Parziale 29 maggio 2013
Un condensatore piano ha le armature di forma circolare con raggio R=20 cm, separate da un materiale
omogeneo avente uno spessore d=1,80 mm e una costante dielettrica relativa εr=20. Al condensatore è
applicata una differenza di potenziale di 200V.
V
F
La capacità del condensatore è 12,4nF
V
F
La densità di carica sulle armature è 1,97⋅10-5 C/m2
V
F
Il campo elettrico tra le armature è 2,22⋅106 N/C
V
F
L’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico del condensatore è 1,24⋅10-5J
• La capacità di un condensatore piano riempito con un dielettrico è
ε ε A (8,85 ⋅ 10 −12 C 2 N −1m −2 ) ⋅ 20 ⋅ π ⋅ (0,20m) 2
C= 0 r =
= 1,24 ⋅ 10 − 8 F = 12,4nF
−3
d
1,8 ⋅ 10 m
Quindi: La capacità del condensatore è 12,4nF. Vero
• La densità di carica presente sulle armature è
q C∆V (ε 0ε r A / d )∆V ε 0ε r ∆V (8,85 ⋅ 10 −12 C 2 N −1m −2 ) ⋅ 20 ⋅ (200V )
σ= =
=
=
=
= 1,97 ⋅ 10 − 5 C / m 2
A
A
A
d
1,8 ⋅ 10 − 3 m
Quindi: La densità di carica sulle armature è 1,97⋅10-5 C/m2. Vero
• Il campo elettrico può essere calcolato dalla densità di carica
σ
1,97 ⋅10−5 C / m 2
E=
=
= 1,11 ⋅105 N / C
ε 0ε r (8,85 ⋅10−12 C 2 N −1m − 2 ) ⋅ 20
oppure direttamente dalla differenza di potenziale tra le armature
E=
∆V
200V
=
= 1,11 ⋅10 5 V / m
d
1,8 ⋅10 −3 m
Quindi: Il campo elettrico tra le armature è 2,22⋅106 N/C . Falso
• L’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico è
U=
1
C∆V 2 = (0,5)(1,24 ⋅10−8 F )(200V ) 2 = 2,48 ⋅10− 4 J
2
Quindi: L’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico del condensatore è 1,24⋅10-5J. Falso
Parziale 29 maggio 2013
Un filo di rame lungo 10 m e di sezione circolare (diametro d=1,2mm) è percorso da una corrente i=12A.
Sapendo che la resistività specifica del rame è ρ=1,69⋅10-8Ω⋅m e che il numero di portatori di carica nel rame
è n=8,49⋅1028 elettroni/m3, decidere quali delle seguenti affermazioni sono corrette.
V
F
La differenza di potenziale ai capi del filo è 0,50V
V
F
La densità di corrente lungo il filo è costante ed è 2,7⋅107 A/m2
V
F
Gli elettroni di conduzione impiegano più di 6 ore per percorrere l’intera lunghezza del filo
V
F
In 1 minuto, il filo dissipa circa 1,3 kJ di energia elettrica per effetto Joule.
• La differenza di potenziale ai capi del filo è 0,50V. Falso. Calcoliamo per prima cosa la
resistenza del filo:
R=ρ
L (1,69 ⋅ 10−8 Ω ⋅ m)(10m)
=
= 0,15Ω
π (0,60 ⋅ 10− 3 m) 2
A
quindi ∆V = iR = (12 A)(0,15Ω) = 1,8V
• La densità di corrente lungo il filo è costante ed è 2,7⋅107 A/m2. Falso
Per un conduttore di sezione costante, la densità di corrente è
12 A
J=
= 1,06 ⋅ 107 A / m 2
2
−3
π (0,60 ⋅ 10 m)
• Gli elettroni impiegano più di 3 ore per percorrere l’intera lunghezza del filo. Vero.
La velocità di deriva degli elettroni, e quindi il tempo necessario per percorrere la lunghezza del
filo, può essere calcolata dalla densità di corrente:
vd =
J
1,06 ⋅10 7 A / m 2
=
= 7,8 ⋅10 − 4 m / s
ne (8,49 ⋅10 28 m −3 )(1,60 ⋅10 −19 C )
10m
⇒ t=
= 1,28 ⋅10 4 s = 3,6 ore
7,8 ⋅10 − 4 m / s
• In 1 minuto, il filo dissipa circa 1,3 kJ di energia elettrica per effetto Joule. Vero
La potenza dissipata per effetto Joule è
P = Ri 2 = (0,15Ω)(12 A) 2 = 21,6 J / s
quindi in 60 s vengono dissipati
(21,6 J / s )(60 s ) = 1,3 ⋅103 J
Parziale 29 maggio 2013
La figura mostra alcune superfici equipotenziali tra due conduttori carichi. Decidere se le seguenti
affermazioni sono corrette.
V
F
Il campo elettrico in E è più intenso che in I
V
F
Il modulo del campo elettrico nel punto A
è 100 N/C
V
F
Il lavoro necessario per portare una elettrone
dal punto F al punto G è -50 elettronvolt
V
F
Il lavoro necessario per portare un protone
dal punto F a punto E è -10 elettronvolt
• Il campo elettrico in E è più intenso che in I. Falso. Le superfici equipotenziali sono più
ravvicinate nelle vicinanze del punto I. Ciò significa che il potenziale varia più velocemente e
quindi il campo elettrico è più intenso in I
• Il campo elettrico nel punto A è 100 N/C. Vero. Le superfici equipotenziali sono equispaziate in
corrispondenza del punto A, il che significa che il campo elettrico è costante in tale zona. Dalla
figura si deduce che si passa da 0V a 40 V in 0,4m, quindi
∆V
40V
=
= 100 V / m
∆x 0,4m
• Il lavoro necessario per portare una elettrone dal punto F al punto G è -50 elettronvolt. Falso. I
punti F e G si trovano sulla stessa superficie equipotenziale, quindi il lavoro per muovere una
carica tra tali punti è nullo
E=
• Il lavoro necessario per portare un protone dal punto F a punto E è -10 elettronvolt. Vero. La
differenza di potenziale tra i punti E e F è +10V. La differenza di energia potenziale è
L = −U = −q∆V = −(1,60 ⋅10 −19 C )(10V ) = −1,60 ⋅10 −18 J = −10eV
Parziale 29 maggio 2013
V
F
La corrente nel circuito è 0,50A
V
F
La carica sul condensatore è 6,0⋅10-4C
V
F
La potenza complessivamente dissipata per effetto Joule
dalle due resistenze è 1,7W
V
F
La differenza di potenziale VB − VA tra i punti A e B del
circuito è 30V
20V
10Ω
Considera il circuito in figura
A
30µF
50Ω
10V
• Decidiamo arbitrariamente che la corrente i circoli in senso orario e percorriamo la spira in tale
senso. Partendo dal punto A abbiamo:
-(10Ω)i -20V+10V- (50Ω)i = 0 ⇒ -60i = 10 ⇒ i = -0,167 A
Quindi: La corrente nel circuito è 0,50A. Falso
• Il condensatore è collegato direttamente al generatore di f.e.m . da 20V, quindi la differenza di
potenziale tra le armature è 20V
C=q/∆V ⇒ q=C⋅∆V ⇒ q= (30⋅10-6F)⋅(20V) = 6,0⋅10-4C
Quindi: La carica sul condensatore è 6,0⋅10-4C. Vero
• La corrente che circola nel circuito è 0,167A. La potenza dissipata complessivamente dalle due
resistenze è
P = Reqi2 = (10Ω+50Ω)(0,167A)2 = 1,7W
Quindi: La potenza dissipata per effetto Joule dalle due resistenze è 1,7W. Vero
• Una volta calcolata la corrente nel circuito e stabilito che circola in senso antiorario, partendo dal
punto A abbiamo:
VA-(50Ω)(0,167A)-10V=VB ⇒ VB − VA = -18,4V
Quindi: La differenza di potenziale VB − VA tra i punti A e B del circuito è 30V: Falso
B
Parziale 29 maggio 2013
Un nucleo di trizio (3H+) (m=5,0⋅10-27kg, q=1,60⋅10-19C ) inizialmente fermo viene prima accelerato per
mezzo di una differenza di potenziale di 104 V, quindi entra perpendicolarmente in un campo magnetico
uniforme di intensità pari a 1,2T
V
F
La particella si muove su una traiettoria circolare di raggio 2,1⋅10-6m
V
F
La velocità angolare della particella è 3,8⋅107 rad/s
V
F
Il campo magnetico modifica la traiettoria della particella, quindi l’energia cinetica aumenta
V F
trizio
In identiche condizioni, un ione di elio-3 (3He+) si comporta essenzialmente come un nucleo di
Il campo elettrico accelera il nucleo e quindi l’energia cinetica aumenta:
K = e∆V = (1,60 ⋅ 10−19 C )(104V ) = 1,6 ⋅ 10−15 J
Dall’energia cinetica si calcola poi la velocità in ingresso nel campo magnetico
2 ⋅1,6 ⋅10 −15 J
= 8,0 ⋅10 5 m / s
− 27
5,0 ⋅10 kg
• La particella si muove su una traiettoria circolare di raggio 2,1⋅10-6m. Vero
mv (5,0 ⋅10 −27 kg )(8,0 ⋅10 5 m / s )
Infatti r =
=
= 2,1 ⋅10 − 2 m
−19
qB
(1,6 ⋅10 C )(1,2T )
• La velocità angolare della particella è 3,8⋅107 rad/s . Vero
v 8,0 ⋅10 5 m / s
Infatti ω = =
= 3,8 ⋅10 7 rad / s
r
2,1 ⋅10 − 2 m
• Il campo magnetico modifica la traiettoria della particella, quindi l’energia cinetica aumenta. Falso.
Il campo magnetico modifica la direzione della velocità, ma non il suo modulo, dunque non può
modificare l’energia cinetica
K=
1
mv 2
2
⇒ v=
2K
=
m
• In identiche condizioni, un ione di elio-3 (3He+) si comporta essenzialmente come un nucleo di
trizio. Vero
Un nucleo di trizio è costituito da 1 protone e 2 neutroni, mentre, uno ione di elio-3 è costituito da 2
protoni, 1 neutrone e 1 elettrone. La differenza di massa tra 3H+ e 3He+ è quindi minima, mentre la
carica elettrica è la stessa, quindi il loro comportamento fisico nelle condizioni date è
essenzialmente lo stesso
Parziale 29 maggio 2013
Le cariche +e e −e (e = 1.60× 10−19 C) sono poste nei tre
vertici di un quadrato di lato l =2.00× 10−10 m come mostrato in
figura. Calcolare:
a) Il campo elettrico (modulo, direzione e verso) nel punto A,
corrispondente al quarto vertice del quadrato (3p)
b) Il lavoro necessario per portare una carica –e da una distanza
infinita fino al punto A (2p)
a)
Il campo elettrico nel punto A è dato dalla somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle
singole cariche
E A = E1 + E 2 + E 3 = E A, x i + E A, y j = ( E1 + E 2 x )i + ( E 3 + E 2 y ) j
e
e e 2 ke(4 − 2 )
−e
= k 2 − 2 =
E A, x = k 2 +
cos(
45
)
°
l
4l
4l 2
(l 2 ) 2
l
e
ke(4 − 2 )
−e
= k e2 − e 22 =
°
E A, y = k 2 +
cos(
45
)
4l
4l 2
(l 2 ) 2
l
l
La direzione del campo elettrico è quindi lungo la diagonale del
quadrato e il verso è uscente rispetto alla carica –e.
Il modulo è dato da:
2
2
ke(4 − 2 )
ke(4 − 2 )
ke(2 2 − 1)
=
+
E =
2
2
2l 2
4l
4l
=
E3
1
E2
E1
3
2
(8.99 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 )(1.60 ⋅ 10 −19 C )(2 2 − 1)
= 3.29 ⋅ 1010 N / C
2
−10
2 ⋅ (2.00 ⋅ 10 m)
b)
Il lavoro necessario per portare una carica –e da una distanza infinita fino al punto A è dato
da L = −eV A . Il potenziale nel punto A è:
e
e
e ke 4 − 2
+ =
V A = V1 + V2 + V3 = k −
l l 2 l l 2
=
(8.99 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / C 2 )(1.60 ⋅ 10 −19 C ) 4 − 2
2 = 9.30V
2 ⋅ 10 −10 m
Il lavoro necessario per portare una carica –e da una distanza infinita fino al punto A è quindi:
L = (−1.60 ⋅ 10 −19 C )(9.30V ) = −1.49 ⋅ 10 −18 J
Parziale 29 maggio 2013
Un condensatore C1 di capacità 20µF viene
inizialmente caricato per mezzo di una differenza di
potenziale di 1000V. In seguito il condensatore viene
collegato (interruttore a chiuso) ad un secondo
condensatore C2 di capacità 5µF.
a
20µF
b
5µF
a) Quali sono le cariche presenti sulle armature dei due condensatori, dopo la chiusura
dell’interruttore a ? (2p)
b) L’energia totale immagazzinata nei condensatori, prima e dopo la chiusura di a, resta
costante oppure diminuisce? Giustificare. (2p)
c) Il sistema di condensatori viene infine scaricato attraverso una resistenza R da 800Ω
(interruttore b chiuso). In quanto tempo la differenza di potenziale tra le armature dei
condensatori scende a fino a 200 V ? (2p)
a)
La carica inizialmente presente sul condensatore da 20µF è:
Q = C1 ∆V = (20 ⋅10 −6 F )(1000V ) = 2,0 ⋅10 −2 C
Dopo la chiusura dell’interruttore a, la stessa carica si redistribuisce sui due condensatori. La
capacità equivalente dei due condensatori è
C eq = C 1 + C 2 = 25 ⋅10 −6 F
e il potenziale si abbassa a:
Q
2,0 ⋅10 −2 C
∆V ′ =
=
= 800V
C eq 25 ⋅10 − 6 F
quindi
Q1 = ∆V ′C1 = (800V )(20 ⋅10 −6 F ) = 1,6 ⋅10 −2 C
−6
−2
Q 2 = ∆V ′C 2 = (800V )(5 ⋅10 F ) = 0,4 ⋅10 C
Q +Q = Q
2
1
b)
L’energia elettrostatica inizialmente immagazzinata in C1 è:
(20 ⋅ 10 −6 F )(1000V ) 2
1
2
U = C1 ∆V =
= 10 J
2
2
Dopo il collegamento di C2 l’energia totale immagazzinata nei due condensatori è
(25 ⋅10 −6 F )(800V ) 2
1
U ′ = C eq ∆V ′ 2 =
= 8J
2
2
L’energia elettrostatica quindi diminuisce.
c)
Una volta collegata la resistenza, la differenza di potenziale ai capi del condensatore equivalente
diminuisce:
Vt = V0 exp(−t / RC eq )
quindi
V −t
Vt
= exp(−t / RC eq ) ⇒ ln t =
V0
V0 RC
V
⇒ t = RC ln 0
Vt
800V
= (800Ω)(25 ⋅10 − 6 F ) ln
= 2,8 ⋅10 − 2 s
200
V
800Ω
Parziale 29 maggio 2013
Un oggetto è posto davanti a una lente convergente (f = 12,0 cm). La sua immagine è reale e si
forma a 21,0 cm dalla lente. Senza spostare l’oggetto, si sostituisce la prima lente con un’altra lente
convergente di distanza focale 16,0 cm. Si forma una nuova immagine reale dell’oggetto.
a) Qual è la distanza dalla lente di questa nuova immagine ? (3p)
b) Qual è l’ingrandimento lineare (o trasversale) nei due casi? (2p)
a)
1
1 1
= +
f 1 p q1
⇒
1
1
1
=
−
p f 1 q1
1
1 1
= +
f2
p q2
⇒
1
1 1
=
−
q2
f2 p
b)
q1
21.0cm
=−
= −0.75
p
28.0cm
q
37.3cm
m2 = − 2 = −
= −1.33
p
28.0cm
m1 = −
⇒
p=
f 1 q1
(12.0cm)(21.0cm)
=
= 28.0cm
q1 − f 1
(21.0 − 12.0)cm
⇒ q2 =
f2 p
(16.0cm)(28.0cm)
=
= 37.3cm
p − f2
(28.0 − 16.0)cm
