La gravitazione

La gravitazione
Matteo Gallone
26 giugno 2011
1
Il ragionamento di Newton
Per ricavare la legge di gravitazione universale Newton si ispirò alle osservazioni
sperimentali di Keplero. Riporto qui per brevità le tre leggi di Keplero che sono
il riassunto di quanto aveva osservato.
La prima legge di Keplero dice che i pianeti percorrono orbite ellittiche e il
sole occupa uno dei due fuochi di questa ellisse; la seconda legge di Keplero dice
che il raggio vettore (ovvero il vettore distanza tra il Sole e il pianeta) spazza
aree uguali in tempi uguali; la terza legge di Keplero dice che il quadrato del
periodo di rivoluzione è direttamente proporzionale al cubo dell’asse maggiore
dell’ellisse.
Poiché l’orbita è ellittica e l’ellisse è una figura piana allora ciò significa che
i vettori ~v e ~r stanno sullo stesso piano. Il momento angolare, quindi, poichè
~ = ~r × m~v avrà direzione costante perpendicolare al piano
è definito come L
dell’ellisse.
Dalla seconda legge di Keplero invece ricaviamo la costanza del modulo del
momento angolare.
Scritta in maniera “più formale” la seconda legge di Keplero assume la forma
dA
= cost
dt
dove dA è l’area infinitesima spazzata dal vettore ~r e dt è l’intervallo infinitesimo
di tempo. Calcoliamo quindi il valore di dA. Sappiamo dalla geometria che,
dati due vettori ~v e ~u, la norma del loro prodotto vettoriale (che indichiamo
con k~v × ~uk) rappresenta l’area del parallelogramma avente come basi il vettore
~v e come diagonali il vettore ~u. Sempre la geometria ci insegna che l’area del
paralleogrammo è il doppio dell’area del triangolo avente come lati una base del
parallelogramma, un lato obliquo e una delle due diagonali.
Il caso che dobbiamo considerare è il seguente:
1
L’area che dobbiamo considerare è ottimamente approssimabile con un triangolo di lati ~r e ~v dt. Per quanto detto sopra quindi abbiamo che
dA =
1
1
k~r × ~v dtk = rvdt
2
2
Da sopra si ricava quindi:
dA
1
= rv
dt
2
moltiplicando ambedue i membri per la massa del pianeta m si ha che
m
dA
1
1
= rmv = L
dt
2
2
Eguagliando il primo e il terzo membro si è dimostrato che il momento angolare
è costante. Il pianeta si muove quindi nell’orbita subendo una forza centrale.
Semplifichiamo ora il ragionamento e supponiamo che le orbite dei pianeti
~ è costante allora anche v è costante e l’unica
siano circolari. In questo caso se L
forza che agisce sul pianeta di massa m è una forza centripeta
F = mω 2 r
dove con ω si indica la velocità angolare ω = dθ
dt . Per le relazione tra i parametri
,
del moto circolare uniforme si ha che ω = 2π
T e quindi l’espressione del modulo
della forza assume la forma:
2
2π
4π 2
F =m
r = 2 mr
T
T
La terza legge di Keplero, poi, ci dice che T 2 = kr3 . L’espressione del modulo
della forza assume quindi la forma:
F =
4π 2 m
4π 2
mr
=
kr3
k r2
Consideriamo ora il sistema Sole-pianeta. Per il principio di azione e reazione
abbiamo che la forza che il Sole esercita sul pianeta F~SP è uguale in modulo ma
opposta in verso alla forza che il pianeta esercita sul Sole F~P S . Scrivo quindi
l’espressione del modulo di queste due forze:
FSP =
4π 2 mp
kSP r2
FP S =
4π 2 ms
kP S r2
Poiché le due forze sono eguali in modulo per il principio di azione e reazione
allora possiamo scrivere:
4π 2 mp
4π 2 ms
=
kSP r2
kP S r 2
Semplifichiamo r2 perchè la distanza tra il sole e il pianeta è uguale alla distanza tra il pianeta il sole; dividiamo ambedue i membri per il termine ms mp .
Otteniamo un termine costante che chiameremo γ:
γ=
4π 2
4π 2
=
kSP ms
kP S mp
2
Riscrivendo le formule del modulo della forza utilizzando questa nuova costante
(che verrà chiamata costante di gravitazione universale) si ottiene:
FSP = FP S = γ
mp ms
r2
La formula così ottenuta è semplice e simmetrica per i due corpi. Newton
ipotizzò che si trattasse di una legge generale, la legge di gravitazione universale:
due corpi di massa m1 e m2 esercitano tra di loro una forza attrattiva che è
proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato
della distanza.
2
La forma delle orbite
Prendendo come buona la formula della forza gravitazionale ci vogliamo ricavare
la forma delle orbite.
Per studiare il moto di un punto nel piano si può scomporre il vettore velocità nelle sue componenti tangente ~vT e normale ~vN e altrettanto si può fare
per le accelerazioni (in questo caso chiameremo ~aT la componente tangenziale
dell’accelerazione e ~aN la componente normale). Calcoliamoci in via del tutto
generale le formule in coordinate polari per tali vettori.
r
r = r~ur dove
Per definizione di velocità si ha che ~v = d~
dt e, per definizione, ~
con ~ur si indica il versore nella direzione radiale.
Calcoliamo quindi la velocità1 :
~v =
d~r
d(r~ur )
dr
d~ur
dr
dθ
=
=
~ur + r
=
~ur + r ~uθ
dt
dt
dt
dt
dt
dt
E quindi l’accelerazione:
d dr
dθ
d~v
=
~ur + r ~uθ
dt
dt dt
dt
2
d r
dr d~ur
dr dθ
d2 θ
dθ d~uθ
= 2 ~ur +
+
~uθ + r 2 ~uθ + r
dt
dt dt
dt dt
dt
dt dt
2
2
2
d r
dr dθ
dr dθ
d θ
dθ
= 2 ~ur +
~uθ +
~uθ + r 2 ~uθ − r
~ur
dt
dt dt
dt dt
dt
dt
"
2 #
dθ
dr dθ
d2 θ
d2 r
=
−
r
~
u
+
2
+
r
~uθ
r
dt2
dt
dt dt
dt2
~a =
Il primo dei due addendi rappresenta l’accelerazione radiale ~ar mentre il secondo
l’accelerazione normale a quella radiale ~aθ .
Lavoriamo su ~aθ :
d2 θ
1
dr dθ
d2 θ
1 d
dθ
dr dθ
+ r 2 ~uθ =
2r
+ r2 2 ~uθ =
r2
~uθ
~aθ = 2
dt dt
dt
r
dt dt
dt
r dt
dt
L
Ma r2 dθ
dt = rv e rv = m . Inoltre sappiamo dalle deduzioni fatte sopra per la
seconda legge di Keplero che L è costante. Sappiamo poi che la derivata di una
costante è nulla e da ciò segue immediatamente che
~aθ = 0
1 Si
ricordi che
d~
uθ
dt
=~
ur e
d~
ur
dt
= −~
uθ .
3
Quindi, il pianeta subisce come accelerazione ~ar . Eliminamo la dipendenza
dal tempo nell’espressione di ~ar . Per farlo dobbiamo innanzitutto calcolare dθ
dt .
Il modo più semplice di farlo è ricavarlo dalla relazione trovata prima per la
L
1
r 2 dθ
seconda legge di Keplero per cui dA
dt = 2m = 2 rv = 2 dt . Eguagliando il primo
e il quarto termine si ottiene:
L
r2 dθ
dθ
L
=
⇒
=
2m
2 dt
dt
mr2
Riscriviamo l’espressione di ~ar :
"
2 #
dθ
d2 r
−r
~ur
~ar =
2
dt
dt
Dobbiamo quindi calcolare
dr
dt
in funzione solo di θ:
dr
dr dθ
L dr
L d
=
=
=−
dt
dθ dt
mr2 dθ
m dθ
1
r
2
E calcoliamo allora ddtr in funzione di θ:
d2 r
d dr
d dr dθ
d
L d 1
L
L2 d2 1
=
=
=
−
=
−
dt2
dt dt
dθ dt dt
dθ
m dθ r
mr2
m2 r2 dθ2 r
Sostituendo ora
dθ
dt
d2 r
dt2
nell’espressione ~ar :
"
2 #
L2 d2 1
L
~ar = − 2 2 2
−r
~ur
m r dθ
r
mr2
e
Svolgendo i calcoli si arriva ad ottenere la formula di Binet:
2 L2
d
1
1
~ar = − 2 2
+
~ur
m r dθ2 r
r
Consideriamo ora il caso di un sistema di due masse m e M che esercitano
reciprocamente la forza gravitazionale. In un sistema di riferimento inerziale
F~ = m~am e −F~ = m~aM . La forza è la stessa in modulo ma opposta in verso
per il terzo principio della dinamica.
Se prendiamo ora la massa M come centro del nostro riferimento saremo in
un sistema di riferimento non inerziale (in quanto la massa M viene accelerata
dalla massa m). L’accelerazione di m rispetto a M assume la forma:
1
1 ~
~a = ~am − ~aM =
+
F
m M
mM
che, introducendo la massa ridotta del sistema µ = m+M
possiamo scrivere
come:
1
~a = F~
µ
Ora, sostituendo ad ~a l’espressione per l’accelerazione trovata prima (ricordando
che in questo caso stiamo considerando la massa ridotta del sistema) e a F~
l’espressione della forza gravitazionale abbiamo:
2 1 mM
L2
d
1
1
−γ
~ur = − 2 2
+
~ur
µ r2
µ r dθ2 r
r
4
Con opportune semplificazioni si arriva alla relazione tra scalari:
mM
d2 1
1
γµ 2 = 2
+
L
dθ
r
r
Questa equazione differenziale ha come soluzione generale
1
mM
= A cos(θ) + γµ 2
r
L
L’equazione generale di una conica in coordinate polari è
1
1
1
=
+ cos(θ)
r
εd d
con ε eccentricità, e d parametro della conica (che rappresenta la distanza del
fuoco dalla direttrice). Quindi l’orbita è una conica. Il tipo di conica dipende
dall’energia del sistema.
3
Energia potenziale gravitazionale
Per definire un’energia potenziale gravitazionale dobbiamo innanzitutto dimostrare che la forza gravitazionale è conservativa. Calcoliamo quindi il lavoro
compiuto dalla forza gravitazionale per portare una massa m attratta gravitazionalmente da una massa M . Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale
nello spostamento vale
dW = F ~ur · d~s
Il prodotto scalare ~ur · d~s è la proiezione di d~s su r, e quindi vale dr. Quindi il
lavoro vale:
dW = F dr
Integrando si ottiene:
Z B
mM
mM
mM
W =
−γ 2 dr = −γ
− −γ
= UA − UB
r
rA
rB
A
Il lavoro non dipende dal percorso ma solo dalla posizione A e dalla posizione
B, quindi la forza è conservativa e, inoltre abbiamo definito l’energia potenziale
nei punti A e B. In un generico punto vale:
U = −γ
4
mM
r
Campo Gravitazionale
L’espressione matematica della forza gravitazionale ci permette di scrivere
M
~
F = −γ 2 ~ur m
r
ovvero è pari al prodotto della massa m e di un vettore il cui modulo dipende solo
dalla massa M . Il vettore tra parentesi prende il nome di campo gravitazionale
~ Il campo generato da una massa m vale:
e si indica con la lettera G.
~ = −γ m ~ur
G
r2
5
Flusso del campo gravitazionale. Definiamo ora il flusso del campo gravitazionale. Sia dΣ una superficie infinitesima e sia ~uN il versone normale a tale
superfice. Si definisce il flusso infinitesimo del campo gravitazionale attraverso
la superficie dΣ la quantità scalare:
~ · ~uN dΣ
dΦ = G
Il flusso attraverso una superficie finita si calcola come l’integrale su tutta la
superficie della quantità infinitesima espressa qui sopra, ovvero:
Z
~ · ~uN dΣ
Φ=
G
Σ
È tuttavia molto semplice calcolare il valore del flusso attraverso le superfici
chiuse, ovvero:
I
~ · ~uN dΣ
Φ=
G
Σ
~ la sua espressione si ha:
Infatti, sostituendo a G
I m −γ 2 ~ur · ~uN dΣ
Φ=
r
Σ
Il calcolo dell’integrale si semplifica portando fuori m e γ che sono costanti e
vedendo che il prodotto ~ur · ~uN dΣ non è altro che la proiezione della superficie
dΣ su un piano perpendicolare a ~ur . A questo punto chiamiamo dσ = u~r · ~uN .
La scrittura dell’integrale con queste semplificazioni diventa:
I
1
Φ = γm
− 2 dσ
r
Σ
Ma la grandezza dσ
r 2 è l’angolo solido infinitesimo dΩ indipendentemente dalla
distanza di dσ dal centro. Quindi la scrittura si semplifica ulteriormente:
I
Φ = γm
dΩ
Ω
~ attraverso
Ricordando che Ω dΩ = 4π si ottiene che il flusso del vettore G
qualsiasi superficie chiusa vale:
H
Φ = 4πγm
Questo risultato è il teorema di Gauss per il campo gravitazionale.
Campo gravitazionale di un corpo sferico. Consideriamo una massa M
distribuita su una sfera di raggio R. Calcoliamo il valore del campo gravitazionale all’esterno della sfera. Per il teorema di Gauss si ha che il flusso del campo
gravitazionale vale:
Φ = 4πγM
Eguagliando le due espressioni del flusso si trova il valore di G(r) all’esterno
della sfera:
M
4πγM = 4πr2 G(r)
⇒
G(r) = γ 2
r
6
Ovvero all’esterno della sfera si ha lo stesso campo gravitazionale che si avrebbe se tutta la massa della sfera fosse concentrata nel suo centro. Calcoliamo
ora quanto vale il campo gravitazionale all’interno della sfera. In questo caso
supponiamo che la densità sia costante. Calcoliamo quindi il valore della massa
contenuta nella superficie sferica di raggio r < R. La massa sarà uguale alla
densità della sfera per il volume contenuto nella sfera, ovvero:
4
m(r) = ρV = ρ πr3
3
ovvero, ricordando che ρ =
M
4
3
3 πR
, si ottiene:
m(r) =
M
4
3
3 πR
r3
4 3
πr = M 3
3
R
Calcoliamo quindi il flusso con il teorema di Gauss:
Φ = 4πγM
r3
R3
E calcoliamo il flusso attraverso la superficie sferica di raggio r:
Φ = 4πr2 G(r)
Eguagliando le due espressioni del flusso si ottiene:
4πr2 G(r) = 4πγM
r3
R3
⇒
G(r) = γ
M
r
R3
Quindi all’interno di una sfera omogenea il campo gravitazionale aumenta linearmente con la distanza dal centro.
7