GIUSEPPE ZWIRNER
per gli studenti delle facoltà dJ chimica, agraria,
scienze naturali, economia ·commercio e statistica
PARTE SECONDA
nuova edizione
CEDAM
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IUAV - VENEZIA
AREA SERV. BIBLIOGRAFICI
E DOCUMENTALI
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2339
BIBLIOTECA CENTRALE
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GIUSEPPE ZWIRNER
\ ST~ tu'1 ""'
ISTITUZIONI
DI
MATEMATICHE
PARTE SECONDA
PER GLI STUDENTI DELLA FACOLTA DI CHIMICA, AGRARIA,
SCIENZE NATURALI, ECONOMIA E COMMERCIO E STATISTICA
QUINTA EDIZIONE RIVEDUTA ED AMPLIATA
CON NUMEROSI ESERCIZI E PROBLEMI RISOLTI E PROPOSTI
ISTITUTO UNIVERSITARIO ARCHITITTURA
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VENEZIA
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AREA SERV!?I "'!tl.IOGRAFICI E DOCUMENTALI
BIBLIOTECA CENTRALE
INV ····~5~~\J.3.
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CEDAM
CASA EDITRICE DOTT. ANTONIO MILANI
1977
INDICE
CAP. I. - NUMERI COMPLESSI ED EQUAZIONI ALGEBRICHE§ 1. - Numeri complessi
Generalità .
pag.
,.
Definizioni fondamentali .
2
,.
Addizione .
3
»
Sottrazione
4
,.
Moltiplicazione
4
»
Reciproco di un numero complesso non nullo
6
,.
7
Divisione
,.
Potenze con esponente intero
8
,.
Unità immaginaria .
9
Il campo numerico complesso. Sottocampo dei numeri complessi
,.
reali
9
,. 10
Forma algebrica dei numeri complessi
,. 14
Sui moduli dei numeri complessi .
lJ>
Rappresentazione geometrica dei numeri complessi .
15
»
Forma trigonometrica dei numeri complessi
16
Prodott_o di numeri complessi sotto forma trigonometrica
" 19
Quoziente di due numeri complessi scritti sotto forma trigonolJ>
metrica
20
Potenza con esponente intero di un numero complesso scritto
,.
sotto forma trigonometrica .
21
»
22
Radici ennesime dei numeri complessi
§ 2. - Cenni sulla teoria delle equazioni algebriche
Divisione dei polinomi . in una variabile
Teorema di Ruffini .
Il teorema fondamentale dell'algebra .
Ordine di molteplicità di uno zero di un polinomio .
Polinomi a coefficienti reali .
Decomposizione in fattori di un polinomio nel campo complesso .
Equazioni algebriche
Radici razionali di· una equazione algebrica a coefficienti razionali
»
,.
,.
,.
"
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»
27
28
29
30
30
31
34
36
VI
Indice
CAP. II. - INTEGRAZIONE INDEFINITA DI ALCUNE CLASSI DI
FUNZIONI
Integrazione delle funzioni razionali fratte .
Integrazione indefinita di alcune funzioni irrazionali
Integrazione di alcune funzioni trascendenti
pag. 39
,.
52
J>
59
CAP. III. - LE SERIE NUMERICHE
§ 1. - Serie numeriche a termini reali
Nozione di serie numerica reale
Serie geometrica
Prime proprietà delle serie
Resto di una serie .
63
J>
67
J>
69
,.
72
§ 2. - Criteri di convergenza. e divergenza - Convergenza assoluta
Premesse
Serie a termini di segno costante. Il criterio del confronto
Serie a termini di segno alterno .
Convergenza assoluta
Criterio della radice o di Cauchy .
Criterio del rapporto o di D'Alembert .
Criterio ·di Raabe
Proprietà commutativa per le serie numeriche .
,.
,.
,.
76
77
79
J>
80
J>
82
"
84
,.
85
87
J>
89
J>
90
,.
91
J>
§ 3. - Operazioni sulle serie numeriche
Addizione e sottrazione fra serie numeriche
Prodotto secondo Cauchy di due serie numt?riche
§ 4. - Serie a termini complessi
Definizioni e concetti fondamentali
CAP. IV. - SERIE DI FUNZIONI
§ 1. - Convergenza uniforme - Teoremi di integrazione e di deri-
vazione
Nozioni preliminari .
Convergenza uniforme
J>
J>
93
96
§ 2. - Serie di potenze nel campo reale
Serie di potenze nel campo reale .
Intervallo di convergenza di una serie di potenze
J>
J>
103
105
Indtce
Serit: derivata .
Serie di Mac Laurin .
Sviluppo in serie di Mac Laurin di sen x, cos x, e", log (1
arctg x, (1 + x)m
Calcoli numerici
VII
pag. 108
»
109
+ x),
,.
,.
111
118
§ 3. - Cenni sulle serie di potenze nel campo complesso
Serie di potenze - Cerchio di convergenza .
Le funzioni seno, coseno, tangente
La funzione esponenziale
Le formule di Eulero
Studio delle funzioni sen z e cos z
La funzione logaritmo
Potenza di base complessa ad esponente complesso .
,.
,.
»
120
121
122
124
125
126
129
))
130
))
134
li>
,.
»
))
§ 4. - Serie di Fourier
Serie trigonometriche
Serie di Fourier
CAP. V. - TEORIA DEI VETTORI
Coordinate cartesiane nello spazio
Distanza di due punti
Vettori
Somma di due o più vettori
Prodotto di un vettore per un numero reale
Scomposizione di vettori
Coordinate cartesiane di un vettore in un piano
Coordinate cartesiane di un vettore nello spazio
Prodotto scalare di due vettori
Prodotto scalare di due vettori di date coordinate cartesiane
Prodotto vettoriale di due vettori
Prodotto vettoriale di due vettori di date coordinate
Prodotto misto di tre vettori .
Condizione di parallelismo di due vettori espressa mediante le
loro coordinate .
Condizione di allineamento di tre punti .
Condizione di complanarità di quattro punti
Vettore funzione di un parametro
Punto funzione di una variabile e vettore derivato
Integrazione di vettori
Il numero complesso come operatore di rotazione
))
»
136
138
»
139
»
141
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144
144
145
147
149
150
151
152
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»
»
»
»
154
154
155
156
158
159
161
VIII
Indice
CAP. VI. - METRICA DELLO SPAZIO
Equazione cartesiana del piano
pag. 164
Equazione di un piano generico passante per un punto .
" 171
Sistema di due piani - Condizione di parallelismo .
" 172
Piano passante per un punto e parallelo ad un piano dato .
" 173
Fascio proprio di piani .
" 174
Rappresentazione di una retta dello spazio cartesiano :
" 175
Sistema retta-piano - Condizione di parallelismo e di appartenenza
" 181
Coseni direttori di una retta orientata
",. 184
Angolo di due rette orientate
187
Coseni direttori di una retta orientata di date equazioni - c'on»
dizione di ortogonalità e di parallelismo
188
»
Equazione normale di un piano .
191
,. 194
Distanza di un punto da un piano
Angoli tra piani di date equazioni · Condizione di perpendico,
»
larità ·di due _piani .
195
»
Angolo di retta e piano di date equazioni
196
»
Retta e piano perpendicolari .
197
CAP. VII. - SUPERFICIE E CURVE NELLO SPAZIO
La nozione di superficie ..
Classificazione delle superficie in algebriche e trascendenti
Equazione cartesiana della sfera .
Ellissoide .
Iperboloide ad una falda
Superficie rotonde .
Superficie cilindrica o cilindro
Equazioni di una curva nello spazio
»
199
»
»
200
200
203
205
207
209
»
211
,,
"
,,,
»
"
CAP. VIII. - FUNZIONI DI DUE O PIU' VARIABILI
Insiemi di punti del piano .
Punti di accumulazione .
Insiemi aperti - Insiemi chiusi
Definizione di càmpo e di dominio
Funzioni di due variabili .
Rappresentazione geometrica delle funzioni di due variabili .
Insiemi spaziali
Limite per una funzione di due variabili
Funzioni continue
»
215
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"
219
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220
»
223
»
223
224
227
»
»
»
l
Indice
IX
CAP. IX. - DERIVATE E DIFFERENZIALI
PIU' VARIABILI
DELLE
FUNZIONI
DI
Derivate parziali delle funzioni di due vanabila
Derivate parziali degli ordini superiori
Derivate parziali delle funzioni di tre o più vanabali
Differenziali parziali e differenziale totale .
Derivata secondo una direzione ed un verso
Derivata di una funzione composta
Massimi e minimi relativi delle funzioni di due v<.1nabila
Funzioni implicite
CAP. X. - DERIVAZIONE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE
FERENZIALI ESATTI
pag. 228
»
231
233
234
239
242
248
256
»
260
»
265
»
»
DIF-
Integrali definiti dipendenti da un parametro - Derivazione sotto
il segno d'integrale
Differenziali esatti
CAP XI. - INTEGRALI CURVILINEI
Curve regolari .
))
Curve generalmente regolari
J)
I versi di una curva · Curve orientate .
»
275
276
278
279
287
Integrali curvilinei at differenziala delle coordinate
Integrali curvilinei a1 differenziali d'arco .
Condizione necessaria e sufficiente perché l'integrale curvilineo
L [M(x, y) dx+ N(x, y) dy] 'iia indipendente dal cammino d'integrazione
»
289
,,
299
CAP. XII. - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
§ I. - Equazioni diff erenzial1 ordinarie del primo ordme
Generalità .
Teoremi di esistenza e dt unicità per le soluzioni di una equazione
differenziale del pnmo ordine e di forma normale .
Integrali singolari o di frontiera per l'equazione y' '- f(x, y)
Integrazione di alcuni tipt di equazioni differenziali ordinarie del
primo ordine di forma normale .
Equazioni differenziali esatte .
Equazioni differenziali a variabili separate .
2 · G
ZwrRNER,
Jst1tuzioni di matematiche - JL
»
»
))
»
»
,._
301
304
305
307
311
Indice
X
Equazioni differenziali a va11abili -.eparabih
Equazioni omogenee
Equazioni lineari
Equazioni di Bernoulli
Fattore integrante
Integrazione di alcuni tipi di cq\la:zioni differenziali ordinarie del
primo ordine di forma n0n normale .
pag. 312
"
"
315
»
318
320
322
»
325
»
331
»
334
»
339
341
344
350
351
»
§ 2. - Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine
Generalità .
Integrazione di alcuni tipi di equazioni differenziali ordinarie del
secondo ordine .
§ 3. - Equazioni differenziali ordinarie d'ordine n
Generalità
Equazioni differenziali lineari d'ordine n e omogenee
Equaziom differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti
Equaziom differenziali lineari d"ordine n non omogenee .
Equazwm differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti
»
»
»
»
§ 4 - Alcuni complementi sulle equazioni differenziali lineari omo-
genee del secondo ordine
Problemi al contorno per le equaziom differenziali lineari· omogenee del secondo ordine .
Equaziom contenenti un parametro - Autovalori e autofunzioni .
Forma autoaggiunta di un'equazione differenziale lineare omogenea del 2° ordine .
Ortogonalità delle autofunzioni
Normalizzazione delle autofunzioni
Sviluppo in serie di autofunzioni .
»
»
354
357
»
361
362
364
366
Integrali doppi .
Significato geometrico degli integrali doppi - Volume di un cilindroide .
»
368
»
371
Proprierà degli integrali doppi
Calcolo di un integrale doppio a mezzo di due integrali semplici .
Cambiamento di variabili in un integrale doppio .
»
374
375
381
»
»
»
CAP. XIII. - INTEGRALI MULTIPLI
Trasformazione di un integrale doppio col cambiamento delle
coordinate cartesiane in coordinate polari
Integrah tripli .
»
»
»
»
383
385
XI
Indice
CAP. XIV. · FORMULE DI GREEN NEL PIANO
pag. 388
Domini piani regolari
Integrali curvilinei estesi alla frontiera di un dominio piano regolare .
,. 389
Formule di Green nel piano .
,, 390
Area d1 un dommio piano espressa con un integrale curvilineo
esteso alla frontiera .
»
395
CAP. XV. · INTEGRALI SUPERFICIALI
Premesse
Superficie regolari
Piani tangenti ad una superficie regolare
Superficie regolari orientate .
Area di una superficie regolare
Area di una superficie d1 rotazione
Integrali di superficie a1 differenziali d'area
Integrali di superficie ai differenziali d'area delle proiezioni ortogonali di S sui piani coordmati
Integrali superhcialt estesi alla frontiera di un dominio regolare
dello spazio
Formule d1 Green nello spazio
Teorema della divergenza
Teorema di Stokes .
»
397
398
401
404
405
410
411
»
414
»
»
..
»
,,
»
,,
,,
))
»
416
417
418
419
CAP. XVI.· CURVE EMPIRICHE
Generalità e posizione del problema
Curve empiriche rappresentate da un polinomio di primo grado
Curve empiriche rappresentate da un'equazione del tipo y = axn .
Curve empiriche rappresentate da un'equazione del tipo y = aenx .
Curve empiriche rappresentate da un polinomio
Grafici di alcune curve note .
CAP. XVII - CALCOLO
FINITI
APPROSSIMATO
Premessa
Il metodo dei rettangoli
Formula di Poncelet
Formula di Simpsun
DEGLI
INTEGRALI
»
»
))
»
»
421
422
425
427
429
432
DE»
»
»
434
434
435
439
XII
Indice
ESERCIZI (1)
pag. 447
Capitolo primo
Capitolo secondo
Capitolo terzo
"
"
Capitolo quarto
451
455
»
457
Cnplfolo ouinto
"
458
C<1nitolo
.\t:S(O
»
460
Capitolo
SL'llÌnzo
463
Capua. o e lrtvo
"
,.
465
Capitolo nono
»
466
Caprtolo deumo
»
468
Cqpitolo decimo primo
"
470
Capir alo decimo secondo
'·
.
"
Cap110/o decimo terzo
Capitolo dec11110 sesto
473
479
,.
485
( 1) Gh esercizi di ogni capitolo sono relativi agli argomenti trattati nei
con •srondcnti capitoli della teoria.
DELLO STESSO AUTORE:
ISTITUZIONI 01 MATEMATICHE. per le Facoltà di
-
ch1m1ca. scienze naturali. agraria
commercio e statistica .
Parte I: pp Xll-684 .
Pa rte Il · pp Xli 486 .
economia e
LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA.
-
Parte I: Funzioni di una variabile; pp. Xll-592
Parte Il : Funzioni d i più variabili; pp X-501
ELEMENTI 01 ANALISI MATEMATICA.
Parte I: pp , XVl-592
Pa rte Il : pp . X-509
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA.
-
Parte I: pp X-646
-
Parte Il : pp VIII 588
ISBN 88· 13·34386-8
PREZZO L 46.000
