ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA
LEZIONE II
MAURO DI NASSO
Definizione 2.1. Il prodotto cartesiano di A con B è l’insieme di tutte le coppie
ordinate la cui prima componente appartiene ad A e la cui seconda componente
appartiene a B. In formule:
A × B = {x | ∃ a ∈ A ∃ b ∈ B x = (a, b)}
Definizione 2.2. Una relazione binaria R è un insieme di coppie ordinate.
• L’insieme dom(R) = {a | ∃ b (a, b) ∈ R} di dice dominio di R ;
• L’insieme imm(R) = {b | ∃ a (a, b) ∈ R} si dice immagine di R.
Spesso si scrive aR b per intendere che la coppia ordinata (a, b) “soddisfa” la
relazione R, cioè (a, b) ∈ R. Ad esempio, con la nostra definizione, la consueta
relazione < sui numeri naturali N, è definita come l’insieme di tutte quelle coppie
ordinate (n, m) di numeri naturali dove n è minore di m.
Ricordiamo qui di seguito le fondamentali definizioni di relazione di equivalenza
e relazione d’ordine.
Definizione 2.3. Una relazione di equivalenza su un insieme A è una relazione
R ⊆ A × A che gode delle proprietà seguenti:
• Riflessiva: Per ogni a ∈ A, aRa ;
• Simmetrica: Per ogni a, b ∈ A, aRb → bRa ;
• Transitiva: Per ogni a, b, c ∈ A, (aRb ∧ bRc) → aRc.
Definizione 2.4. Sia A un insieme, e sia ≈ una relazione di equivalenza su A. La
corrispondente classe di equivalenza di un elemento a ∈ A è l’insieme:
[a] = {a0 ∈ A | a0 ≈ a}.
L’insieme quoziente di A rispetto alla relazione di equivalenza ≈ è l’insieme:
A/≈ = {[a] | a ∈ A}.
Definizione 2.5. Una relazione di ordine parziale su un insieme A è una relazione
≤ ⊆ A × A che gode delle proprietà seguenti:
• Riflessiva: Per ogni a ∈ A, a ≤ a ;
• Anti-simmetrica: Per ogni a, b ∈ A, ( a ≤ b ∧ b ≤ a ) → a = b ;
• Transitiva: Per ogni a, b, c ∈ A, (a ≤ b ∧ b ≤ c) → a ≤ c.
Definizione 2.6. Una relazione di ordine parziale stretto su un insieme A è una
relazione < ⊆ A × A che gode delle proprietà seguenti:
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MAURO DI NASSO
• Irriflessiva: Per ogni a ∈ A, a 6< a ;
• Asimmetrica: Per ogni a, b ∈ A, a < b → b 6< b ;
• Transitiva: Per ogni a, b, c ∈ A, (a < b ∧ b < c) → a < c.
Le due definizioni di sopra sono sostanzialmente equivalenti, per cui useremo
indifferente i simboli < o ≤ a seconda delle circostanze. Vale infatti la seguente
proposizione (la cui verifica è lasciata per esercizio).
Proposizione 2.7. Sia ≤ un ordine parziale su A, e definiamo
a ≺ b ⇔ a ≤ b ∧ a 6= b.
Allora ≺ è un ordine parziale stretto su A. Viceversa, se < è un ordine parziale
stretto su A e definiamo
a b ⇔ a < b ∨ a = b,
allora è un ordine parziale su A.
Definizione 2.8. Un ordine parziale si dice ordine totale se soddisfa la seguente
proprietà di
• Tricotomia: Per ogni a, b, c ∈ A, vale una ed una sola delle seguenti tre
possibilità: a < b, a = b, b < a.
Passiamo ora ad un altro dei fondamentali concetti primitivi della matematica,
quello di funzione. Grazie alla nozione di coppia ordinata (e quindi di relazione)
siamo in grado di definire una funzione come uno speciale tipo di insieme. In
sostanza, identificheremo una funzione con il suo grafico.
Definizione 2.9. Una funzione f è una relazione univoca, cioè una relazione con
la proprietà che per ogni elemento a ∈ dom(f ), esiste un unico b tale che (a, b) ∈ f .
Si usa la notazione f (a) = b per intendere che (a, b) ∈ f .
Notazione 2.10.
• Con la scrittura “f : A → B” si intende che f è una funzione il cui dominio è
l’insieme A, e la cui immagine è un sottoinsieme di B. Quando imm(f ) = B,
si dice che la funzione f : A → B è suriettiva.
• Sia f una funzione e X ⊆ dom(f ). Con la scrittura “{f (x) | x ∈ X}” (o
più semplicemente “f [X]”) si denota l’insieme {y | ∃ x ∈ X f (x) = y}.
Notazione 2.11. Si usa la scrittura “B A ”, o anche “Fun(A, B)”, per denotare
l’insieme {f | f : A → B}.
Supponiamo note le nozioni di funzione iniettiva, funzione biunivoca (o bigezione),
composizione di funzioni, funzione inversa.1
Definizione 2.12. Una successione è una funzione σ il cui dominio è l’insieme dei
numeri naturali N. Talvolta, si parla di I-successione o I-sequenza per indicare una
funzione f avente come dominio l’insieme I. In questi casi, si adotta usualmente la
notazione hf (i) | i ∈ Ii.
1 Si tratta di definizioni standard, che possono essere trovate su qualsiasi manuale.
SECONDA LEZIONE
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Attenzione! Non confondere le due scritture hf (i) | i ∈ Ii e {f (i) | i ∈ I}. Con la
prima si intende denotare la funzione f , mentre con la seconda si intende denotare
il corrispondente insieme immagine imm(f ).
Notazione 2.13. Se F è una famiglia non vuota di insiemi, si denota:2
S
• TF ∈F F = {x | ∃ F ∈ F x ∈ F }.
• F ∈F F = {x | ∀ F ∈ F x ∈ F } ;
Se hFi | i ∈ Ii è una sequenza di insiemi, analogamente a sopra si denota:
S
• Ti∈I Fi = {x | ∃ i ∈ I x ∈ Fi }.
• i∈I Fi = {x | ∀ i ∈ I x ∈ Fi } ;
Esercizio 2.14. Sia hFi,j | (i, j) ∈ I × Ji una sequenza di insiemi. Allora vale
l’uguaglianza:
\ [
[ \
Fi,f (i) .
Fi,j =
i∈I j∈J
f ∈J I i∈I
****************
Adesso che tutta la terminologia di base è stata introdotta, possiamo finalmente
cominciare ad entrare nel vivo della teoria degli insiemi, introducendo la cruciale
nozione di equipotenza. Si tratta di un concetto introdotto da Cantor nella seconda
metà del XIX, per catturare l’idea di “grandezza” o “cardinalità” di un insieme
infinito. Per insiemi finiti, la cardinalità è data dal numero di elementi. Visto che
due insiemi finiti hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste una bigezione
tra di loro, Cantor propose la seguente definizione generale:
Definizione 2.15. Diciamo che due insiemi A e B sono equipotenti (o hanno la
stessa cardinalità) se esiste una funzione biunivoca f : A → B. In questo caso
scriviamo |A| = |B|.
Proposizione 2.16.
(1) Ogni insieme A è equipotente a se stesso ;
(2) Se A è equipotente a B, allora B è equipotente ad A ;
(3) Se A è equipotente a B e B è equipotente a C, allora A è equipotente a C.
Dunque l’equipotenza gode delle tre proprietà di relazione di equivalenza, cioè
la proprietà riflessiva (1), la proprietà di simmetria (2), e la proprietà transitiva
(3). Questo giustifica la nostra notazione |A| = |B|.3
2 In realtà, visto che stiamo sviluppando una teoria pura degli insiemi, per noi tutti gli insiemi
sono famiglie di insiemi! Manteniamo tuttavia il termine ridondante “famiglia” per seguire l’uso
comune.
3 Non possiamo propriamente parlare dell’equipotenza come una relazione di equivalenza
perché si tratterebbe di una relazione sull’intero universo di tutti gli insiemi, mentre – come vedremo più avanti – assumere l’esistenza dell’insieme universale {x | x = x} porta a contraddizioni.
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MAURO DI NASSO
Dim. (1). La funzione identità ı : A → A è banalmente una bigezione.
(2). Se f : A → B è una bigezione, allora la sua funzione inversa f −1 : B → A è
anch’essa una bigezione.
(3). Se f : A → B e g : B → C sono bigezioni, allora anche la composizione
g ◦ f : A → C è una bigezione.
Attenzione! Scriviamo |A| = |B| per intendere che A e B sono equipotenti, ma la
scrittura |A| da sola non ha alcun significato (per ora!). L’intuizione ci suggerirebbe
di attribuirgliene uno come classe di equivalenza, cioè: |A| = {B | |A| = |B|}. Ma,
come vedremo più avanti, assumere che la collezione di sopra sia un insieme porta
a contraddizioni.
Solo più avanti, quando avremo sviluppato una teoria assiomatica degli insiemi,
avremo un modo rigoroso di definire degli speciali oggetti, detti cardinali, che
saranno rappresentanti canonici di quelle “classi” di equivalenza. Precisamente,
per ogni insieme A esisterà ed unico un cardinale κ con |A| = |κ|. A quel punto
potremo porre direttamente |A| = κ, e dire che κ è la cardinalità dell’insieme A.
Ciò che rende non banale la teoria delle cardinalità è il fatto che non tutti gli
insiemi infiniti sono tra loro equipotenti. Cantor dimostrò infatti che per ogni
insieme assegnato, ne esiste uno di cardinalità diversa.4
Teorema 2.17 (Cantor).
Per ogni A, non esistono funzioni suriettive f : A → P(A). Dunque |A| =
6 |P(A)|.
Dim. Data una funzione f : A → P(A), consideriamo l’insieme
X = {a ∈ A | a ∈
/ f (a)}.
Se per assurdo f fosse suriettiva, esisterebbe un elemento α ∈ A con f (α) = X.
Si hanno due possibilità. Se α ∈ X, allora – per definizione di X – avremmo che
α∈
/ f (α) = X, contro l’ipotesi. Se invece α ∈
/ X, di nuovo per la definizione di X,
avremmo che α ∈ f (α) = X, contro l’ipotesi. Entrambi i casi ci portano ad una
conseguenza assurda, e concludiamo che f non può essere suriettiva.
Corollario 2.18. Non può esistere l’insieme universale V che contiene come elementi tutti gli insiemi.
Dim. Come abbiamo detto, conseguenza del principio di estensionalità è che non
esistono atomi; quindi ogni insieme è in realtà un insieme di insiemi. Se per assurdo
la classe universale V fosse essa stessa un insieme, allora avremmo che A ∈ V ⇒
A ⊆ V, cioè V ⊆ P(V). D’altra parte banalmente P(V) ⊆ V, e dunque sarebbe
V = P(V). Ma questo è assurdo, perché allora l’identità ı : V → P(V) sarebbe una
funzione biunivoca, contro il teorema di Cantor.
Il corollario di sopra ci dice che V, cioè l’estensione della formula “x = x”, non
può essere un insieme. Abbiamo cosı̀ trovato, dopo la proprietà di Russell “x ∈
/ x”,
un secondo esempio di proprietà non ammissibile, cui non possiamo applicare il
principio di comprensione.
4 Più precisamente, di cardinalità strettamente più grande (vedremo nella prossima lezione
una nozione di ordine parziale sulle cardinalità).
SECONDA LEZIONE
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Il prossimo teorema, oltre ad essere di importanza centrale nella teoria delle
cardinalità, sarà anche molto utile nella pratica per dimostrare l’equipotenza fra
insiemi.
Teorema 2.19 (Cantor-Bernstein).
Se esistono funzioni iniettive f : A → B e g : B → A, allora esiste una funzione
biunivoca h : A → B.
La dimostrazione del Teorema di Cantor-Bernstein non è facile, ed è rimandata
a quando tratteremo la teoria assiomatica degli insiemi.
