Lezione 10. L’equilibrio del mercato finanziario:
la struttura dei tassi d’interesse
Titoli con scadenza diversa hanno prezzi (e tassi di interesse) differenti.
Due titoli di durata diversa emessi dallo stesso soggetto (stesso rischio di
controparte): un periodo per quello a breve termine (tasso corrente iS0); più periodi
per quello a più lunga scadenza (tasso corrente iZ0).
Investire a lunga o a breve?
Confrontare il rendimento del titolo a lunga (investimento a lungo termine) con la
sequenza di rendimenti che si ottengono investendo la somma in un titolo a breve
e rinnovando l’investimento alla scadenza per un numero di periodi corrispondenti
alla durata del titolo a lunga (investimento rolled over).
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Esempio 1. Arbitraggio tra titoli a scadenza diversa.
Investire una unità monetaria in un titolo a cinque periodi che garantisce oggi un
tasso d’interesse i50 per tutti e cinque i periodi,
o in uno con scadenza a un periodo che offre oggi il tasso i10 e rinnovare per
quattro volte l’investimento a breve ai tassi i1t (t=1,..., 4) che si formeranno
all’inizio dei successivi quattro periodi?
Se si conoscono con certezza i tassi d’interesse futuri, in equilibrio si deve avere:
(1+i50)5 = (1+i10) (1+i11) (1+i12) (1+i13) (1+i14)
Tutti acquistano (vendono) il titolo a lunga se il termine a primo membro è
maggiore (minore) di quello a secondo membro: il prezzo sale (scende) e il tasso
d’interesse scende (sale), fino al raggiungimento dell’equilibrio.
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Nei logaritmi:
5log(1+i50)=log(1+i10)+log(1+i11)+log(1+i12)+log(1+i13)+log(1+i14)
Approssimando (per valori di i vicini a zero è log(1+i) i):
0
1
2
3
4
i
i
i
i
i
1
1
1
1
i50 1
5
Il tasso a lunga corrente è (circa) uguale alla media aritmetica dei tassi a breve
dei cinque periodi. Più in generale:
1 z 1 t
i iS
z t 0
0
Z
(“Z” indica una qualsiasi durata maggiore del periodo unitario “S”).
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Nella realtà i tassi di interesse a breve futuri non sono sempre conosciuti con
certezza dagli agenti. Due possibilità:
1. E’ presente un mercato a termine, in cui la liquidazione di una
compravendita avviene in un periodo futuro rispetto a quello di sottoscrizione
del contratto e i tassi sulle operazioni future sono contrattualmente noti oggi.
Se vi è un elevato numero di arbitraggisti tra pronti e termine, il tasso iZ0 è
circa pari alla media aritmetica dei tassi a termine iSft dei corrispondenti t
periodi:
1 z 1 ft
i iS
z t 0
0
Z
dove ifS è un tasso uniperiodale a termine e t è il periodo iniziale di attuazione
del contratto.
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2. Non vi è certezza sui tassi d’interesse futuri e la scelta si fonda sulle
aspettative degli operatori sui tassi d’interesse a breve futuri alle diverse
scadenze.
Ogni agente investe a lunga o a breve a seconda delle sue aspettative sui
rendimenti relativi dei titoli. Se sono numerosi, i tassi correnti a più lunga
scadenza esprimono la valutazione corrente delle attese (medie) del mercato
sui tassi d’interesse di breve periodo futuri:
z 1
1
iZ0 iSet
z t 0
(iSet è il valore atteso del tasso di interesse a breve all’inizio del t-esimo periodo).
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Nella realtà, le informazioni disponibili riguardano i tassi d’interesse correnti alle
diverse scadenze: derivare dalla struttura dei tassi a lunga le aspettative medie
di mercato circa la tendenza (al rialzo o al ribasso) dei tassi a breve.
Esempio: 2 titoli a lunga con scadenza contigua, al periodo Z e al periodo (Z+1).
Esprimiamo il loro rapporto come sequenza di tassi a breve termine, per ottenere
l’espressione del tasso d’interesse a breve atteso per il periodo Z:
1 i
1 i
Z 1
0
Z 1
0 Z
Z
1 i
Z
et
S
t 0
Z 1
1 i
1 iSeZ
et
S
t 0
i0Z+1 e i0Z sono i tassi di interesse correnti sui titoli di durata (Z+1) e Z periodi
(entrambi noti) e iSet è il tasso d’interesse atteso, all’inizio del periodo t, su un
titolo della durata di un periodo.
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Nei logaritmi:
Z 1log 1 iZ0 1 (Z ) log 1 iZ0 log 1 iSeZ
Dato che log(1+i) i:
0
eZ
0
(Z+1) iZ 1 – Z iZ iS
0
Aggiungendo e sottraendo iZ otteniamo:
iSeZ iZ0 + (Z+1)( iZ0 1 – iZ0 )
il tasso a breve atteso per un dato periodo (Z+1) − investimento della durata di un
periodo da effettuare all’inizio del periodo (Z+1) − implicito nella struttura
corrente dei tassi a lunga è dunque ricavabile (con buona approssimazione) dal
rendimento di due titoli a lunga di opportuna scadenza e dalla scadenza del titolo.
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La struttura per scadenza dei tassi correnti, contenendo la struttura implicita di
tutti i tassi a termine di breve periodo, permette di ricavare i valori dei tassi a
breve futuri attesi presenti in un dato momento sul mercato.
Il mercato fornisce informazioni sulle tendenze dei tassi d’interesse futuri.
Gli operatori che si attendono oggi un tasso a breve al tempo t maggiore di quello,
iSet, implicito nella attuale situazione di mercato, investono in titoli con scadenza a
t periodi e reinvestono la somma in un titolo a breve per l’ulteriore periodo.
L’arbitraggio, influenzando la domanda e l’offerta dei titoli, determina variazioni
nella loro quotazione, fino a quando non si determina un prezzo di equilibrio che
riflette l’opinione media degli operatori sui tassi futuri di breve periodo.
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I tassi a termine “impliciti” esprimono una condizione di indifferenza: è
equivalente effettuare un investimento/finanziamento per T anni o effettuare la
stessa operazione per un periodo inferiore, rinnovandola per il tempo residuo.
Esempio. Un investitore vuole investire a 2 anni e osserva: i01=2,50%; i02=2,78%.
Opzioni possibili:
1. acquistare un titolo con scadenza a 2 anni;
2. acquistare un titolo a 1 anno e, alla scadenza, reinvestire la somma ottenuta
per un ulteriore anno al tasso che si trova sul mercato in quel momento.
Le operazioni sono finanziariamente equivalenti se il tasso a un anno fra un anno,
i11, è pari al valore X che soddisfa l’uguaglianza:
(1+0,0278)2 = (1+0,025)(1+X).
Equazione è soddisfatta se: X = (1+0,0278)2/(1+0,025) – 1 = 0,0306. Il tasso a
termine equivalente è i11=3,06%.
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La curva dei rendimenti e la struttura intertemporale dei tassi d’interesse
La disponibilità di una serie di tassi a lunga a diverse scadenze consente di:
disegnare la curva dei rendimenti (yield curve), ossia la relazione tra
rendimento e vita residua di un titolo privo di rischio;
ricostruire la struttura esistente in un punto nel tempo dei tassi a termine
impliciti per l’intero intervallo di scadenze.
Lo scarto fra il tasso a lunga e a termine in corrispondenza della stessa scadenza
informa circa le attese del mercato per un rialzo o un ribasso dei tassi d’interesse.
La curva dei rendimenti può essere inclinata positivamente (all’aumentare della
scadenza i tassi aumentano) o negativamente (all’aumentare della scadenza i tassi
diminuiscono). Può anche essere piatta (tassi a breve uguali a quelli a lunga).
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Nel caso di una curva dei rendimenti inclinata positivamente (normale), si ha:
iSeZ iZ0 + (Z+1)( iZ0 1 – iZ0 )
e
(i0Z+1 – i0Z ) > 0
Per ogni scadenza, i tassi a termine ieZS sono maggiori dei tassi correnti i0Z per le
medesime scadenze: se il tasso a lunga relativo a una data scadenza è pari alla
media di tutti i precedenti tassi a breve, l’aumento del tasso corrente a lunga nel
passaggio da una scadenza a quella successiva richiede che il corrispondente tasso
futuro a breve sia più elevato.
Se la curva dei rendimenti è inclinata negativamente (curva invertita), si ha:
iSeZ iZ0 + (Z+1)( iZ0 1 – iZ0 ) e
i0Z+1 - i0Z < 0
Per ogni scadenza, i tassi a termine ieZS sono minori dei tassi correnti i0Z per le
medesime scadenze.
E se la curva è piatta?
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Se la curva dei rendimenti è crescente,
la curva dei tassi a termine si trova sempre al di sopra di essa.
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Cosa accade se si ha un tratto decrescente e poi crescente?
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Lo scarto fra il tasso a lunga e quello a termine, dovuto all’arbitraggio operato
dagli agenti sulla base delle aspettative sui tassi d’interesse futuri, segnala le loro
prospettive future.
Attese di aumenti dei tassi attesi impliciti a breve: tassi a lunga crescenti
Attese di riduzione dei tassi attesi impliciti a breve: tassi a lunga decrescenti
Le attese rialziste o ribassiste sono collegate a:
Inflazione (l’attesa di un aumento implica un maggior tasso di rendimento che
compensi la perdita di potere di acquisto del valore nominale
dell’investimento finanziario; attese di tassi crescenti; curva dei rendimenti
crescente; viceversa, in presenza di attese disinflazionistiche)
Evoluzione ciclica dell’economia (fasi espansive/recessive accompagnano
attese di tassi crescenti/decrescenti)
Politica monetaria attesa
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Altre spiegazioni dello scarto tra tassi a lunga e tassi a breve (pendenza della
curva dei rendimenti) si basano sull’ipotesi fondamentale che i titoli con scadenza
diversa non siano tra loro perfetti sostituti: chi emette i titoli preferisce fondi a
lunga scadenza; chi investe preferisce scadenze più brevi.
1) Premio per la liquidità. Per indirizzare fondi sui titoli a più lunga scadenza,
gli investitori richiedono un premio per la liquidità; i tassi a lunga sono più
elevati di quanto non sarebbero per effetto esclusivamente delle attese sui
tassi futuri. La preferenza degli investitori per i titoli più liquidi deriva da:
incertezza sulle necessità future di fondi;
incertezza sull’andamento dei tassi d’interesse nel lungo periodo;
scadenze più brevi garantiscono minori rischi di perdite in conto capitale.
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2)
Esistenza per gli investitori di un habitat preferito. I mercati dei titoli
con scadenze differenti sono “segmentati”: tanti sotto-mercati in cui
operano condizioni di domanda e offerta diverse.
Gli investitori privilegiano un orizzonte temporale breve; i prenditori di
fondi uno lungo. Poiché per i titoli a più breve termine prevale la
domanda e per quelli a più lungo termine l’offerta, la curva dei rendimenti
ha una inclinazione positiva.
Le sue modificazioni sono spiegate da variazioni dei fattori di domanda e
offerta dei singoli segmenti del mercato finanziario.
I tassi impliciti costituiscono una valutazione “media” del contributo pesato
di attese, liquidità e habitat alla determinazione dei tassi alle diverse
scadenze.
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