Generatori

Generatori
Gregorio D’Agostino
10 Aprile 2017
Comunicazioni
Definizioni
Ciclicità
Ciclicity
Comunicazioni Esami
I
Le lezioni finiranno venerdı́ 16 Giugno.
Comunicazioni Esami
I
Le lezioni finiranno venerdı́ 16 Giugno.
I
Chiederò l’aula per fare gli esami mercoledı̀ 28 Giugno e
martedı̀ quattro luglio (da confermare)
Comunicazioni Esami
I
Le lezioni finiranno venerdı́ 16 Giugno.
I
Chiederò l’aula per fare gli esami mercoledı̀ 28 Giugno e
martedı̀ quattro luglio (da confermare)
I
Ci sarà un scritto di 1-2 ore e l’orale subito dopo
eventualmente anche nel pomeriggio. Appena avrò conferma
dell’aula vi darò un’ulteriore comunicazione.
Gruppi quoziente rispetto ad un sottogruppo normale
I
L’unico punto da verificare è che il prodotto tra le classi sia
indipendente dalla scelta del rappresentante.
Gruppi quoziente rispetto ad un sottogruppo normale
I
I
L’unico punto da verificare è che il prodotto tra le classi sia
indipendente dalla scelta del rappresentante.
In formula:
a · s1 ∈ Ca ∧ b · s2 ∈ Cb ⇒ (a · s1 ) · (b · s2 ) = a · ((s1 · b) · s2 ) =
Gruppi quoziente rispetto ad un sottogruppo normale
I
I
L’unico punto da verificare è che il prodotto tra le classi sia
indipendente dalla scelta del rappresentante.
In formula:
a · s1 ∈ Ca ∧ b · s2 ∈ Cb ⇒ (a · s1 ) · (b · s2 ) = a · ((s1 · b) · s2 ) =
I
per l’ipotesi di normalità ∃s3 ∈ S : s1 · b = b · s3 , quindi
(a·s1 )·(b·s2 ) = a·((s1 ·b)·s2 ) = a·((b·s3 ) · · ·2 ) = (a·b)·(s3 ·s2 );
Gruppi quoziente rispetto ad un sottogruppo normale
I
I
L’unico punto da verificare è che il prodotto tra le classi sia
indipendente dalla scelta del rappresentante.
In formula:
a · s1 ∈ Ca ∧ b · s2 ∈ Cb ⇒ (a · s1 ) · (b · s2 ) = a · ((s1 · b) · s2 ) =
I
per l’ipotesi di normalità ∃s3 ∈ S : s1 · b = b · s3 , quindi
(a·s1 )·(b·s2 ) = a·((s1 ·b)·s2 ) = a·((b·s3 ) · · ·2 ) = (a·b)·(s3 ·s2 );
I
Siccome anche s3 · s2 ∈ S il prodotto di due qualsiasi
rappresentanti di una classe è un rappresentante della classe
del prodotto dei rappresentati.
Gruppi quoziente rispetto ad un sottogruppo normale
I
I
L’unico punto da verificare è che il prodotto tra le classi sia
indipendente dalla scelta del rappresentante.
In formula:
a · s1 ∈ Ca ∧ b · s2 ∈ Cb ⇒ (a · s1 ) · (b · s2 ) = a · ((s1 · b) · s2 ) =
I
per l’ipotesi di normalità ∃s3 ∈ S : s1 · b = b · s3 , quindi
(a·s1 )·(b·s2 ) = a·((s1 ·b)·s2 ) = a·((b·s3 ) · · ·2 ) = (a·b)·(s3 ·s2 );
I
I
Siccome anche s3 · s2 ∈ S il prodotto di due qualsiasi
rappresentanti di una classe è un rappresentante della classe
del prodotto dei rappresentati.
Quindi anche l’inverso di una classe esiste ed è indipendente
dal rappresentante:
a · x = I;
ammente una soluzione perché G è un gruppo (ed esiste
quindi inverso di a in G) e l’orbita di questa soluzione
rappresenta la classe inversa di a.
Alcune conseguenze utili
I
Se un gruppo possiede cardinalità prima allora non può avere
sottogruppi propri.
Alcune conseguenze utili
I
Se un gruppo possiede cardinalità prima allora non può avere
sottogruppi propri.
I
Tutti gli spazi quoziente di un gruppo commutativo sono
ancora dei gruppi commutativi.
Alcune conseguenze utili
I
Se un gruppo possiede cardinalità prima allora non può avere
sottogruppi propri.
I
Tutti gli spazi quoziente di un gruppo commutativo sono
ancora dei gruppi commutativi.
I
Lo spazio quoziente G/S è un gruppo perché i sottogruppi di
un gruppo abeliano sono abeliani e dunque normali.
Alcune conseguenze utili
I
Se un gruppo possiede cardinalità prima allora non può avere
sottogruppi propri.
I
Tutti gli spazi quoziente di un gruppo commutativo sono
ancora dei gruppi commutativi.
I
Lo spazio quoziente G/S è un gruppo perché i sottogruppi di
un gruppo abeliano sono abeliani e dunque normali.
I
Il prodotto di due classi di un gruppo abeliano è commutativo:
(a ·s1 )·(b ·s2 ) = a ·(b ·s1 )·s2 = (a ·b)·(s1 ·s2 ) = (b ·a)·(s1 ·s2 ).
Alcune conseguenze utili
I
Se un gruppo possiede cardinalità prima allora non può avere
sottogruppi propri.
I
Tutti gli spazi quoziente di un gruppo commutativo sono
ancora dei gruppi commutativi.
I
Lo spazio quoziente G/S è un gruppo perché i sottogruppi di
un gruppo abeliano sono abeliani e dunque normali.
I
Il prodotto di due classi di un gruppo abeliano è commutativo:
(a ·s1 )·(b ·s2 ) = a ·(b ·s1 )·s2 = (a ·b)·(s1 ·s2 ) = (b ·a)·(s1 ·s2 ).
I
quindi G/S è un gruppo commutativo.
Gruppi Ciclici
I
Un gruppo G si dice ciclico quando esiste un elemento g tale
che ogni elemento del gruppo sia una potenza di g :
∀a ∈ G ∃n : a = g n .
Gruppi Ciclici
I
Un gruppo G si dice ciclico quando esiste un elemento g tale
che ogni elemento del gruppo sia una potenza di g :
∀a ∈ G ∃n : a = g n .
I
L’elemento g è detto generatore del gruppo.
Gruppi Ciclici
I
Un gruppo G si dice ciclico quando esiste un elemento g tale
che ogni elemento del gruppo sia una potenza di g :
∀a ∈ G ∃n : a = g n .
I
L’elemento g è detto generatore del gruppo.
I
I gruppi ciclici sono commutativi
∀a, b ∈ G : a · b = g na · g nb = g na +nb = g nb · g na = b · a.
Gruppi Ciclici
I
Un gruppo G si dice ciclico quando esiste un elemento g tale
che ogni elemento del gruppo sia una potenza di g :
∀a ∈ G ∃n : a = g n .
I
L’elemento g è detto generatore del gruppo.
I
I gruppi ciclici sono commutativi
∀a, b ∈ G : a · b = g na · g nb = g na +nb = g nb · g na = b · a.
I
Ogni gruppo ciclico finito di cardinalità n è isomorfo a (Zn , +)
(si noti rispetto alla somma, NON al prodotto). l’isomorfismo
è dato dalla relazione f biunivoca:
∀a = g na : f (a) = na .
Isomorfismo tra un gruppo ciclico e (Zn , +)
I
L’esistenza di un generatore g consente di definire una
trasformazione canonica che realizza l’isomorfismo. Si
costruisce esplicitamente:
∀a : f (a) = na : a = g na .
Isomorfismo tra un gruppo ciclico e (Zn , +)
I
L’esistenza di un generatore g consente di definire una
trasformazione canonica che realizza l’isomorfismo. Si
costruisce esplicitamente:
∀a : f (a) = na : a = g na .
I
In parole: l’immagine di ogni elemento è l’esponente che
bisogna dare al generatore g per ottenere l’argomento delle
funzione. Per tale ragione la funzione f viene detta
”logaritmo”.
def
f (a) = logg (a).
Isomorfismo tra un gruppo ciclico e (Zn , +)
I
L’esistenza di un generatore g consente di definire una
trasformazione canonica che realizza l’isomorfismo. Si
costruisce esplicitamente:
∀a : f (a) = na : a = g na .
I
In parole: l’immagine di ogni elemento è l’esponente che
bisogna dare al generatore g per ottenere l’argomento delle
funzione. Per tale ragione la funzione f viene detta
”logaritmo”.
def
f (a) = logg (a).
I
La funzione f è iniettiva:
∀a 6= b : f (a) 6= f (b) ⇔ g na 6= g nb → na 6= nb ;
Isomorfismo tra un gruppo ciclico e (Zn , +)
I
L’esistenza di un generatore g consente di definire una
trasformazione canonica che realizza l’isomorfismo. Si
costruisce esplicitamente:
∀a : f (a) = na : a = g na .
I
In parole: l’immagine di ogni elemento è l’esponente che
bisogna dare al generatore g per ottenere l’argomento delle
funzione. Per tale ragione la funzione f viene detta
”logaritmo”.
def
f (a) = logg (a).
I
La funzione f è iniettiva:
∀a 6= b : f (a) 6= f (b) ⇔ g na 6= g nb → na 6= nb ;
I
La funzione f è invertibile. La funzione inversa f −1 () si
definisce semplicemente per esponenziazione:
def
f −1 (k) = g k .
f −1 (f (a)) = f −1 (na ) = g na = a.
Quando un gruppo moltiplicativo (Z∗n , x) è ciclico? cioè
quando ammette un generatore?
I
Il problema fondamentale dei gruppi moltiplicativi (Z∗n , x) è
capire se esiste un generatore. Questo consente di trovare
notevoli proprietà per lo spazio ed in particolare per i periodi
dei suoi elementi.
Quando un gruppo moltiplicativo (Z∗n , x) è ciclico? cioè
quando ammette un generatore?
I
Il problema fondamentale dei gruppi moltiplicativi (Z∗n , x) è
capire se esiste un generatore. Questo consente di trovare
notevoli proprietà per lo spazio ed in particolare per i periodi
dei suoi elementi.
I
Dimostreremo che tutti e soli gli spazi che ammettono un
generatore sono (Z∗p , x) (con p primo), (Z∗pk , x) (con p primo
dispari) e (Z∗2pk , x)
Quando un gruppo moltiplicativo (Z∗n , x) è ciclico? cioè
quando ammette un generatore?
I
Il problema fondamentale dei gruppi moltiplicativi (Z∗n , x) è
capire se esiste un generatore. Questo consente di trovare
notevoli proprietà per lo spazio ed in particolare per i periodi
dei suoi elementi.
I
Dimostreremo che tutti e soli gli spazi che ammettono un
generatore sono (Z∗p , x) (con p primo), (Z∗pk , x) (con p primo
dispari) e (Z∗2pk , x)
I
In altri termini, (Z∗n , x) è un gruppo ciclico se e solo se n è
della forma su dette:
n = 2α p k ;
con α = 0, 1 e p primo dispari.
Periodi degli elementi dei Gruppi Ciclici
I
Dato un gruppo ciclico G di cardinalità n generato da un
generatore g :
def
G =
def
1, g , g 2 , . . . , g n−1 = {g0 , g1 , g2 , . . . , gn−1 } .
Valgono diverse proprietà utili:
Periodi degli elementi dei Gruppi Ciclici
I
Dato un gruppo ciclico G di cardinalità n generato da un
generatore g :
def
G =
I
def
1, g , g 2 , . . . , g n−1 = {g0 , g1 , g2 , . . . , gn−1 } .
Valgono diverse proprietà utili:
Ogni generatore ha periodo n. Infatti tutti gli elementi devono
essere diversi tra loro:
g k 6= g m ;
altrimenti g k−m = 1.
Periodi degli elementi dei Gruppi Ciclici
I
Dato un gruppo ciclico G di cardinalità n generato da un
generatore g :
def
G =
I
def
1, g , g 2 , . . . , g n−1 = {g0 , g1 , g2 , . . . , gn−1 } .
Valgono diverse proprietà utili:
Ogni generatore ha periodo n. Infatti tutti gli elementi devono
essere diversi tra loro:
g k 6= g m ;
I
altrimenti g k−m = 1.
Quindi g k = 1 implica k = l · n.
Periodi degli elementi dei Gruppi Ciclici
I
Dato un gruppo ciclico G di cardinalità n generato da un
generatore g :
def
G =
I
def
1, g , g 2 , . . . , g n−1 = {g0 , g1 , g2 , . . . , gn−1 } .
Valgono diverse proprietà utili:
Ogni generatore ha periodo n. Infatti tutti gli elementi devono
essere diversi tra loro:
g k 6= g m ;
I
I
altrimenti g k−m = 1.
Quindi g k = 1 implica k = l · n.
Il periodo di ogni elemento è un divisore di n:
aτ = (g k )τ = g kτ ⇒ kτ = l · n.
quindi il periodo di gk è il rapporto tra n ed MCD tra n e k.
Il periodo di un elemento di ordine k
I
In un gruppo ciclico di ordine n; se a = gk = g k il suo periodo
è pari a n diviso per (k,n). Abbiamo visto che
kτ = l · n.
Il periodo di un elemento di ordine k
I
In un gruppo ciclico di ordine n; se a = gk = g k il suo periodo
è pari a n diviso per (k,n). Abbiamo visto che
kτ = l · n.
I
Sia M=(k,n) il MCD tra n e k. Possiamo porre:
(
def
k 0 = k/M
n0
def
=
n/M
Il periodo di un elemento di ordine k
I
In un gruppo ciclico di ordine n; se a = gk = g k il suo periodo
è pari a n diviso per (k,n). Abbiamo visto che
kτ = l · n.
I
Sia M=(k,n) il MCD tra n e k. Possiamo porre:
(
def
k 0 = k/M
n0
I
def
=
n/M
Quindi
k 0 τ = l · n0 .
il più piccolo dei τ si ottiene per l = k 0 e τ = n0 . infatti k 0 e
n0 sono primi tra loro e quindi per l’unicità della
decomposizione in fattori τ è un multiplo di n0 = n/M.
Quanti generatori ha un gruppo ciclico?
I
Se un elemento di G è una potenza prima con n del
generatore, allora ha per periodo n. Di conseguenza ogni gk
potenza prima con n è un generatore del gruppo ciclico.
gk : (k, n) = 1 ⇒ τ (gk ) = n.
Quanti generatori ha un gruppo ciclico?
I
Se un elemento di G è una potenza prima con n del
generatore, allora ha per periodo n. Di conseguenza ogni gk
potenza prima con n è un generatore del gruppo ciclico.
gk : (k, n) = 1 ⇒ τ (gk ) = n.
I
Il numero di generatori di un gruppo ciclico è pari alla
funzione di Eulero della cardinalità.
|Z∗n | = φ(n).
#gen = φ (|Z∗n |) = φ(φ(n)).
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
I
Lemma 1: “Commensurabilità”: Se un elemento ha due
ciclicità prime tra loro allora è l’elemento neutro.
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
I
Lemma 1: “Commensurabilità”: Se un elemento ha due
ciclicità prime tra loro allora è l’elemento neutro.
I
Lemma 2: “Prodotto”: Se due elementi hanno periodi primi
tra loro, il loro prodotto ha per periodo il prodotto dei periodi.
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
I
Lemma 1: “Commensurabilità”: Se un elemento ha due
ciclicità prime tra loro allora è l’elemento neutro.
I
Lemma 2: “Prodotto”: Se due elementi hanno periodi primi
tra loro, il loro prodotto ha per periodo il prodotto dei periodi.
I
Lemma 3: “Esistenza sottogruppi primali”: Dato un gruppo di
dimensione n esiste sempre un elemento di periodo p per ogni
primo divisore di n.
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
I
Lemma 1: “Commensurabilità”: Se un elemento ha due
ciclicità prime tra loro allora è l’elemento neutro.
I
Lemma 2: “Prodotto”: Se due elementi hanno periodi primi
tra loro, il loro prodotto ha per periodo il prodotto dei periodi.
I
Lemma 3: “Esistenza sottogruppi primali”: Dato un gruppo di
dimensione n esiste sempre un elemento di periodo p per ogni
primo divisore di n.
I
Lemma 4: In Z∗p Se n = φ(p) = p − 1 ha per divisore p1h (con
p1 primo) allora esiste sempre un elemento di periodo p1h .
Generatori di Z∗p
I
Dimostreremo che (Z∗p , x) (con p primo) ammette sempre un
generatore (e dunque ne ammette φ(n)). Useremo i seguenti
lemmi:
I
Lemma 1: “Commensurabilità”: Se un elemento ha due
ciclicità prime tra loro allora è l’elemento neutro.
I
Lemma 2: “Prodotto”: Se due elementi hanno periodi primi
tra loro, il loro prodotto ha per periodo il prodotto dei periodi.
I
Lemma 3: “Esistenza sottogruppi primali”: Dato un gruppo di
dimensione n esiste sempre un elemento di periodo p per ogni
primo divisore di n.
I
Lemma 4: In Z∗p Se n = φ(p) = p − 1 ha per divisore p1h (con
p1 primo) allora esiste sempre un elemento di periodo p1h .
I
Mettendo insieme i lemmi si deduce che Z∗p ammette un
generatore e dunque è ciclico.
Solo l’elemento neutro possiede ciclicità prime tra loro
I
Una ciclicità di un elemento è una potenza elevata alla quale si
ottiene l’unità. L’elemento a è ciclico di ordine k significa:
ak = 1.
Solo l’elemento neutro possiede ciclicità prime tra loro
I
Se a possiede due ciclicità k e m (con k > m) prime tra loro
((k, m) = 1):
k
a
= 1,
m
a
= 1;
Solo l’elemento neutro possiede ciclicità prime tra loro
I
I
Se a possiede due ciclicità k e m (con k > m) prime tra loro
((k, m) = 1):
k
a
= 1,
m
a
= 1;
Dimostriamo per induzione su k. Per k = 2, m = 1 l’enunciato è
ovvio:
2
a = 1,
⇒ a = 1.
a1 = 1;
Solo l’elemento neutro possiede ciclicità prime tra loro
I
I
Se a possiede due ciclicità k e m
((k, m) = 1):
k
a
=
m
a
=
Induciamo su k, dimostreremo che:
k
a
= 1,
∀m < k :
⇒ ∀m0
am = 1;
ponendo k + 1 = mq + r :
k+1
a
= amq+r = ar
m
a
I
(con k > m) prime tra loro
1,
1;
<k +1:
= 1,
⇒
= 1;
ak+1 = 1,
0
am
= 1.
ar = 1,
am = 1;
Che implica a = 1 per ipotesi induttiva essendo m ≤ k e r < m.
Dimostrazione con il metodo iterativo (Euclide)
I
Per ogni coppia m e k primi tra loro (con m > k), si può
utilizzare l’algoritmo di Euclide per ottenere un sistema di
equazioni con esponenti minori.
k
k
a
= 1,
a = 1,
⇒
m
a
= 1;
ar = 1;
in cui r è il resto della divisione di m per k: m = k · q + r e
quindi r < k < m.
Dimostrazione con il metodo iterativo (Euclide)
I
Per ogni coppia m e k primi tra loro (con m > k), si può
utilizzare l’algoritmo di Euclide per ottenere un sistema di
equazioni con esponenti minori.
k
k
a
= 1,
a = 1,
⇒
m
a
= 1;
ar = 1;
in cui r è il resto della divisione di m per k: m = k · q + r e
quindi r < k < m.
I
L’algoritmo di Euclide ci assicura che iterando il procedimento
si ottiene un esponente unitario, essendo MCD = (k, m) = 1.
Dimostrazione con il metodo iterativo (Euclide)
I
Per ogni coppia m e k primi tra loro (con m > k), si può
utilizzare l’algoritmo di Euclide per ottenere un sistema di
equazioni con esponenti minori.
k
k
a
= 1,
a = 1,
⇒
m
a
= 1;
ar = 1;
in cui r è il resto della divisione di m per k: m = k · q + r e
quindi r < k < m.
I
L’algoritmo di Euclide ci assicura che iterando il procedimento
si ottiene un esponente unitario, essendo MCD = (k, m) = 1.
I
Quindi solo a = 1 possiede entrambe le ciclicità.
Ogni elemento ciclico possiede un inverso di stesso periodo
I
Sia τa , il periodo di a:
ak = 1 ⇒ k = lτa ;
Ogni elemento ciclico possiede un inverso di stesso periodo
I
Sia τa , il periodo di a:
ak = 1 ⇒ k = lτa ;
I
Esiste sempre b = aτa −1 che è l’inverso di a:
inv (a) · a = aτa −1 · a = aτa = 1.
Ogni elemento ciclico possiede un inverso di stesso periodo
I
Sia τa , il periodo di a:
ak = 1 ⇒ k = lτa ;
I
Esiste sempre b = aτa −1 che è l’inverso di a:
inv (a) · a = aτa −1 · a = aτa = 1.
I
Calcoliamo le potenze dell’inverso:
k
(inv (a))k = aτa −1 = a(τa −1)·k .
Ogni elemento ciclico possiede un inverso di stesso periodo
I
Sia τa , il periodo di a:
ak = 1 ⇒ k = lτa ;
I
Esiste sempre b = aτa −1 che è l’inverso di a:
inv (a) · a = aτa −1 · a = aτa = 1.
I
Calcoliamo le potenze dell’inverso:
k
(inv (a))k = aτa −1 = a(τa −1)·k .
I
Verifichiamo che potenze k-esime di inv (a) sono diverse da 1
per k < τa . Se inv (a)k = 1
(inv (a))k = aτa −1
k
= a(τa −1)·k = aτa (k−1) aτa −k = aτa −k .
Ma, per definizione di periodo, aτa −k = 1 solo per
τa − k = l · τa , cioè k = τa e l = 0 (essendo k < τa ).
Se due elementi hanno periodi primi tra loro, allora il
periodo del loro prodotto è il prodotto dei loro periodi:
I
Siano τa il periodo di a e τb il periodo di b:
k
k = l · τa ,
a
= 1,
⇒
m = l 0 · τb ;
b m = 1;
Se due elementi hanno periodi primi tra loro, allora il
periodo del loro prodotto è il prodotto dei loro periodi:
I
Siano τa il periodo di a e τb il periodo di b:
k
k = l · τa ,
a
= 1,
⇒
m = l 0 · τb ;
b m = 1;
I
Effettivamente n = τa · τb è una ciclicità di ab:
(ab)τa τb = aτa τb · b τa τb = (aτa )τb · (b τb )τa = 1τb · 1τa = 1.
Se due elementi hanno periodi primi tra loro, allora il
periodo del loro prodotto è il prodotto dei loro periodi:
I
Siano τa il periodo di a e τb il periodo di b:
k
k = l · τa ,
a
= 1,
⇒
m = l 0 · τb ;
b m = 1;
I
Effettivamente n = τa · τb è una ciclicità di ab:
(ab)τa τb = aτa τb · b τa τb = (aτa )τb · (b τb )τa = 1τb · 1τa = 1.
I
Verifichiamo che non esistono ciclicità minori:
(ab)n = 1;
Elevando entrambi i membri dell’equazione a τa ed a τb si
ottiene:
((ab)n )τa = anτa · b nτa = b nτa = 1,
((ab)n )τb = anτb · b nτb = anτb = 1;
quindi n deve essere un multiplo di τb per la prima equazione
ed un multiplo di τa per la seconda.
Unicità delle radici dell’unità
I
Dato un elemento a di periodo q in un anello primo Zp ,
l’equazione diofantea ammette per soluzioni solo le potenze di
a:
x q ≡ 1 (mod p).
Unicità delle radici dell’unità
I
Dato un elemento a di periodo q in un anello primo Zp ,
l’equazione diofantea ammette per soluzioni solo le potenze di
a:
x q ≡ 1 (mod p).
I
Utilizzeremo una notevole identità (in x):
q
x −1 ≡ (x−1)·(x−a) · · · (x−aq−1 ) ≡
q−1
Y
i=0
def
in cui ai = (a)i .
(x − ai ) ≡ 1 (mod p).
Unicità delle radici dell’unità
I
Dato un elemento a di periodo q in un anello primo Zp ,
l’equazione diofantea ammette per soluzioni solo le potenze di
a:
x q ≡ 1 (mod p).
I
Utilizzeremo una notevole identità (in x):
q
x −1 ≡ (x−1)·(x−a) · · · (x−aq−1 ) ≡
q−1
Y
(x − ai ) ≡ 1 (mod p).
i=0
def
I
in cui ai = (a)i .
Per dimostrare l’identità sviluppiamo il prodotto. Il termine di
ordine più elevato è x q .
Unicità delle radici dell’unità
I
Dato un elemento a di periodo q in un anello primo Zp ,
l’equazione diofantea ammette per soluzioni solo le potenze di
a:
x q ≡ 1 (mod p).
I
Utilizzeremo una notevole identità (in x):
q
x −1 ≡ (x−1)·(x−a) · · · (x−aq−1 ) ≡
q−1
Y
(x − ai ) ≡ 1 (mod p).
i=0
def
I
I
in cui ai = (a)i .
Per dimostrare l’identità sviluppiamo il prodotto. Il termine di
ordine più elevato è x q .
Il secondo termine è:
!
q−1
X
−x q−1
ai ;
i=0
perché in ogni fattore del prodotto dove non si prende x, si
sceglie un ai diverso.
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
Il coefficiente del secondo termine è nullo:
q−1
X
X
1−1
1 − aq
=
= 0.
ai =
ai =
1−a
1−a
i=0,q−1
i=0
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
Il coefficiente del secondo termine è nullo:
q−1
X
X
1−1
1 − aq
=
= 0.
ai =
ai =
1−a
1−a
i=0,q−1
I
i=0
Il terzo termine è:


q−1 X
q−1
X
(j6=i)
x q−2 
ai aj  ;
i=0 j=0
perché in ogni fattore del prodotto dove non si prende x si
sceglie ai o aj al posto di x, ma i non può essere uguale a j.
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
Il coefficiente del secondo termine è nullo:
q−1
X
X
1−1
1 − aq
=
= 0.
ai =
ai =
1−a
1−a
i=0,q−1
I
i=0
Il terzo termine è:


q−1 X
q−1
X
(j6=i)
x q−2 
ai aj  ;
i=0 j=0
I
perché in ogni fattore del prodotto dove non si prende x si
sceglie ai o aj al posto di x, ma i non può essere uguale a j.
Anche questo coefficiente è nullo:



q−1 X
q−1
q−1
q−1
X
X
X
(j6=i)
ai aj =
ai 
aj  − ai  =
i=0 j=0
=
q−1
X
i=0
i=0
!2
ai
+
q−1
X
i=0
ai2
j=0
2
= (0) +
q−1
X
i=0
a2i =
1 − (a2 )q
= 0.
1 − a2
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
Il coefficiente del quarto termine è:

!
q−1 X
q−1
q−1
X
X
(j6=i)
(k6=i,j)

C4 = −
(ai aj ak )  .
i=0
j=0
k=0
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
Il coefficiente del quarto termine è:

!
q−1 X
q−1
q−1
X
X
(j6=i)
(k6=i,j)

C4 = −
(ai aj ak )  .
i=0
I
j=0
k=0
Anche questo può essere elaborato:

!
X
X
X
C4 = −
ai 
aj
ak − ai − aj  ;
i

C4 = − 
X
i
k

X
ai
i
C4 = −
j6=i
ai
X
aj
X
j
aj
ak − aj
X
k
−
X
(ai )2
i
k
j6=i

!
X
X
aj  ;
j6=i
X X
X X
X
ak +
ai
aj2 +
ai2
aj −
ai3 = 0;
i
j
i
j
i
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
In generale il procedimento può essere reiterato. Tutti i
coefficienti vengono in forma di prodotti del tipo:
q−1
X
(ai )r = 0;
i=0
che sono tutti nulli fatta eccezione per r = q:
q−1
X
i=0
q
(ai ) =
q−1
X
i=0
iq
a =
q−1
X
i=0
q i
(a ) =
q−1
X
i=0
1 = q + 1 = 1;
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
In generale il procedimento può essere reiterato. Tutti i
coefficienti vengono in forma di prodotti del tipo:
q−1
X
(ai )r = 0;
i=0
che sono tutti nulli fatta eccezione per r = q:
q−1
X
i=0
I
q
(ai ) =
q−1
X
iq
a =
i=0
q−1
X
i=0
q i
(a ) =
q−1
X
1 = q + 1 = 1;
i=0
L’ultimo coefficiente è quindi -1. Si può anche verificare
direttamente essendo il prodotto di tutti i termini non
contenenti la x:
q−1
Y
q
(−ai ) = (−1)
i=0
q−1
Y
i=0
Pq−1 ai = − a i=0 i = −aq(q−1)/2 = −1.
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
L’equazione diofantea
x q − 1 = (mod p);
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
L’equazione diofantea
x q − 1 = (mod p);
I
non può ammettere soluzioni diverse dalle potenze di a:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = 0 (mod p);
I
ovvero in Z:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = p · N.
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
L’equazione diofantea
x q − 1 = (mod p);
I
non può ammettere soluzioni diverse dalle potenze di a:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = 0 (mod p);
I
ovvero in Z:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = p · N.
I
Infatti p è primo e tutti i fattori (x − ak ) sono minori di p (e
dunque primi con p). In realtà avevamo già visto che Z∗p è un
campo e quindi se il prodotto di due elementi è nullo deve
esserlo almeno uno di loro.
Unicità delle radici dell’unità - cont
I
L’equazione diofantea
x q − 1 = (mod p);
I
non può ammettere soluzioni diverse dalle potenze di a:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = 0 (mod p);
I
ovvero in Z:
x q − 1 = (x − 1) · (x − a) · (x − a2 ) · · · (x − aq−1 ) = p · N.
I
I
Infatti p è primo e tutti i fattori (x − ak ) sono minori di p (e
dunque primi con p). In realtà avevamo già visto che Z∗p è un
campo e quindi se il prodotto di due elementi è nullo deve
esserlo almeno uno di loro.
In generale in ogni campo, la decomposizione di un polinomio
(non solo di x q − 1) è unica e quindi ci sono solo q radici. Ma
non ci serve dimostrarlo.
Un gruppo di cardinalità n ammette sempre almeno un
sottogruppo ciclico di ordine ogni primo che divide n
I
Sia G il gruppo e n = |G | la sua cardinalità. L’enunciato
diviene
∀p|n : ∀k : k < p : (p, k) = 1 : ∃a : τ (a) = p.
Un gruppo di cardinalità n ammette sempre almeno un
sottogruppo ciclico di ordine ogni primo che divide n
I
Sia G il gruppo e n = |G | la sua cardinalità. L’enunciato
diviene
∀p|n : ∀k : k < p : (p, k) = 1 : ∃a : τ (a) = p.
I
Lo dimostreremo per induzione su n. Possiamo partire da
n = 3 per il quale la condizione è verificata perché tutti i
gruppi di ordine primo sono ciclici.
Un gruppo di cardinalità n ammette sempre almeno un
sottogruppo ciclico di ordine ogni primo che divide n
I
Sia G il gruppo e n = |G | la sua cardinalità. L’enunciato
diviene
∀p|n : ∀k : k < p : (p, k) = 1 : ∃a : τ (a) = p.
I
I
Lo dimostreremo per induzione su n. Possiamo partire da
n = 3 per il quale la condizione è verificata perché tutti i
gruppi di ordine primo sono ciclici.
Ricorsione. Supponiamo la proprietà vera per n e
dimostriamola per n + 1. Sia G un gruppo di cardinalità n + 1
e p un primo che divide n + 1. Basta considerare un elemento
a ∈ G diverso dall’unità e calcolarne il periodo m = τ (a).
Chiameremo
ciclico generato da a:
2 S ilmsottogruppo
S = a, a , . . . a = 1 . Ovviamente τ (a) è un divisore di n,
ma possono verificarsi due casi:
Un gruppo di cardinalità n ammette sempre almeno un
sottogruppo ciclico di ordine ogni primo che divide n
I
Sia G il gruppo e n = |G | la sua cardinalità. L’enunciato
diviene
∀p|n : ∀k : k < p : (p, k) = 1 : ∃a : τ (a) = p.
I
I
I
Lo dimostreremo per induzione su n. Possiamo partire da
n = 3 per il quale la condizione è verificata perché tutti i
gruppi di ordine primo sono ciclici.
Ricorsione. Supponiamo la proprietà vera per n e
dimostriamola per n + 1. Sia G un gruppo di cardinalità n + 1
e p un primo che divide n + 1. Basta considerare un elemento
a ∈ G diverso dall’unità e calcolarne il periodo m = τ (a).
Chiameremo
ciclico generato da a:
2 S ilmsottogruppo
S = a, a , . . . a = 1 . Ovviamente τ (a) è un divisore di n,
ma possono verificarsi due casi:
τ (a) è un multiplo di p.
Un gruppo di cardinalità n ammette sempre almeno un
sottogruppo ciclico di ordine ogni primo che divide n
I
Sia G il gruppo e n = |G | la sua cardinalità. L’enunciato
diviene
∀p|n : ∀k : k < p : (p, k) = 1 : ∃a : τ (a) = p.
I
I
I
I
Lo dimostreremo per induzione su n. Possiamo partire da
n = 3 per il quale la condizione è verificata perché tutti i
gruppi di ordine primo sono ciclici.
Ricorsione. Supponiamo la proprietà vera per n e
dimostriamola per n + 1. Sia G un gruppo di cardinalità n + 1
e p un primo che divide n + 1. Basta considerare un elemento
a ∈ G diverso dall’unità e calcolarne il periodo m = τ (a).
Chiameremo
ciclico generato da a:
2 S ilmsottogruppo
S = a, a , . . . a = 1 . Ovviamente τ (a) è un divisore di n,
ma possono verificarsi due casi:
τ (a) è un multiplo di p.
τ (a) non è multiplo di p (e quindi è primo con p).
I caso: τ (a) è un multiplo di p
I
Chiamiamo k il rapporto tra τ (a) e p:
τ (a) = k · p;
I caso: τ (a) è un multiplo di p
I
Chiamiamo k il rapporto tra τ (a) e p:
τ (a) = k · p;
I
Allora ak ha per periodo p.
(ak )p = ap·k = aτ (a) = 1;
per l < p
(ak )l = al·k 6= 1;
perché k · l < k · p < τ (a).
I caso: τ (a) è un multiplo di p
I
Chiamiamo k il rapporto tra τ (a) e p:
τ (a) = k · p;
I
Allora ak ha per periodo p.
(ak )p = ap·k = aτ (a) = 1;
per l < p
(ak )l = al·k 6= 1;
perché k · l < k · p < τ (a).
I
Quindi esiste un elemento di periodo p.
II caso: τ (a) non è multiplo di p
I
Allora il gruppo quoziente G 0 = G /S ha dimensione
n0 = n/τ (a) che è multiplo di p. Per ipotesi di ricorrenza,
essendo n0 < n, esiste un elemento b ∈ G 0 di periodo p.
Quindi b p = I ∈ G 0 cioè (nel gruppo G ): b p ≡ 1 (mod S):
b p = ak .
II caso: τ (a) non è multiplo di p
I
Allora il gruppo quoziente G 0 = G /S ha dimensione
n0 = n/τ (a) che è multiplo di p. Per ipotesi di ricorrenza,
essendo n0 < n, esiste un elemento b ∈ G 0 di periodo p.
Quindi b p = I ∈ G 0 cioè (nel gruppo G ): b p ≡ 1 (mod S):
b p = ak .
I
Cambiamo rappresentante b → b 0 = bax e cerchiamo un x
tale che b 0 abbia periodo p:
(b 0 )p = (bax )p = b p apx = ak ap x = ak+px = 1.
Che equivale a: k + px ≡ 0 mod τ (a). Questa equazione
diofantea ammette soluzione perché p è primo con τ (a).
II caso: τ (a) non è multiplo di p
I
Allora il gruppo quoziente G 0 = G /S ha dimensione
n0 = n/τ (a) che è multiplo di p. Per ipotesi di ricorrenza,
essendo n0 < n, esiste un elemento b ∈ G 0 di periodo p.
Quindi b p = I ∈ G 0 cioè (nel gruppo G ): b p ≡ 1 (mod S):
b p = ak .
I
Cambiamo rappresentante b → b 0 = bax e cerchiamo un x
tale che b 0 abbia periodo p:
(b 0 )p = (bax )p = b p apx = ak ap x = ak+px = 1.
Che equivale a: k + px ≡ 0 mod τ (a). Questa equazione
diofantea ammette soluzione perché p è primo con τ (a).
I
Quindi ∃b : (b 0 )p = 1.
II caso: τ (a) non è multiplo di p
I
Allora il gruppo quoziente G 0 = G /S ha dimensione
n0 = n/τ (a) che è multiplo di p. Per ipotesi di ricorrenza,
essendo n0 < n, esiste un elemento b ∈ G 0 di periodo p.
Quindi b p = I ∈ G 0 cioè (nel gruppo G ): b p ≡ 1 (mod S):
b p = ak .
I
Cambiamo rappresentante b → b 0 = bax e cerchiamo un x
tale che b 0 abbia periodo p:
(b 0 )p = (bax )p = b p apx = ak ap x = ak+px = 1.
Che equivale a: k + px ≡ 0 mod τ (a). Questa equazione
diofantea ammette soluzione perché p è primo con τ (a).
I
Quindi ∃b : (b 0 )p = 1.
I
In entrambi i casi esiste un elemento di periodo p. Il che
completa la ricorsione.
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo
I
Quando la cardinalità n del gruppo G (n = |G |) è un numero
aquadratico (”square free” in inglese) cioè quando gli
esponenti della sua decomposizione in fattori primi sono tutti
unitari. Possiamo utilizzare i teoremi precedenti per affermare
con certezza che il gruppo è ciclico.
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo
I
Quando la cardinalità n del gruppo G (n = |G |) è un numero
aquadratico (”square free” in inglese) cioè quando gli
esponenti della sua decomposizione in fattori primi sono tutti
unitari. Possiamo utilizzare i teoremi precedenti per affermare
con certezza che il gruppo è ciclico.
I
Esempio sia G un gruppo di cardinalità |G | = n1 · n2 (con
(n1 , n2 ) = 1). Esiste a1 di periodo n1 , esiste a2 di periodo n2 ,
quindi esiste g = a1 · a2 che genera tutto G .
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo - cont
I
Se invece la cardinalità è mutipla di una potenza di un primo
|G | ≈ p h non è detto che esista un elemento con periodo pari
a ph .
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo - cont
I
Se invece la cardinalità è mutipla di una potenza di un primo
|G | ≈ p h non è detto che esista un elemento con periodo pari
a ph .
I
In generale tale elemento non esiste. Ad esempio in
G = (Z∗161 , x) non esiste un elemento di periodo 4, malgrado
la cardinalità di G sia multipla di 4.
|G | = φ(161) = φ(7)φ(23) = 6x22 = 2x3x2x11 = 4x33.
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo - cont
I
Se invece la cardinalità è mutipla di una potenza di un primo
|G | ≈ p h non è detto che esista un elemento con periodo pari
a ph .
I
In generale tale elemento non esiste. Ad esempio in
G = (Z∗161 , x) non esiste un elemento di periodo 4, malgrado
la cardinalità di G sia multipla di 4.
|G | = φ(161) = φ(7)φ(23) = 6x22 = 2x3x2x11 = 4x33.
I
Invece per tutti gli anelli ciclici primi, il gruppo G = (Z∗p , x)
esistono elementi con periodo pari a tutti i divisori di
φ(p) = p − 1.
Gruppi a cardinalità quadratica in qualche primo - cont
I
Se invece la cardinalità è mutipla di una potenza di un primo
|G | ≈ p h non è detto che esista un elemento con periodo pari
a ph .
I
In generale tale elemento non esiste. Ad esempio in
G = (Z∗161 , x) non esiste un elemento di periodo 4, malgrado
la cardinalità di G sia multipla di 4.
|G | = φ(161) = φ(7)φ(23) = 6x22 = 2x3x2x11 = 4x33.
I
Invece per tutti gli anelli ciclici primi, il gruppo G = (Z∗p , x)
esistono elementi con periodo pari a tutti i divisori di
φ(p) = p − 1.
I
Esercizio: verificare per ispezione i periodi di G = (Z∗161 , x).
Gruppi a cardinalità potenza di un primo - cont
I
Sis G = (Z∗p , x) ed n = p − 1 la sua cardinalità. Supponiamo
n = q h · n0 (con n0 primo con q: (n0 , p) = 1). Dimostreremo
per induzione (su h) che deve esistere anche un elemento di
periodicità q h .
Gruppi a cardinalità potenza di un primo - cont
I
Sis G = (Z∗p , x) ed n = p − 1 la sua cardinalità. Supponiamo
n = q h · n0 (con n0 primo con q: (n0 , p) = 1). Dimostreremo
per induzione (su h) che deve esistere anche un elemento di
periodicità q h .
I
Il caso h = 1 è verificato perché abbiamo già dimostrato che
per ogni divisore q primo di p − 1 esiste sempre un elemento
con tale periodo.
Gruppi a cardinalità potenza di un primo - cont
I
Sis G = (Z∗p , x) ed n = p − 1 la sua cardinalità. Supponiamo
n = q h · n0 (con n0 primo con q: (n0 , p) = 1). Dimostreremo
per induzione (su h) che deve esistere anche un elemento di
periodicità q h .
I
Il caso h = 1 è verificato perché abbiamo già dimostrato che
per ogni divisore q primo di p − 1 esiste sempre un elemento
con tale periodo.
I
Ricorsione. Dimostreremo che se esiste un elemento con
periodo q m (con m < h) allora esiste un altro elemento con
perido q m+1
Periodi potenza di primi - ricorsione
I
Dato un sottogruppo ciclico di dimensione q m :
m
S = {1, a, a2 . . . aq = 1} di periodo q m = |S|. Se m < p,
anche la cardinalità del gruppo quoziente G /S è un multiplo
di q: n/q k = q h−m n0 .
Periodi potenza di primi - ricorsione
I
Dato un sottogruppo ciclico di dimensione q m :
m
S = {1, a, a2 . . . aq = 1} di periodo q m = |S|. Se m < p,
anche la cardinalità del gruppo quoziente G /S è un multiplo
di q: n/q k = q h−m n0 .
I
Quindi esiste un b che soddisfa l’equazione:
b q = ak .
cioè b è un rappresentante della classe dell’elemento che ha
periodo q in G /S.
Periodi potenza di primi - ricorsione
I
Dato un sottogruppo ciclico di dimensione q m :
m
S = {1, a, a2 . . . aq = 1} di periodo q m = |S|. Se m < p,
anche la cardinalità del gruppo quoziente G /S è un multiplo
di q: n/q k = q h−m n0 .
I
Quindi esiste un b che soddisfa l’equazione:
b q = ak .
cioè b è un rappresentante della classe dell’elemento che ha
periodo q in G /S.
I
Se k è primo con q il periodo di b in G è un multiplo di q m+1
e quindi esiste un b di periodo q m+1 .
Periodi potenza di primi - ricorsione
I
Dato un sottogruppo ciclico di dimensione q m :
m
S = {1, a, a2 . . . aq = 1} di periodo q m = |S|. Se m < p,
anche la cardinalità del gruppo quoziente G /S è un multiplo
di q: n/q k = q h−m n0 .
I
Quindi esiste un b che soddisfa l’equazione:
b q = ak .
cioè b è un rappresentante della classe dell’elemento che ha
periodo q in G /S.
I
Se k è primo con q il periodo di b in G è un multiplo di q m+1
e quindi esiste un b di periodo q m+1 .
I
Vedremo che il caso k multiplo di q è impossibile se G è un
campo (qual è G = (Z∗p , x).)
Caso k multiplo di q
I
Dimostreremo per assurdo che k non può essere multiplo di q.
Se k è un multiplo di q, allora
b q = (am )q .
Caso k multiplo di q
I
Dimostreremo per assurdo che k non può essere multiplo di q.
Se k è un multiplo di q, allora
b q = (am )q .
I
Moltiplicando per (a−1 )mq ambo i membri:
b q · (a−1 )mq = (am )q · (a−1 )mq ;
e ponendo b 0 = b · (a−1 )m
Caso k multiplo di q
I
Dimostreremo per assurdo che k non può essere multiplo di q.
Se k è un multiplo di q, allora
b q = (am )q .
I
Moltiplicando per (a−1 )mq ambo i membri:
b q · (a−1 )mq = (am )q · (a−1 )mq ;
I
e ponendo b 0 = b · (a−1 )m
si ottiene:
(b 0 )q = 1;
in cui b 0 ∈ G , ma b 0 ∈
/ S. Il che è impossibile per il teorema di
unicità delle radici che vale in qualsiasi campo.
Caso k multiplo di q
I
Dimostreremo per assurdo che k non può essere multiplo di q.
Se k è un multiplo di q, allora
b q = (am )q .
I
Moltiplicando per (a−1 )mq ambo i membri:
b q · (a−1 )mq = (am )q · (a−1 )mq ;
I
I
e ponendo b 0 = b · (a−1 )m
si ottiene:
(b 0 )q = 1;
in cui b 0 ∈ G , ma b 0 ∈
/ S. Il che è impossibile per il teorema di
unicità delle radici che vale in qualsiasi campo.
Abbiamo già visto che nel caso q = 2 l’esistenza di una radice
quadrata dell’unità in Zn diversa da 1 ed n − 1 implica che n
non è primo. Abbiamo appena dimostrato che lo stesso vale
per qualsiasi potenza prima.
Theorema: “Ogni anello primale è ciclico”
I
Dato un anello primale privato dello zero: Z∗n e la sua
cardinalità |Z∗n | = φ(n) = m.
Theorema: “Ogni anello primale è ciclico”
I
I
Dato un anello primale privato dello zero: Z∗n e la sua
cardinalità |Z∗n | = φ(n) = m.
Decomponiamo la cardinalità in fattori:
Y h
m = φ(n) = m1h1 · m2h2 · · · =
mi i
i
Theorema: “Ogni anello primale è ciclico”
I
I
Dato un anello primale privato dello zero: Z∗n e la sua
cardinalità |Z∗n | = φ(n) = m.
Decomponiamo la cardinalità in fattori:
Y h
m = φ(n) = m1h1 · m2h2 · · · =
mi i
i
I
Per il lemma precedente, per ogni mi esiste un elemento ai di
periodo mihi
τ (ai ) = mihi
Theorema: “Ogni anello primale è ciclico”
I
I
Dato un anello primale privato dello zero: Z∗n e la sua
cardinalità |Z∗n | = φ(n) = m.
Decomponiamo la cardinalità in fattori:
Y h
m = φ(n) = m1h1 · m2h2 · · · =
mi i
i
I
Per il lemma precedente, per ogni mi esiste un elemento ai di
periodo mihi
τ (ai ) = mihi
I
Per il lemma del Q
prodotto, il periodo dell’elemento
a = a1 · a2 · · · = i ai è pari al prodotto dei periodi dei fattori:
τ (a) = τ (a1 ) · τ (a2 ) · · · =
Y
i
τ (ai ) =
Y
i
mihi = m = φ(p).
Theorema: “Ogni anello primale è ciclico”
I
I
Dato un anello primale privato dello zero: Z∗n e la sua
cardinalità |Z∗n | = φ(n) = m.
Decomponiamo la cardinalità in fattori:
Y h
m = φ(n) = m1h1 · m2h2 · · · =
mi i
i
I
Per il lemma precedente, per ogni mi esiste un elemento ai di
periodo mihi
τ (ai ) = mihi
I
Per il lemma del Q
prodotto, il periodo dell’elemento
a = a1 · a2 · · · = i ai è pari al prodotto dei periodi dei fattori:
τ (a) = τ (a1 ) · τ (a2 ) · · · =
Y
i
I
τ (ai ) =
Y
mihi = m = φ(p).
i
L’elemento a è dunque un generatore e tutti gli anelli primali
Z∗n sono ciclici.
Messaggio
I
Gli anelli primali sono ciclici e possono quindi essere generati
esponenziando alcuni loro elementi detti generatori
Messaggio
I
Gli anelli primali sono ciclici e possono quindi essere generati
esponenziando alcuni loro elementi detti generatori
I
Negli anelli primali le “radici dell’unità” sono uniche e quindi
sono potenze di una di esse
i
x q = 1 ⇔ x = ai = a1i = g (p−1)/q .
Le radici esistono solo se q è divisore di p-1.
Messaggio
I
Gli anelli primali sono ciclici e possono quindi essere generati
esponenziando alcuni loro elementi detti generatori
I
Negli anelli primali le “radici dell’unità” sono uniche e quindi
sono potenze di una di esse
i
x q = 1 ⇔ x = ai = a1i = g (p−1)/q .
Le radici esistono solo se q è divisore di p-1.
I
La non primalità di un numero può essere dedotta dalla
presenza di radici q-esime in numero maggiore di q.