sch. il potenziale elettrico

SCHEDARIO: IL POTENZIALE ELETTRICO
1. LA DEFINIZIONE
GENERALITA’
Quando si è introdotta la forza di Coulomb si è definita una nuova grandezza, il campo elettrico, che permetteva di
valutare la forza di Coulomb in ogni punto dello spazio. Per definire il campo elettrico si è così utilizzata una carica di
prova con la quale si valutava la forza di Coulomb in ogni punto. La carica di prova, come avevamo fatto notare, era tale da
non influenzare la distribuzione della carica presente per non modificarne le proprietà che si volevano studiare. Con
questa procedura si è determinata una nuova grandezza vettoriale indipendente dalla carica di prova utilizzata a cui si è
dato il nome di campo elettrico. Analogamente a quanto fatto per la forza di Coulomb ora ci si ripropone il compito di
trovare una grandezza capace di descrivere le proprietà del lavoro elettrico ossia dell’energia potenziale elettrica nello
spazio in modo da definirle indipendentemente dalla carica di prova che si utilizza per determinare tali proprietà. Questa
nuova grandezza dovrà dipendere esclusivamente dalla distribuzione delle cariche; inoltre essendo il lavoro una grandezza
scalare anch’essa risulterà una grandezza scalare.
LA DEFINIZIONE
Supponiamo di prendere un sistema di cariche e una carica di prova e calcoliamo l’energia necessaria ad
assemblare un nuovo sistema costituito dalle n cariche fisse del sistema più la carica di prova:
Sapendo che il lavoro fatto dalla forza esterna necessaria ad
assemblare il sistema è uguale all’energia potenziale elettrica si ha:
Qn
Cariche oggetto
di studio
+
P
+
n
Lt = U t = U q1 + U q 2 + … + U qn = ∑ U qi
Q1
i =1
Ogni energia potenziale è direttamente proporzionale alla carica di
prova è possibile svincolarsi dal valore della carica di prova
considerando il rapporto:
Vt =
Ut
q
+
+
Q2
Q3
+
q
Carica di
prova
In questo modo il valore di V così definito risulta indipendente dalla carica di prova utilizzata.
A questa grandezza viene dato il nome di POTENZIALE ELETTRICO
- POTENZIALE ELETTRICO -
U
VP = P
q
Il potenziale elettrico nel punto P dovuto a una distribuzione di carica è il
rapporto tra l’energia potenziale UP dovuta all’interazione, fra la carica di prova
e ogni carica presente nel sistema, e la carica di prova positiva q
L’ANALOGIA
Grandezza vettoriale
Grandezza scalare
Dipendenti dalla carica di prova
La forza di Coulomb F
Energia potenziale U / lavoro L
Indipendenti dalla carica di prova
il campo elettrico E
Il potenziale elettrico V
CONSIDERAZIONI SUL POTENZIALE:
• L’UNITA’ DI MISURA: è data dal rapporto tra l’energia e carica [J/C] a cui viene dato il nome di volt [V]
• Essendo ottenuta dal rapporto tra l’energia potenziale elettrica e la carica il potenziale può essere anche
considerato come: il lavoro per unità di carica necessario a spostare una carica positiva dall’infinito al
punto P
• Il potenziale dipende esclusivamente dalla distribuzione di cariche che lo genera e dalla posizione del
punto P nello spazio (è indipendente dalla carica di prova)
LA TENSIONE O DIFFERENZA DI POTENZIALE
Più utile ai fini delle interazioni elettriche è la differenza di potenziale elettrico tra due punti B e A che
possiamo definire come:
∆V = VB − VA =
U B U A ∆U
−
=
q
q
q
Ricordando che ∆U=-LA→B possiamo definire la differenza di potenziale nel seguente modo:
- DIFFERENZA DI POTENZIALE / TENSIONE -
∆V = VB − VA = −
LA → B
q
La differenza di potenziale elettrico tra due punti B e A è
l’opposto del lavoro per unità di carica fatto dalla forza elettrica
su una carica di prova positiva lungo lo spostamento da A a B
Schedario IL POTENZIALE ELETTRICO 1
Con questa definizione risulta immediato determinare il lavoro che compie una forza su una carica Q che
viene spostata tra due punti dello spazio per i quali sussiste una differenza di potenziale ∆V.
OSSERVAZIONE:
L A → B = − Q ⋅ ∆V
Una carica positiva si sposta spontaneamente a causa della forza
elettrica da una a potenziale minore a una a potenziale maggiore
[LA→B >0; ∆V<0]
Una carica negativa invece si sposta spontaneamente a causa
della forza elettrica da una a potenziale minore [LA→B >0 ; ∆V>0]
IL POTENZIALE DI UNA CARICA PUNTIFORME
Dalla formula dell’energia potenziale possiamo calcolare la relazione per determinare il potenziale nel caso di
una carica puntiforme infatti basterà sostituire nella relazione la carica di prova:
qQ
U (r)
Q
qQ
U ( r ) = k0
→ V (r ) =
= k0
= k0
r
q
r
qr
- OSSERVAZIONE SUL POTENZIALE DI UNA CARICA PUNTIFORME -
Q
1 Q
V ( r ) = k0 =
r 4πε 0 r
Il valore sarà positivo o negativo a seconda del segno della carica
e tenderà al valore zero quando il punto P è infinitamente lontano
dalla carica.
Nel caso di più cariche il potenziale nel punto P è dato dalla
somma dei potenziali generati dalle singole cariche.
OSSERVAZIONE
PROMEMORIA:
Nel caso in cui la carica è posta in un
materiale basta sostituire la costante
ε0 = 8,8542x10-12 C2/(N⋅m2)
k0 = 8,987x109 N⋅m2/C2
Q è la carica in [C]
r è la distanza in [m]
V potenziale elettrica [V]
IL POTENZIALE ELETTRICA È FUNZIONE DI
Riportiamo alcuni valori del fattore εr
AMBRA
2,8
PVC
4,5
VETRO
5-10
ALCOL ETILICO
24-26
VAPORE ACQUEO
ε0 con ε=ε0εr
V (r) =
1 Q
4πε r
Dove εr è deducibile attraverso le
tabelle
r
CARTA
POLIETILENE
ZUCCHERO
GHIACCIO
1,00060
2-3
LEGNO
2,3
SILICIO
3,3
PETROLIO
75
ACQUA
ARIA (IN CONDIZIONI NORMALI)
3-7
12
2,1
80
1,00056
LE SUPERFICIE EQUIPOTENZIALI
Quando abbiamo definito il campo elettrico ne abbiamo dato una sua rappresentazione grafica attraverso la
costruzione delle linee di campo, per l’analogia adesso si vuole dare una rappresentazione grafica anche per il
potenziale elettrico. La rappresentazione grafica del potenziale avviene attraverso superfici dette superfici
equipotenziale che possiamo definire nel seguente modo:
DEFINIZIONE DI SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE
Si chiama superficie equipotenziale il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume uno
stesso valore.
ALCUNE RAPPRESENTAZIONI DI LINEE EQUIPOTENZIALI
Relative ad una carica puntiforme
Relative ad un campo elettrico
uniforme
Relative ad un sistema di due cariche puntiformi
Schedario IL POTENZIALE ELETTRICO 2
LA PROPRIETÀ DELLE LINEE EQUIPOTENZIALI
In tutti i punti le linee di campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali.
+ DIMOSTRAZIONE +
Prendiamo in considerazione un campo elettrico uniforme, e due punti A e B
come mostrato nella figura a fianco. Nel punto A a causa del campo elettrico si
genera una forza elettrica F con direzione uguale a quella del campo elettrico.
Spostandoci da A a B otteniamo uno spostamento ∆s. Tale spostamento risulta
perciò perpendicolare alla forza F generata dal campo elettrico e quindi produce
un lavoro nullo. Essendo:
∆V =
LA→ B 0
= =0
q
q
I punti A e B non hanno differenza di potenziale quindi hanno stesso potenziale
elettrico V(A) = V(B) cioè entrambi i punti sono situati sulla stessa superficie
equipotenziale.
A tale deduzione potremmo arrivare anche considerando un qualunque spostamento infinitamente piccolo da poterlo
considerare rettilineo e tale da poter considerare per tale spostamento un campo uniforme. Se lo spostamento è
perpendicolare al campo elettrico allora anche la forza risulta perpendicolare e quindi non essendoci lavoro non ci sarà
nemmeno differenza di potenziale e quindi i due punti stanno sulla stessa superficie equipotenziale.
2. LE RELAZIONI TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE
GENERALITA’
E’ possibile calcolare il campo elettrico in un punto dello spazio conoscendo l’andamento del potenziale
elettrico nei dintorni di quel punto o viceversa potremmo calcolare la differenza di potenziale tra due punti
dello spazio se conosciamo il campo elettrico lungo un percorso fra tali punti.
DAL CAMPO ELETTRICO AL POTENZIALE
Per arrivare alla relazione prendiamo due punti A e B e un percorso che li
unisca. Suddividiamo tale percorso in intervalli rettilinei abbastanza piccoli
da poter considerare il campo elettrico uniforme su di essi. Per ogni
intervallino calcoliamo la differenza di potenziale. Sapendo che la
differenza di potenziale è l’opposto del lavoro per unità di carica si ha:
∆V1 = VA1 − VA = −
A1
LA→ A1
Q0
Inoltre possiamo calcolare la forza F sulla carica Q0 posta nel campo
E con la relazione:
F = Q0 E da cui il lavoro risulta: LA→ A = F ⋅ ∆s1 = Q0 E ⋅ ∆s1
Ai-1
1
Sostituendo e semplificando:
∆V1 = VA1 − VA = −
LA→ A1
Q0
=−
Q0 E ⋅ ∆s1
Q0
i
= − E ⋅ ∆s1
(La differenza di potenziale è il prodotto scalare tra il vettore campo
elettrico e il vettore spostamento) ossia:
i
Ai
∆V1 = VA1 − VA = − E ∆s1 cos θ1
Ripetiamo il procedimento per tutti i tratti in cui è suddiviso il
percorso AB e si ottiene la differenza di potenziale tra A e B come:
n
∆V = VB − VA = −∑ Ei ⋅ ∆si
i =1
DAL POTENZIALE AL CAMPO ELETTRICO
È possibile calcolare utilizzando la relazione appena trovata anche il campo elettrico
in una zona dello spazio in cui è noto il potenziale. In questo caso però occorrerà
considerare uno per volta i singoli spostamenti in cui è stato suddiviso lo spostamento
totale ottenendo il campo elettrico relativo ad una specifica direzione :
Ei =
∆Vi
∆si
3. LA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
GENERALITA’
Come abbiamo visto l’idea di flusso di un campo vettoriale prese piede con lo studio della fluidodinamica dove
si introdusse il concetto per definire la portata attraverso una superficie. Tale idea fu ripresa per definire il
Schedario IL POTENZIALE ELETTRICO 3
flusso del campo elettrico. Analogamente sempre in tale ambito fu sviluppato il concetto di circuitazione di un
campo vettoriale. In questo caso l’dea nacque per definire il tipo di moto di un fluido e suddividere i moti
fluidi che hanno un comportamento turbolento (con presenza di vortici) da quelli con comportamento laminare
(senza vortici dove i filetti fluidi hanno andamento parallelo tra loro). Per definire il concetto di circuitazione
occorre sempre considerare una linea chiusa e nel caso della fluidodinamica si considerano i vettori velocità.
Fissato un verso di percorrenza della linea scelta si possono verificare due circostanze:
Caso 2
caso 1
1) il del moto del fluido è nello stesso verso di
quello di percorrenza della linea scelta allora il
moto ha lo stesso verso della velocità il
prodotto scalare tra il vettore velocita e il
vettore spostamento risulta positivo (il fluido
si muove di moto turbolento)
2) Se la linea invece è posta in una zono dove il
moto e senza vortici (fluido in moto laminare)
la velocità risulta uniforme e si hanno prodotti
scalari positivi e prodotti scalari negativi e
sommandoli si annullano.
Nel caso del campo elettrico vale ancora l’analogia tra:
vettore velocità → vettore campo elettrico
v→E
Se prendiamo un percorso chiuso γ (A e B coincidenti) sulla linea così
scelta fissiamo un verso di percorrenza e la suddividiamo in piccoli
tratti ∆s da poterli considerare rettilinei. Per ogni trattino possiamo
considerare il campo elettrico uniforme. Come abbiamo detto nella
definizione della relazione tra il potenziale e il campo elettrico
possiamo calcolare per ogni posizione sulla linea chiusa la differenza di
potenziale come prodotto scalare:
∆Vi = − E i ⋅ ∆si
LA DEFINIZIONE DI CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
La somma di tutti questi contributi è detta circuitazione del
campo elettrico lungo la linea chiusa orientata γ
( )
n
Γγ E = ∑ E i ⋅ ∆si
i =1
LA PROPRIETÀ DELLA CIRCUITAZIONE DEL CAMPO ELETTRICO
La circuitazione del campo elettrostatico gode di un importante
proprietà molto utile nelle applicazioni che afferma:
La circuitazione di un campo elettrico è nulla, qualunque sia il
cammino orientato lungo il quale essa è calcolata.
( )
n
Γγ E = ∑ E i ⋅ ∆si = 0
i =1
Questa proprietà deriva dal fatto che la forza di Coulomb è una forza conservativa e per tali forze il lavoro
lungo una linea chiusa è nullo. Avendo già detto che la differenza di potenziale e pari all’opposto del lavoro la
differenza di potenziale risulta nulla per ogni tratto; conseguentemente anche la loro somma è nulla.
Schedario IL POTENZIALE ELETTRICO 4