Teoria del rischio

A
Augusto Freddi
Teoria del rischio
Per le assicurazioni P&C
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via Raffaele Garofalo, /A–B
 Roma
() 
 ----
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con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
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senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: marzo 
3
A Clara,
Alessandro,
Alberto e
Claudia.
Indice
Prefazioni
Notazione
Avvertenze
11
15
19
Introduzione
1. La definizione del rischio
2. Il rischio considerato in questo testo
3. Le lotterie “roulette” e “di cavalli”
4. Il rapporto tra soggetto e lotteria
5. Il rischio come affare
6. Il rischio gestibile da una C.A. danni
7. La rappresentazione matematica del rischio
8. La variabile aleatoria
9. Il vettore aleatorio
10. L’indipendenza tra variabili aleatorie
11. La dipendenza tra variabili aleatorie
12. Le copule
13. Il portafoglio di rischi gestito da una c.a.
14. Le leggi dei grandi numeri
15. I processi stocastici
16. Le variabili aleatorie tempi di arresto
21
21
23
25
26
27
28
33
36
56
56
61
68
93
95
97
102
PARTE I – Analisi statica del rischio
Capitolo I
Le distribuzioni di probabilità associate al rischio
1. Le distribuzioni empiriche
2. Le distribuzioni teoriche
3. Le forme approssimate per le distribuzioni non note
105
105
107
145
Capitolo II
La misura e l’ordinamento del rischio
1. Le misure classiche del rischio
2. Le misure moderne del rischio
3. L’ordinamento del rischio
159
159
169
181
Capitolo III
La trasformazione soggettiva del rischio
1. Le teorie dell’utilità
2. Le misure di avversione al rischio
3. Le misure del rischio percepito
203
203
224
232
7
8
Indice
4. L’ordinamento soggettivo degli oggetti
5. L’ordinamento soggettivo delle utilità degli oggetti
Capitolo IV
Il prezzo del rischio
1. La determinazione del prezzo per un rischio da assicurare
2. Le principali proprietà necessarie per i principi
di equivalenza
3. Criteri per la scelta del caricamento di sicurezza applicato
Capitolo V
La valutazione empirica del rischio
1. La classificazione dei rischi
2. La teoria della credibilità
Capitolo VI
La trasformazione oggettiva del rischio
1. La trasformazione del rischio individuo-C.A.
2. La trasformazione del rischio C.A.-C.R.
3. Il ruolo svolto dalla deviazione standard
4. La classificazione delle forme riassicurative
tradizionali
5. Analisi delle principali forme riassicurative
tradizionali
6. La riassicurazione non proporzionale basata
sui sinistri ordinati
7. La riassicurazione per i rischi di catastrofe
8. L’alternative risk transfer
9. I catastrophe bonds
10. I contratti derivati
239
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251
252
269
274
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280
296
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331
334
336
337
341
354
366
369
382
389
PARTE II – Analisi dell’evoluzione temporale del rischio
Capitolo VII
I processi propedeutici ai processi del rischio
1. I processi di Markov
2. I processi di somma parziale
3. Le martingale
4. I processi di Poisson
5. Il moto browniano o processo di Wiener
6. Il processo white noise
401
401
407
429
432
443
455
Capitolo VIII
Modelli per i processi del rischio
1. Le impostazioni individuale e collettiva
2. Due strutture di un portafoglio di rischi
459
459
461
3. I processi del rischio
463
Indice
4. Le scelte preliminari per la costruzione dei modelli
5. I processi base del rischio gestito
6. I processi ausiliari del rischio gestito
7. I processi del rischio di gestione
Capitolo IX
La teoria della rovina
1. La probabilità di rovina: considerazioni generali
2. Probabilità di rovina e tempi di rovina:
definizioni generali
3. Probabilità di rovina di un portafoglio
di rischi indipendenti
4. Probabilità di rovina di un portafoglio
di rischi dipendenti
5. La probabilità di rovina: un modello basato
sulle realizzazioni del processo delle riserve libere
6. La teoria classica della rovina
7. La probabilità di rovina accettabile
8. La teoria moderna della rovina
467
480
489
508
517
517
519
521
524
527
531
559
561
PARTE III – Altri aspetti tecnici ed economici associati alla
gestione del rischio
Capitolo X
Le politiche di distribuzione dei dividendi
1. Definizione e valutazione di una politica
di distribuzione dei dividendi
2. Le politiche per la distribuzione dei dividendi
Capitolo XI
I problemi della solvibilità, della stabilità e della redditività
1. Il problema della solvibilità
2. Il problema della stabilità
3. Il problema della redditività
4. Un modello per garantire congiuntamente
la solvibilità, la stabilità e la redditività
Capitolo XII
L’assicurazione delle catastrofi
1. Che cosa è una catastrofe
2. Rischi catastrofali e rischi di catastrofe
3. L’assicurabilità dei rischi di catastrofe
4. L’assicurazione dei rischi di catastrofe
5. Le risorse necessarie per assicurare i rischi
di catastrofe
6. La massima perdita probabile (PML)
7. Il ruolo svolto dallo Stato
8. I vantaggi offerti da una assicurazione obbligatoria
577
578
583
605
605
620
623
625
633
634
636
647
649
649
652
657
658
9
10 Indice
9. I modelli computerizzati per i rischi di catastrofe
10. Analisi di un portafoglio soggetto a rischi
di catastrofe
11. Tre modelli matematici per i risarcimenti causati
da catastrofi
12. Un modello per il rischio di catastrofe che utilizza
la teoria dei valori estremi e il prezzaggio dei cat bonds
13. L’assicurazione contro il terremoto: passato,
presente e futuro prossimo
14. Il rischio idrogeologico
15. L’assicurazione contro il terrorismo
Bibliografia
659
664
668
678
679
686
700
707
19
Prefazione a Lezioni di teoria del rischio
L’insegnamento della Teoria del rischio è stato introdotto
nell’ordinamento didattico universitario italiano, e più precisamente
nel settore scientifico disciplinare SECS-S/06, solo dalla metà degli
anni novanta. Al momento, a mia conoscenza, non siste alcun testo
scritto in italiano su questa disciplina, che, però, viene insegnata in
varie università italiane ed interpretata in almeno tre modi diversi.
Quest’ultimo atteggiamento trae la sua origine dal fatto che, quando si
parla di rischio in ambito economico, si può far riferimento o al
rischio gestito nei mercati finanziari o a quello gestito nei mercati
assicurativi, e quest’ultimo può ancora essere distinto tra quello
gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore vita e
quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel
settore danni.
Questo testo, che si prende l’incarico di “rompere il ghiaccio”, è il
frutto di una prima sistemazione degli appunti preparati per il corso di
Teoria del rischio da me svolto presso la Sapienza - Università di
Roma fin dall’a.a. 1995/96 e nasce semplicemente per fornire un
supporto didattico ai miei e ad altri studenti. Esso tratta
essenzialmente gli aspetti teorici che riguardano le assicurazioni
contro i danni, ma ritengo, tuttavia, che il contenuto di questo volume
possa essere parzialmente utile anche agli studenti dei corsi di laurea
gestiti dalle Facoltà di Economia, in quanto sono presentati e
analizzati molti concetti base relativi alla teoria generale del rischio.
La principale novità, rispetto ai testi della letteratura mondiale,
riportati nella bibliografia, utilizzati per la scelta della gran parte del
contenuto attuariale, è che questo testo è stato pensato e scritto per una
didattica di base. Ho cercato di realizzare questo obiettivo attraverso:
a) una diversa strutturazione degli argomenti, che ben si presta, a mio
modo di vedere, ad essere integrata da altri contributi più specifici,
b) l’introduzione nel testo dei concetti statistici e probabilistici che
sono propedeutici agli argomenti di teoria del rischio trattati.
Il testo, dopo una introduzione di carattere generale in cui il rischio
viene definito, classificato e rappresentato matematicamente, si
sviluppa in altre due parti.
Nella prima è presentata la sua analisi statica, ossia è preso in
esame il rischio rappresentato da un vettore aleatorio. Il suo contenuto
11
20
12 Prefazione
riguarda le principali distribuzioni di probabilità utilizzate in campo
attuariale, le misure e gli ordinamenti del rischio e la definizione del
premio puro assicurativo e riassicurativo.
Nella seconda, dedicata alla sua analisi dinamica, è preso in esame
il rischio rappresentato da un processo stocastico. Il suo contenuto
riguarda i processi stocastici di base (in particolare, i processi di
Poisson), i principali modelli per la teoria del rischio (il modello
Cramér-Lundberg e il modello Sparre Andersen), i processi del rischio
e la teoria della rovina.
Prima di concludere questa prefazione, ritengo doveroso rivolgere un
sentito ringraziamento alla dott.sa Giulia Sargenti, per la lettura critica
e la revisione delle bozze, e ai miei figli Alessandro e Alberto, per
l’aiuto che mi hanno dato nella composizione grafica del testo.
Augusto Freddi
Roma, marzo 2007
21
Prefazione a Teoria del rischio
L’insegnamento della Teoria del rischio è stato introdotto
nell’ordinamento didattico universitario italiano, e più precisamente
nel settore scientifico disciplinare SECS-S/06, solo dalla metà degli
anni novanta. Al momento, questa disciplina viene insegnata in varie
università italiane ed interpretata in almeno tre modi diversi.
Quest’ultimo atteggiamento trae la sua origine dal fatto che, quando si
parla di rischio in ambito economico, si può far riferimento o al
rischio gestito nei mercati finanziari o a quello gestito nei mercati
assicurativi, e quest’ultimo può ancora essere distinto tra quello
gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel settore vita e
quello gestito dalle compagnie di assicurazione che operano nel
settore danni.
Questo testo intende fornire un’ampia descrizione di quella parte della
Teoria del rischio che viene utilizzata dagli attuari che operano nel
settore assicurativo danni. Esso sviluppa largamente il testo Lezioni di
teoria del rischio, da me pubblicato nel 2007, che rappresentava la
sistemazione degli appunti del corso di Teoria del rischio da me tenuto
presso la Sapienza - Università di Roma fin dall’a.a. 1995/96.
Rispetto al testo Lezioni di teoria del rischio, che si articolava in sei
capitoli più una introduzione questo nuovo testo si articola su dodici
capitoli più una introduzione. I nuovi capitoli riguardano:
- La valutazione empirica del rischio,
- La trasformazione oggettiva del rischio,
- Le politiche di distribuzione dei dividendi,
- I problemi della solvibilità, della stabilità e della redditività,
- L’assicurazione delle catastrofi.
Per quanto attiene la parte conservata, premesso che è stata
largamente integrata, va detto che essa si articola ora su sette capitoli
in quanto il vecchio capitolo II è stato sdoppiato nei capitoli:
- La misura e l’ordinamento del rischio,
- La trasformazione soggettiva del rischio.
Questo testo è stato pensato e scritto con finalità didattiche anche se
ambisce ad essere considerato un manuale per questa materia. Ho
cercato, infatti, di prendere in considerazione non solo la quasi totalità
degli argomenti che caratterizzano questa disciplina dal punto di vista
attuariale ma anche di evidenziare gli aspetti matematici e statistici
associati al concetto di rischio. Dunque, il titolo Teoria del rischio non
13
22
14 Prefazione
è associato solo al significato attribuito inizialmente al modello di
Cramér-Lundberg ma è riferito anche ad altre teorie collaterali come
la teoria dell’utilità e la teoria della credibilità e, ultimo ma non meno
importante, al concetto stesso di rischio.
Nel testo sono, pertanto, inseriti i concetti statistici e probabilistici che
sono propedeutici agli argomenti di teoria del rischio trattati.
Il testo, dopo una introduzione di carattere generale in cui il rischio
viene definito, classificato e rappresentato matematicamente, si
sviluppa in altre tre parti così denominate:
- Analisi statica del rischio,
- Analisi dell’evoluzione temporale del rischio,
- Aspetti tecnici ed economici associati alla gestione del rischio.
Prima di concludere questa prefazione, ritengo doveroso rivolgere un
sentito ringraziamento a mio figlio Alberto, per l’aiuto che mi ha dato
nella composizione grafica del testo.
Augusto Freddi
Roma, dicembre 2013
23
Notazione
B(R)
C.N.[L; Θ ]
CX
cX(xq)
d.d.p.
Domf
DX
f.d.
f.d.p.
)
f.c.
f.d.
f.g.m.
f.g.p.
Φ(x)
Φ nΣ
Ft
Fn
H
∗
cx
I
IX
Kt
M[L; Θ ]
m.b.u.
σ -algebra di Borel su R.
Caratteristica numerica della lotteria L di parametro
Θ.
Distribuzione di probabilità continua della v.a. X.
Valore atteso della coda della f.d. associata alla v.a.
X
Distribuzione di probabilità
Dominio della funzione (deterministica o aleatoria)
f
Distribuzione di probabilità (d.d.p.) discreta della
v.a. X.
Funzione distribuzione (di probabilità)
Funzione densità di probabilità
Insieme delle f.d. definite su R.
Funzione caratteristica
Funzione distribuzione (di probabilità)
Funzione generatrice dei momenti
Funzione generatrice delle probabilità
F.d. normale standard
F.d. congiunta della f.d. normale standardizzata nvariata,
Filtrazione con indice continuo t ≥ 0.
Filtrazione con indice discreto n ∈ N.
Insieme delle funzioni continue convesse
Insieme [0,1]
Distribuzione di probabilità (d.d.p.) generica della
v.a. X.
Variabile aleatoria che rappresenta il numero degli
eventi che si verificano nell’intervallo temporale
(0,t].
Misura della lotteria L dipendente dal vettore
parametrico Θ , ottenuta applicando il funzionale
M[⋅; Θ ].
Moto browniano unidimensionale
15
16 Notazione
MPL
MSE
MX
M(X,v)
mX(x)
N
N+
N(μ,σ2)
QX(B)
R
R
R+
R+
ℜ
Ranf
St
(k )
X
tX
X
X
x
x
x*(X)
Xt
X(t)
{Xn: n ∈ J}
24
Maximum probable loss
Mean Squared Error
Distribuzione di probabilità (d.d.p.) mista della v.a.
X.
Funzione generatrice dei momenti (f.g.m.) della
v.a. X.
Vita media residua della v.a. X .
Insieme dei numeri naturali.
Insieme dei numeri naturali positivi.
F.d. normale con valore atteso μ e varianza σ2.
Misura di probabilità indotta su B(R) dalla v.a. X.
Insieme dei numeri reali.
Unione dell’insieme dei numeri reali e dell’infinito
Insieme dei numeri reali non negativi.
Insieme dei numeri reali positivi.
Insieme delle v.a. X che hanno realizzazioni non
negative e x*(X) finito.
Codominio della funzione (deterministica o
aleatoria) f
Variabile aleatoria che rappresenta l’ammontare del
danno complessivo provocato dai sinistri
nell’intervallo temporale (0,t].
V.a. numero di insuccessi prima di ottenere k
successi.
Variabile aleatoria che rappresenta un rischio
concentrato in un istante passato, t < 0, o presente, t
= 0 (entrambi in assenza di informazioni) o futuro,
t > 0.
Variabile aleatoria (v.a.).
Vettore aleatorio
Realizzazione della v.a. X.
Realizzazione del vettore aleatorio X.
Massimo valore tra le realizzazioni della v.a. X.
Variabile aleatoria che rappresenta un rischio
valutato in un intervallo temporale (0,t].
Processo stocastico nel caso continuo che descrive
l’evoluzione del rischio in un intervallo temporale
[0,t].
Processo stocastico con insieme indice J discreto.
25
Notazione 17
Ξ
Classe delle d.d.p. sub-esponenziali
Variabile aleatoria che rappresenta
l’ammontare del danno provocabile dalla
realizzazione dell’evento all’istante t ∈ R.
Insieme dei numeri interi relativi.
Variabile aleatoria
Momento k-esimo della v.a. X rispetto
all’origine.
Indice di asimmetria della v.a. X.
Indice di curtosi della v.a. X.
Funzione Gamma completa.
Funzione Gamma incompleta.
Momento k-esimo della v.a. X rispetto al valore
atteso.
Indicatore dell’evento A.
Spazio degli stati di un generico processo stocastico
Insieme delle lotterie.
Insieme delle lotterie che hanno le loro realizzazioni
in [0,1].
Insieme di v.a.
= o =d
Uguaglianza in distribuzione
ǒ
tZ
Z
v.a.
αk(X)
γ1(X)
γ2(X)
Γ(λ)
Γ(z,λ)
μk(X)
1A(X)
ɘ
ℵ
ℵ*
d
p
→
q.s.
→
∃
Convergenza in probabilità
Converge quasi sicuramente
Esiste
26
Avvertenze
A) Nel testo, per semplificare la trattazione senza, tuttavia, perdere
molto in generalità, sono state via via introdotte 18 ipotesi restrittive.
Tali ipotesi, salvo avviso contrario, devono considerarsi rispettate in
tutta la trattazione seguente, tenendo presente che, ovviamente, le
ipotesi introdotte in ciascuna delle prime due parti valgono solo nella
parte in cui sono state introdotte.
B) Le variabili aleatorie sono indicate con una lettera maiuscola,
mentre tutte le loro realizzazioni, così come quasi tutti gli altri valori
deterministici, sono indicate con una lettera (la stessa della v.a.)
minuscola.
C) I vettori aleatori sono indicati con una lettera maiuscola in
grassetto.
D) Per indicare un paragrafo vengono utilizzati due numeri separati da
un trattino: il primo è espresso in cifre indo-arabe e sta ad indicare la
numerazione del paragrafo nel capitolo di appartenenza e il secondo è
espresso con numerazione romana e sta ad indicare il capitolo di
appartenenza. La scrittura 1.2-V sta, dunque, ad indicare il paragrafo
1.2. del capitolo V. Quando manca il secondo numero vuol dire che il
paragrafo appartiene all’introduzione.