FENOMENOLOGIE LEGATE A MOTI OSCILLATORI MECCANICI
( Dal moto armonico semplice alla conservazione dell’energia)
Tesina di Storia ed Epistemiologia delle Scienze
Di
Gaetano De Michele
SSIS IX Ciclo-Università di L’Aquila
Docente del corso
Prof. Umberto Buontempo
Buontempo
In questa relazione considererò alcuni moti oscillatori di tipo meccanico per poi ampliare il
discorso a importanti concetti fisici ad essi associati. A mio avviso attraverso
l’osservazione di semplici moti oscillatori meccanici il docente può stimolare l’allievo a
riflettere, a ragionare su fenomeni che richiamano diverse grandezze e concetti della fisica
aiutato anche dal fatto che le grandezze che si introducono sono facilmente percepibili:
massa, allungamenti, distanze, velocità…
Questi fenomeni inoltre rappresentano un mezzo efficace nell’aiutare a ragionare, più in
generale, in termini di energia.
Spesso ,anche nella mia esperienza di studente di Liceo Scientifico, il moto oscillatorio
viene introdotto come qualcosa di astratto associato esclusivamente al moto armonico
semplice.
L’ equazione del moto armonico semplice è
la cui soluzione generale è del tipo: x(t)=Acos(ωt+Φ) oppure x(t)=Asen(ωt+Φ)
Si ha un moto armonico semplice lungo un asse rettilineo quando la sua legge oraria del moto può
essere descritta in una di queste forme.
Analizziamo le grandezze che compaiono in questa legge:
A - esprime di quanto varia l'estensione del moto, cioè rappresenta la misura di metà dell'intervallo
dell'oscillazione. Essa viene comunemente chiamata ampiezza.
ω tale costante a moltiplicare t è necessaria per motivi dimensionali: l'argomento del coseno deve
essere adimensionale! ω è connessa con la rapidità dell'oscillazione. Si chiama frequenza angolare o
pulsazione, ed ha dimensione del reciproco di un tempo.
Φ - è l'argomento del coseno al tempo t=0; quindi cambiare la fase è equivalente a ridefinire
l'origine dei tempi. Dimensionalmente Φ è un angolo e quindi si misura in radianti.
Il valore di cos(ωt+Φ) varia tra -1 e 1, quindi l'ampiezza dell'intervallo in cui si muove l'oggetto è
2A.
Se si fa trascorrere un tempo T=2π / ω, l'argomento del coseno cambia proprio di 2π, cioè
quindi T esprime la durata di un'oscillazione completa. A questo proposito, sottolineiamo che
compiere un'oscillazione completa significa tornare ad occupare la stessa posizione avendo anche la
stessa velocità. T si chiama periodo del moto.
Esiste un'ultima quantità che viene indicata generalmente con f o con ν la quale è uguale
all'inverso di T. Essa si chiama frequenza e descrive quanti angoli giri compie l'argomento del
coseno nell'unità di tempo. Visto che un giro sono 2π radianti, è evidente che vale la relazione
ν=1/T= ω / 2π
Abbiamo ora gli elementi per analizzare velocità ed accelerazione dei moti armonici. Se deriviamo
la legge oraria in funzione del tempo otteniamo
V(t)=dX(t)/dt=Aω
sin( ωt + Φ)
Controlliamo le dimensioni e verifichiamo che v è effettivamente una velocità: [V]=[LT--1].
Deriviamo ancora ed otterremo l'accelerazione:
a(t)=dV(t)/dt=Aω2 cos(ωt + Φ)
notiamo che in particolare
a(t)=- ω2 X(t)
In base a ciò, quando troveremo dei sistemi nei quali si può affermare che accelerazione e
spostamento sono legati in questo modo, potremo dire che tali sistemi si muovono di moto
armonico. E anzi, dalla costante di proporzionalità sarà possibile dedurre T (ovvero ν , ovvero ω )
In fasi successive il docente spiega la legge di conservazione dell’energia e in un’ulteriore
momento il primo principio della termodinamica riportando solo semplici esempi di casi
ideali. Questo trasmette allo studente la sensazione che non ci sia nessun legame fra
questi argomenti . L’allievo davanti a molti fenomeni oscillatori osservabili in natura non
sarà in grado di estrapolare e “ritrovare” nessuna di queste leggi.
Non voglio dire che tali concetti non vanno trasferiti al discente ma solo che spesso il
percorso didattico scelto ,a mio avviso, non è il più opportuno. Come se mancasse un
collagene che lega questi argomenti. Bisogna quindi non far passare l’idea che la fisica
ragiona per “ argomenti” ma far subito intuire allo studente che la fisica cerca di descrivere
il comportamento della natura:la fisica (dal neutro plurale latino physica, a sua volta
derivante dal greco physikà– ovvero "le cose naturali", da physis, "natura") è la scienza
della Natura nel senso più ampio.
Il docente deve mostrare il collegamento tra la fisica che viene insegnata nei corsi
fondamentali (la cosiddetta “teoria”) e la fenomenologia che viene osservata in
laboratorio(i cosiddetti “esperimenti”) e anche nella realtà quotidiana.
Spesso questi due aspetti vengono considerati come due poli opposti, in alcuni casi in
competizione tra loro, ma il metodo scientifico non può prescindere dall’uno o dall’altro:
entrambi sono elementi fondamentali per imparare a conoscere e a scoprire la Natura.
Partendo dall’osservazione di un fenomeno anche se in modo qualitativo ma nella loro
globalità si potrà invece cercare di coinvolgere gli studenti mettendo in evidenza alcune
strategie che sono tipiche dell’indagine scientifica: lo sforzo di cogliere dall’osservazione
della realtà regolarità, ripetibilità, simmetrie, conservazioni….nel tentativo di fissare alcuni
criteri generali che descrivano il comportamento di fenomeni anche complessi.
In tutti i sistemi, trascurare le forze dissipative rappresenta una idealizzazione che viene
introdotta per semplificare la descrizione. Sebbene in alcuni casi gli effetti dissipativi in
prima approssimazione non sono rilevabili nel moto, in generale è bene tenerne conto e
molto spesso è di fondamentale importanza per la descrizione di un sistema che altrimenti
non viene descritto come si comporta realmente.
Il richiamo della fenomenologia serve quindi a mettere in luce gli elementi di idealità su cui
si basano le esperienze e su cui è necessario basare le osservazioni per capire i fenomeni
che ci si presentano in natura.
Lo studio dei sistemi oscillanti è della massima importanza nello studio dei sistemi fisici.
Questo perché, per una proprietà del tutto generale, qualunque sistema intorno al punto di
equilibrio stabile può essere descritto come un sistema oscillante ideale.
Un sistema oscillante è un sistema la cui dinamica si sviluppa intorno ad un punto di
equilibrio, caratterizzato da una osservabile il cui valore varia periodicamente nel tempo
sotto l’azione combinata di una inerzia e di un richiamo, ed eventualmente di una forzante
esterna e dell’attrito.
Quando una qualsiasi grandezza fisica cambia il suo valore in modo periodico si parla di
oscillazione.
Fissa un'estremità di un righello al tavolo, spingi l'altra estremità verso il basso e lasciala
andare. Il righello compie un'oscillazione. Se consideriamo un recipiente montato su un
perno che gli permette di capovolgersi. Dal rubinetto fuoriesce un flusso continuo e
costante d'acqua che riempie il recipiente. Quando l'acqua raggiunge un certo livello, il
recipiente si ribalta in avanti e si svuota. Visto che ora è di nuovo vuoto, torna nella
posizione iniziale e il processo ricomincia daccapo.
Quindi il recipiente compie un'oscillazione così come la compie il righello. In figura è
rappresentata la massa d'acqua contenuta nel recipiente in funzione del tempo. All'inizio
la massa dell'acqua aumenta regolarmente. Appena il recipiente si capovolge la massa
d'acqua diminuisce rapidamente, poi ricomincia ad aumentare e così via
Contrariamente all’impressione che si può ricavare dalla maggioranza dei testi scolastici di
fisica, i moti oscillatori che si presentano anche nella vita di tutti i giorni sono solo
raramente moti armonici. Ciò è dovuto al fatto che, data la presenza di un campo
gravitazionale praticamente costante, la forza di richiamo che genera la maggioranza dei
moti oscillatori è la forza di gravità stessa o una sua componente lungo una particolare
direzione, quindi una forza costante e non dipendente dalla posizione. In alcuni casi una
dipendenza dalla posizione può realizzarsi per effetto della geometria del sistema (come
nel caso del moto circolare del pendolo) ma in tali casi la dipendenza della forza dalla
posizione non è lineare (dipendenza dal seno dell’angolo) e può essere approssimata al
caso lineare solo per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio.
Un moto armonico semplice può essere generato solo in un sistema in cui la forza di
richiamo sia effettivamente linearmente dipendente dalla posizione del corpo che oscilla,
come nel caso di un corpo attaccato ad una molla lineare, dove la gravità svolge un ruolo
solo nella determinazione della posizione del punto di equilibrio.
Consideriamo un esempio classico che è quello del pendolo.
Galileo, interessato ad un approccio matematico allo studio dei moti, fu tra i primi a
realizzare e a studiare i pendoli. Pare che l'interesse per tale strumento sia nato in seguito
all'osservazione delle oscillazioni di una lampada appesa al soffitto della Cattedrale di
Pisa. Gli ulteriori studi che compì gli permisero di identificare le relazioni che intercorrono
tra il periodo, la massa e la lunghezza di un pendolo e di rilevare il suo isocronismo (cioè
l'indipendenza del periodo di oscillazione dall'ampiezza di quest'ultime) proprietà che verrà
però limitata nei decenni successivi ad opera di Huygens che dimostrerà che un pendolo
risulta realmente isocrono solo per piccole oscillazioni
Il modello matematico del pendolo `e l’idealizzazione di un
punto materiale sospeso un’asticella incernierata in un
punto fisso. Si assume che l’asticella sia priva di massa, e
perfettamente rigida ed inestensibile, e che il il moto possa
avvenire solo nel piano verticale, sotto l’azione della sola
gravità. L’equazionesi scrive, nella sua forma più semplice,
L d2θ/dt =-g senθ, dove θ rappresenta l’angolo formato dalla
direzione dell’asticella che sorregge la massa rispetto
alla verticale.
Chiunque può costruirsene uno con un filo abbastanza lungo alla cui estremità viene
legato un corpo piccolo e pesante ( piccolo piombo) .
Nello studio di piccole oscillazioni I grafici di posizione, velocità e accelerazione verso il
tempo hanno andamento sinusoidale, come ci si può attendere da un moto armonico (
senθ≈θ → l d2θ/dt =-g θ ).
Da misure del periodo si osserva che il moto è isocrono
Se facciamo oscillare il pendolo facendolo partire da diverse altezze h e ampiezze teta
vediamo che esso si muoverà più velocemente quando l’altezza h e l’ampiezza teta sono
maggiori.
Durante il moto l’energia potenziale del pendolo (mgh , quando il peso si trova ad un
altezza h) si trasforma in energia cinetica che è massima quando h è minima . Quindi il
peso raggiungerà una velocità maggiore se
potenziale è maggiore.
l’altezza di partenza e quindi l’energia
Si potrà misurare il periodo in funzione dell'ampiezza e osservare che per grandi ampiezze
il moto non è affatto isocrono.
Un’altra cosa evidente è che l’ampiezza di oscillazione diminuisce a passare del tempo in
modo particolare se l’ampiezza di partenza è maggiore. Questo a causa dell’attrito e della
resistenza dell’aria.
il moto del pendolo tende ad affievolirsi per l'attrito dell'aria circostante e per il logorio del
perno, ma questo non significa che l'energia svanisca: essa semplicemente si trasferisce
dal pendolo all'aria che lo circonda, al perno che si logora, e in definitiva la si ritrova poi
sotto forma di calore.
La forza di attrito viscoso che esercita l’aria sui corpi in moto si può descrivere in forma
elementare come una forza che si oppone sempre al moto di un corpo, la cui intensità è
propozionale alla velocità del corpo stesso. Differente il caso dell’attrito per strisciamento,
in cui la forza d’attrito è determinata solamente dalla reazione vincolare, e quindi è sempre
la stessa indipendentemente dalla velocità. Nel caso dell’attrito viscoso, invece, l’effetto
cambia al varaire della velocità a causa della presenza della viscosità del fluido. In simboli:
F =− β dx(t)/dt
dove β è una costante che dipende dal corpo in studio (dipende dalla sezione ma anche
dalla forma: per fare un esempio, si pensi alle forme aerodinamiche di alcune automobili,
che vengono studiate proprio per ridurre il più possibile l’attrito con l’aria alle alte velocità)
Un secondo fenomeno fisico è quello di una pallina che rotola all’interno di una guida
semicircolare ( rappresenta una buca di potenziale)
Una pallina che riposa sul fondo della guida non possiede energia cinetica. In altre parole,
tutte l’energia della pallina è potenziale (Ep). Immaginiamo di muoverla dalla posizione di
equilibrio.
Ovviamente, bisognerà agire in opposizione alla forza di gravità per tutto il percorso verso
l’alto sulla parete. Questo lavoro aumenterà il potenziale energetico della
biglia. Tuttavia, se l’energia potenziale aumenta durante un qualsiasi spostamento r dalla
posizione di equilibrio, essa, nella posizione di equilibrio risulta minima (r=0, figura)
Se pensiamo ora di lasciare la pallina , essa inizierà ad oscillare accompagnata dalla
trasformazione di energia cinetica in potenziale e viceversa. C’è un importante processo
che ha luogo in ogni momento: le forze d’attrito compiono un lavoro (l’energia
risultante è dispersa sotto forma di calore nell’ambiente circostante). Dopo varie
oscillazioni, la pallina si fermerà sul fondo.
Ognuno di noi avrà giocato con una fionda od un arco. Nel momento in cui tendiamo e poi
lasciamo l’elastico della fionda il proiettile partirà con una certa velocità quindi acquisterà
una certa energia cinetica. Il proiettile e la fionda tesa oppure la freccia e l’arco teso come
nel caso di una massa attaccata ad una molla posseggono un’energia potenziale elastica.
Una pallina di gomma che rimbalza ,per esempio, pur nella sua semplicità è un fenomeno
fisico che “vede” varie trasformazioni di energia durante il suo corso.
La pallina prima di essere lasciata cadere possiede esclusivamente energia potenziale
gravitazionale, quando cade ll’energia potenziale comincia a trasformarsi in energia
cinetica, arrivata al suolo ha subisce una compressione acquistando energia elastica che
si ritrasforma in energia cinetica e successivamente in energia potenziale.
I grafici descrivono il moto di una pallina lasciata cadere e rimbalzare
Il primo grafico è un grafico posizione-tempo. Ogni arco di parabola corrisponde al “tempo
di volo” in ogni rimbalzo. Il secondo è un grafico velocità-tempo. Il terzo accelerazionetempo
La pallina ad ogni rimbalzo non torna esattamente alla stessa quota quindi ad ogni
rimbalzo una parte di energia viene persa ( l’energia potenziale è minore ad una quota
minore) . L’attrito dell’aria e l’impatto a terra con un’ elasticità non perfetta genera calore
successivamente disperso nell’ambiente. La pallina prima o poi si fermerà.
Consideriamo ora il circuito in figura
Il circuito contiene un capacitore di capacità C ed un induttore di induttanza L. La
resistenza di tutte le spire la consideriamo trascurabile.Quando chiudiamo l’interruttore e
monitoriamo i cambiamenti nel sistema osserviamo che l’equazione che descrive le
variazioni di carica, corrente e voltaggio sono molto simili a quello di un moto armonico in
meccanica.
Inizialmente l’intera energia del sistema è immagazzinata nel capacitore, quando
chiudiamo il circuito il capacitore inizia a scaricarsi attraverso l’induttore, come la carica
del capacitore decresce , decresce anche la sua energia. Dall’altro lato la corrente
nell’induttore aumenta assieme alla sua energia.
La combinazione di un capacitore e di un induttore è un semplice sistema che dimostra
l’oscillazione elettromagnetica.Per questo circuito il comportamento è caratterizzato da
una carica, una corrente ed un voltaggio oscillante diversamente da quando avviene nel
caso del circuito RL e RC.
Durante queste lezioni punterei ad un approccio didattico che spinga lo studente al
ragionamento, ad utilizzare le conoscenze disciplinari acquisite ma in modo critico, cioè
cercare di porsi davanti a problemi reali di fisica per capire come le conoscenze, le leggi e
la teoria studiata siano compatibili con i fenomeni osservati.
Durante lo studio di alcuni fenomeni oscillanti lo studente può trovare analogie,
comportamenti fisici generali comuni. Molto importante è quindi l’atteggiamento insieme
alla motivazione che un alunno pone nella risoluzione e comprensione di un problema di
fisica.
Quindi non darei tutto per scontato, “ impacchettato” ma stimolerei gli studenti,anche in
gruppi, a “ giocare” ( ad esempio in laboratorio) con alcuni fenomeni oscillanti: pallina che
rimbalza, pendolo, circuito LC…..etc. In questo modo ognuno si abituerà a partire da una
prima analisi della situazione per poi
applicare le conoscenze teoriche e cercare di
comprendere, anche se in modo qualitativo, quello che sta succedendo, quali sono gli
elementi che influiscono sul sistema in studio.
Molto interessante è chiedersi perché ad esempio una pallina di gomma che rimbalza
smorza molto prima le sue oscillazioni rispetto ad una da ping pong o rispetto alle
oscillazioni di un orologio a pendolo.Questo farà anche accorgere loro che non sempre i
dati ottenuti da una esperienza reale coincidono con un quadro teorico che ci si era creati.
Molto interessante è riflettere sull’aspetto energetico legato alle oscillazioni. In un sistema
che oscilla troviamo sempre trasformazioni di energia , pensiamo alla trasformazione di
energia potenziale in energia cinetica nel pendolo o alla trasformazione di energia
potenziale in energia elastica e conseguentemente in energia cinetica nella pallina che
rimbalza così come il passaggio tra energia immagazzinata in un capacitore in energia
dell’induttore nel circuito LC. Da far notare inoltre è lo smorzamento delle oscillazioni che
avviene ogni volta che c’è dissipazione di energia cioè ogni volta che il sistema perde
energia ad esempio sottoforma di calore nei fenomeni meccanici come il pendolo o la
pallina che rimbalza o elettrici attraverso fenomeni resistivi.
Gaetano De Michele
