L7 Energia meccanica

Energia meccanica
Definizione di Energia Meccanica
r
Si consideri un punto materiale di massa m, che si muove a velocità v sotto l’azione di una sola forza conservativa.
1
Dette K = m v 2 l’energia cinetica e U l’energia potenziale, l’energia meccanica E si definisce come:
2
E=K+U
Teorema di conservazione dell’energia meccanica
r
Si supponga che sul punto materiale agisca una sola forza F , che sia anche conservativa.
Fissati un punto iniziale A e il punto finale B, il teorema di conservazione dell’energia meccanica afferma che:
EA = EB
e cioè
KA + U A = KB + UB
E’ facile dimostrare questa relazione. Per il teorema dell’energia cinetica:
LAB = KB - KA
r
dove LAB è il lavoro dell’unica forza in gioco. Al tempo stesso, il lavoro compiuto da F , per definizione di energia
potenziale, vale:
LAB = UA - UB
Uguagliando, si ha quindi
KB - K A = U A - UB
relazione dalla quale discende immediatamente la tesi.
−
−
−
La relazione EA = EB è valida per qualunque scelta di A e B sulla traiettoria del punto materiale; quindi, l’energia
meccanica mantiene sempre lo stesso valore durante il moto del punto materiale. Si dice anche: “l’energia
meccanica è una costante del moto”.
“l’energia meccanica si conserva” significa “l’energia meccanica nella posizione iniziale A è uguale all’energia
meccanica nella posizione finale B”.
La conservazione dell’energia meccanica vale a prescindere da ciò che accade tra l’istante iniziale e quello finale.
E’ proprio quest’ultima osservazione a rendere tanto utile l’applicazione del teorema dell’energia meccanica.
Estensione del teorema della conservazione dell’energia meccanica
La precedente dimostrazione parte da condizioni molto restrittive. Tuttavia, l’energia meccanica si conserva anche in
altri casi:
a) se sul corpo agiscono forze che non compiono lavoro (caso tipico: una reazione normale R).
b) Se sul corpo agisce più di una forza conservativa. In questo caso, si pone
U = U1 + U2 +…
In altri termini, l’energia potenziale totale è la somma delle energie potenziali delle singole forze conservative
presenti. Per esempio, U può essere la somma di un’energia elastica e di un’energia potenziale della forza peso.
c) Se ci sono più punti materiali, si sommano anche le energie cinetiche:
K = K1 + K2 +…
In conclusione, l’energia meccanica totale E di un insieme di punti materiali, soggetti all’azione di varie forze
conservative, sarà definita come:
E=
1
1
m1 v12 + m 2 v 22 + ... + U1 + U2 +…
2
2
Quando esistono più punti materiali, nello scrivere
EA = EB
si intende affermare che l’energia meccanica nella configurazione iniziale A è uguale all’energia meccanica nella
configurazione finale B.
E’ importante osservare che, quando compaiono varie energie
potenziali, ciascuna può essere valutata fissando il proprio zero
indipendentemente.
Ad esempio, si consideri la macchina di Atwood in figura. Nel
r
r
valutare le energie potenziali dei pesi P1 e P2 , è possibile
scegliere gli zeri nelle posizioni iniziali delle masse, anche se
queste si trovano ad altezze diverse. Ne segue che l’energia
potenziale iniziale vale:
UA = U1A + U2A = 0
A
B
Nella configurazione B, m1 si è sollevata di ∆h e m2 si è abbassata di ∆h. Pertanto:
UB = U1B + U2B = m1 g ∆h – m2 g ∆h
Teorema dell’energia meccanica in presenza di forze non conservative
Se sul punto materiale agisce una forza non conservativa, che compie il lavoro Lnc, l’energia meccanica non si
conserva. Si trova invece:
Lnc = EB – EA
r
La dimostrazione è agevole per il caso in cui siano presenti due sole forze: la forza conservativa Fc , che compie il
r
lavoro Lc, e la forza non conservativa Fn c , che compie il lavoro Lnc. Per il teorema dell’energia cinetica:1
Lc + Lnc = KB - KA
r
Siccome Fc è conservativa, il lavoro Lc può essere scritto in termini dell’energia potenziale:
Lc = UA - UB
Sostituendo, si trova il risultato richiesto:
UA - UB + Lnc = KB - KA
Lnc = (KB + UB) – (KA + UA)
Lnc = EB – EA
1
Si ricordi che, nel teorema dell’energia cinetica, compare il lavoro della risultante delle forze.