Cose e persone che si muovono
Contenuti di matematica
Relazioni e funzioni
Le funzioni e la loro rappresentazione (numerica, funzionale, grafica). Funzioni di vario tipo
(proporzionalità diretta).
Abilità
leggere in un grafico o in una tabella numerica le proprietà qualitative delle funzioni. Individuare relazioni
significative tra grandezze di varia natura; Risolvere problemi che implicano l’uso di funzioni, collegati con
altre discipline e situazioni di vita ordinaria, come primo passo verso la modellizzazione matematica.
Rappresentazioni delle funzioni e la proporzionalità diretta
Fase1. Attività di laboratorio con il sensore di moto; relazioni tra grandezze e rappresentazioni
Osservazione a
a1. Vengono presentate ex cattedra le componenti e la funzionalità del sistema. Si illustra il
funzionamento e la funzione del sensore di moto (permette di eseguire misure di posizione di un
oggetto in funzione del tempo)
a2. Con il sensore in posizione fissa, che punta ad esempio verso il soffitto, viene mostrata
l’interfaccia grafica al computer.
a. Si fa partire la misura e si evidenziano i due tipi di rappresentazione del legame s-t (tabella e
grafico cartesiano).
Discussione:
- Si chiede alla classe quali sono le grandezze rappresentate sugli assi coordinati
- Si chiede alla classe perché il grafico è orizzontale. E che cosa succede se il sensore viene posto in
moto.
Osservazione b
B1. con la mano si muove il sensore, ad esempio in su e in giù (funzione oscillante).
Discussione:
Si chiede alla classe perché il grafico cambia e si analizzano assieme tali cambiamenti (porzioni
crescenti e decrescenti) collegandoli al moto del sensore
Osservazione c
c. Si chiede a uno studente di muoversi davanti al sensore in modo regolare, con andatura costante.
Sullo schermo si materializza un grafico lineare.
Discussione
si chiede alla classe
- Che tipo di grafico si è ottenuto?
- che cosa significa che il grafico è una retta? (deve emergere che il moto è con velocità costante)
- Come sarebbe cambiato il grafico se l’andatura non fosse stata costante? (dovrebbe emergere che
il grafico no sarebbe una retta)
Fase 2. La proporzionalità diretta.
Osservazione a
Si presenta alla classe un grafico del moto e la relativa tabella s-t corrispondente ad una retta
passante per l’origine. Il valore della velocità s/t è uguale a 2 m/s
Discussione
Si chiede ai ragazzi di riconoscere il tipo di moto. Si guida la discussione ponendo le seguenti
domande (oppure si potrebbe proporre come verifica?)
- di che tipo di moto si tratta (deve emergere che è con v costante)
- Possiamo ricavare a partire dalla tabella il valore della velocità? (si deve guidare la classe a
calcolare la velocità come il rapporto tra spazio e tempo)
Si evidenzia che il valore del rapporto tra valori corrispondenti di s e t è costante e che questa é la
proprietà della proporzionalità diretta. Si evidenzia inoltre che al raddoppiare, triplicare ecc. di una
grandezza raddoppia, triplica ecc. anche l’altra. Si evidenzia fine che il grafico della proporzionalità
diretta è una retta passante per l’origine.
Guidando la discussione si perviene alla formula che rappresenta la relazione:
s/t = 2
Discussione. Esplicitiamo la formula rispetto a s
Si chiede dato che il corpo si sposta di 2 m in un secondo di quanto si sposta in 2 sec? E in tre?
E quindi quale operazione si deve fare per ottenere s quando si conosce t?
Si dovrà pervenire alla relazione s = 2*t.
Discussione. Generalizziamo
E se la velocità del corpo fosse stata di 3 m/s quale sarebbe stata la relazione? Si deve pervenire a
s=3 *t
E se indichiamo la velocità con il simbolo generico v, come possiamo scrivere la relazione? s=v*t
Discussione. Formalizziamo
Si introducono le variabili simboliche y ed x. E si chiede al classe: Supponiamo che le due
grandezze siano direttamente proporzionali e che k sia la costante di proporzionalità. Come
possiamo scrivere simbolicamente che x e y sono direttamente proporzionali? (y/x = k)
Qual è la formula che esprime y come funzione di x? ( y = k *x)
Verifica
1. Le due tabelle riportate sotto e i relativi grafici si riferiscono al moto di due diversi studenti (una
è una prop diretta l’altra una funzione crescente). In quale dei due moti lo spostamento e il tempo
sono direttamente proporzionali?
E perché?
(si vuole verificare se gli allievi riconoscono la proporzionalità diretta e se si. Quale tipo di
rappresentazione usano per effettuare tale riconoscimento)
2. La tabella riportata sotto si riferisce al moto di un carrello che si muove con velocità costante.
a. Che tipo di relazione lega s a t?
b. Calcola la velocità del carrello;
c. scrivi la formula che lega s a t
d. quanto spazio percorre il carrello in 10,3 s?
(Conoscenze/Abilità testate: riconoscimento di relazioni; traduzione dal linguaggio numerico ad
analitico; capacità di modellizzare fenomeni reali; capacità di applicare i modelli per fare
previsioni.)
3. Se riportassimo in un grafico i valori di s e t:
a. che tipo di grafico otterremmo
d. Riporta in un grafico i valori di s e t e verifica la risposta data in a:
( abilità/ conoscenze: individuare le corrispondenze tra diversi tipi di linguaggio matematico; saper
rappresentare relazioni tra grandezze;
4. Un chilo di patate costa 2 euro.
a. Completa la tabella che mette in relazione il costo C, con il prezzo delle patate P.
Costo C(euro)
0
2
Peso P (Kg)
0
1
2
6
4
b. Quanto vale la costante di proporzionalità tra Costo C e peso P delle patate
c. Scrivi la formula che lega C e P.
d. Quanto costano 4,3 kg di patate?
d. Quanti kg di patate puoi comprare con 5 euro?
(Abilità/ conoscenze: trasferire a contesti nuovi le conoscenze apprese e le abilità attivate per
risolvere problemi reali. )
