Campo elettrostatico Se nello spazio abbiamo una carica Q, su

Campo elettrostatico
Se nello spazio abbiamo una carica Q, su qualunque oggetto con carica q, posto a una
q ∙Q
distanza r da Q, si esercita una forza elettrica F = k r2 , che può essere attrattiva o
repulsiva in dipendenza del segno delle cariche.
Lo spazio in cui si risente questa azione prende il nome di campo elettrico della carica Q.
In analogia al caso del campo gravitazionale, questo campo può essere descritto, associando ad
ogni suo punto una grandezza vettoriale, l'intensità del campo E, che corrisponde in intensità,
direzione e verso alla forza che si eserciterebbe su una carica unitaria positiva, se la ponessimo
in quel punto.
Nel nostro caso (campo generato da una carica nota Q)
𝐸=𝑘
oppure
1
𝑄
𝑟2
Q
,
indicando con ε0 la costante dielettrica nel vuoto e
4πε0 εr r2
con εr la costante dielettrica relativa del mezzo.
E=
Potenziale elettrico
Oltre a questa descrizione vettoriale, essendo la forza elettrica come quella gravitazionale
conservativa, il campo può essere rappresentato, associando ad ogni suo punto una grandezza
scalare, il potenziale del campo V, che corrisponde al lavoro elettrico necessario per
trasportare un'unità di carica positiva dall'infinito (o da terra) in quel punto.
Nel nostro caso (campo generato da una carica nota Q)
𝑄
1
𝑄
𝑉= 𝑘 𝑟 oppure 𝑉 = 4𝜋𝜀 𝜀 𝑟 .
0 𝑟
Essendo il campo elettrostatico un campo conservativo:
la circuitazione del campo elettrico SEDScosq lungo una linea chiusa qualsiasi (fig.1.5) è
sempre nulla C(E)=0
fig.1.5
Questa rappresentazione ci permette di conoscere, nota a priori l'intensità del campo,
quale forza si eserciterebbe su una carica q posta in quel punto del campo elettrico (F=qE) e,
noto a priori il potenziale, il lavoro necessario per spostare la carica q da un punto A ad un altro
B del campo stesso (L=q(VA-VB)).
Noti quindi l'intensità e il potenziale in ogni punto del campo elettrico, possiamo risolvere i
problemi anche senza conoscere la localizzazione e l'intensità delle cariche che lo hanno
generato.
Linee di campo
Un campo elettrico può essere anche rappresentato mediante le linee di campo, che
sono quelle linee che hanno in ogni punto per tangente la direzione di E.
Alcuni esempi:
a) Campo generato da una carica puntiforme (fig.1.5)
fig.1.5
Le linee escono dalle cariche positive ed entrano nelle cariche negative.
b) Campo generato da due cariche puntiformi (fig.1.6)
Fig.1.6
c) Campo generato da una sfera conduttrice carica:
Le cariche elettriche in un conduttore carico e in equilibrio elettrostatico si
distribuiscono sulla superficie. Dato che si ha l'equilibrio statico la superficie del
conduttore è una superficie equipotenziale. Ne deriva che l'intensità del campo elettrico è
in ogni punto perpendicolare alla superficie del conduttore (fig.1.7).
Fig.1.7
Densità superficiale di carica
𝝈=
∆𝑸⁄
∆𝑺
Flusso del campo elettrico
Si definisce come flusso del campo elettrico di intensità E (supposto uniforme)
attraverso una sezione S:
𝜱(𝑬) = 𝑬 ∙ 𝑺 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜽
dove 𝜃 è l'angolo formato da E e dalla normale alla superficie n (fig.1.8).
fig.1.8
Teorema di Gauss
Si dimostra che il flusso del campo elettrico, generato da un sistema di cariche uscente
da una superficie chiusa S, è
𝜱(𝑬) = ∑𝒊 𝑸𝒊 /𝜺𝟎
dove il numeratore rappresenta la somma delle cariche contenute nell'interno della superficie
S.
Applicando il Teorema di Gauss si ricava, come si può dimostrare sperimentalmente, che le
cariche elettriche nei conduttori in equilibrio elettrostatico si distribuiscono sulla superficie
esterna. Nell'interno del conduttore il campo è nullo. La gabbia di Faraday ne è la conferma.
Anche quando noi ci troviamo chiusi in un'automobile o in un vagone siamo nelle condizioni della
gabbia di Faraday, colpito il veicolo da un fulmine non subiremmo nessun danno.
Non prendiamo mai "la scossa" toccando la parete interna di un'automobile, come invece può
capitare toccando la carrozzeria esterna.
Come conseguenza del Teorema di Gauss si ricava il Teorema di Coulomb.
Il campo elettrico in prossimità di un conduttore è proporzionale alla densità superficiale
di carica:
𝑬 = 𝝈/𝜺𝟎
Problemi
1.
Due cariche puntiformi Q1=10-6C e Q2=10-4C, positive, sono poste in un mezzo di costante
dielettrica relativa εr=4. Calcolare il valore dell'intensità e del potenziale del campo
elettrico generato dalle due cariche nel punto A che dista r 1=4,0cm da Q1 e r2=8,0cm da
Q2. ( E=35 10-6 N/m2; V=2,9 104 V)
2. In un campo elettrico generato dalla carica puntiforme Q=10-4C è posta una carica
q=10-9C positiva. Calcolare l'intensità del campo elettrico nei punti A, B, C, D e il lavoro
elettrico necessario per portare la carica q da A a D lungo il percorso ABCD.
r1=5,0cm; r2=10cm; εr=1. (36 107 N/C; 9 107 N/C; L=0J)
3. Le cariche rappresentate in figura hanno i seguenti valori: q 1=-80.10-9C, q2=80.10-9C e
q3=10.10-8C. Calcolare:
a) l'intensità e la direzione della forza agente su q3;
b) calcolare il lavoro necessario per portare la carica q3 dalla posizione indicata in fig. fino
al punto P, mantenendo fisse le cariche q 1 e q2. [εr=1] ( F=9,2 10-6 N, θ=29,6°, L=1,2 10-5 J)
4. Calcolare l'intensità del campo elettrico generato dalla lastra carica con densità
σ=10-4C/m2 nel punto C (vedi fig.). d=20cm, r=10cm, ε r=1 (E=5,6 106 N/C)
5. Calcolare l'intensità del campo elettrico generato da una sfera conduttrice di raggio R, in
equilibrio elettrostatico sulla quale è distribuita una carica Q, nel punto A a distanza d dal
1 𝑄
centro della sfera. (𝐸 =
2)
4𝜋𝜀0 𝑑
6. Nel vuoto abbiamo un piano carico di densità di carica σ=10-4C/m2 e una carica
puntiforme q=10-6C a una distanza d=40cm dal piano carico (fig.).
Calcolare la differenza di potenziale fra i punti A e B, sapendo che r=20cm.
(∆V=1,1 106 V)