosimmetrici il primo termine
nonlineare del potenziale è quartico mentre nei mezzi non-centrosimmetrici il
primo termine è cubico.
Limitiamoci al caso di un mezzo non-centrosimmetrico in cui il primo
termine nonlineare nella forza di richiamo dell’oscillatore sia dato dalla (3.1.15).
Nel caso di mezzi centrosimmetrici, la risposta nonlineare sarà indotta da termini
di grado superiore nell’anarmonicità; ne consegue che in tal caso sarebbe
necessario operare con valori di intensità ancora più elevati per mettere in
evidenza i fenomeni nonlineari.
101
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
Allo scopo di ricavare l’espressione formale della polarizzazione
nonlineare, si consideri il caso in cui il campo elettrico forzante sia costituito
dalla somma di due campi a pulsazioni diverse:
E( t )  E1 cos( 1t )  E2 cos( 2t ) .
(3.1.16)
L’equazione dell’oscillatore armonico nonlineare si riduce in questo caso alla:
d 2x
dx
 2
  2 x   2 x 2  e / m  E t 
dt
dt 2
.
(3.1.17)
In generale, nelle applicazioni di ottica nonlineare si è interessati a valori
piccoli del termine nonlineare. Si è generalmente nella condizione in cui il
termine forzante è tale da non generare la ionizzazione della particella sottoposta
al campo (il campo di ionizzazione e’ dell’ordine di circa 3108 V/m),
provocando la rottura del materiale. Per la risoluzione della (3.1.17) è quindi
giustificato un approccio di tipo perturbativo. Secondo tale approccio la
soluzione della (3.1.17) può esprimersi nella somma di due termini [2.1]:
x( t )  x( 1 )( t )  x( 2 )( t )
,
(3.1.18)
in cui x(1)(t) è soluzione della (3.1.17) senza considerare in essa il termine
anarmonico, mentre x(2)(t) e’ considerata come piccola correzione alla x(1)(t).
Sostituendo la (3.1.18) nella (3.1.17), sviluppando tutti i termini ed eliminando
quelli che soddisfano l’equazione dell’oscillatore armonico, si ha:
2
x( 2 )( t )  2 x( 2 )( t )   2 x( 2 )( t )   ( 2 ) x( 1 ) ( t )
,
(3.1.19)
da cui si vede che la correzione x(2)(t) soddisfa un’equazione differenziale non
omogenea in cui il termine di sorgente è il quadrato della soluzione lineare.
Analogamente al caso lineare trattato precedentemente la soluzione del 1°
ordine che compare nella (3.1.18) può essere espressa come:
x( 1 )( t ) 


1 ~(1)
x (  1 )e i1t  ~
x 2( 1 ) (  2 )e i2t  c.c.
2 1
,
(3.1.20)
in cui si e’ considerato il caso generale di campo forzante, espresso dalla
(3.1.16). Si noti come i due addendi della (3.1.20) abbiano evidentemente
l’espressione calcolata nel caso lineare:
~
x k( 1 ) (  k ) 
e / m
   k 2  2i k 
2
Ek ,
k  1,2 .
(3.1.21)
102
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
La soluzione della (3.1.19) va cercata nella forma:
x( 2 )( t ) 
1 ~( 2 )
[ x (  1   2 )e i( 1 2 )t  ~
x ( 2 ) (  1   2 )e i( 1  2 )t 
2
~
x ( 2 ) ( 2 1 )e i 21t  ~
x ( 2 ) ( 2 2 )e i 22t  c.c.]
(3.1.22)
Sostituendo le (3.1.16), (3.1.20) e (3.1.22) nella (3.1.19) d uguagliando i termini
che oscillano alla stessa pulsazione si ottengono le seguenti espressioni per le
ampiezze complesse:
x ( 2 ) ( 1   2 )  
 ( 2 ) ( e / m )2
1

2
2
2 (    1  2i 1 )(  2   22  2i 2 )
(3.1.23)

E1 E 2
2
[   (  1   2 ) 2  4i (  1   2 )]
e
x ( 2 ) ( 2 k )  
 ( 2 ) ( e / m )2
1
 E k2
2
2
2
2
2
2 (    k  2i k ) (   4 k  4i k )
. (3.1.24)
k  1,2
E’ importante osservare che la soluzione al 2° ordine porta alla generazione di
pulsazioni differenti da quelle del campo forzante. In particolare si nota la
presenza della pulsazione somma e differenza (12) e delle pulsazioni a
seconda armonica (2 k). E’ utile inoltre sottolineare che le formule precedenti
restano valide anche se e’ presente un solo campo forzante a pulsazione 1; in tal
caso x(2)(t) sarà dato dalla somma di un termine a seconda armonica e di un
termine a pulsazione nulla (termine di rettificazione ottica).
Infine va fatto notare che l’approccio appena descritto è molto semplificato. Il
campo complessivo dato nella (3.1.16) dovrebbe contenere tutti i termini di
campo effettivamente presenti nel mezzo, anche quelli eventualmente generati
nel processo nonlineare. Nel presente approccio ci siamo limitati a studiare la
generazione di nuovi campi a differenti pulsazioni trascurando il fatto che questi
possano contemporaneamente interagire tra loro o con i campi originali.
Ricordando l’espressione (3.1.4) e supponendo di essere in presenza di N
dipoli per unità di volume, si può scrivere per la polarizzazione indotta la
relazione:
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
P( t )   Nex( t )   Ne[ x( 1 )( t )  x( 2 ) ( t )] ,
103
(3.1.25)
che può essere schematicamente riscritta come:
P( t )  PL ( t )  PNL ( t ) .
(3.1.26)
dove compare il termine lineare classico PL(t) ed un nuovo termine PNL(t).
Il semplice modello proposto riesce quindi a prevedere che la
polarizzazione indotta in un mezzo dielettrico per alte intensità del campo debba
contenere dei termini nonlineari che oscillano a nuove pulsazioni ottiche. Nella
visione pittorica mostrata in figura 3.4, si evidenzia come una dipendenza
nonlineare della polarizzazione dal campo elettrico possa dare origine ad una
polarizzazione indotta che in presenza di debole campo elettrico può essere
considerata lineare, figura 3.4(a), mentre per valori grandi del campo, figura
3.4(b), è decisamente nonlineare dipendendo dall’ampiezza del campo applicato.
Nel caso di figura 3.4(b) l’analisi spettrale mostra che la polarizzazione contiene
oltre alla frequenza di ingresso  anche componenti a frequenze 2 , 3 , ..., e
componente continua a frequenza zero.
Finora si e’ tacitamente tralasciato il fatto che in realtà il modello dovrebbe
essere tridimensionale e che le suscettività  sono grandezze tensoriali, legate
alle componenti del campo lungo degli assi cartesiani di riferimento. Nello studio
di tale fenomeno si dovrebbe quindi considerare il problema vettorialmente. Si
può dimostrare che si perviene comunque allo stesso risultato ricavato in
precedenza e relativo ad una trattazione scalare, per cui si avrà:



P( t )  PL ( t )  PNL ( t )
.
(3.1.27)

dove PL ( t ) è il termine lineare che già abbiamo trattato nel caso classico e
Figura 3.4
104
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica

PNL ( t ) è il contributo correttivo dovuto alla nonlinearità.
La presenza di un termine supplementare nella polarizzazione modifica
l’equazione d’onda (1.1.11) che diviene:




 2 ( PL  PNL )
2E
.
 E  0 0
 0
t 2
t 2
2
(3.1.28)
Dal momento che la parte lineare della polarizzazione si potrà ancora scrivere
per mezzo della (1.1.13) si ha:



 2 PNL
2E
 E  0 2  0
,
t
t 2
2
(3.1.29)
che mostra che la parte nonlineare della polarizzazione agisce come termine di
sorgente. Essa darà luogo quindi ad irraggiamento di campo elettromagnetico a
tute le frequenze a cui oscilla.
Dalle espressioni (3.1.23) e (3.1.24) si vede che quando le frequenze
forzanti  k (k=1,2) o una loro combinazione lineare  k   j (k,j=1,2)
coincidono con la frequenza propria di risonanza dell’oscillatore  la suscettività
nonlineare  2  diventa molto grande. Confrontando  2   1 si nota che per
avere alti valori della suscettività non lineare, si devono avere alti valori di quella
lineare. Ciò significa che le nonlinearità ottiche sono elevate in prossimità delle
risonanze proprie di un sistema, dove il coefficiente di estinzione è elevato. Tale
caratteristica è a volte utilizzata per distinguere il tipo di nonlinearità di un
mezzo in risonanti e non risonanti e ha una grande rilevanza per le applicazioni
fotoniche. Volendo costruire un dispositivo fotonico è evidente che si cercherà di
massimizzare la risposta nonlineare; tuttavia operare in regime di risonanza
corrisponde ad aumentare l’assorbimento ottico, limitando la trasmittanza del
dispositivo e la capacità di porne un grande numero in cascata. Fissata quindi la
lunghezza d’onda , ovvero la pulsazione , a cui il dispositivo deve operare, si
dovrà quindi scegliere un materiale nonlineare le cui frequenze di risonanza
caratteristiche siano tali da rendere la risposta nonlineare sufficientemente
elevata e che l’assorbimento sia trascurabile.
I risultati ottenuti fermandoci al primo ordine nello sviluppo in serie del
potenziale possono essere estesi prendendo in considerazione elementi successivi
dello sviluppo. Ovviamente questi inizieranno ad aver peso per valori di campo
elettrico ancora più elevati. Le espressioni per la polarizzazione indotta
divengono più complicate senza aggiungere tuttavia nuovi concetti, per cui non
le riportiamo.
3.2 Trattazione macroscopica della nonlinearità ottica
105
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare

Abbiamo visto che la polarizzazione P( t ) di un mezzo sotto l'influenza di

un campo elettrico applicato E( t ) , nel regime di alta intensità, è nonlineare.
Essa può essere quindi espressa in termini di una serie di potenze del campo
stesso:






P(t )  P (0)  P (1) (t )  P ( 2) (t )  P (3) (t )....  P ( n) (t )  ...
(3.2.1)



dove P( 1 )( t ) è lineare nel campo, P( 2 )( t ) è quadratica e così via. P ( 0 ) ,
indipendente dal campo, rappresenta la polarizzazione statica presente in alcuni
materiali.
Ci limitiamo a considerare il caso in cui la risposta del materiale sia locale,
per cui la polarizzazione in un punto del mezzo dipende solo dal campo in quel
punto.
Considerando il principio di invarianza temporale secondo il quale le
proprietà dinamiche di un sistema non cambiano al traslare dell’origine
temporale del sistema di riferimento, ovvero uno spostamento temporale del
campo elettrico risulta semplicemente in uno spostamento temporale della
polarizzazione, possiamo scrivere il termine lineare nella forma:



P 1 t    o R 1   | E t   d .

(3.2.2)

nella quale R 1   è un tensore di rango due che descrive la risposta lineare del
mezzo e la cui forma è soggetta a due limitazioni. Per prima cosa deve annullarsi
per  negativi, per assicurare che la polarizzazione dipenda solo dai valori del
campo prima di ; questa condizione è detta di causalità. Il secondo requisito è la
condizione di appartenenza alla classe delle funzioni reali; dal momento che sia


P( t ) che E (t ) sono reali, anche la funzione risposta deve esserlo.
Il ragionamento può essere facilmente esteso alla polarizzazione di ordine


n-esimo P( n )( t ) , proporzionale alla n-esima potenza del campo E( t ) :





P n  t    o d 1 ... R n   1 ,... n  | E t   1 ...E t   n d n ,



(3.2.3)

dove il tensore R n   1 ,... n  è di ordine n+1, è una funzione reale delle n
variabili temporali e si annulla nel caso in cui almeno una di tali variabili diventi
negativa. Con la barra verticale indichiamo l’operazione di prodotto tensoriale di
ordine generico n.
106
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica

Esprimendo il campo elettrico E( t ) in termini della sua trasformata di

Fourier E(  ) , attraverso le identità integrali di Fourier:




E t   E   exp it d , E    1 2




 E t  expit dt
,
(3.2.4)

otteniamo:





P n  t    o d 1 ... d n  n     ;  1 ,..., n  | E  1 ...E  n  exp i t  ,




(3.2.5)
in cui è implicita la definizione del tensore di suscettività di ordine n-simo:


n 


n

  ;  1 ,..., n    d 1 ...  d n R n   1 ,..., n  exp i   j j 
j 1

dove  
 
j


(3.2.6)

.
j 1...n
Il principio di causalità implica che la  n    ;  1 ,..., n  sia analitica per
frequenze complesse giacenti nel semipiano superiore, mentre la condizione di
realtà si riflette nella:
    


n


;  1 ,..., n    n    ;  1 ,..., n

(3.2.7)
L’utilità della rappresentazione tramite i tensori di suscettività diventa
evidente se consideriamo che in molti casi pratici i campi coinvolti sono
monocromatici, come avviene per esempio nel caso di emissione di sistemi laser
in continua. La trasformata di Fourier del campo includerà di conseguenza
funzioni  di Dirac e la polarizzazione sarà completamente determinata dal
valore dei tensori di suscettività alle frequenza ottiche coinvolte, combinazioni
lineari delle fondamentali. Anche nel caso di campi non monocromatici, ad
esempio nel caso in cui vengano utilizzati impulsi corti, si può usare tale
rappresentazione, a patto di essere in presenza di una risposta istantanea, ovvero
molto più rapida della durata degli impulsi luminosi.
La rappresentazione in termini di componenti di Fourier perde invece senso
nel caso in cui la risposta nonlineare abbia tempi di rilassamento comparabili o
107
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
maggiori della durata degli impulsi. In tal caso è preferibile trattare l’interazione
tramite espressioni del tipo della (3.2.3).
Tenendo conto della simmetria di permutazione relativa ai tensori di
suscettività, i fattori numerici che emergono dalla definizione di polarizzazione
potrebbero divenire causa di confusione o di errore. Adottiamo la seguente
convenzione per esprimere la polarizzazione di ordine n-esimo:



P n       o  K (   ;   ,...,  ) n     ;   ,...,   | E  1 .....E  n  .
(3.2.8)
dove la somma su  ricorda di sommare su tutti i possibili set di frequenze che
danno  come somma. A causa della simmetria intrinseca di permutazione le
frequenze ,…,  possono essere scritte in qualunque sequenza arbitraria. K è
il fattore numerico sopra citato e può essere formalmente definito come:
K (  ;  ,..., )  K ( n )  2 l  m  n p ,
(3.2.9)
in cui p è il numero delle permutazioni distinte delle n-frequenze, m il numero di
frequenze uguali a zero e l  1 se    0 altrimenti l  1 .
A volte in letteratura si trova direttamente indicato in forma generica che in
ottica nonlineare la polarizzazione del mezzo può essere espressa in termini dello
sviluppo in serie come:


(2)
(3)
Pi   0  ij( 1 ) E j   ijk
E j E k   ijkl
E j E k E l  .....
,
(3.2.10)
dove ora risulta chiaro che l’espressione contiene una quantità maggiore di
informazioni e che vale solamente sotto le ipotesi che abbiamo fatto. I termini
nonlineari legati al tensore  vengono detti del secondo ordine o quadratici. I
termini legati al tensore  vengono detti del terzo ordine o cubici.
Abbiamo visto, nel caso del semplice modello dell’oscillatore anarmonico,
che se il mezzo ha una simmetria di inversione rispetto ad un punto (centrosimmetria) ci dobbiamo aspettare che la prima correzione al potenziale armonico
sia quartica e che sia descritta da un coefficiente . Dal punto di vista
macroscopico tale fenomeno si riflette nel fatto che per un mezzo centrosimmetrico tutte le componenti dei tensori di ordine pari 
sono
identicamente nulle (simmetria di Kleinmann [2.1]). In questo caso il primo
termine non lineare che compare nello sviluppo in serie dato dalla (3.2.10) è
quello proporzionale al tensore .
Nel caso in cui il materiale non presenti una simmetria di inversione
rispetto ad un punto (mezzo non-centro-simmetrico), il primo termine non
lineare nello sviluppo dato dalla (3.2.10) è proporzionale al tensore . Esso è
un tensore di rango tre ed è in generale caratterizzato da 27 componenti di cui si
108
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
può ottenere una riduzione a 18 componenti necessarie se il materiale è privo di
perdite: In questo ultimo caso infatti vale l’uguaglianza di Kleinman [2.1]:
 ijk   jik
(3.2.11)
che equivale a dire che il tensore è simmetrico. Altre semplificazioni si possono
avere considerando altre simmetrie caso per caso a seconda dei materiali
considerati. Nel caso di materiali non-centro-simmetrici generalmente i termini
successivi nello sviluppo in serie vengono trascurati perché di entità più piccola.
Generalmente i materiali impiegati in ottica nonlineare vengono classificati
come materiali  o  a seconda che siano non-centro-simmetrici o meno. Nei
paragrafi che seguono descriviamo quali sono gli effetti fisici che hanno luogo
nel caso in cui abbia a che fare con un tipo o l’altro di materiale.
3.3 Effetti ottici nonlineari del secondo ordine
Il termine quadratico nello sviluppo in serie della polarizzazione:
(2)
Pi( 2 )   0  ijk
E j Ek
(3.3.1)
dà origine ad effetti molto significativi che sono applicati continuamente in
dispositivi optoelettronici e fotonici commerciali. Basti pensare ai generatori di
seconda armonica nei sistemi laser ad impulsi corti o ai modulatori elettro-ottici
impiegati come interruttori ottici.
Se si considerano due campi forzanti a pulsazioni diverse  ed , la
polarizzazione del mezzo avrà componenti alle pulsazioni , ,  e
. Questi fenomeni vengono chiamati generazione di seconda armonica,
miscelamento ottico e generazione parametrica. Essi sono rappresentati
graficamente in figura 3.5, nella quale invece delle onde a pulsazione  sono
indicati i fotoni ad energia  corrispondenti.
Nel caso in cui le frequenze siano degeneri, , gli unici due
Figura 3.5
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
109
processi possibili sono la generazione di seconda armonica a  e la così detta
rettificazione ottica, per la quale un campo elettrico statico viene indotto nel
materiale.
Se una delle due pulsazioni è nulla, cioè qualora un fascio luminoso si
propaghi in un materiale al quale è applicato un campo elettrico statico, la
formula (3.3.1) dà per la polarizzazione una oscillazione alla stessa frequenza del
campo elettrico incidente. Il risultato finale consiste nel modificare il valore di
 ( 1 ) per una quantità proporzionale al campo statico. Si ottiene, quindi, che
l’indice di rifrazione alle frequenze ottiche dipende dal campo statico applicato.
Tale effetto è detto elettro-ottico lineare, o Pockels, ed è largamente utilizzato
per costruire modulatori elettro-ottici. Questo fenomeno nonlineare, in certe
condizioni, si può rilevare anche senza forti intensità di radiazione ed in effetti
era già conosciuto prima della introduzione dei laser.
E’ importante notare che i fenomeni citati si verificano nel rispetto della
conservazione sia dell’energia che della quantità di moto dei fotoni. Nel caso, ad
esempio, della generazione parametrica, se sono fissate le frequenze delle onde
generatrici, si ha una sola direzione per l’onda generata che verifica la
conservazione dei momenti; ne segue che un cambiamento di direzione del
fascio di pompa implica una variazione della frequenza dell’onda generata,
potendo così realizzare un dispositivo che generi con facilità una frequenza
variabile.
Dal momento che l’effetto Pockels e la generazione di seconda armonica
vengono impiegati correntemente in applicazioni optoelettroniche o fotoniche li
descriviamo in modo più approfondito. I risultati ci serviranno per descrivere il
funzionamento dei dispositivi nonlineari organici presentati nei capitoli che
seguono. Inoltre ciò permetterà di prendere maggiore confidenza con i concetti e
le tecniche utilizzate in ottica nonlineare.
E’ importante notare che i fenomeni citati si verificano nel rispetto della
conservazione sia dell’energia che della quantità di moto dei fotoni. Nel caso, ad
esempio, della generazione parametrica, se sono fissate le frequenze delle onde
generatrici, si ha una sola direzione per l’onda generata che verifica la
conservazione dei momenti; ne segue che un cambiamento di direzione del
fascio di pompa implica una variazione della frequenza dell’onda generata,
potendo così realizzare un dispositivo che generi con facilità una frequenza
variabile.
La trattazione fin ora fatta è stata di tipo scalare; con una trattazione più
generale si arriverebbe alle stesse conclusioni.
Dal momento che l’effetto Pockels e la generazione di seconda armonica
vengono impiegati correntemente in applicazioni optoelettroniche o fotoniche li
descriviamo in modo più approfondito. I risultati ci serviranno per descrivere il
funzionamento dei dispositivi nonlineari organici presentati nel capitolo 3.
Inoltre ciò permetterà di prendere maggiore confidenza con i concetti e le
tecniche utilizzate in ottica nonlineare.
110
3.3.1
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
Effetto elettro-ottico lineare o di Pockels
Questo fenomeno si presenta quando uno dei due campi che contribuiscono
al termine del secondo ordine della polarizzazione ha frequenza nulla o
comunque molto piccola rispetto alle frequenze ottiche (campo quasi statico). In
questo caso si ha un effetto di modulazione della polarizzazione e non di
variazione della sua frequenza di oscillazione rispetto a quella del campo
elettrico oscillante. Non si genera, quindi, alcun campo a frequenza diversa da
quella di partenza.
Studiamo prima un caso molto semplice per mostrare come si usa il
formalismo nonlineare e poi diamo la descrizione classica dell’effetto,
introducendo il tensore elettro-ottico. Consideriamo il caso mostrato in figura

3.6. Un’onda elettromagnetica, alla quale è associato un campo E (  ) , si propaga
(0 )
in un mezzo  nel quale è presente anche un campo statico E , ottenuto ad
esempio applicando una differenza di potenziale V tramite due elettrodi piani.
Nel mezzo si induce una polarizzazione totale data dalla:

(2)
Pi   0  ij( 1 ) E j   ijk
E j Ek

(3.3.1.1)
nella quale il campo elettrico è il campo totale presente nel mezzo. Consideriamo
per il momento che il campo totale nella (3.3.1.1) sia dovuto alle sole due
componenti dette:
1  (  ) j ( t  k (  ) x )

Ej e
 E(j 0 )   c.c.
.
(3.3.1.2)
2 

Possiamo fare delle ipotesi semplificative per rendere il problema più semplice.


Consideriamo che entrambi i campi E (  ) ed E ( 0 ) siano diretti lungo la direzione
(2)
z, che  zzz
sia l’unico elemento del tensore di suscettività del secondo ordine
Ej 
diverso da zero e che il tensore  ( 1 ) sia diagonale (materiale tagliato lungo gli
assi principali).
111
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
Sostituendo l’espressione (3.3.1.2) in quella per la polarizzazione (3.3.1.1) e
sviluppandola in tutti i suoi termini, si ottengono varie componenti che oscillano
a pulsazioni diverse:
+V
z
y

E ( )

E ( 0)
x
2
(2)
Pz   0  zz( 1 ) 0;0 E ( 0 )   0  zzz
0;0 ,0 E ( 0 ) 
1
(2)
 0  zzz
0; , E (  ) 2 
2
  0  zz( 1 )   ;  E (  ) cos( t  k (  ) x ) 
.
(2)
 2 0  zzz
  ;0 , E ( 0 ) E (  ) cos( t  k (  ) x ) 

1
(2)
 0  zzz
 2 ;  , E (  ) 2 cos( 2t  2k (  ) x )
2
(3.3.1.3)
Nell’espressione dei tensori si sono indicate tra parentesi le pulsazioni dei campi
che contribuiscono ad ogni termine per ricordare che i tensori di suscettività
hanno una dispersione in frequenza, come mostrato nel paragrafo 3.2.
I primi tre termini sono a frequenza nulla e corrispondono ad una
polarizzazione statica P(0) del mezzo. In particolare il terzo corrisponde al
fenomeno della rettificazione ottica. Il quarto termine è presente anche nel caso
lineare e corrisponde alla normale risposta dielettrica del mezzo. Il quinto
termine oscilla a pulsazione  come il precedente e corrisponde all’effetto
Pockels. L’ultimo termine oscilla alla pulsazione 2  e corrisponde alla
generazione di seconda armonica.
Si ha quindi:
112
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica


(2)
  ;0 , E ( 0 ) E (  ) cos( t  k (  ) x ) 
Pz  Pz( 0 )   0  zz( 1 )  ;    2  zzz

1
(2)
 2 ;  , E (  ) 2 cos( 2t  2k (  ) x )
 0  zzz
2
(3.3.1.4)
Possiamo fare l’ulteriore ipotesi di considerare proprietà del mezzo e valori di
campo per i quali:
(2)
(2)
 zzz
  ;0 , E ( 0 )   zzz
 2 ;  , E (  )
2
(3.3.1.5)
per cui la componente a seconda armonica sia trascurabile. Si ha quindi:
(1) ( )
Pz  Pz( 0 )   0 eff
E cos( t  k (  ) x )
(3.3.1.6)
dove si è definita una suscettività efficace:
(1)
(2)
 eff
  zz( 1 )  ;    2  zzz
  ;0 , E ( 0 )
(3.3.1.7)
che dipende dal campo elettrico statico E(0). Ne segue che anche la costante
dielettrica dipende dal campo E(0) secondo l’espressione:
(1)
(2 ) (0 )
( 2 ) (0 )
 r  1   eff
 1   zz( 1 )  2  zzz
E   rLIN  2  zzz
E
(3.3.1.8)
e che l’indice di rifrazione, definito tramite la (1.1.18), possa essere espresso
come:
n   r   rLIN 1 
2

LIN
r
( 2 ) (0 )
 zzz
E
 n0 
1 ( 2 ) (0 )
 zzz E
n0
(3.3.1.9)
dove lo sviluppo in serie della radice al primo ordine è giustificato dal fatto che il
termine proporzionale ad E ( 0 ) è una piccola perturbazione ed n0 e’ l’indice di
rifrazione in regime lineare.
L’equazione (3.3.1.9) mostra che l’indice di rifrazione del mezzo viene
modificato proporzionalmente al campo statico applicato. Se il campo, invece di
essere statico, è variabile con frequenza sia avrà modulazione dell’indice
di rifrazione a frequenza . Ciò implica che la fase del campo in uscita dal
mezzo possa essere controllata elettricamente, dal momento che il campo,
attraversando il mezzo, percorre un cammino ottico che dipende dal suo indice di
rifrazione.
113
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
Se non si è nelle condizioni di poter trascurare il fenomeno di generazione
di seconda armonica non si può trascurare il terzo termine nell’equazione
(3.3.1.4). Generalmente ciò accade se l’intensità dell’onda incidente sul mezzo è
particolarmente elevata. In questo caso non è lecito neanche scrivere
l’espressione (3.3.1.2) ma bisogna considerare l’eventuale campo a pulsazione
2. Si avrebbe:
Ej 
( 2 )x ) 
1  (  ) j ( t  k (  ) x )
Ej e
 E (j 0 )  E (j 2 )e j ( 2t  k

  c.c.
2
(3.3.1.10)
in cui si è considerata la possibilità che il vettore di propagazione k a pulsazione
 sia diverso da quello a pulsazione , dal momento che k=20n0 e che
l’indice di rifrazione lineare n0=n0(). Introducendo la nuova espressione per il
campo si ottengono dei termini supplementari nell’espressione (3.3.1.4) che
descrivono, questa volta in maniera appropriata, anche la generazione di seconda
armonica.
E’ evidente che un mezzo che presenti l’effetto Pockels può trovare
applicazione per costruire dispositivi optoelettronici. E’ sufficiente ad esempio
introdurlo in uno dei due bracci di un interferometro di Michelson per controllare
il cammino ottico in esso elettricamente e per ottenere all’uscita
dell’inteferometro un massimo od un minimo di intensità luminosa, a seconda
del campo elettrico statico applicato. Il passo per arrivare alla costruzione di un
modulatore elettro-ottico di intensità non è poi molto lungo; ne vedremo in
seguito un esempio.
L’esempio che abbiamo trattato ci ha aiutato ad introdurre l’effetto Pockels
ed ad applicare in un caso semplice l’equazione (3.3.1). Tuttavia gli studi
sull’effetto Pockels sono stati condotti prima dell’introduzione dei laser e quindi
prima che si sviluppasse una trattazione teorica degli effetti ottici nonlineari
completa. Ciò ha fatto si che il formalismo con il quale viene normalmente
trattato, e che continua ad essere applicato, sia differente. Ne diamo nel seguito
una descrizione, dal momento che tutta la letteratura scientifico/tecnica fa
riferimento ad esso. Ciò permetterà inoltre di sviluppare una trattazione più
generale, non limitata al caso semplice che abbiamo affrontato in precedenza.
L’effetto Pockels consiste in pratica in un’alterazione delle proprietà di
anisotropia di un generico materiale. Come già accennato in precedenza nel
paragrafo 1.3, un modo semplice per studiare la propagazione in mezzi
anisotropi è quello di utilizzare l’ellissoide degli indici. L’effetto del campo
elettrico sulla propagazione di un onda sarà quello di variare le costanti
dell’ellissoide, del tipo 1 / n 2 legate agli indici di rifrazione del mezzo.
L’ellissoide degli indici ha, nel caso generico in cui x,y,z non coincidano
con gli assi principali, la forma [2.2]:
 1 2  1 2  1 2
 1
 1
 1
 2  x   2  y   2  z  2   2  yz  2   2  xz  2   2  xy  1 .
 n 1
 n 2
 n 3
 n 4
 n 5
 n 6
114
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
(3.3.1.10)
L’applicazione di un campo elettrico arbitrario E  E x , E y , E z  dà luogo ad una
 1 
variazione lineare dei coefficienti  2  , i=1,2,...,6, definita come:
 n i
 1

2 
 n i

3
r E
ij
i  1,...,6
j
(3.3.1.11)
j 1
dove per j si usa la convenzione 1  x , 2  y , 3  z . Gli elementi rij, con
dimensione fisica [m/V], fanno parte di un tensore del secondo ordine r detto
tensore elettro-ottico. La (3.3.1.11) in forma matriciale diventa:
  1
  2
 n
  1
  n 2
 
  1
  n2

 1
  n2

 1
  n2
  1
  2
  n
 
 
1 
 
  r
 2   11
  r21
  
 3  r31
 
  r41

 4  r51
 
  r
 61

5 
 
 
 6 
r12
r22
r32
r42
r52
r62
r13 
r23 
 E1 
r33   
  E2
r43   
E3 
r53   

r63 
(3.3.1.12)
Considerando mezzi privi di perdite, la forma del tensore r può essere
ricavata da considerazioni di simmetria dalle quali si può vedere quali dei 18
coefficienti rij siano nulli e quali relazioni ci siano tra i rimanenti. Riportiamo in
tabella 3.1 i valori delle componenti dei tensori elettro-ottici più grandi e gli
indici di rifrazione per i più importanti cristalli non centrosimmetrici noti e per
confronto quelli riferiti al polimero DR1-PMMA.
La presenza dei termini misti nella formula (3.3.1.10) implica una rotazione
rispetto agli assi dielettrici principali, oltre ad una variazione dell’ampiezza degli
stessi. Per diagonalizzare il tensore bisogna trovare i nuovi assi e i relativi indici
di rifrazione. Anche se tale procedimento può essere fatto, in generale è
preferibile affrontarlo caso per caso, in quanto le simmetrie dei materiali
garantiscono una riduzione del numero delle componenti dei tensori elettro-ottici
rispetto al caso generale.
115
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
Materiale
 m 
KD*P[5]
0.633
AD*P[5]
0.633
GaAs[5]
1.150
DR1
MMA[10]
0.830
Coefficiente
Elettro-ottico
(10-12 m/V)
r41=8.80
r63=24.1
r41=40.0
r63=10.0
r41=1.43
r33=12
1
r13  r33
3
Indice di
rifrazione
no=1.50
ne=1.46
no=1.51
ne=1.48
n=3.43
n=1,65
Classe di
simmetria
42m
42m
43m
m
Tabella 3.1
Se si considera il caso semplificato che abbiamo trattato precedentemente,
si ha che solamente il coefficiente r33 è diverso da zero. Supponendo di applicare
il campo elettrico statico lungo la direzione z:
E  ( 0 ,0 , E ( 0 ) )
,
(3.3.1.13)
l’equazione dell’ellissoide dell’equazione (3.3.1.10) diviene:
x2 y2 z2
 2  2  2 r33 z 2 E ( 0 )  1
2
no no ne
(3.3.1.14)
dove scompaiono i termini misti e si può definire il nuovo indice di rifrazione
lungo la direzione z:
1
1
 2  r33 E z
2
n'
ne
.
(3.3.1.15)
z
Sotto la condizione:
r33 E z 
1
n e2
(3.3.1.16)
si può semplificare la formula (3.3.1.15) ed invertirla per ottenere gli indici di
rifrazione rispetto ai nuovi assi:
116
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
n 'y  n 'x  n o
n 'z  n e 
(3.3.1.17)
1 3
ne r33 E ( 0 )
2
(3.3.1.18)
L’espressione (3.3.1.18) di nuovo mostra che l’indice di rifrazione lungo z
dipende linearmente dal campo E ( 0 ) ed è equivalente alla relazione (3.3.1.9
Tramite il confronto delle (3.3.1.18) e (3.3.1.9) possiamo stabilire il legame tra
(2)
r33 e  zzz
. La relazione che si ottiene conferma quella più generale, che si può
ricavare con la trattazione completa, secondo la quale [2.3]:
rij (  ;  ,0 )  
2 (2)
 iij (  ;  ,0 )
n4
(3.3.1.19)
Esempio – Utilizzo di un mezzo (2) per realizzare un modulatore elettroottico (cella di Pockels)
Si consideri, come esempio, il caso del cristallo KD*P [2.2] che appartiene
alla classe di simmetria 42m ed ha non nulli solo i termini r41  r52 e r63 .
L’equazione dell’ellissoide dell’equazione (3.3.1.10) diviene:
x2 y2 z2


 2r41 yzE x  2r52 xzE y  2r63 xyE z  1 .
n o2 n o2 n e2
(3.3.1.20)
Con riferimento alla figura 3.7, supponiamo di applicare un campo elettrico
statico lungo la direzione z:
E  ( 0 ,0 , Ez )
.
(3.3.1.21)
La formula (3.3.1.20) si semplifica nella:
x2 y2 z 2


 2r63 xyE z  1
n o2 n o2 n e2
.
(3.3.1.22)
117
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
h
Ey
Ex
Ey
y
x
z
Ex
V
Figura 3.7
Per arrivare a riscrivere l’ellissoide in forma canonica, si effettua una
rotazione degli assi di 45° per individuare i nuovi assi principali rispetto ai quali
la (3.3.1.22) diventa:
 1
 '2  1
 '2 z 2





r
E
x


r
E
 n 2 63 z 
 n 2 63 z  y  n 2  1 ,
e
 o

 o

(3.3.1.23)
dove scompare il termine misto e si possono definire le nuove costanti:
1
1
 2  r63 E z
2
n'
no
e
x
1
1
 2  r63 E z .
2
n'
no
(3.3.1.24)
y
Sotto la condizione:
r63 E z 
1
n o2
(3.3.1.25)
si può semplificare le formule (3.3.1.24) ed invertirle per ottenere gli indici di
rifrazione rispetto ai nuovi assi:
n o3
r63 E z
2
n3
n 'y  n o  n n  n o  o r63 E z
2
n 'x  n o  n p  n o 
n 'z  n z  n e
(3.3.1.26)
118
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
no3
r63 E z dà la misura della variazione dell’indice per effetto
2
dell’applicazione del campo elettrico. Si osservi che il cristallo da uniassico
diventa biassico, in quanto ora i tre indici di rifrazione sono differenti tra di loro.
Si consideri la propagazione di un’onda piana monocromatica lungo la
direzione z e polarizzata lungo l’asse x. Si ottiene che rispetto ai nuovi assi
principali, che sono ruotati di 45°, il campo elettrico dell’onda viene ad avere
componenti uguali lungo x’ ed y’, che sperimentano i nuovi indici di rifrazione
tra loro differenti. Il caso è simile a quello della lamina vista nel paragrafo 1.3
con la differenza che in quel caso gli indici di rifrazione sono fissi mentre ora
variano con l’intensità del campo statico Ez secondo la formula (3.3.1.26). Lo
sfasamento tra le due componenti del campo diviene [2.2]:
Il termine
 
2d


n o3 r63 E z  
V
,
V
(3.3.1.27)
dove, essendo il campo modulante applicato lungo la direzione z, si è posto
E z  V / d in cui V è la tensione applicata alle facce del materiale. Si è
introdotto anche il termine V noto come tensione a /2; quando si ha V  V
l’onda uscente è polarizzata linearmente ma in direzione perpendicolare a quella
di ingresso; se il ritardo è di /2 allora l’onda uscente sarà polarizzata
circolarmente, etc. A seconda dello spessore del cristallo o della tensione
applicata si può quindi variare lo stato di polarizzazione della radiazione
trasmessa. Se all’uscita del cristallo si pone un polarizzatore incrociato rispetto
alla polarizzazione d’ingresso, l’intensità luminosa trasmessa potrà passare tra
valori massimi e nulli a seconda del campo applicato.
3.2.2 Generazione di seconda armonica
Il processo di generazione di seconda armonica trova larghissima
applicazione nei campi dell’elettronica quantistica. Esso è stato il primo effetto
ottico nonlineare, a parte gli effetti elettro-ottici, ad essere osservato dopo
l’invenzione del laser ( Bloembergen – 1964). Quasi tutti i sistemi laser a stato
solido possono generare impulsi di radiazione ad una frequenza fondamentale,
fissata dal materiale attivo, o alla frequenza doppia, tramite un generatore di
seconda armonica. I sistemi laser a stato solido di ultima generazione, che
utilizzano il processo affine della generazione parametrica per produrre impulsi
laser ultracorti in un ampio spettro di lunghezze d’onda, hanno soppiantato i
sistemi laser che utilizzano coloranti organici in soluzione come mezzo attivo, a
causa della loro elevata stabilità ed efficienza. Nel campo della fotonica trova un
gran numero di applicazioni. Citiamo ad esempio i generatori di seconda
armonica integrati realizzati in fosfato di potassio (KTP) che vengono utilizzati
119
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
per duplicare la frequenza dei laser a semiconduttore nel vicino infrarosso
(=800nm) ed ottenere quindi sorgenti laser integrate a lunghezza d’onda corta
(=400nm) da impiegare nel campo della memorizzazione ottica (compact
disks). Il fatto che la capacità di memorizzazione cresca come 1/2 ne rende
evidente l’utilità.
Descriviamo qui il processo nel quadro delle più semplici approssimazioni
L
, 
, 
, 
x
z
y
Figura 3.8
che possiamo fare, lasciando a testi specialistici il compito di discutere effetti più
complicati ad esso associati, come ad esempio i fenomeni del cascading delle
nonlinearità quadratiche [2.4].
Facendo riferimento alla figura 3.8, studiamo il processo di generazione di
seconda armonica in un mezzo di lunghezza L che abbia solamente la
(2)
( 2 ;  , ) del tensore suscettività del secondo ordine non
componente  xxx
nulla, che indicheremo con  ( 2 ) . Assumiamo che sul mezzo incida un’onda
elettromagnetica a pulsazione  diretta lungo la direzione z e polarizzata lungo la
direzione x.
Il fenomeno di generazione è descritto dall’equazione (3.1.29) che può
essere riscritta in forma scalare per il nostro caso particolare:
2E 1 2E
 2 PNL



0
z 2 v 2 t 2
t 2
(3.2.2.1)
120
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
dove v è la velocità di propagazione ed E è la componente di campo lungo la
direzione x. I campi elettrici associati alle due onde elettromagnetiche, in prima e
seconda armonica, saranno dati da:
E (  )( z ,t ) 
( )
1  ( )

E ( z )e j( t  k z )  c.c.

2

E ( 2 ) ( z , t ) 

(3.2.2.2)

( 2 )
1 ( 2 )
E
( z )e j ( 2t  k z )  c.c.
2
(3.2.2.3)
in cui le ampiezze dipendono da z e si tiene conto che, ricordando che
k (  )    n(  ) c , in generale le velocità di propagazione dei campi sono
differenti a causa della dispersione dell’indice di rifrazione per cui
k ( 2 )  2k (  ) . Ne consegue che il campo totale nel mezzo vale:
E( z , t )  E (  ) ( z , t )  E ( 2  ) ( z , t )
(3.2.2.4)
e che la polarizzazione nonlineare assume l’espressione:
PNL ( z , t )   0  ( 2 ) E( z , t )E( z , t )
.
(3.2.2.5)
Sostituendo le espressione (3.2.2.4) e (3.2.2.5) nella equazione di propagazione
nonlineare, ricordando che ogni campo è somma di due termini complessi
coniugati, e sviluppando tutti i possibili prodotti si ottengono una serie di
equazioni differenziali accoppiate, che non riportiamo qui. Per semplificare la
trattazione assumiamo che le ampiezze dei campi E (  ,2 ) ( z ) siano delle
funzioni lentamente variabili di z (slowly varying envelope approximation –
SVEA), per cui si possa effettuare l’approssimazione:
(  ,2 )
 2 E (  ,2 )
(  ,2 ) E

k
z
z 2
.
(3.2.2.6)
Sotto questa ipotesi il sistema di equazioni differenziali si semplifica
notevolmente e si riduce alle due equazioni accoppiate:
dE (  )*
j

dz
2
(  ) ( 2 ) ) z
0
 0  ( 2 ) E ( 2 ) E (  )* e  j ( 2 k  k
 ( 2 )
(  )  k ( 2 ) ) z
dE ( 2 )

  j ( 0 )  0  ( 2 ) E (  ) E (  )e j ( 2 k
dz

.
,
(3.2.2.7)
(3.2.2.8)
121
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
che descrivono l’evoluzione lungo la direzione z delle ampiezze dei campi. Si
definisce il fattore:
k  k ( 2 )  2 k (  )
(3.2.2.9)
che viene chiamato fattore di mismatch o direttamente mismatch.
Possiamo fare l’ulteriore ipotesi semplificativa di considerare il processo di
generazione poco efficiente per cui si possa considerare che l’ampiezza del
campo a pulsazione  non diminuisca molto nel passare attraverso il mezzo
(approssimazione di pompa non svuotata). In tal caso la (3.2.2.7) perde senso e la
(3.2.2.8) si integra direttamente. Assumendo che all’ingresso del mezzo non vi
sia campo a 2, si ottiene all’uscita (z=L):
E ( 2 ) ( L )   j
jkL
0
1
(2)
( ) 2 e




E
( ) 0
jk

(3.2.2.10)
L’intensità dell’onda armonica sarà quindi data da:
I ( 2 ) ( L ) 
 (  ) ( 2 )
E
( L )E ( 2 )* ( L ) 
0
2
1
1
E ( 2 ) ( L ) 
2Z
2
 2  01 / 2  ( 2 ) 
2
 2
3/ 2
0
n3
2
L 
sin 2 ( kL / 2 )
kL / 2 2

 I
(3.2.2.11)

( ) 2
avendo fatto l’ipotesi, nel solo prefattore e non in k, che =n2. A volte,
in luogo della notazione che utilizza il tensore  si trova la notazione,
sviluppata all’inizio degli studi di ottica nonlineare, secondo cui:
Pi NL  d ijk E j E k
(3.2.2.12)
avendo introdotto il tensore di generazione di seconda armonica d . Tale
notazione è generalmente utilizzata per definire l’efficienza di generazione:
 SHG
P ( 2 )   
 ( )   0 
 
P
 0 
3/ 2
 2 d 2 L2 sin 2 ( kL / 2 ) (  )

I
n3
kL / 2 2
.
(3.2.2.13)
La (3.2.2.13) mostra che se si è nella condizione k=0 (phase matching),
quindi se le due onde viaggiano alla stesa velocità nel mezzo, l’efficienza cresce
quadraticamente con la lunghezza L del mezzo stesso. Si potrebbe quindi
122
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
aumentare indefinitamente l’efficienza aumentando lo spessore, ovviamente
tenendo in conto che per grandi valori dell’efficienza non sarà più valida
l’approssimazione di pompa svuotata ed occorrerà modificare la descrizione
teorica. Nel caso i cui k0, l’efficienza risulta essere una funzione periodica di
L. L’andamento è descritto in figura 3.9 dove si è introdotta la definizione di
lunghezza di coerenza LC=k. In questo caso aumentare L non aumenta
necessariamente l’efficienza. Sarà sufficiente limitare lo spessore del mezzo a
1.0
k=0
0.8
SHG u.a.
Divisa per 100
0.6
k0
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
L/LC
multipli dispari di Lc per massimizzare SHG.
Generalmente, se non si adottano accorgimenti particolari, la dispersione
dell’indice del mezzo fa sì che si sia nella condizione in cui k0. Si ha infatti:
k  k ( 2  )  2 k (  ) 
2 ( 2 )

 2 ( 2 )
n
 2 n (  )  
n
 n( )
c
c
c




(3.2.2.14)
da cui segue che:
Lc 
c


 n ( 2 )  n (  )  2n ( 2 )  n (  ) 
(3.2.2.15)
Ciò mostra che, ad esempio, se vogliamo generare seconda armonica da un
campo a lunghezza d’onda m, in un mezzo in cui n ( 2 )  n (  )  10 2 , la
lunghezza di coerenza risulta essere LC=50m.
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
123
Figura 3.10
Nei casi reali, ad esempio quello dei cristalli nonlineari, si cerca di operare
nella condizione k=0, sfruttando la birifrangenza naturale. Si opera in modo
che i campi a pulsazione  e  siano polarizzati lungo due direzioni ortogonali
124
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
e che lungo tali direzioni si abbia n ( 2 )  n (  ) . Utilizzando diverse
polarizzazioni dei campi fondamentale ed armonico e diverse direzioni di
propagazione si può avere una caratterizzazione completa del tensore in tutte le
sue componenti. Nel caso in cui si utilizzi la generazione per caratterizzare le
proprietà ottiche nonlineari di film sottili (L<1m) si ha L<<LC e non si notano
gli effetti dovuti all’interferenza nonlineare nel mezzo.
L’espressione (3.2.2.13) per SHG giustifica l’uso comune della figura di
merito:
M mn 
d2
n3
(3.2.2.16)
per caratterizzare la bontà di un materiale per applicazioni ottiche nonlineari
quadratiche. Nella figura 3.10 riportiamo la classificazione di molti materiali
quadratici in ordine del valore di d oppure di Mmn [2.5]. Si nota come al vertice
della scala in ordine della figura di merito Mnm vi sia il cristallo organico 2methyl-4-nitroanilina (MNA) e che molti altri cristalli organici presentano valori
elevati. Tale risultato, insieme al valore elevato della nonlinearità, è dovuto
principalmente al fatto che i cristalli organici hanno valori dell’indice di
rifrazione notevolmente inferiori a quelli dei cristalli inorganici.
3.3 Effetti ottici nonlineari del terzo ordine
Come abbiamo visto nel paragrafo 3.1, mezzi materiali che presentino
centrosimmetria non hanno proprietà ottiche nonlineari quadratiche, quartiche e
così via. Tale condizione può realizzarsi perché microscopicamente la struttura
delle singole unità che costituiscono il mezzo è centrosimmetrica, come nel caso
del silicio cristallino. Ovvero può verificarsi che le singole unità siano noncentrosimmetriche ma che abbiano una distribuzione orientazionale
centrosimmetrica, come nel caso di un mezzo costituito da una dispersione fisica
di molecole organiche con nonlinearità quadratica in una matrice di supporto
polimerica con orientazione delle molecole casuale. Vedremo nel capitolo
seguente come è possibile ottenere una nonlinearità quadratica in tali mezzi,
operando sulla funzione di distribuzione orientazionale.
La nonlinearità di ordine dispari sono invece sempre presenti, anche se di
entità più piccola. Tuttavia, anche se tutti i materiali hanno una componente
cubica nella polarizzazione nonlineare, gli effetti sono sfruttabili per applicazioni
in fotonica solo in una classe ristretta di questi che coniughi le prestazioni
richieste dalla specifica applicazione, la processabilità meccanica, la
compatibilità con la esistente tecnologia, la competitività dal punto di vista
economico. Ad esempio i polimeri coniugati, dopo la deposizione in forma di
film sottile e senza che siano stati effettuati dei trattamenti particolari, sono in
fase amorfa e quindi intrinsecamente centrosimmetrici; pertanto tutti i tensori di
125
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
ordine pari sono ugualmente nulli. Essi presentano forti nonlinearità cubiche e
godono della proprietà di essere facilmente processabili ed ingegnerizzabili.
Nel caso dei fenomeni cubici si avrà interazione di quattro campi all’interno
del materiale descritta dalla suscettività cubica ijkl-; 1, 2, 3 e la
polarizzazione nonlineare potrà essere espressa come sviluppo in serie:
(3)
(3)
Pijkl
(  4 ;  1 , 2 , 3 )   0  ijkl
(  4 ;  1 , 2 , 3 )E j E k E l
. (3.3.1)
Ovviamente, dal momento che il rango del tensore è superiore, vi sono
molti più processi che hanno luogo attraverso la suscettività cubica. Una lista
significativa di questi, accompagnata dalle pulsazioni ottiche coinvolte e dal
valore del parametro K ad essi relativo è data in tabella 3.2.
Processo
Effetto Kerr in continua
Generazione di seconda armonica indotta da
campo statico
Generazione di terza armonica
Mixing di frequenze somma e differenza
Effetto Kerr ottico, autocollimazione, auto- e
cross-modulazione di fase, four-wave-mixing
degenere.
Assorbimento/ionizzazione/emissione a due fotoni.
-; 1, 2 , 3
-; 0, 0 , 
-2; 0,  , 
K
3
3/2
-3; , , 
-3; 1, 2 , 2
-; , - , 
1/4
3/4
3/4
-; -,  , 
3/4
Tabella 3.2
L’effetto Kerr in continua è l’analogo cubito dell’effetto Pockels ed è
conosciuto da lungo tempo; esso porta alla modifica dell’indice di rifrazione del
mezzo nonlineare sotto l’applicazione di un campo statico, in ragione del
quadrato del campo. La generazione di seconda armonica indotta da campo
statico è utilizzata correntemente per caratterizzare le proprietà ottiche nonlineari
di molecole organiche in soluzione ed è altrimenti conosciuta con l’acronimo
EFISH (electric field induced second harmonic generation). La generazione di
terza armonica viene utilizzata per determinare la nonlinearità in strati sottili di
polimeri organici coniugati. Il mixing di frequenze somma e differenza viene
impiegato per realizzare demultiplexer completamente ottici a semiconduttore
nel campo delle comunicazioni ottiche. L’effetto Kerr ottico causa la dipendenza
dell’indice di rifrazione del mezzo dall’intensità del campo che lo attraversa.
La parte reale e immaginaria della suscettività cubica possono descrivere
fenomeni fisicamente distinti, come è il caso, ad esempio, dell'indice di
rifrazione non lineare e dell'assorbimento a due fotoni rispettivamente.
126
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
Di tutti i processi citati in tabella, nel caso in cui si abbia un solo campo
elettromagnetico ad alta intensità incidente sul mezzo, rimangono attivi
solamente la generazione di terza armonica, l’effetto Kerr ottico e l’assorbimento
a due fotoni. Dal momento che nel corso dei capitoli che seguono avremo a che
fare solamente con questi effetti ci limitiamo alla loro descrizione.
3.3.1 Effetto Kerr ottico
Prendiamo in considerazione un materiale isotropo con nonlinearità cubica
che sia investito da un fascio luminoso di elevata intensità a pulsazione .
Una volta sviluppata l’espressione (3.3.1) in tutti i suoi termini, la
componente i-esima della polarizzazione del terzo ordine sarà costituita da due
componenti: una che oscilla a pulsazione , che dà luogo a generazione di terza
armonica, ed una che oscilla a pulsazione . Trascuriamo il termine a  e
concentriamoci solo sull’ultimo che è dato dalla:
Pi( 3 ) (  ;  , ,  ) 
3
(3)
 0  jkl ~ijkl
(  ;  , , )E j (  )Ek (  )El* (  )
4
(3.3.1.1)
ricavata seguendo l’espressione (3.2.8). Tale scelta corrisponde nella maggior
parte dei casi alla realtà osservata. Si ricorda infatti che nei processi nonlineari,
oltre alla conservazione dell’energia, si deve avere conservazione della quantità
di moto. Nel caso della generazione di terza armonica, analogamente al caso di
quella di seconda armonica, ciò rende il processo fortemente dipendente dal
mismatch di propagazione delle onde in prima e terza armonica, dato da
k  k ( 3 )  3k (  ) . Dal momento che la distanza in pulsazione tra  e  e
anche maggiore che nel caso di generazione di seconda armonica, il peso della
dispersione dell’indice di rifrazione è ancora più forte e porta a lunghezze di
coerenza ancora più corte. Viceversa nel caso del processo Kerr descritto dalla
(3.3.1.1), la disposizione dei campi che partecipano al processo è tale che il
mismatch sia automaticamente nullo (k=0). Volendo trattare l’effetto Kerr in
mezzi massivi, in cui in genera le dimensioni sono dell’ordine del centimetro, si
capisce come in media si possa trascurare la generazione di terza armonica.
Consideriamo il caso di una singola onda polarizzata linearmente, lungo la
direzione x per esempio. Dalle proprietà di simmetria di un mezzo isotropo, si
deduce che le uniche componenti indipendenti della suscettività cubica sono
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
, ~ijij
, ~ijji
, con ~iiii
, per tutti gli i e j. La relazione
~iijj
 ~iijj
 ~ijij
 ~ijji
fra polarizzazione totale, includendo anche il termine lineare classico, e campo
elettrico diviene scalare e si scrive:
127
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
3 (3)
2

P(  ;  , , )   0  ~ ( 1 )(  ;  )  ~xxxx
(  ;  , , ) E(  )  E (  )
4


(3.3.1.2)
Nel seguito, per semplicità di notazione, indicheremo le suscettività solo
con l’indice indicante l'ordine, omettendo le dipendenze dalla frequenza. Dal
momento che campo ed intensità di un’onda sono nel seguente rapporto:
I
1
cn0  0 E
2
2
(3.3.1.3)
2
(1)
 ~ ( 1 )  3 4 ~ ( 3 ) E si può esprimere come segue in
la suscettività efficace ~eff
termini di intensità:
(1)
~eff
 ~ ( 1 ) 
3 ~ ( 3 )
I
2 c 0 n 0
(3.3.1.4)
Consideriamo il caso semplificato per cui la pulsazione  sia tale che la
suscettività lineare ~ ( 1 ) sia reale, ovvero che non vi sia assorbimento lineare nel
mezzo. La suscettività dielettrica efficace concorre alla definizione dell’indice di
rifrazione secondo la:
~ 3 
(1)
n~  1  ~eff
 1   (1)  3 2 
I
 0 n0 c
(3.3.1.5)
Ricordando poi che l’indice lineare è definito come n 0  1   1 e dato
l'ordine di grandezza del contributo non lineare, la (3.3.1.5) si può approssimare
come segue:
 3 ~ 3 
~ 3 

n~  n0 1  3 2 
I

n

0 1 
3
 0 n03 c
 4  0 n0 c

I 

(3.3.1.6)
La (3.3.1.6) mostra che l’indice di rifrazione complesso del mezzo dipende
dall’intensità del fascio luminoso che si propaga nel mezzo. La sua parte reale,
che determina le proprietà rifrattive, vale:
n  n0 
3
 3  I  n0  n 2 I
4 0 n02 c
(3.3.1.7)
128
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
dove si è definito il coefficiente n2, che è detto indice di rifrazione nonlineare, ed
è legato alla suscettività nonlineare tramite la relazione:
n2 
3
 3  (  ;  , , )
4 0 n 02 c
(3.3.1.8)
e ha unità di misura [m2/W], molto spesso sostituite dalle sottounità [cm2/W]. Ci
disinteressiamo momentaneamente della parte immaginaria della risposta
nonlineare che sarà ripresa nel paragrafo successivo, relativo all’assorbimento
nonlineare.
In alcuni testi si trova definito anche l’indice di rifrazione non lineare n 2 E
relativo al modulo quadro del campo elettrico, definito da:
n  n0  n 2 E E
2
,
(3.3.1.9)
che vale:
n2 
3 3 
 (  ;  , , )
8 n0
(3.3.1.10)
In questo caso le unità di misura per n2E sono generalmente quelle elettrostatiche,
indicate con la sigla e.s.u..
La dipendenza lineare dell’indice di rifrazione dall’intensità data dalla
(3.3.1.7) è un caso particolare del caso più generale in cui:



n( r ,t )  n0 ( r )  n[ I ( r ,t )]
(3.3.1.11)
Si usa definire mezzi di tipo Kerr (Kerr-like) tutti quei mezzi che sottoposti a
campi intensi si comportano seguendo la relazione (3.3.1.7).
La dipendenza dell’indice di rifrazione del mezzo dall’intensità del campo
che lo attraversa dà luogo ad una serie di effetti molto importanti per le
applicazioni in fotonica. Tra essi citiamo l’automodulazione di fase per cui un
fascio di luce modifica l’indice del mezzo in cui si propaga, ovvero il cammino
ottico percorso, e quindi la propria fase ottica. Tale meccanismo viene sfruttato
per generare un particolare regime di propagazione degli impulsi ottici in fibra,
detto solitonico, in cui lo sfasamento nonlineare compensa la dispersione
naturale della fibra e permette agli impulsi di propagarsi senza allargarsi
temporalmente. L’analogo spaziale della automodulazione di fase è l’effetto
dell’autofocalizzazione di un fascio di luce laser in un mezzo (3). In questo caso
un fascio di luce può modulare spazialmente l’indice di rifrazione del mezzo in
cui si propaga e causare la distorsione dei propri fronti d’onda.
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
129
Esempio – Autofocalizzazione di un fascio laser con profilo trasversale
gaussiano e tecnica dello Z-Scan
Il fenomeno dell’autofocalizzazione ha luogo quando un fascio con
distribuzione trasversale di intensità non uniforme attraversa un mezzo che ha
indice di rifrazione nonlineare. Dal momento che l’indice nonlineare segue il
profilo del fascio (per effetti locali in assenza di saturazione), viene indotto un
gradiente di indice di rifrazione all’interno del mezzo. Se ad esempio la
nonlinearità è di tipo positivo (n2>0), sull’asse della distribuzione trasversale
d’intensità si ha un indice maggiore, con un relativo ritardo di fase, rispetto alle
code laterali. Ciò risulta nella creazione di una lente positiva che tende a
focalizzare il fascio.
Consideriamo un fascio gaussiano che sia focalizzato su un mezzo
nonlineare mediante un sistema di lenti. Limitiamoci al caso in cui lo spessore
del mezzo sia molto minore della lunghezza di Rayleigh del fascio gaussiano,
ovvero della distanza lungo la quale il fascio rimane focalizzato. Sotto tale
ipotesi possiamo considerare che la larghezza del fascio rimanga costante
all’interno del mezzo. L’onda, che ha un fronte di fase piano ed una
distribuzione di ampiezza gaussiana, indurrà una modulazione di indice di
rifrazione data da:
 2r 2
nr   n0  n 2 I 0 exp  2
 w




(3.3.1.12)
dove I0 è l’intensità sull’asse e w lo spot-size del fascio nel mezzo.
In approssimazione parassiale, l’esponenziale può essere approssimato
con il suo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine, per cui:
 2n I r 2
nr   n0 1  2 02

n0 w





(3.3.1.13)
Si può tuttavia dimostrare che un mezzo con un profilo d’indice parabolico come
quello descritto nella relazione (3.3.1.13) ha la caratteristica di focalizzare
un’onda piana che lo attraversa. Nell’approssimazione di lente sottile,
giustificata dall’assunzione di un mezzo sottile, la lunghezza focale della lente
indotta non linearmente ha l’espressione:
f 
n0 w 2
4n 2 I 0 L
(3.3.1.14)
130
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
dove si può notare che la lunghezza focale decresce al crescere dell’intensità
sull’asse e che la lente è convergente per n2>0 e divergente per n2<0, come ci si
aspettava. Nel caso in cui la nonlinearità sia debole il suo effetto sulla
propagazione corrisponde ad una piccola perturbazione del fronte d’onda.
Tuttavia nel caso di nonlinearità grandi e positive l’effetto può essere
catastrofico. Si innesca infatti un meccanismo di reazione positiva; sotto l’azione
della nonlinearità il fascio viene focalizzato e la sua intensità aumenta, causando
una variazione ancora maggiore dell’indice di rifrazione con conseguente
Apertura
Lente
Campione
z
0
Rivelatore
Figura 3.11
ulteriore focalizzazione. In questo caso si può raggiungere la soglia di
danneggiamento ottico del materiale, con instabilità di propagazione dei fronti
d’onda ed eventualmente con loro rottura in fasci secondari meno intensi. Nel
caso di nonlinearità negative il meccanismo di reazione è sempre negativo con
assenza di effetti catastrofici.
La distorsione del raggio causata dalla focalizzazione non lineare può
essere misurata ed utilizzata per estrarre il coefficiente n2 del mezzo. Nel 1989,
Sheikh-Bahae et al. [2.6] hanno sviluppato una tecnica di misura piuttosto
sensibile che consiste in focalizzare un raggio laser attraverso un mezzo sottile e
nel rilevare la luce trasmessa attraverso una piccola apertura nel campo lontano.
Questo semplice metodo è illustrato in figura 3.11.
Si misura la trasmittanza attraverso un’apertura posta nel campo lontano,
mantenendo la potenza del fascio laser costante e muovendo (scanning) il
campione lungo la direzione z di propagazione del fascio attraverso la posizione
del fuoco della lente. Il mezzo si comporta come una lente dipendente
dall’intensità. Nel suo percorso lungo la traccia del fascio la sua lunghezza focale
efficace cambierà, dal momento che starà cambiando l’intensità che su di esso
incide. Questo cambiamento si rifletterà sulla distribuzione di intensità
sull’apertura nel campo lontano. La quantità di energia trasmessa dall’apertura
dipenderà dalla posizione del campione lungo l’asse z e dal segno di n2.
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
131
Consideriamo, ad esempio, un materiale con un n2 positivo. Quando il
campione è lontano dal fuoco, l’intensità nel campione stesso è bassa e, dal
momento che è sottile, l’energia
rivelata oltre l’apertura rimarrà
approssimativamente invariata. Quando il campione si avvicina al fuoco,
l’intensità diventa abbastanza elevata da generare un effetto-lente positivo. Per
z<0, questo effetto fa sì che il fascio si concentri prima, divergendo più
rapidamente nel campo lontano: la conseguenza è che la trasmittanza all’apertura
diminuisce. D’altra parte, per z>0, l’effetto lente fa sì che la divergenza del
campo diminuisca, risultando in una maggiore trasmittanza dell’apertura. Un
comportamento complementare si ha nel caso di n2<0. L’andamento di una tipica
curva di trasmittanza al variare della distanza z è data in figura 3.12.
La trasmittanza dell’apertura in funzione della posizione del campione può
essere calcolata teoricamente dando luogo ad alcune formule che possono essere
utilizzate per ricavare segno e modulo di n2 dalle misure sperimentali.
Lo Z-scan ha diversi vantaggi rispetto ad altre tecniche di misura. Fra
questi c’è la sua semplicità, essendo una tecnica ad un solo fascio che non
Figura 3.12
132
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
presenta difficoltà di allineamento dell’esperimento particolari. Può essere usata
per ricavare tanto l’ampiezza che il segno del coefficiente non lineare. Il segno é
ovvio dalla forma della curva di trasmittanza. Sotto certe condizioni è possibile
isolare i contributi non lineari di rifrazione e di assorbimento così da permettere
la determinazione tanto della parte reale quanto di quella immaginaria della
suscettività cubica. Fra gli svantaggi di questa tecnica c’è che in caso di misure
assolute è necessario un fascio gaussiano TEM00 di elevata qualità. Inoltre, in
generale questa tecnica non permette di misurare gli elementi fuori diagonale del
tensore.
Assumiamo che un fascio gaussiano TEM00 incida su un mezzo sottile (cioè
di spessore L<<zR, distanza di Rayleigh del raggio in aria). In questo modo
l’ampiezza del fascio non viene alterata da fenomeni di diffrazione o di
focalizzazione all’interno del campione. L’ampiezza può essere d’altro canto
alterata per assorbimento lineare e non.
La fase dell’onda trasmessa dal campione è distorta e la parte di sfasamento
nonlineare r,z,t segue il profilo del raggio incidente:
2r 2 

2
 w z  

 r , z , t    z , t  exp 
(3.3.1.15)
dove
 z 
w z   w0 1   
 zR 
  z , t  
 0 t  
Leff 
zR 
 0 t 
1  z / z R 
2


2
n 2 I 0 t Leff
1  expL 
w02

2
,
(3.3.1.16)
,
(3.3.1.17)
,
(3.3.1.18)
,
(3.3.1.19)
,
(3.3.1.20)
dove I0(t)=I(0,0,t) è l’intensità sull’asse nel fuoco, w0 è lo spot-size del fascio nel
fuoco, w(z) quello nella generica posizione z, z è la posizione del campione
rispetto al fuoco e  è il coefficiente di assorbimento lineare del mezzo.
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
133
Utilizzando la relazione (3.3.1.15) per interpretare i dati sperimentali di
trasmittanza in funzione della posizione del campione, si può determinare il
parametro 0, che è collegato all’indice di rifrazione non lineare come segue:
n2  a
w02  FWHM
 0
Leff  i
(3.3.1.21)
dove FWHM è l’ampiezza a mezza altezza misurata dell’impulso, Hi è l’energia
misurata dell’impulso corretta della riflessioni alle interfaccie ed a è una costante
dell’ordine dell’unità che dipende dal profilo dell’impulso utilizzato. Un metodo
approssimato proposto da Sheik-Bahae evidenzia una relazione di
proporzionalità diretta tra la differenza fra trasmittanza massima e minima 
all’apertura e la variazione di fase 0=0. Per i dettagli relativi a tale
derivazione rimandiamo alla bibliografia [2.6].
La (3.3.1.18) mostra che il metodo non è indicato per la caratterizzazione di
film sottili, in quanto lo sfasamento diviene difficilmente rilevabile per
lunghezze efficaci dell’ordine del m. Ciò costituisce il maggiore svantaggio del
metodo per la caratterizzazione di materiali organici che sono ottenuti per la
maggior parte dei casi in forma di film sottile.
La forma delle curve mostrate in figura 3.12 può essere modificata in modo
sostanziale se si è in presenza di assorbimento nonlineare.
3.3.2 Assorbimento fotoindotto
Con l’espressione assorbimento fotoindotto ci si riferisce alla variazione di
coefficiente di assorbimento di un mezzo causata dall’intensità stessa della
radiazione che lo attraversa. In generale si avrà che:



 ( r ,t )   0 ( r )   [ I ( r ,t )]
(3.3.2.1)
in cui 
è il coefficiente di assorbimento in regime lineare e  può essere
una funzione complicata dell’intensità luminosa, la cui forma dipende dal
particolare meccanismo di interazione tra campo e mezzo nonlineare.
Già nel 1931 Maria Göppert-Mayer aveva derivato la probabilità di
assorbimento a due fotoni in un sistema, utilizzando teorie perturbative
quantistiche del secondo ordine, ottenendo una dipendenza lineare del
coefficiente di assorbimento dall’intensità. Dall’invenzione del laser, non solo si
è osservato il fenomeno di assorbimento simultaneo di due fotoni in vari
materiali ma si è studiato ampiamente il caso generale dell’assorbimento a più
fotoni (2). Inoltre la ridistribuzione di popolazione dei livelli energetici indotta
da un campo laser intenso porta a fenomeni interessanti di emissione ed
assorbimento stimolati, a complicate transizioni energetiche in sistemi
molecolari complessi e alla generazione di portatori liberi nei solidi. Questi
134
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
fenomeni possono manifestarsi otticamente sotto forma di un assorbimento
ridotto (saturabile) o esaltato (inversamente saturabile).
Ci limitiamo qui a descrivere due degli effetti più importanti in relazione
alla costruzione di dispositivi ottici nonlineari integrati: l’assorbimento a due
fotoni e l’assorbimento da stati eccitati. Entrambi i fenomeni possono condurre
ad un aumento del coefficiente di assorbimento di un mezzo in regime di alta
intensità ed a diminuire quindi la trasmittanza di un dispositivo attivo che ne
sfrutti la nonlinearità. Si tratta quindi di effetti che si vogliono evitare nella
costruzione di dispositivi, poiché ne limitano le prestazioni.
L’assorbimento a più fotoni consiste nella transizione dallo stato
fondamentale di un sistema ad uno stato eccitato (ad energia superiore)
attraverso l´assorbimento simultaneo di un numero di fotoni superiore ad uno,
appartenenti a uno o più campi di radiazione incidenti.
Ci occuperemo dapprima dell’assorbimento a due fotoni (TPA), per poi
brevemente generalizzare al caso in cui i fotoni coinvolti siano in numero
superiore. Facciamo riferimento alla figura 3.13, nella quale viene riportato lo
schema dei livelli energetici di un ipotetico sistema atomico o molecolare. Nella
E3
h4
E2
h2
h1
h5
h3
E1
(a)
(b)
(c)
trattazione quantistica del processo di interazione della radiazione elettromagnetica con un sistema dotato di livelli energetici quantizzati, nel quadro della
teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo del primo ordine, la probabilità di
assorbimento viene riassunta dalla così detta regola d’oro di Fermi. Essa
stabilisce che se un fotone di energia pari alla differenza di energia tra due livelli
energetici incide sul sistema questo può essere assorbito causando l’eccitazione
di un elettrone da un livello inferiore ad uno superiore (caso (a) di figura 3.13).
Nel quadro dell’approccio perturbativo al primo ordine, la probabilità di
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
135
assorbimento è proporzionale alla media dell’operatore momento di dipolo tra le
funzioni d’onda dei due stati coinvolti nel processo (momento di dipolo di
transizione). Tale probabilità e’ nulla se i due livelli energetici hanno la stessa
parità. Ne consegue che in condizioni normali, ed al primo ordine, si potranno
causare otticamente transizioni elettroniche solo tra livelli energetici di parità
opposta. Analogamente se in un sistema un elettrone si trova in uno stato
eccitato, esso può decadere emettendo radiazione per transizione a livelli
energetici con parità opposta. Il valore dei momenti di dipolo di tali transizioni
determina il tempo caratteristico di vita del livello eccitato, che è tanto più corto
quanto maggiore è il loro valore.
Sviluppando la teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo al secondo
ordine si trova che sono possibili processi di assorbimento in cui una coppia di
fotoni, anche ad energia diversa, viene assorbita dal sistema promuovendo un
elettrone in uno stato eccitato (caso (b) di figura 3.13). L’espressione per la
probabilità di transizione in questo caso è molto più complessa della regola di
Fermi. Il processo di assorbimento a due fotoni implica regole di selezione
opposte rispetto a quelle relative all’assorbimento ad un fotone, per cui dà luogo
a transizioni tra livelli energetici di uguale parità. Per questa ultima caratteristica
la spettroscopia a due fotoni è complementare alla spettroscopia lineare nello
studio degli stati eccitati dei sistemi atomici e molecolari. Essa permette infatti di
studiare transizioni proibite in regime lineare.
Si può distinguere tra fenomeni in cui è coinvolto un solo campo ottico, con
due fotoni della stessa frequenza che concorrono alla transizione, eventualmente
appartenenti allo stesso fascio ottico, e fenomeni in cui sono
contemporaneamente presenti due fotoni appartenenti a fasci ottici distinti,
eventualmente di frequenze distinte. Esamineremo più in dettaglio il primo tipo
di fenomeni in quanto rilevante ai fini delle applicazioni in fotonica. In questo
caso l’assorbimento macroscopico di un mezzo nonlineare e´ proporzionale
all’intensità istantanea e si può scrivere come:



 ( r , t )  0 ( r )   2  I ( r , t )
(3.3.2.2)
In cui 2 viene detto coefficiente di assorbimento a due fotoni e si misura in
[cm/W] o nella sua sotto unità [cm/GW]. In tal caso, considerando per semplicità
che 0 ed 2 siano costanti (mezzo omogeneo), l’equazione differenziale che
descrive l’intensità media di un fascio luminoso che attraversi il mezzo lungo la
direzione z diviene:
dI ( z )
  0 I ( z )   2 I ( z ) 2
dz
(3.3.2.3)
Integrando la (3.3.2.3) possiamo ricavare la legge di Beer-Lambert nonlineare
che è data da:
136
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
I( z ) 
I0 e 0 z
1   2  0 I 0 ( 1  e  2 z )
,
(3.3.2.4)
dove I0 è l’intensità del fascio luminoso nella posizione z=0. Si vede facilmente
che la (3.3.2.4) restituisce il risultato classico di Beer-Lambert per 2=0.
Riprendendo la relazione (3.3.1.4) per la suscettività efficace complessa di
un mezzo investito da radiazione di forte intensità, si può mostrare con
argomentazioni simili a quelle del paragrafo precedente, assumendo cioè che la
luce incidente sia polarizzata linearmente e che il mezzo sia centrosimmetrico in
modo che solo la componente xxxx della suscettività cubica sia rilevante, che il
coefficiente di assorbimento a due fotoni è legato alla parte immaginaria della
suscettività nonlineare del terzo ordine attraverso la relazione:
2 
3
3 
  ; , ,  ;
Im ~xxxx
 0 n02 c


(3.3.2.5)
In alcuni testi, analogamente al caso dell’effetto Kerr, si trova definito anche il
coefficiente di assorbimento a due fotoni  2 E , relativo al modulo quadro del
campo elettrico, definito come:
2 
3 0
4 n0 c


3 
Im ~ xxxx
  ;  , ,  .
(3.3.2.6)
E´ importante notare che è la parte immaginaria di ~ ( 3 ) che determina l’entità
dell’assorbimento nonlineare, come nel caso lineare in cui la parte immaginaria
di ~ ( 1 ) dà luogo al coefficiente di estinzione .
Nel caso di assorbimento a più fotoni, generalizzazione del TPA, si ha
assorbimento simultaneo di n fotoni appartenenti ad uno o più raggi luminosi.
L’analogo della (3.3.2.3) per l’assorbimento di n+1 fotoni da un campo ottico è:
dI
     n 1 I n I
dz


(3.3.2.7)
dove  n1 é il coefficiente di assorbimento a (n+1) fotoni, con unità di misura
m2n-1/Wn ed è proporzionale alla parte immaginaria della suscettività dielettrica
di ordine (2n+1). In ogni caso l’assorbimento a più fotoni non risonante è in
genere molto debole per n3.
Quando l’intensità della radiazione che investe un sistema atomico o
molecolare a più livelli è tale da popolare significativamente il primo stato
eccitato, la probabilità che il sistema ha di transire da questo ad uno stato ad
energia ancora superiore, prima di decadere nello stato fondamentale, può
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
137
divenire non trascurabile. Dal momento che vi possono essere un certo numero
di stati ad energia superiore che possono essere accoppiati otticamente con questi
stati intermedi e per cui le differenze energetiche sono prossime alla risonanza
col fotone incidente, prima che l’eccitazione rilassi completamente nello stato
fondamentale, essa può sperimentare un assorbimento che la promuove ad uno
stato ad energia più elevata. Questo processo è noto come assorbimento da stato
eccitato (ESA) ed é osservabile quando l’intensità incidente é sufficientemente
elevata da spopolare in modo significativo lo stato fondamentale. Esso è
rappresentato in figura 3.13, caso (c). Quando la sezione d’urto d’assorbimento
dello stato eccitato é minore rispetto a quella dello stato fondamentale, la
trasmissività del sistema crescerà quando il sistema é altamente eccitato. Questo
processo è noto come assorbimento saturabile. Quando d’altra parte la sezione
d’urto d’assorbimento dello stato eccitato é maggiore rispetto a quella dello stato
fondamentale, allora il sistema sarà meno trasmissivo quando eccitato. Questo dà
un effetto opposto a quello dell’assorbimento saturabile ed è pertanto chiamato
assorbimento saturabile inverso.
Esempio – Microscopia mediante fluorescenza a due fotoni
Descriviamo un’applicazione dell’assorbimento a due fotoni che non ha
diretta conseguenza nel campo della fotonica ma che ne mette in evidenza le
caratteristiche essenziali. Al termine dell’esempio daremo un breve cenno ad
un’applicazione diretta in fotonica.
Nel corso degli ultimi decenni si è sviluppata notevolmente la tecnica della
microscopia confocale di fluorescenza, che opera secondo il principio descritto
in figura 3.14. Un campione viene illuminato con luce, ad esempio
monocromatica proveniente da un sistema laser in modo uniforme. Il materiale
sotto studio, o per sua costituzione o perché drogato con coloranti artificiali,
assorbe la radiazione laser nel volume illuminato e ne emette a sua volta altra in
tutte le direzioni, ad esempio a lunghezza d’onda differente. La radiazione
emessa viene raccolta da un obiettivo da microscopio per poi essere riflessa da
uno specchio dicroico verso un sistema di rivelazione. Rispetto alla microscopia
convenzionale di fluorescenza, lungo il cammino del fascio verso il detector, la
luce raccolta viene opportunamente focalizzata su un diaframma (pin-hole)
provvisto di un foro di piccole dimensioni (10m). Tale accorgimento fa sì che,
fissata la posizione verticale dell’obiettivo, solo la radiazione che proviene da un
volume ad una certa profondità all’interno del campione riesca a passare
attraverso il pin-hole. Tale meccanismo permette di analizzare un campione in
profondità aumentando la risoluzione verticale, operazione non possibile in
microscopia convenzionale.
Vi sono tuttavia sono degli inconvenienti. La risoluzione orizzontale rimane
essenzialmente limitata dalla minima dimensione del fascio di eccitazione
ottenibile sul campione; a causa del diaframma la luce raccolta è poco intensa e
l’osservazione è lunga e tediosa; larga parte del volume del campione rimane
138
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
Diaframma
confocale
Detector
Obiettivo
Oggetto
Nel piano focale
Fuori piano focale
sempre illuminato con luce assorbita, condizione che può portare al
danneggiamento del materiale se questo è biologico.
Una soluzione che permette di evitare questi problemi consiste nell’usare
un fascio di illuminazione focalizzato ad una lunghezza d’onda che non sia
assorbita dal campione ma tale che, ad intensità elevate, dia luogo ad
assorbimento a due fotoni. La situazione è mostrata in figura 3.14. In questo caso
la radiazione emessa dal campione viene raccolta con un sistema ottico
convenzionale, senza pin-hole. Si ha che, se la potenza del fascio di luce è scelta
in modo opportuno, alle profondità in cui il fascio non è al massimo della
focalizzazione l’intensità sarà bassa e l’assorbimento a due fotoni sarà inibito; il
materiale non assorbirà e di conseguenza non vi sarà emissione dalle zone
corrispondenti. Nel piano di focalizzazione l’intensità potrà essere tale che il
sistema assorba e riemetta radiazione sotto forma di fluorescenza.
Tale sistema ha quindi dei vantaggi notevoli. Esso permette di eccitare
selettivamente punti del campione a profondità differente semplicemente
cambiando il punto di fuoco del fascio di eccitazione e la radiazione può essere
collezionata in modo convenzionale con un aumento di luminosità. Il campione è
illuminato continuamente ma da radiazione non assorbita, eccetto che nel punto
di focalizzazione, con un effetto di danneggiamento ridotto. La risoluzione
orizzontale aumenta. Per giustificare l’ultima affermazione consideriamo il caso
semplificato in cui il fascio di illuminazione sia gaussiano, la cui intensità nel
piano focale sia data da:
139
Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
I r   I 0 e

2r 2
w2
,
(3.3.2.8)
e che lo spessore del campione h, posto nel fuoco, sia molto minore della
lunghezza di Rayleigh del fascio. Se si usa radiazione a lunghezza d’onda tale
che sia abbia assorbimento lineare, tutta la zona illuminata assorbe radiazione in
quanto la legge di Beer-Lambert, data dalla (3.3.2.3) con 2=0, ci dice che
l’intensità assorbita, e quindi riconvertita in fluorescenza nell’attraversare il
campione è proporzionale all’intensità:
h
I ass ( r ) 

0
dI ( z )
dz  I ( r ) e h  1  I0 eh  1 e
dz

 


2r 2
w2
(3.3.2.9)
La varianza della (3.3.2.9), w / 2 definisce quindi la risoluzione del
microscopio. Tuttavia se la fluorescenza viene eccitata tramite assorbimento a
due fotoni, l’intensità assorbita segue la (3.3.2.3) dove =0 e quindi l’intensità
assorbita sarà data da:
h
I ass ( r ) 

0
dI ( z )
 hI 2 ( r )
dz  2
  2 hI 2 ( r )
dz
1   2 hI ( r )
,
(3.3.2.10)
dove si è fatta l’approssimazione che comunque il processo di
assorbimento sia debole. Si osserva che la zona di emissione è definita da una
curva gaussiana data dal quadrato dell’intensità di illuminazione, che ha quindi
varianza w / 2 , ovvero 2 volte più piccola del caso lineare. Ciò comporta un
aumento della risoluzione orizzontale del microscopio pari a radice di 2.
Risulta quindi evidente che lo sfruttamento del meccanismo di
assorbimento a due fotoni migliora la risoluzione dei microscopi a fluorescenza.
Normalmente la tecnica comporta l’uso di coloranti organici nei quali, fissata la
lunghezza d’onda di eccitazione, l’assorbimento lineare sia minimo e quello a
due fotoni sia massimo. Di qui il grande sforzo che molti gruppi di ricerca nel
campo della chimica organica pongono nello studio dei coloranti organici
sintetici per applicazioni biologiche.
Come applicazione che segue gli stessi principi nel campo della fotonica,
possiamo citare la tecnica di fotopolimerizzazione tridimensionale, che viene
utilizzata per costruire da una soluzione di unità monomeriche un modello solido
polimerico. In questo caso il fascio di eccitazione, opportunamente focalizzato in
una soluzione in cui vi siano dei componenti di partenza, può causarne
localmente la polimerizzazione tramite attivazione della reazione mediante
assorbimento. E’ chiaro che la dimensione delle strutture che si riesce a definire
è dell’ordine dell’area illuminata nel caso di assorbimento lineare, mentre è
inferiore se l’assorbimento è nonlineare. Ciò permette di costruire strutture
140
F.Michelotti – Applicazione dei materiali organici in fotonica
trimensionali su scala micrometrica che possono essere utili come parte di
dispositivi ottici integrati.
Riferimenti bibliografici
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Capitolo 3 - Introduzione all’ottica nonlineare
141