Esercitazioni di Biostatistica

Esercitazioni di Biostatistica
In collaborazione con la Dott.ssa
Antonella Zambon
ESERCIZIO 1
Nome
Genere
Antonio
Claudio
Lucia
Anna
Marco
Giuseppe
Aldo
Maria
M
M
F
F
M
M
M
F
Età (anni
compiuti)
28
23
24
26
22
22
24
23
Livello
istruzione
4
4
4
4
4
4
4
4
1- Licenza elementare
2- Licenza media
3- Diploma scuola superiore
4- Laurea
Distanza
(km)
5.0
7.5
12.0
3.2
12.3
25.0
7.7
Variabile
Unità statistica
ESERCIZIO 1: frequenza
Una prima sintesi può essere effettuata costruendo la lista delle
modalità di una variabile accompagnate dalle rispettive
frequenze assolute: distribuzione di frequenze assolute
Modalità
y1
…
yj
…
yJ
Frequenza
n1
…
nj
…
nJ
totale
J
n = ∑nj
j =1
…o relative: distribuzione di frequenze relative
Modalità
y1
…
yj
…
yJ
totale
Frequenza
p1
…
pj
…
pJ
1
pj =
fj
n
ESERCIZIO 1
Nome
Genere
Antonio
Claudio
Lucia
Anna
Marco
Giuseppe
Aldo
Maria
M
M
F
F
M
M
M
F
Età (anni
compiuti)
28
23
24
26
22
22
24
23
Livello
istruzione
4
4
4
4
4
4
4
4
1- Licenza elementare
2- Licenza media
3- Diploma scuola superiore
4- Laurea
Distanza
(km)
5.0
7.5
12.0
3.2
12.3
25.0
7.7
ESERCIZIO 1: distribuzione
Genere
M
Frequenza Frequenza
assoluta
relativa
5
0.625
F
3
0.375
Totale
8
1
Livello
istruzione
4
Totale
Frequenza Frequenza
assoluta
relativa
8
1
8
1
Come riassumere la variabile distanza?
Serie statistica
Variabile statistica
degenere
ESERCIZIO 1
Distanza
0
5
5
15
15
25
Totale
Frequenza Frequenza
assoluta
relativa
2
0.286
4
0.572
1
0.142
7
1
Seriazione
statistica
Classi di modalità
Le classi vanno definite in modo che:
•non siano troppe né troppo poche
•siano disgiunte
•comprendano tutte le modalità osservate
Le classi devono
avere la stessa
ampiezza?
ESERCIZIO 1: diagramma a barre
Genere
Frequenza Frequenza
assoluta
relativa
M
5
0.625
F
3
0.375
Totale
8
1
L’altezza del
rettangolo è
proporzionale alla
frequenza della
modalità
5
Valido sia per
variabili nominali
o numeriche
discrete
3
M
F
ESERCIZIO 1: istogramma
Distanza
Frequenza
assoluta
Frequenza
relativa
Punto
centrale
0
5
2
0.286
2,5
(5+0)/2
5
15
4
0.572
10
(15+5)/2
1
0.142
20
(25+15)/2
7
1
15
25
Totale
5*0.4=2
Nell’istogramma
sono le aree e non
le altezze dei
rettangoli ad
essere
proporzionali alle
frequenze.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
17,5
20,0
22,5
25,0
ESERCIZIO : in riferimento all’esercizio 1
• Indicare la tipologia di ogni variabile
considerata.
• Quali indici di posizione è possibile
calcolare per le diverse variabili?
• Calcolare tali indici per il genere, livello
d’istruzione ed età. Confrontare.
ESERCIZIO 2
La carica virale di HIV-1 è un noto fattore di rischio per la
trasmissione eterosessuale dell’HIV; i soggetti con carica virale
di HIV-1 più elevata hanno un rischio maggiore di trasmettere il
virus al partner non infetto. Alcuni ricercatori hanno misurato la
quantità di RNA di HIV-1 presente nel siero ematico di un
gruppo di persone con partner sieroconvertiti (ovvero non infetti
all’inizio ma divenuti positivi all’HIV durante lo studio):
79725 – 12862 – 18022 – 76712 - 256440 – 14013 – 46083 –
6808 – 85781 – 1251 – 6081 – 50397 – 11020 – 13633 – 1064 –
496433 – 25308 – 6616 – 11210 – 13900 (copie di RNA/ml).
Rappresentare i dati e calcolare media, mediana e deviazione
standard.
ESERCIZIO 2
paziente Copie di
RNA/ml
1
79725
2
12862
3
18022
4
76712
5
256440
6
14013
7
46083
8
6808
9
85781
10
1251
paziente Copie di
RNA/ml
11
6081
12
50397
13
11020
14
13633
15
1064
16
496433
17
25308
18
6616
19
11210
20
13900
ESERCIZIO 2
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
15
1064
6
14013
2
12862
12
50397
10
1251
3
18022
3
18022
13
11020
11
6081
17
25308
4
76712
14
13633
18
6616
7
46083
5
256440
15
1064
8
6808
12
50397
6
14013
16
496433
13
11020
4
76712
7
46083
17
25308
19
11210
1
79725
8
6808
18
6616
2
12862
9
85781
9
85781
19
11210
14
13633
5
256440
10
1251
20
13900
20
13900
16
496433
ESERCIZIO 2
paziente
Copie
di
RNA/ml
paziente
15
1064
6
14013
10
1251
3
18022
11
6081
17
25308
18
6616
7
46083
8
6808
12
50397
13
11020
4
76712
19
11210
1
79725
2
12862
9
85781
14
13633
5
256440
20
13900
16
496433
Copie
di
RNA/ml
Frequenza
Frequenza
relativa
0
10000
5
0.25
10000
20000
7
0.35
20000
50000
2
0.1
50000
100000
4
0.2
100000
500000
2
0.1
20
1
Copie di
RNA/ml
Totale
ESERCIZIO 2
Frequenza
Frequenza
relativa
0
10000
5
0.25
10000
20000
7
0.35
20000
50000
2
0.1
50000
100000
4
0.2
100000
500000
2
0.1
20
1
Copie di
RNA/ml
Totale
Poligono di frequenza
0.5*10-3
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
110000
…
500000
ESERCIZIO 2
MEDIA
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
2
12862
12
50397
3
18022
13
11020
4
76712
14
13633
5
256440
15
1064
6
14013
16
496433
7
46083
17
25308
8
6808
18
6616
9
85781
19
11210
10
1251
20
13900
Valida solo per dati quantitativi
Definizione?
n
y=
∑y
i =1
n
i
79725 + 12862 + ... + 11210 + 13900
=
= 61667,95
20
ESERCIZIO 2
pazient
e
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
2
12862
12
50397
3
18022
13
4
76712
5
paziente
(xi − x )
1
18057,05
2
11020
14
256440
6
paziente
(xi − x )
11
-55587
-48805,95
12
-11271
3
-43645,95
13
-50648
13633
4
15044,05
14
-48035
15
1064
5
194772,05
15
-60604
14013
16
496433
6
-47654,95
16
43765,1
7
46083
17
25308
7
-15584,95
17
-36360
8
6808
18
6616
8
-54859,95
18
-55052
9
85781
19
11210
9
24113,05
19
-50458
10
1251
20
13900
10
-60416,95
20
-47768
n
Prima proprietà
(del baricentro)
∑ (y
i =1
i
− y) ≈ 0
ESERCIZIO 2
n
Seconda proprietà
2
(
)
y
−
A
= min ⇔ A = y
∑ i
i =1
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
1
4725
2
72862
2
-2138
3
78022
3
3022
4
76712
4
1712
5
76440
5
1440
-75000
(scelto arbitrariamente)
n
y=
∑y
i =1
n
n
i
= 76752,2
d=
∑y
i =1
i
= 1752,2
n
y = 75000 + d = 76752,2
ESERCIZIO 2
Terza proprietà
(di Cauchy)
Quarta proprietà
La media è sempre
compresa tra
l’osservazione più piccola
e la più grande
y = ax + b
(di linearità)
y = ax + b
a, b ∈ ℜ
ESERCIZIO 2
Limitazioni:
•dati non quantitativi
•diversi ordini di grandezza (ad es. 0.8 – 7 – 58 – 124)
•presenza di valori estremi (ad es. 28 – 34 – 22.5 – 299)
•Sensibile a variazioni nei dati (non robusta)
ESERCIZIO 2
MEDIANA
Valida per dati
qualitativi ordinali o
quantitativi
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
2
12862
12
50397
3
18022
13
11020
4
76712
14
13633
5
256440
15
1064
6
14013
16
496433
7
46083
17
25308
8
6808
18
6616
9
85781
19
11210
10
1251
20
13900
E’ quel valore della variabile che, rispetto all’ordinamento non
decrescente delle osservazioni, risulta preceduto e seguito dalla
stessa porzione di osservazioni (50%) a meno di effetti di
discretizzazione
ESERCIZIO 2
MEDIANA
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
2
12862
12
50397
3
18022
13
11020
4
76712
14
13633
5
256440
15
1064
6
14013
16
496433
7
46083
17
25308
8
6808
18
6616
9
85781
19
11210
10
1251
20
13900
La mediana di una variabile è
quel valore che soddisfa
contemporaneamente alle due
condizioni:
•almeno il 50% delle unità
statistiche presenta modalità
inferiori o pari alla mediana
•almeno il 50% delle unità
statistiche presenta modalità
superiori o pari alla mediana
ESERCIZIO 2
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
1
79725
11
6081
15
1064
6
14013
2
12862
12
50397
10
1251
3
18022
3
18022
13
11020
11
6081
17
25308
4
76712
14
13633
18
6616
7
46083
5
256440
15
1064
8
6808
12
50397
6
14013
16
496433
13
11020
4
76712
7
46083
17
25308
19
11210
1
79725
8
6808
18
6616
2
12862
9
85781
9
85781
19
11210
14
13633
5
256440
10
1251
20
13900
20
13900
16
496433
n n
M= e
+ 1 se n è pari
2 2
n +1
M=
se n è dispari
2
13900 + 14013
M =
= 13956,5
2
ESERCIZIO 2
QUANTILI
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
15
1064
6
14013
10
1251
3
18022
11
6081
17
25308
18
6616
7
46083
8
6808
12
50397
13
11020
4
76712
19
11210
1
79725
2
12862
9
85781
14
13633
5
256440
20
13900
16
496433
Un quantile di livello α è quel valore di una variabile qualitativa
ordinale o quantitativa che, rispetto all’ordinamento non
decrescente delle osservazioni, risulta preceduto da α*100%
osservazioni e seguito da (1-α)*100% osservazioni, a meno di
effetti dovuti alla discretizzazione
ESERCIZIO 2
QUANTILI
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
15
1064
6
14013
10
1251
3
18022
11
6081
17
25308
18
6616
7
46083
8
6808
12
50397
13
11020
4
76712
19
11210
1
79725
2
12862
9
85781
14
13633
5
256440
20
13900
16
496433
La mediana è un particolare quantile, quello di livello α=0.50
I quantili di livello α=0.25, 0,50 e 0,75 sono detti quartili
I quantili di livello α=0.33 e 0,66 sono detti terzili
QUANTILI
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
15
1064
6
14013
10
1251
3
18022
11
6081
17
25308
18
6616
7
46083
8
6808
12
50397
13
11020
4
76712
19
11210
1
79725
2
12862
9
85781
14
13633
5
256440
20
13900
16
496433
Dai dati ordinati della variabile Y
il quantile di livello α è dato
dalla:
•modalità che si trova nell’intero
successivo a (n*α) se n* α è un
numero non intero
•modalità che si trovano nelle
posizioni (n*α) e (n*α)+1 se n*
α è un numero intero
Achtung!!! Ordinare i dati
QUANTILI
paziente
Copie di
RNA/ml
paziente
Copie di
RNA/ml
15
1064
6
14013
10
1251
3
18022
11
6081
17
25308
18
6616
7
46083
8
6808
12
50397
13
11020
4
76712
19
11210
1
79725
2
12862
9
85781
14
13633
5
256440
20
13900
16
496433
Il range interquartile è dato dalla differenza tra il valore del quartile
con livello α=0.75 e quello con livello α=0.25. Questo intervallo
indica che il 25% delle osservazioni sono inferiori all’estremo
inferiore del range e il 25% sono superiori all’estremo superiore.
QUANTILI
13956
1064
Q1
496433
61668
8914
min
63554
Q2
Q3
max
Diagramma box plot (detto a scatola a baffi oppure box and
whiskers plot)
Il range interquartile può essere un utile indice di dispersione
quando si ritiene che la deviazione standard (e quindi la
varianza) sia troppo influenzata dalle code della distribuzione
CAMPO DI VARIAZIONE
paziente
Copie di RNA/ml
1
79725
2
12862
3
18022
4
76712
5
256440
6
14013
7
46083
8
6808
9
85781
10
1251
11
6081
12
50397
13
11020
14
13633
15
1064
16
496433
17
25308
18
6616
19
11210
20
13900
Misure della variabilità
Min:1064
Max:496433
Campo di variazione:495369
-6
-4
-2
0
2
4
6
paziente
Copie di RNA/ml
1
79725
2
12862
3
18022
4
76712
5
256440
6
14013
7
46083
8
6808
9
85781
10
1251
11
6081
12
50397
13
11020
14
13633
15
1064
16
496433
17
25308
18
6616
19
11210
20
13900
n
VARIANZA E
DEVIAZIONE
STANDARD
(campionaria)
s2 =
2
(
)
y
−
y
∑ i
i =1
n −1
s = s2
paziente
Copie di RNA/ml
(xi − x )
(xi − x )2
1
79725
18057,05
3,26*108
2
12862
-48806
23,8*108
3
18022
-43646
19,0*108
4
76712
15044,05
2,26*108
5
256440
194772,1
379*108
6
14013
-47655
22,7*108
7
46083
-15585
2,43*108
8
6808
-54860
30,1*108
9
85781
24113,05
5,81*108
10
1251
-60417
36,5*108
11
6081
-55587
30,9*108
12
50397
-11271
1,27*108
13
11020
-50648
25,7*108
14
13633
-48035
23,1*108
15
1064
-60604
36,7*108
16
496433
434765,1
1890*108
17
25308
-36360
13,2*108
18
6616
-55052
30,3*108
19
11210
-50458
25,5*108
-47768
22,8*108
20
13900
n
s2 =
∑ (y
i =1
− y)
2
i
n −1
s = s2
11
2
,
62
*
10
s2 =
= 1,38 * 1010
19
s = 1,38 * 1010 = 117539,29
2,62*1011
paziente
Copie di RNA/ml
1
79725
2
12862
3
18022
4
76712
5
256440
6
14013
7
46083
8
6808
9
85781
10
1251
11
6081
12
50397
13
11020
14
13633
15
1064
16
496433
17
25308
18
6616
19
11210
20
13900
Varianza: formula ridotta
n
s2 =
2
(
)
y
−
y
∑ i
i =1
n −1


 ∑ yi 
n
i =1


2
= ∑ yi −
n
i =1
n
n
∑ (y
i =1
− y)
2
i
Σyi=1233359
2
(Σyi)2= 1,52117*1012
x i2
paziente
Copie di RNA/ml
1
79725
6356075625
2
12862
165431044
3
18022
324792484
4
76712
5884730944
5
256440
6,5761*1010
6
14013
196364169
7
46083
2123642889
8
6808
46348864
9
85781
7358379961
10
1251
1565001
11
6081
36978561
12
50397
2539857609
13
11020
121440400
14
13633
185858689
15
1064
1132096
16
496433
2,46446*1011
17
25308
640494864
18
6616
43771456
19
11210
125664100
20
13900
193210000
ESERCIZIO 2
2


 ∑ yi 
n
 i =1  =
2
−
y
∑
i
n
i =1
n
1,5117 * 1012
= 3,38553 * 10 −
=
20
11
= 2,62494 * 1011
11
2
,
62494
*
10
s2 =
= 1,38 * 1010
19
(Σy2i)=3,38553*1011
Prima proprietà
s2 ≥ 0
L’uguaglianza si ha solo se la variabile è degenere
Seconda proprietà
y = ax + b
a, b ∈ ℜ
(di linearità)
s 2y = a 2 s x2
Esercizio: Analogie e differenze tra queste proprietà e quelle della media
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
paziente
Copie di RNA/ml
1
79725
2
12862
3
18022
4
76712
5
256440
6
14013
7
46083
8
6808
9
85781
10
1251
11
6081
12
50397
13
11020
14
13633
15
1064
16
496433
17
25308
18
6616
19
11210
20
13900
Valido solo per variabili che
assumono valori positivi
sx
CV =
= 1.91
x
E’ un indice adimensionale di
variabilità relativa nel senso che
misura la variabilità dei dati tenendo
conto dell’ordine di grandezza del
fenomeno.
Essendo un numero puro permette
di confrontare variabili diverse
ESERCIZIO 3
Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza del
numero di colonie per piastra dopo inoculo con una sospensione
batterica
Nnumero di colonie
0
1
2
3
4
5
Frequenza
12
8
6
6
4
3
Numero di
colonie
0
1
2
3
4
5
0
8
12
18
16
15
39
69
J
∑n
y=
j =1
fi*xi
Frequenz
a
12
8
6
6
4
3
Tale procedura equivale
a fare la media con la
formula
precedente
sommando 12 volte 0, 8
volte 1 etc e dividendo
tale somma per il
numero totale di piastre
J
j
=
J
∑n
j =1
∑n
* yj
j
j =1
j
n
* yj
69
=
= 1,77
39
Numero di
colonie
0
1
2
3
4
5
Frequenza
Frequenza
cumulata
12
8
6
6
4
3
12
20
26
32
36
39
Qual è la mediana?
N è dispari quindi occorre cercare la modalità della variabile a cui è
associata la frequenza cumulata più piccola per la quale vale la
relazione:
n +1
cum
Fj ≥
2
Numero di
colonie
0
1
2
3
4
5
Frequenza
Frequenza
cumulata
12
8
6
6
4
3
12
20
26
32
36
39
Qual è la mediana?
Se N fosse pari occorre cercare le modalità della variabile a cui
sono associate le frequenze cumulate più piccole per le quali
valgono le relazioni:
n
n
F jcum ≥
F jcum ≥ + 1
2
2
Numero di
colonie
0
1
2
3
4
5
Frequenza
(xi-x) 2
fi* (xi-x)2
12
8
6
6
4
3
3.130
0.592
0.053
1.515
4.976
10.438
37.562
4.734
0.320
9.089
19.905
31.314
Qual è la varianza?
102.923
(
)
J
2
1
2
s =
n j * y j − y = 2.71
∑
n − 1 j =1
ESERCIZIO 4
Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza
dell’età di insorgenza di patologie tiroidee in 321 maschi assistiti
presso un centro endocrinologico. Determinare la media la
mediana e la moda
Età
10-20
20-30
30-40
40-50
50-60
60-70
70-80
80-90
Frequenza
15
16
32
53
61
94
44
6
Età
Frequenza
Valore centrale
fi*xvci
10-20
15
15
225
20-30
16
25
400
30-40
32
35
1120
40-50
53
45
2385
50-60
61
55
3355
60-70
94
65
6110
70-80
44
75
3300
80-90
6
85
510
321
Le osservazioni che
cadono in una classe
coincidono con il punto
centrale della classe
Le osservazioni sono
distribuite in modo
uniforme nella classe di
appartenenza
17405
k
y=
∑n * y
i
i =1
k
∑n
i =1
i
vci
17405
=
= 54.22
321
Con questa procedura non si ottiene il valore della media
che si otterrebbe lavorando sui valori individuali. In questo
caso si ottiene una approssimazione. Infatti a tutti i soggetti
nella classe d’età 10-20 si attribuisce una età pari al valore
centrale ovvero 15 il che non è detto che risponda al vero.
Tale ragionamento si ripete anche per le altre classi. Se però
n è abbastanza grande e la distribuzione è poco asimmetrica
tale approssimazione risulta poco importante perché gli
errori tendono a bilanciarsi. Lo stesso risultato si ottiene
utilizzando classi meno ampie
Età
Frequenza
Frequenza cumulata
10-20
15
15
20-30
16
31
30-40
32
63
40-50
53
116
50-60
61
177
60-70
94
271
70-80
44
315
80-90
6
321
Estremo inferiore della classe
mediana
n + 1 321 + 1
=
= 161
2
2
La classe
mediana è 50-60
Numerosità campionaria
n
− (∑ ni )
M = Linf + 2
*c
nmediana
Frequenza della classe mediana
Somma delle
frequenza delle classi
prima della classe
mediana
Ampiezza delle classi
Età
Frequenza
10-20
15
20-30
16
30-40
32
40-50
53
50-60
61
60-70
94
70-80
44
80-90
6
Frequenza
cumulata
15
n + 1 321 + 1
=
= 161
2
2
31
63
116
177
La classe
mediana è 50-60
271
315
321
n
321
− (∑ ni )
− (116)
*10 = 57.30
M = Linf + 2
* c = 50 + 2
61
nmediana
Età
Frequenza
10-20
15
20-30
16
30-40
32
40-50
53
50-60
61
60-70
94
70-80
44
80-90
6
Estremo inferiore della classe
modale
Moda = Linf
La classe modale
è la 6070
Vale solo
se le classi
hanno la
stessa
ampiezza
Eccesso della frequenza della classe modale
rispetto alla frequenza della classe
immediatamente precedente
∆1
+
*c
∆1 + ∆ 2
Eccesso della frequenza della classe modale rispetto
alla frequenza della classe immediatamente successiva
Ampiezza delle classi
Età
Frequenza
10-20
15
20-30
16
30-40
32
40-50
53
50-60
61
60-70
94
70-80
44
80-90
6
Moda = Linf +
La classe modale
è 60-69
Vale solo
se le classi
hanno la
stessa
ampiezza
∆1
33
* 10 = 63,98
* c = 60 +
33 + 50
∆1 + ∆ 2
y = 54.22
Q2 = 57.30
Moda = 63.98
Dati questi risultati possiamo affermare che i dati si distribuiscono
come una Normale?
ESERCIZIO 5
Come si calcola la moda se le classi non hanno la stessa
ampiezza?
N°posti letto
Classe
26-50
modale?
51-100
101-150
151-200
201-300
301-500
501-800
Frequenza
251
368
288
159
304
173
99
Rapporto tra frequenza e ampiezza della classe
N°posti
letto
26-50
51-100
101-150
151-200
201-300
301-500
501-800
Frequenz Ampiezza
a
della classe
251
25
368
50
288
50
159
50
304
100
173
200
99
300
Densità di
frequenza
10.04
7.36
5.76
3.18
3.04
0.87
0.33
Classe modale
ESERCIZIO 6
Il numero di mosche presenti in una popolazione di laboratorio di
Drosophila melanogaster costituita originariamente da 100
elementi, viene rilevato in tre periodi successivi. Al primo
conteggio si rilevano 112 mosche, al secondo 196 e al terzo 369.
Qual è il tasso di incremento medio della popolazione?
112
= 1,12
100
196
= 1,75
112
369
= 1,88
196
Incrementi
osservati nei tre
periodi
ESERCIZIO 6
112
= 1,12
100
196
= 1,75
112
Incrementi
osservati nei tre
periodi
369
= 1,88
196
1.12 + 1.75 + 1.88
= 1.584
y=
3
Si deve mantenere inalterato il prodotto!!!
100
158
×1.584
251
×1.584
398
×1.584
ESERCIZIO 6
112
= 1,12
100
196
= 1,75
112
369
= 1,88
196
Incrementi
osservati nei tre
periodi
112 = 1,12 * 100
196 = 1,75 * 1,12 * 100
369 = 1,88 *1,75 *1,12 * 100
Si deve mantenere inalterato questo prodotto!!!
yg = n
∏
n
i =1
yi
1 n
log y g = ∑ log yi
n i =1
ESERCIZIO 6
yg =
n
∏
n
i =1
yi
1 n
log y g = ∑ log yi
n i =1
Il logaritmo della media geometrica è la media aritmetica del
logaritmo delle osservazioni
1 n
log y g = ∑ log yi = 1 * (0.11333 + 0.55962 + 0.63268) = 0.43521
n i =1
3
y g = exp(0,4352) = 1,545 La popolazione ha subito un tasso
di incremento medio del 54%
ESERCIZIO 6
100
155
×1.545
239
×1.545
369
×1.545
Adesso si mantiene inalterato il prodotto!!!
Usata in microbiologia e sierologia quando le osservazioni sono
espresse in titoli i cui valori sono multipli dello stesso fattore di
diluizione
ESERCIZIO 7
Una proteina viene studiata mediante l’elettroforesi per
conoscerne la velocità di migrazione media. La proteina viene
fatta correre su gel in campo elettrico per 20 mm e viene misurato
il tempo di percorrenza in 5 prove diverse.
Prova
1
2
3
4
5
Tempo (sec)
40
60
30
50
70
Prova
Tempo (sec)
Velocità
1
40
20/40=0,50 mm/sec
2
60
20/60=0,33 mm/sec
3
30
20/30=0,66 mm/sec
4
50
20/50=0,40 mm/sec
5
70
20/70=0,29 mm/sec
n
y=
∑y
i =1
i
n
0,50 + 0,33 + ... + 0,29
= 0,4372
=
5
Non è la velocità media perché:
ya =
1
n
∑
i =1
n
1
yi
=
n
n
∑
i =1
1
yi
0,4372 * 250 = 109,3 mm
La media armonica è il reciproco
della media aritmetica dei reciproci
delle osservazioni. Adatta a valori
espressi come rapporti.
Prova
Tempo (sec)
Velocità
1/Velocità
1
40
20/40=0,50 mm/sec
1/0,50=2
2
60
20/60=0,33 mm/sec
1/0,33 =3
3
30
20/30=0,66 mm/sec
1/0,66=1,5
4
50
20/50=0,40 mm/sec
1/0,40 =2,5
5
70
20/70=0,29 mm/sec
1/0,29 =3,5
ya =
1
n
∑
i =1
1
yi
=
1
= 0,4
2 + 3 + 1,5 + 2,5 + 3,5
5
n
E’ la velocità media perché: 0,4 * 250 = 100 mm
ESERCIZIO 8
Cinque dietologi rilevano la circonferenza addominale (indice di
valutazione del grasso addominale) delle loro pazienti prima di
un trattamento dimagrante. Noto il valore medio delle pazienti di
ciascun dietologo è possibile determinare la circonferenza media
generale di tute le pazienti?
Dietologi
A
B
C
D
E
N°pazienti
15
10
25
13
12
Circonferenza
media
88
85
92
90
93
Dietologi
A
B
C
D
E
N°pazienti
15
10
25
13
12
Circonferenza
media
88
85
92
90
93
k
∑ n * y (88 *15) + (85 *10) + ... + (93 *12) 6756
=
= 90.1
=
y=
88 + 85 + ... + 93
75
∑n
i
i =1
i
k
i =1
i
ESERCIZIO 9
Nella seguente tabella sono riportati i carichi di rottura espressi in
newton di alcuni cavi di acciaio. Determinare il campo di
variazione.
Carico di rottura
9,3-9,7
9,8-10,2
10,3-10,7
10,8-11,2
11,3-11,7
11,8-12,2
12,3-12,7
12,8-13,2
N°di cavi
2
5
12
17
14
6
3
1
Carico di rottura
N°di cavi
9,3-9,7
2
9,8-10,2
5
10,3-10,7
12
10,8-11,2
17
11,3-11,7
14
11,8-12,2
6
12,3-12,7
3
12,8-13,2
1
Campo di variazione =
estremo superiore della classe più resistente - estremo inferiore
della classe meno resistente = 13,2 - 9,3 = 3,9 Newton
ESERCIZIO 10
Data la seguente distribuzione di frequenza dei livelli di
colesterolo sierico in 1067 maschi di età compresa tra i 25 e i 34
anni, determinare la varianza e la deviazione standard
Livello di colesterolo
sierico (mg/100 ml)
80-120
120-160
160-200
200-240
240-280
280-320
320-360
360-400
Frequenza
13
150
442
299
115
34
9
5
Livello di colesterolo
sierico (mg/100 ml)
Frequenza
80-120
13
120-160
150
160-200
442
200-240
299
240-280
115
280-320
34
320-360
9
360-400
5
k
s2 =
∑ ni * ( yvci − y )
i =1
k
2
n −1
≈
n →∞
∑ ni * ( yvci − y )
2
i =1
k
∑n
i =1
i
Livello di
colesterolo sierico
(mg/100 ml)
Frequenza
Valore
centrale
ni*xcvi
80-120
13
100
1300
120-160
150
140
21000
160-200
442
180
79339
200-240
299
220
65780
240-280
115
260
29900
280-320
34
300
10200
320-360
9
340
3060
360-400
5
380
1900
1067
k
y=
∑n * y
i
i =1
k
∑n
i =1
i
212479
vci
212479
=
= 199.14 mg/100 ml
1067
Livello di
colesterolo
sierico (mg/100
ml)
Frequenza
80-120
13
100
120-160
150
160-200
Valore
centrale
( yvci − y )
( yvci − y )2
ni * ( yvci − y )
-99,14
9828,74
127773,62
140
-59,14
3497,54
524631
442
180
-19,14
366,34
161922,28
200-240
299
220
20,86
435,14
139076,86
240-280
115
260
60,86
3703,94
425953,1
280-320
34
300
100,86
10172,74
345873,16
320-360
9
340
140,86
19841,54
178573,86
360-400
5
380
180,86
32710,34
163551,70
2
2067355,58
k
s =
2
∑ ni * ( yvci − y )
2
i =1
k
∑n
i =1
i
2067355,58
=
= 1937,54(mg/100 ml)2
1067
Livello di
colesterolo sierico
(mg/100 ml)
Frequenza
Valore
centrale
80-120
13
100
120-160
150
140
160-200
442
200-240
299
220
240-280
115
260
280-320
34
300
320-360
9
340
360-400
5
380
180
( yvci − y ) ( yvci − y )2
2
nni i**((yyvcivci−−yy))
2
-99,14
9828,74
127773,62
-59,14
3497,54
524631
-19,14
366,34
161922,28
20,86
435,14
139076,86
60,86
3703,94
425953,1
100,86
10172,74
345873,16
140,86
19841,54
178573,86
180,86
32710,34
163551,70
s = s 2 = 1937,54 = 44,02 mg/100 ml
ESERCIZIO 11
Confrontare la variabilità dei due gruppi A e B nel caso di
osservazioni espresse nella stessa scala (1°) o con diverse scale di
misura (2°)
1°
2°
A
B
A
B
5
5
0,5
500
6
1
0,8
520
4
3
1,1
515
5
5
1,5
520
3
1
1,2
523
5
2
0,9
508
28
17
6
3086
y
4,67
2,83
1
514,33
s
0,94
1,67
0,32
8,01
CV
20,13
59,01
31,62
1,56
∑y
i
s
CV = *100
y
ESERCIZIO 12
Sono stati raccolti i valori di glicemia in un campione di 10
soggetti sani, espressi in mg di glucosio per 100 ml di
sangue. Si stimi il valore medio di glucosio nel sangue, si
forniscano tre intervalli di confidenza per l’ignota media a
livello di significatività α rispettivamente pari a 0.10, 0.05,
0.01 e si commentino i risultati ottenuti.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Soggetto 1
Mg/ml=Y 65.5 80.0 92.8 90.2 100.5 95.0 98.0 70.3 80.0 105.5
a) Stima puntuale di µ
Utilizzo lo stimatore media campionaria
n
Y
=
∑y
i =1
i
n
Stima puntuale
di µ
877.8mg/ml
=
= 87.78mg/ml
10
b) Stima intervallare di µ
Utilizzo la formula:

 s 
 s 
Pr  y − t1 − α , g 
 ≤ µ ≤ y + t1 − α , g 
 = 1 − α
 n 
 n 

Gli estremi dell’intervallo di confidenza sono dati da:
y ± t1− α
a) Y =
,g



s 

n 
87.78mg/ml
∑ (y
10
c) s=deviazione standard =
i =1
i
−y
n −1
)
2
= 13.28
d) Scegliamo un valore tabulare di t con 9 gradi di
libertà (n-1) corrispondente ad una probabilità 1- α
1° caso: α = 0.10
t0.90;9=1.833
2° caso: α = 0.05
t0.95;9=2.262
3° caso: α = 0.01
t0.99;9=3.250
Achtung!!!! Y valori di t si riferiscono alla tabella della distribuzione a 2 code.
Se si utilizza la tabella della ripartizione invece si deve dimezzare α.
Estremi 1° intervallo: α = 0.10
87.78 ± 1.833(13.28 / 10 ) =
95.48
80.08
Estremi 2° intervallo: α = 0.05
87.78 ± 2.262(13.28 / 10 ) =
97.28
78.28
Estremi 3° intervallo: α = 0.01
87.78 ± 3.25(13.28 / 10 ) =
101.43
74.13
80.08
95.48
α = 0.10
mg/ml
78.28
97.28
α = 0.05
α = 0.01
mg/ml
74.13
101.43
mg/ml
Y = 87.78
I tre intervalli sono centrati sulla stima fornita dalla media
campionaria ma presentano ampiezze diverse. Diminuendo
infatti il grado di incertezza (α ) ottengo intervalli via via meno
precisi. Diminuendo il grado di incertezza siamo più sicuri ma
meno precisi.
ESERCIZIO 13
Stimare, con confidenza del 95%, l’intervallo di confidenza
dell’altezza media di una varietà di pomodoro, attraverso 7
esemplari alti 22, 25, 21, 23, 24, 25, 21 pollici.
22 + 25 + 21 + 23 + 24 + 25 + 21
y=
= 23
7
∑ (y
n
s2 =
i =1
i
−y
)
2
n −1
(
22− 23)2 + (25− 23)2 + (21− 23)2 + (24− 23)2 + (25− 23)2 + (21− 23)2
=
=3
7 −1

 s 
 s 
Pr  y − t1 − α , g 
 ≤ µ ≤ y + t1 − α , g 
 = 1 − α
 n 
 n 

1,732
µ i = 23 − 2,447 *
= 21,398
7
1,732
µ s = 23 + 2,447 *
= 24,602
7
ESERCIZIO 14
Da una popolazione con σ=3 è stato estratto un campione di 10
unità con y=25. Calcolare l’intervallo di confidenza per la vera
media con un errore α pari all’1%.

 σ 
 σ 
Pr  y − z 1 − α 
 ≤ µ ≤ y + z1−α 
 = 1 − α
 n 
 n 

z0.99=2.57
3
µ i = 25 − 2,57 *
= 22,56
10
3
µ s = 25 + 2,57 *
= 27,44
10
Anche in questo caso si considera la distribuzione a 2 code altrimenti si
dimezza α
ESERCIZIO 15
Altezza in centimetri di 5 piantine di mais: 24,26, 30, 28 e 22.
Calcolare l’intervallo di confidenza per l’altezza media della
popolazione. Si consideri un livello di confidenza del 95%
24 + 26 + 30 + 28 + 22
y=
= 26
5
n
s =
2
∑ (y
i =1
− y)
2
i
n −1
(
24 − 26)
=
2
+ ... + (22 − 26)
= 10
4
2
t4;0,95=2.78
10
µ i = 26 − 2.78 *
= 22.08
5
10
µ s = 26 + 2.78 *
= 29.92
5
Si immagini ora di conoscere la varianza della popolazione e
che questa sia pari a 10, come cambiano gli intervalli di
confidenza?
Z0,95=1.96
µ i = 26 − 1.96 *
10
= 23.23
5
µ s = 26 + 1.96 *
10
= 28.77
5
In questo caso l’ampiezza è minore il che è atteso in base al
fatto che la stima intervallare dipende da una quantità stimata µ
mentre nel caso precedente all’errore commesso nella stima di
µ si deve aggiungere quello per la stima di σ2.
ESERCIZIO 16
In un campione di 10 individui sani è stata misurata la
glicemia. La media è risultata pari a 80 mg di glucosio/100 ml
di sangue. E’ nota la deviazione standard della popolazione che
z1- α
è pari a 15.
µ i = 80 − 1.96 *
15
10
= 70.70
15
µ s = 80 + 1.96 *
= 89.29
10
Volendo ottenere un grado di precisione maggiore, ad esempio
un intervallo pari alla metà di quello ottenuto quante
osservazioni sono necessarie?
~4.6
~4.6
70.70
89.29
x = 80
18.6
~9,3
~9,3

 σ 
 σ 
Pr  y − z 1−α 
 = 1 − α
 ≤ µ ≤ y + z1−α 
 n 
 n 

 σ 
y ± z1− α 

 n 
 σ  
 σ 
y + z1− α 
 −  y − z 1 − α 
  = 9 . 3
 n  
 n 
 σ 
 σ 
y + z1− α 
 − y + z1−α 
 = 9 .3
 n 
 n 
2 * z1−α






σ

 = 9 .3
n 
σ

z1−α
 = 4 . 65
n 

 15
1 . 96 * 
 = 4 . 65
n 

2


15
2
 = 4 . 6
1 . 96
* 
n


 225
3 . 84 * 
n

n = 39 . 96 ≈
2

 = 21 . 6225

40
Si potrebbe anche risolvere così:
Semiampiezza precedente =
15
1.96 *
= 9.30
10
Semiampiezza attuale = ½
semiampiezza precedente
15
1
15
1
1
1 .96 *
= 1 .96 *
⇒
=
⇒
n 2
10
n 2 10
⇒
n = 2 10 ⇒ n = 40
Perché il risultato è diverso?
Quale conviene scegliere?
ESERCIZIO 17
Un campione di 100 osservazioni è estratto da una popolazione
di media ignota e varianza pari a 25. La media campionaria è
pari a 20.
Calcolare gli intervalli di confidenza per la media della
popolazione a livello del 95%.
Quanto dovrebbe essere la numerosità campionaria per
ottenere un intervallo di confidenza al 95% con ampiezza al
più pari a 2.2?
5
µ i = 20 − 1.96 * = 19.02
10
5
µ s = 20 + 1.96 * = 20.98
10
µ s − µ i = 20 + 1.96 *
5
n
− (20 − 1.96 *
5
n
) = 2 * 1.96 *
µ s − µ i ≤ 2,2
5
5
2 *1,96 *
≤ 2.2 ⇒ 1,96 *
≤ 1.1
n
n
1.96 * 5
≤ n
1 .1
2
 1.96 * 5 

 ≤n
 1.1 
⇒ 80 ≤ n
5
n
ESERCIZI
Si vuole stimare il perimetro toracico medio di una certa
popolazione. Di conseguenza si considera un campione di 50
soggetti con perimetro toracico medio pari a 90. Se la
popolazione si considera distribuita in modo normale σ=10,
determinare un intervallo di confidenza per µ al 90%.
[Soluzione: 87.67-92.33]
Il numero medio di battiti al minuto di un campione di 8 operai
vale 71,5 con s=5.1. Si costruisca un intervallo di confidenza al
99% per la media della popolazione.
[Soluzione: 65.2-77.8]
ESERCIZI
Si consideri la seguente tabella di frequenza che riporta le merci e
i passeggeri sbarcati agli scali portuali di alcune regioni italiane
nel 1988
Regione
Merci (migliaia di
tonnellate)
Passeggeri (migliaia)
Friuli V. G.
22806
42
Veneto
21849
248
Emilia – Romagna
12627
3
Marche
4937
266
Ci si chiede se è più variabile lo sbarco di merci o lo sbarco dei
passeggeri.
[Soluzione: CV 0.47 e 0.85]
ESERCIZI
Sia Y la variabile quantitativa discreta che descrive il numero di
componenti delle famiglie residenti al censimento del 1981 in
Liguria
N°componenti
Frequenza
1
197906
2
203709
3
168536
4
117509
5
29727
6
6577
7
1707
8 o più
906
Qual è la mediana?
[Soluzione: 2]
ESERCIZI
Si considerino i dati di peso e l’altezza di 6672 statunitensi
esaminati tra il 1960 e il 1962 dal Public Health Service. Questi
dati sono stati raggruppati in 7 classi d’età e per genere dando
origine a 14 gruppi. Quali informazioni si possono dedurre dal
grafico?
Invecchiando la gente
non si accorcia!!! Il
fatto è che si stanno
confrontando in uno
specifico istante
temporale individui
nati in epoche diverse
(e quindi
probabilmente
alimentati in modo
diversi durante le
giovani età)
http://www.science.unitn.it/~matsoc/stat/sezione2/node4.html
ESERCIZI
Si effettuano n=40 misurazioni di una variabile quantitativa (n° di
fiori di una pianta) e si ottengono i seguenti risultati
0
2
1
4
3
1
2
3
8
2
5
2
1
3
3
1
3
2
2
5
4
4
4
2
3
5
5
1
1
2
2
4
4
2
3
3
3
3
3
2
Costruire una tabella della distribuzione di frequenza e
rappresentarla graficamente. Calcolare media, moda, mediana e
deviazione standard
[Soluzione: 2.825, 2, 3, 1.517]
ESERCIZI
La seguente tabella si riferisce a n=20 individui. Le variabili
sono:
Puls1=pulsazioni cardiache rilevate a riposo
Puls2=pulsazioni cardiache rilevate dopo 500 metri di passo
veloce
Fumo: 1 =fumatore 2= non fumatore
Altezza in cm.
Peso in kg.
Attività sportiva: 1 =bassa, 2=media, 3=alta
ESERCIZI
•Classificare le variabili considerate
•Calcolare media, varianza, Q1, Q2 e Q3 per le variabili
quantitative. Quale variabile è la più dispersa?
•Calcolare moda e mediana per le variabili fumo e attività
sportiva
•Calcolare un intervallo di confidenza per la media delle variabili
quantitative.
•Nei fumatori è più variabile Puls1 o Puls2? E nei non fumatori?
ESERCIZI
Puls1
Puls2
Fumo
Altezza
Peso
Attività sportiva
64
88
2
170
64
2
58
70
2
183
66
2
62
76
1
187
73
3
66
78
1
185
86
1
64
80
2
175
70
2
74
84
2
185
75
1
84
84
2
183
68
3
68
72
2
188
86
2
62
75
2
183
89
2
76
118
2
180
63
2
90
94
1
188
73
1
80
96
2
183
70
2
92
84
1
178
69
3
68
76
2
170
66
2
60
76
2
180
77
3
62
58
2
183
79
3
66
82
1
175
79
2
70
72
1
185
77
3
68
76
1
188
82
2
72
80
2
170
61
3
ESERCIZI
media
moda
mediana
var
cv
Q1
Q3
min
max
range
Ic inf
Ic sup
Puls1
70,3
Puls2
80,95
Fumo
68
79
94,01053 147,3132
0,137922 0,149935
63,5
75,75
74,5
84
58
58
92
118
34
60
Puls1
Puls2
65,76218 75,26958
74,83782 86,63042
fumo
fumo
no fumo
no fumo
fumo
no fumo
media
varianza
media
varianza
cv
cv
Altezza
180,95
2
2
1
2
1
2
183
36,68158
0,033471
177,25
185
170
188
18
Peso
Attività sportiva
73,65
2
73
2
66,13421
0,110418
67,5
2
79
3
61
1
89
3
28
Altezza
Peso
178,1155 69,84397
183,7845 77,45603
Puls1
73,42857
150,2857
68,61538
64,92308
0,166953
0,11743
Puls2
80,28571
52,57143
81,30769
206,5641
0,09031
0,176765
ESERCIZI
La seguente tabella si riferisce al peso (kg) e all’altezza (cm) di
n=30 bambini.
Peso
Altezza
27
18
125
108
20
21
131
118
21
20
108
114
14
32
102
116
28
14
116
108
18
21
118
123
18
16
108
111
15
19
104
117
15
15
106
106
19
18
108
116
20
18
114
105
19
20
111
114
23
19
125
111
19
23
118
110
25
17
118
103
ESERCIZI
Suddividere le variabili in 4 classi di uguale ampiezza e costruire
la tabella di frequenza. Calcolare media e varianza dai dati
originali e da quelli categorizzati e confrontare i risultati.
Frequenza
Peso
Altezza
Totale
Totale
Dati originali
Media
Varianza
Frequenza
Dati divisi in
classi
ESERCIZI
Suddividere le variabili in 4 classi di uguale ampiezza e costruire
la tabella di frequenza. Calcolare media e varianza dai dati
originali e da quelli categorizzati e confrontare i risultati.
Peso
Frequenza
Altezza
Frequenza
10-15
6
100-107
6
16-21
18
108-115
12
22-27
4
116-123
9
28-34
2
124-132
3
Totale
30
Totale
30
Dati
originali
Dati
divisi in
classi
Media
19.73
18.93
Varianza
17.17
22.23
Dati
originali
Dati
divisi in
classi
Media
113.07
113.95
Varianza
50.62
53.22
ESERCIZI
Sono qui di seguito riportate le durate in anni degli studi compiuti
da 20 persone
13-18-18-13-8-8-13-8-8-8-13-19-14-8-8-14-8-13-20-8
Rappresentare graficamente la distribuzione degli anni di studio
Quante persone hanno studiato almeno 13 anni?
Completare la tabella seguente e calcolare media e varianza
Anni di studio
(yi)
8
13
14
18
19
20
Totale
ni
yi ni
y2i
y2ini
ESERCIZI
Completare la tabella seguente e calcolare media e varianza
[Soluzione: 12, 18]
Anni di studio
(yi)
ni
yi ni
y2i
y2ini
8
9
72
64
576
13
5
65
169
845
14
2
28
196
392
18
2
36
324
648
19
1
19
361
361
20
1
20
400
400
Totale
20
240
1514
3222
ESERCIZI
Una popolazione è costituita da quattro appartamenti A, B, C e D.
La caratteristica in studio è rappresentata dal n° di vani
Appartamento
N°vani
A
2
B
3
C
4
D
4
Calcolare media e varianza della variabile nella popolazione
P.S. La varianza nella popolazione è indicata come σ2
calcolata come:
N
σ2 =
∑ (y
i =1
− y)
2
i
N
ed è
ESERCIZI
Estrarre tutti i 16 possibili campioni di due unità e calcolare la
media campionaria
Appartamenti
Valori
Media campionaria
AA
AB
AC
AD
BA
BB
BC
BD
CA
CB
CC
CD
DA
DB
DC
DD
2-2
2
ESERCIZI
Tracciare il grafico della distribuzione della media campionaria
Calcolare la media delle medie campionarie
Calcolare la varianza e lo scarto quadratico medio delle medie
campionarie
Confrontare questi valori con quelli ottenuti considerando tutti i
campioni
ESERCIZI
Un insieme di dati ha media y n e deviazione standard sn
Agli n dati se ne aggiunge uno di valore uguale a
yn
Si ottiene così una nuova media y n +1 e una nuova deviazione
standard sn +1
Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI’
evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione)
y n +1 < y n
y n +1 = y n
y n +1 > y n
Si può dire quale delle tre relazioni sotto indicate è valida (se SI’
evidenziarla; se NO darne una breve giustificazione
s n +1 < s n
s n +1 = s n
s n +1 > s n
ESERCIZI
Le due figure rappresentano i diagrammi a barre di due insiemi di
dati. Indichiamo con y1 e s1 la media e lo scarto della figura 1
e con
y 2 e s2 la media e lo scarto della figura 2
Figura 1
Figura 2
Delle sei relazioni sotto indicate indicare le due corrette
y1 < y 2
s1 < s2
y1 = y 2
s1 = s2
y1 > y 2
s1 > s2
ESERCIZI
Si considerino due osservazioni con valore uguale e sconosciuto s
tale che s<t. A questi dati se ne aggiungono 8 tutti con valore t.
Il valore medio dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due
iniziali:
aumenta
diminuisce
rimane invariato
Lo scarto dei 10 dati complessivi rispetto a quello dei due dati
iniziali:
aumenta
diminuisce
rimane invariato
ESERCIZI
Su uno stesso sistema di assi sono riportati i diagrammi a barre di
due insiemi di dati: il gruppo A e il gruppo B.
Dire quale dei due insiemi ha media maggiore e quale scarto
maggiore.
[Soluzione: media maggiore A, scarto maggiore B]
ESERCIZI
Date 101 osservazioni di cui è noto che:
n
∑ yi = 51.6841
i =1
n
2
y
∑ i = 50.2367
i =1
•stimare media e varianza campionaria
•fornire un intervallo di confidenza per la media a livello α=0.90
[Soluzione: 0.51, 0.24, 0.43-0.59]
ESERCIZI
Si hanno x1 ,..., xn
osservazioni di una certa variabile e se
ne conosce la media x . Si definisce yi = 3 xi + 5
.Allora la
media delle osservazioni y1 ,..., y n
è:
x
x+5
3x
3x + 5
ESERCIZI
Quanto vale il primo quartile? Quanto il secondo? Quanto il
terzo?
0.7
0.7
0.9
1.2
1.3
1.4
1.5
1.5
1.7
1.9
2.0
2.0
2.1
2.4
2.4
2.8
2.8
2.9
3.2
3.3
3.5
3.6
4.1
4.3
4.7
4.7
4.8
5.2
5.3
5.5
6.4
6.8
7.0
7.2
7.2
7.9
8.0
8.7
9.0
9.4
10.7 13.3 15.1 16.8 17.1 19.7 25.3 32.0 32.4 42.1
ESERCIZI
I biologi che studiano la salute della pelle misurano la velocità
con cui le nuove cellule tendono a chiudere un taglio fatto con un
rasoio sulla pelle di una salamandra anestetizzata. Qui di seguito
sono riportati i dati relativi a 18 salamandre misurati in
micrometri (un milionesimo di metro) all’ora.
29
27
34
40
22
28
14
35
26
35
12
30
23
18
11
22
23
33
Assumendo che la deviazione standard dei tassi di rinnovo della
pelle nella popolazione delle salamandre sia pari a 8 micrometri
per ora calcolare un intervallo di confidenza per il tasso medio di
rinnovo al 90% di confidenza.
[Soluzione: 22,57-28,77]
ESERCIZI
Quanto dovrebbe essere la numerosità campionaria per poter
stimare il tasso tasso medio di rinnovo con un errore di non più di
1 micrometro per ora?
[Soluzione: 174]