misura di proprieta` dilettriche e magnetiche di materiali in situ

GNGTS 2016
Sessione 3.3
MISURA DI PROPRIETA’ DILETTRICHE E MAGNETICHE DI MATERIALI
IN SITU MEDIANTE SONDE TDR
R. Persico
Istituto per i Beni archeologici e Monumentali IBAM-CNR, Lecce
Introduzione. Le misure mediante sonde TDR vengono impiegate sia per il controllo di
materiali (in alcuni casi il controllo di sostanze alimentari) che come ausilio alle prospezioni
georadar, fornendo una misura della velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel
suolo. In molti casi, dalla valutazione della velocità di propagazione nel mezzo considerato si
estrapola il valore della permittività dielettrica relativa considerando implicitamente unitaria
la permeabilità magnetica relativa. Sebbene questo sia ragionevole in molti casi, esistono
eccezioni riportate nella letteratura scientifica (Cassidy, 2009), e può in generale essere di
interesse discriminare il contributo della permittività dielettrica da quello della permeabilità
magnetica del mezzo investigato. Una sonda TDR può, almeno ad un livello teorico, consentire
questo, ed il motivo fisico per cui ciò è possibile risiede nel fatto che una struttura guidante
impone delle forti condizioni all’andamento del campo elettomagnetico, e ciò può rendere
più facilmente calcolabile (rispetto al caso di un’antenna) il rapporto fra il modulo del campo
elettrico ed il modulo del campo magnetico, ovverosia l’impedenza d’onda. In particolare, una
sonda TDR è una struttura guidante che costringe di fatto l’onda a seguire la direzione delle
armature metalliche della sonda, mentre un georadar è una struttura basata su due antenne.
Conseguentemente, mediante dati georadar diventa difficile e soprattutto inaffidabile cercare di
discriminare la permeabilità magnetica dalla permittività dielettrica del suolo, anche se la cosa
sarebbe in linea teorica anche possibile (Persico, 2014), mentre con una sonda TDR la cosa può
essere possibile. Vale la pena a tal pro anche di sottolineare il fatto che la misura di parametri
sia dielettrici che magnetici di un materiale mediante campioni da inserire in una guida d’onda
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è una prassi ben nota e consolidata nell’ambito delle misure circuitali a microonde (Weir,
1974). Tuttavia, la misura in guida d’onda richiede il trasporto in laboratorio di un campione di
suolo o più in generale un campione di materiale da investigare, il ché richiede la cura di non
alterarne significativamente le proprietà di compattezza, di umidità e di temperatura. Inoltre, è
evidentemente richiesta la disponibilità di un banco di misura con la relativa circuiteria in guida
d’onda. Una sonda TDR, invece, può consentire una misura in situ, minimamente invasiva e
che soprattutto che non altera sensibilmente lo stato del materiale investigato. Tuttavia, per
consentire la misura contemporanea di permittività dielettrica e permeabilità magnetica è
necessario misurare il coefficiente di riflessione ad una o più frequenze (o equivalentemente a
frequenza fissata allungando progressivamente i bracci della sonda nel mezzo da investigare),
mentre allo stato attuale una sonda TDR misura di norma il campo riflesso dalla sua estremità
sepolta, e la misura è nel dominio del tempo. Tuttavia, anche le misure di coefficiente di
riflessione (in modulo e fase) costituiscono una prassi standard e ben nota, per cui le modifiche
hardware richieste non presentano particolari difficoltà tecnologiche.
Formulazione. Nella presente sessione si propone il modello matematico su cui può basarsi
la misura contemporanea della permittività dielettrica e della permeabilità magnetica del
mezzo. Per far questo, si fa uso del modello di una linea bifilare chiusa su un carico infinito,
corrispondente al circuito aperto finale della sonda TDR. La teoria delle linee di trasmissione
è un argomento ben noto, per cui, anche per necessità di spazio, essa è data per scontata in
questa sede. Il coefficiente di riflessione a fissata frequenza guardando verso un carico aperto si
dimostra pertanto essere dato da:
(1)
dove
è l’impedenza interna del generatore,
è l’impedenza intrinseca della linea nel
vuoto,
è la lunghezza dei bracci della sonda TDR,
è la velocità di propagazione delle
onde elettromagnetiche nel vuoto. Il problema consiste nel risolvere la permittività dielettrica
relativa εr e la permeabilità magnetica μr. relative del mezzo da un funzionale di costo composto
dalla norma al quadrato dei dati raccolti meno il modello di Eq. 1.
Come si vede, il coefficiente di riflessione dipende sia dal prodotto che dal rapporto fra la
permeabilità magnetica e la permittività dielettrica del mezzo investigato, e questo consente di
discernere fra le due quantità mediante una minimizzazione del funzionale di costo fra misure e
dati. La misura a singola frequenza in genere non riesce a fornire risultati soddisfacenti perché
il modello è periodico rispetto al prodotto delle quantità da misurare.
Però un funzionale di costo che prenda in considerazione più frequenze è in grado in una
certa misura di superare questo inconveniente. Alternativamente, è possibile pensare di tenere
fissa la frequenza ed allungare progressivamente i bracci della sonda conficcati nel materiale,
mediante banali meccanismi ad avvitamento, ad esempio. L’equivalenza matematica delle due
strategie sta nel fatto che il modello (e quindi anche il funzionale di costo) dipende dal prodotto
ma non dai due fattori separatamente. Facendo uso di una diversità in lunghezza, la misura
diventa più lenta e laboriosa ma in compenso diventa immune rispetto a problemi di dispersività
del materiale, e diventa anche più robusta rispetto alla generazione di modi di propagazione
superiori, rimanendo costante la dimensione elettrica trasversa della struttura.
In Fig. 1 si mostra il risultato di una simulazione. In particolare, è stato calcolato il funzionale
di costo in un caso con εr = μr = 5 in corrispondenza di una sonda con bracci lunghi 30 cm.
La frequenza minima è stata scelta pari a 200 MHz e si è fatto uso di 18 frequenze con passo
in frequenza di 15 MHz. Il funzionale è stato minimizzato ai minimi quadrati come funzione
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μr , quantità alle quali le icognite di interesse sono legate
εr
mediante semplici relazioni algebriche. La figura mostra il funzionale di costo, zoomato sulla
della variabili ausiliarie
εr μr e
soluzione (il range completo considerato è stato da 1 a 20 per
εr μr e da 0.01 a 6 per
μr
.
εr
Ai dati è stato aggiunto rumore gaussiano bianco con un rapporto segnale rumore SBR=20 dB.
Il risultato ricavato è stato εr=5.2; μr=4.8, in buon accordo con il valore autentico simulato.
Conclusioni. In questo contributo si sono mostrati risultati preliminari relativi alla possibilità
Fig. 1 –Zoom del funzionale di
costo ai minimi quadrati
di discriminare la permittività dielettrica dalla permeabilità magnetica di un materiale mediante
una sonda TDR. Si è fatto uso di un modello di linea di trasmissione senza perdite. Futuri sviluppi
riguarderanno l’inclusione delle perdite nel modello e la trattazione full-wave del problema,
che richiederà opportune simulazioni numeriche alle differenze finite e/o agli elementi finiti.
Bibliografia
Cassidy, N. J. , 2009. Electrical and magnetic properties of rocks, soils and fluids. Chapter 2, in Ground Penetrating
Radar Theory and Applications, Elsevier.
Persico R., 2014. Introduction to Ground Penetrating Radar: Inverse scattering and data processing, Wiley.
Weir W. B. 1974. Automatic measurement of complex dielectric constant and permeability at microwave frequencies,
Proceedings of the IEEE, 62, pp. 33–36.
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